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杭州市2024-2025学年九年级上学期期中模拟考试数学（三）
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．（3分）下列图形中，绕某个点旋转72度后能与自身重合的是（ ）
A． B．
C． D．
2．（3分）将抛物线y＝﹣x2向右平移3个单位，再向上平移2个单位后，抛物线的解析式是（ ）
A．y＝﹣（x+3）2+2 B．y＝﹣（x﹣3）2+2
C．y＝﹣（x+3）2﹣2 D．y＝﹣（x﹣3）2﹣2
3．（3分）若钟表的轴心到分针针端的长为5cm，则经过10分钟，分针端转过的弧长是（ ）
A． B． C． D．
4．（3分）若点A（3，y1），B（﹣2，y2），C（0，y3）三点在抛物线y＝x2﹣4x﹣m的图象上，y1，y2，y3的大小关系是（ ）
A．y2＞y3＞y1 B．y1＞y2＞y3 C．y2＞y1＞y3 D．y3＞y1＞y2
5．（3分）下列事件是必然事件的是（ ）
A．打开电视机，正在播放动画片
B．经过有交通信号灯的路口，遇到红灯
C．过三点画一个圆
D．任意画一个三角形，其内角和是180°
6．（3分）在圆柱形油槽内装有一些油，截面如图所示，已知截面⊙O半径为5cm，油面宽AB为6cm，如果再注入一些油后，油面宽变为8cm，则油面AB上升了（ ）cm．
A．1 B．3 C．3或4 D．1或7
7．（3分）若二次函数y＝ax2的图象与一次函数y＝3x的图象交于点A（3，m），则a、m的值分别为（ ）
A．﹣1、9 B．﹣1、﹣9 C．1、9 D．1、﹣9
8．（3分）如图，点O为正五边形ABCDE的中心，连接OA，OE，则∠AOE的度数为（ ）
A．72° B．54° C．60° D．36°
9．（3分）下面的三个问题中都有两个变量：
①汽车从甲地匀速行驶到乙地，汽车的剩余路程y与行驶时间x；
②将一些相同的练习册摞在一起，这些练习册的总厚度y与本数x；
③将水箱中的水匀速放出，直至放完，水箱中的剩余水量y与放水时间x．
其中，变量y与变量x之间的函数关系可以用如图所示的图象表示的是（ ）
A．①②③ B．①③ C．①② D．②③
10．（3分）如图，△ABC中，∠ABC＝60°，∠ACB＝75°，点D是BC边上一个动点，以AD为直径作⊙O，分别交AB，AC于点E，F，若弦EF长度的最小值为6，则AB的长为（ ）
A． B． C． D．
二．填空题（共6小题，满分24分，每小题4分）
11．（4分）已知⊙O的半径为3，且点A到圆心的距离是5，则点A与⊙的位置关系是 ．
12．（4分）抛物线y＝﹣3（x﹣2）2﹣2的顶点坐标为 ．
13．（4分）不透明的袋子里放有2个红球和若干枚白球，从中随机摸出一个球是白球的概率为A；现从中取出一个红球不放回（白球个数不改变），从中随机摸出一个球是白球的概率变为B．若BA（A≠0），则袋子中的白球有 个．
14．（4分）函数y与y＝ax2﹣a（a≠0）在同一平面直角坐标系中的图象可能是 ．
15．（4分）如图，⊙O与△OAB的边AB相切，切点为B．将△OAB绕点B按顺时针方向旋转得到△O'A'B'，使点O'落在⊙O上，边A'B交线段AO于点C．若∠A'＝25°，则∠OCB＝ 度．
16．（4分）如图，锐角△ABC内接于⊙O，BD⊥AC于点D，OM⊥AB于点M，且OM＝3，CD＝4，BD＝8，则⊙O的半径为 ．
三．解答题（共8小题，满分66分）
17．（6分）已知二次函数y＝﹣x2+2mx﹣4m+4的图象经过原点，求该二次函数的解析式．
18．（6分）如图，⊙O为锐角△ABC的外接圆，半径为4．
（1）用尺规作图作出∠BAC的平分线，并标出它与劣弧的交点E（保留作图痕迹，不写作法）；
（2）若（1）中的点E到弦BC的距离为3，求弦BC的长．
19．（6分）已知函数y＝2x2﹣（3﹣k）x+k2﹣3k﹣10的图象经过原点，试确定k的值．
20．（8分）在一个不透明袋子中装有1个红球，1个绿球和n个白球，这些球除颜色外均相同．
（1）从袋中随机摸出一个球，记录其颜色后放回，搅匀后再随机摸出一个球，经过大量重复该实验，发现摸到绿球的频率值稳定于0.2，则n的值是 ；
（2）当n＝2时，从该不透明的袋子中一次摸出两个球，求摸出的两个球颜色不同的概率．（用“画树状图”或“列表”的方法写出分析过程）
21．（8分）已知：如图，AB为⊙O的直径，AC为⊙O的弦，D为⊙O上异于A、C的一点．
（1）若AD＝CD，∠ADC＝130°，则∠DAB＝ ．
（2）连接OD，BC，若OD∥BC，求证：AD＝CD．
22．（10分）某跳水运动员在进行跳水训练时，身体（看成一点）在空中的运动路线是如图所示的一条抛物线，已知跳板AB长为2米，跳板距水面CD的高BC为3米，训练时跳水曲线在离起跳点水平距离1米时达到距水面最大高度k米，现以CD为x轴，CB为y轴建立平面直角坐标系．
（1）画出平面直角坐标系，并求当k＝4时，这条抛物线的解析式；
（2）当k＝5时，求运动员落水点与点C的距离；
（3）图中CE米．CF＝5米，若跳水运动员在区域EF内（含点E，F）入水时才能达到训练要求，求k的取值范围．
23．（10分）已知抛物线y＝ax2+bx+b2﹣b（a≠0）．
（1）若b＝2a，求抛物线的对称轴；
（2）若a＝1，且抛物线的对称轴在y轴右侧．
①当抛物线顶点的纵坐标为1时，求b的值；
②点（﹣3，y1），（﹣1，y2），（3，y3）在抛物线上，若y1＞y3＞y2，请直接写出b的取值范围．
24．（12分）如图1，已知⊙O的内接四边形ABCD，AB∥CD，BC∥AD，AB＝6，BC＝8．
（1）求证：四边形ABCD为矩形．
（2）如图2，E是上一点，连接CE交AD于点F，连接AC．
①当点D是中点时，求线段DF的长度．
②当16S△DCF＝3S四边形ABCD时，试证明点E为的中点．
（3）如图3，点E是⊙O上一点（点E不与A、C重合），连接EA、EC、OE，点Ⅰ是△AEC的内心，点M在线段OE上，且ME＝2MO，则线段MI的最小值为 ．中小学教育资源及组卷应用平台
杭州市2024-2025学年九年级上学期期中模拟考试数学（三）
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．（3分）下列图形中，绕某个点旋转72度后能与自身重合的是（ ）
A． B．
C． D．
【思路点拔】如果某一个图形围绕某一点旋转一定的角度（小于360°）后能与原图形重合，那么这个图形就叫做旋转对称图形．
【解答】解：A．旋转90°后能与自身重合，不合题意；
B．旋转72°后能与自身重合，符合题意；
C．旋转60°后能与自身重合，不合题意；
D．旋转45°后能与自身重合，不合题意；
故选：B．
【点评】本题主要考查了旋转对称图形，如果某一个图形围绕某一点旋转一定的角度（小于360°）后能与原图形重合，那么这个图形就叫做旋转对称图形．
2．（3分）将抛物线y＝﹣x2向右平移3个单位，再向上平移2个单位后，抛物线的解析式是（ ）
A．y＝﹣（x+3）2+2 B．y＝﹣（x﹣3）2+2
C．y＝﹣（x+3）2﹣2 D．y＝﹣（x﹣3）2﹣2
【思路点拔】直接利用抛物线平移规律：上加下减，左加右减进而得出平移后的解析式，即可得出解析式．
【解答】解：∵将抛物线y＝﹣x2向右平移3个单位，再向上平移2个单位，
∴平移后的抛物线的解析式为：y＝﹣（x﹣3）2+2．
故选：B．
【点评】此题主要考查了二次函数图象的平移变换，正确掌握平移规律是解题关键．
3．（3分）若钟表的轴心到分针针端的长为5cm，则经过10分钟，分针端转过的弧长是（ ）
A． B． C． D．
【思路点拔】求出10分钟分针转过的角度，利用弧长公式计算即可．
【解答】解：分针经过10分钟旋转的度数为：10＝60°，
则经过10分钟，分针端转过的弧长π，
故选：B．
【点评】本题考查弧长公式，钟表问题，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
4．（3分）若点A（3，y1），B（﹣2，y2），C（0，y3）三点在抛物线y＝x2﹣4x﹣m的图象上，y1，y2，y3的大小关系是（ ）
A．y2＞y3＞y1 B．y1＞y2＞y3 C．y2＞y1＞y3 D．y3＞y1＞y2
【思路点拔】先求出二次函数y＝x2﹣4x﹣m的图象的对称轴，然后根据二次函数的增减性求解．
【解答】解：∵二次函数y＝x2﹣4x﹣m中a＝1＞0，
∴开口向上，对称轴为x2，
∵A（3，y1）的对称点为（1，y1），
∵1＞0＞﹣2，
∴y2＞y3＞y1．
故选：A．
【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
5．（3分）下列事件是必然事件的是（ ）
A．打开电视机，正在播放动画片
B．经过有交通信号灯的路口，遇到红灯
C．过三点画一个圆
D．任意画一个三角形，其内角和是180°
【思路点拔】根据必然事件、不可能事件、随机事件的概念解答．
【解答】解：A、打开电视机，正在播放动画片是随机事件，故本选项错误；
B、经过有交通信号灯的路口，遇到红灯是随机事件，故本选项错误；
C、过平面内任意三点画一个圆是随机事件，故本选项错误；
D、任意画一个三角形，其内角和是180°是必然事件，故本选项正确；
故选：D．
【点评】此题考查了事件的类型，解决本题需要正确理解必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件．不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．
6．（3分）在圆柱形油槽内装有一些油，截面如图所示，已知截面⊙O半径为5cm，油面宽AB为6cm，如果再注入一些油后，油面宽变为8cm，则油面AB上升了（ ）cm．
A．1 B．3 C．3或4 D．1或7
【思路点拔】分两种情况，由垂径定理和勾股定理求出OG、OH的长，即可解决问题．
【解答】解：当油面没超过圆心O，油面宽CD为8cm时，
过O作OG⊥AB于G，交CD于H，连接OA，OC，
则OH⊥CD，
∴AGAB＝3（cm），CHCD＝4（cm），
∵截面⊙O半径为5cm，
∴OA＝5cm，
∴OG4（cm），OH3（cm），
即弦AB的弦心距是4cm，弦CD的弦心距是3cm，
则OG﹣OH＝4﹣3＝1（cm），
即当油面没超过圆心O时，油上升了1cm；
当油面超过圆心O时，
同理得OH'＝3cm，
则OG+OH'＝4+3＝7（cm），
即油面AB上升了7cm；
故选：D．
【点评】本题主要考查了垂径定理的应用以及勾股定理的应用，熟练掌握垂径定理和勾股定理是解题的关键，注意分类讨论．
7．（3分）若二次函数y＝ax2的图象与一次函数y＝3x的图象交于点A（3，m），则a、m的值分别为（ ）
A．﹣1、9 B．﹣1、﹣9 C．1、9 D．1、﹣9
【思路点拔】由点A（3，m）在一次函数y＝3x的图象上，得到m＝3×3，则得m的值，从而得到点A的坐标；由点A在二次函数y＝ax2的图象上，把点A的坐标代入函数关系式得到a的值．
【解答】解：∵A（3，m），
∴m＝3×3＝9，
∴A（3，9），
∴9＝a×32，
∴a＝1．
故选：C．
【点评】本题考查了函数图象上的点的坐标与函数关系式的关系的应用，熟练掌握函数图象上的点的坐标满足函数解析式是解决本题的关键．
8．（3分）如图，点O为正五边形ABCDE的中心，连接OA，OE，则∠AOE的度数为（ ）
A．72° B．54° C．60° D．36°
【思路点拔】根据正n边形的中心角的度数为，进行求解即可．
【解答】解：由题意，得：∠AOE的度数为；
故选：A．
【点评】本题考查了正多边形和圆、正五边形的性质，熟记正五边形的中心角的计算方法是解题的关键．
9．（3分）下面的三个问题中都有两个变量：
①汽车从甲地匀速行驶到乙地，汽车的剩余路程y与行驶时间x；
②将一些相同的练习册摞在一起，这些练习册的总厚度y与本数x；
③将水箱中的水匀速放出，直至放完，水箱中的剩余水量y与放水时间x．
其中，变量y与变量x之间的函数关系可以用如图所示的图象表示的是（ ）
A．①②③ B．①③ C．①② D．②③
【思路点拔】①根据汽车的剩余路程y随行驶时间x的增加而减小判断即可；②根据练习册总厚度与本数关系判断即可；③根据水箱中的剩余水量y随放水时间x的增大而减小判断即可．
【解答】解：汽车从A地匀速行驶到B地，根据汽车的剩余路程y随行驶时间x的增加而减小，
故①符合题意；
本数越多厚度越厚，故②不符合题意；
将水箱中的水匀速放出，直至放完，根据水箱中的剩余水量y随放水时间x的增大而减小，
故③符合题意；
所以变量y与变量x之间的函数关系可以用如图所示的图象表示的是①③．
故选：B．
【点评】本题考查了函数的图象，掌握函数图象表示的意义是解题的关键．
10．（3分）如图，△ABC中，∠ABC＝60°，∠ACB＝75°，点D是BC边上一个动点，以AD为直径作⊙O，分别交AB，AC于点E，F，若弦EF长度的最小值为6，则AB的长为（ ）
A． B． C． D．
【思路点拔】首先连接OE，OF，过O点作OH⊥EF，垂足为H，可求得半径OE的长，又由当AD为△ABC的边BC上的高时，AD最大时为直径，OE最大，OH最大，EF最小，可求得AD的长，由三角函数的性质，即可求得AB的长．
【解答】解：如图，连接OE，OF，过O点作OH⊥EF，垂足为H，
∴EH＝FHEF6＝3，
在△ADB中，∠ABC＝60°，∠ACB＝75°，
∴∠BAC＝45°，
∴∠EOF＝2∠BAC＝90°，
∵OE＝OF，
∴∠EOH∠EOF＝45°，
∴OE3，
∵当AD为△ABC的边BC上的高时，直径AD最短，即OE最小，则EF最小，
∴AD＝2OE＝6，
∴AB4．
故选：B．
【点评】此题考查了圆周角定理、勾股定理以及三角函数的性质．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用．
二．填空题（共6小题，满分24分，每小题4分）
11．（4分）已知⊙O的半径为3，且点A到圆心的距离是5，则点A与⊙的位置关系是 点A在⊙O外 ．
【思路点拔】根据点与圆的位置关系的判定方法进行判断．
【解答】解：∵⊙O的半径为3，点A与点O的距离为5，
即A与点O的距离大于圆的半径，
所以点A在⊙O外．
故答案为：点A在⊙O外．
【点评】本题考查了点与圆的位置关系：点的位置可以确定该点到圆心距离与半径的关系，反过来已知点到圆心距离与半径的关系可以确定该点与圆的位置关系．
12．（4分）抛物线y＝﹣3（x﹣2）2﹣2的顶点坐标为 （2，﹣2） ．
【思路点拔】根据题目中的抛物线，可以写出该抛物线的顶点坐标，本题得以解决．
【解答】解：∵物线y＝﹣3（x﹣2）2﹣2，
∴该抛物线的顶点坐标为（2，﹣2），
故答案为：（2，﹣2）．
【点评】本题考查二次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．
13．（4分）不透明的袋子里放有2个红球和若干枚白球，从中随机摸出一个球是白球的概率为A；现从中取出一个红球不放回（白球个数不改变），从中随机摸出一个球是白球的概率变为B．若BA（A≠0），则袋子中的白球有 3 个．
【思路点拔】设袋子中的白球有x个，根据概率公式列出方程，求出x的值，即可得出答案．
【解答】解：设袋子中的白球有x个，根据题意得：
，
解得：x1＝3，x2＝0（不符合题意，舍去），
经检验x＝3是原方程的解，
答：袋子中的白球有3个；
故答案为：3．
【点评】此题考查了概率公式．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
14．（4分）函数y与y＝ax2﹣a（a≠0）在同一平面直角坐标系中的图象可能是 C、D ．
【思路点拔】根据反比例函数的性质和二次函数的性质，利用分类讨论的方法可以得到两个函数图象所在的象限，从而可以解答本题．
【解答】解：当a＞0时，函数y的图象在第一、三象限，函数y＝ax2﹣a的图象开口向上，顶点在y轴的负半轴，故选项B错误，选项D正确；
当a＜0时，函数y的图象在第二、四象限，函数y＝ax2﹣a的图象开口向下，顶点在y轴的正半轴，故选项A错误，选项C正确；
故答案为：C、D．
【点评】本题考查反比例函数的图象、二次函数的图象，利用数形结合的思想解答是解答本题的关键．
15．（4分）如图，⊙O与△OAB的边AB相切，切点为B．将△OAB绕点B按顺时针方向旋转得到△O'A'B'，使点O'落在⊙O上，边A'B交线段AO于点C．若∠A'＝25°，则∠OCB＝ 85 度．
【思路点拔】连结OO′，先证△BOO′为等边三角形，求出∠AOB＝∠OBO′＝60°，由⊙O与△OAB的边AB相切，可求∠CBO＝＝30°，利用三角形内角和公式即可求解．
【解答】解：连结OO′，
∵将△OAB绕点B按顺时针方向旋转得到△O'A'B'，
∴BO′＝BO＝OO′，
∴△BOO′为等边三角形，
∴∠OBO′＝60°，
∵⊙O与△OAB的边AB相切，
∴∠OBA＝∠O′BA′＝90°，
∴∠CBO＝90°﹣∠OBO′＝90°﹣60°＝30°，
∵∠A′＝25°，
∴∠A′O′B＝90°﹣∠A′＝90°﹣25°＝65°，
∴∠AOB＝∠A′O′B＝65°，
∴∠OCB＝180°﹣∠COB﹣∠OBC＝180°﹣65°﹣30°＝85°．
故答案为：85．
【点评】本题考查图形旋转性质，切线性质，等边三角形判定与性质，直角三角形性质，掌握图形旋转性质，切线性质，等边三角形判定与性质，直角三角形性质是解题关键．
16．（4分）如图，锐角△ABC内接于⊙O，BD⊥AC于点D，OM⊥AB于点M，且OM＝3，CD＝4，BD＝8，则⊙O的半径为 3 ．
【思路点拔】连接AO并延长交⊙O于E，连接BE，根据相似三角形的性质得到，根据勾股定理求出AE，根据三角形中位线定理计算，得到答案．
【解答】解：连接AO并延长交⊙O于E，连接BE，
则∠E＝∠C，∠ABE＝90°，
∵BD⊥AC，
∴∠BDC＝90°，
∴∠BDC＝∠ABE，
∴△BDC∽△ABE，
∴，
∴，
设BE＝x，AB＝2x，
∴AEx，
∵OM⊥AB，
∴OM∥BE，
∵AO＝OE，AM＝BM，
∴OMBEx＝3，
∴x＝6，
∴AE＝6，
∴AO＝3，即⊙O的半径为3．
【点评】本题考查的是三角形的外接圆与外心，掌握圆周角定理、三角形中位线定理、相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．
三．解答题（共8小题，满分66分）
17．（6分）已知二次函数y＝﹣x2+2mx﹣4m+4的图象经过原点，求该二次函数的解析式．
【思路点拔】把原点坐标代入y＝﹣x2+2mx﹣4m+4中求出m即可得到得抛物线解析式．
【解答】解：把（0，0）代入y＝﹣x2+2mx﹣4m+4得﹣4m+4＝0，解得m＝1，
所以抛物线解析式为y＝﹣x2+2x．
【点评】本题考查了求二次函数的解析式，利用待定系数法是解题关键．
18．（6分）如图，⊙O为锐角△ABC的外接圆，半径为4．
（1）用尺规作图作出∠BAC的平分线，并标出它与劣弧的交点E（保留作图痕迹，不写作法）；
（2）若（1）中的点E到弦BC的距离为3，求弦BC的长．
【思路点拔】（1）根据基本作图方法即可用尺规作图作出∠BAC的平分线；
（2）根据（1）中的点E到弦BC的距离为3，根据垂径定理和勾股定理即可求弦BC的长．
【解答】解：（1）如图所示，AE为所求平分线；
（2）连接OE交BC于F，连接OC，如图，
∵AE平分∠BAC，
∴∠BAE＝∠CAE，
∴，
∴OE⊥BC，
∴EF＝3，BC＝2CF，
∴OF＝4﹣3＝1，
在Rt△OCF中，CF，
∴BC．
【点评】本题考查了作图﹣复杂作图、垂径定理、三角形的外接圆与外心，解决本题的关键是掌握垂径定理．
19．（6分）已知函数y＝2x2﹣（3﹣k）x+k2﹣3k﹣10的图象经过原点，试确定k的值．
【思路点拔】根据函数y＝2x2﹣（3﹣k）x+k2﹣3k﹣10的图象经过原点，可以得到关于k的一元二次方程，从而可以求得k的值．
【解答】解：∵函数y＝2x2﹣（3﹣k）x+k2﹣3k﹣10的图象经过原点，
∴0＝2×02﹣（3﹣k）×0+k2﹣3k﹣10，
∴k2﹣3k﹣10＝0，
∴（k﹣5）（k+2）＝0，
解得，k1＝5，k2＝﹣2，
即k的值是5或﹣2．
【点评】本题考查二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．
20．（8分）在一个不透明袋子中装有1个红球，1个绿球和n个白球，这些球除颜色外均相同．
（1）从袋中随机摸出一个球，记录其颜色后放回，搅匀后再随机摸出一个球，经过大量重复该实验，发现摸到绿球的频率值稳定于0.2，则n的值是 3 ；
（2）当n＝2时，从该不透明的袋子中一次摸出两个球，求摸出的两个球颜色不同的概率．（用“画树状图”或“列表”的方法写出分析过程）
【思路点拔】（1）根据绿球的频率稳定在0.2附近得到绿球的概率约为0.2，根据绿球个数确定出总个数，进而确定出白球个数；
（2）根据题意画出树状图得出所有等情况数和摸出的两个球颜色不同的情况数，然后利用概率公式求解即可．
【解答】解：（1）根据题意得：0.2，
解得：n＝3，
则n的值为3，
故答案为：3；
（2）根据题意画图如下：
共有12种等情况数，其中摸出的两个球颜色不同的有10种，
则摸出的两个球颜色不同的概率是．
【点评】此题考查了利用频率估计概率，解答此题的关键是了解绿球的频率稳定在0.2附近即为概率约为0.2．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
21．（8分）已知：如图，AB为⊙O的直径，AC为⊙O的弦，D为⊙O上异于A、C的一点．
（1）若AD＝CD，∠ADC＝130°，则∠DAB＝ 65° ．
（2）连接OD，BC，若OD∥BC，求证：AD＝CD．
【思路点拔】（1）连接BC，想办法求出∠DAC，∠CAB可得结论．
（2）想办法证明OD⊥AC，利用垂径定理，可得结论．
【解答】（1）解：连接BC．
∵AB是直径，
∴∠ACB＝90°，
∵DA＝DC，∠ADC＝130°，
∴∠DAC＝∠DCA（180°﹣130°）＝25°，
∵∠ADC+∠ABC＝180°，
∴∠ABC＝180°﹣130°＝50°，
∴∠CAB＝90°﹣50°＝40°，
∴∠DAB＝∠DAC+∠CAB＝25°+40°＝65°，
故答案为：65°．
（2）证明：连接OD．
∵AB是直径，
∴∠ACB＝90°，即AC⊥CB，
∵OD∥BC，
∴OD⊥AC，
∵OD是半径，
∴，
∴AD＝DC．
【点评】本题考查圆周角定理，垂径定理，圆内接四边形的性质，等腰三角形的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，属于中考常考题型．
22．（10分）某跳水运动员在进行跳水训练时，身体（看成一点）在空中的运动路线是如图所示的一条抛物线，已知跳板AB长为2米，跳板距水面CD的高BC为3米，训练时跳水曲线在离起跳点水平距离1米时达到距水面最大高度k米，现以CD为x轴，CB为y轴建立平面直角坐标系．
（1）画出平面直角坐标系，并求当k＝4时，这条抛物线的解析式；
（2）当k＝5时，求运动员落水点与点C的距离；
（3）图中CE米．CF＝5米，若跳水运动员在区域EF内（含点E，F）入水时才能达到训练要求，求k的取值范围．
【思路点拔】（1）根据抛物线顶点坐标M（3，4），可设抛物线解析为：y＝a（x﹣3）2+4，将点A（2，3）代入可得；
（2）先根据（1）中方法求出函数解析式，再令y＝0，求出x即可；
（3）若跳水运动员在区域EF内（含点E，F）入水达到训练要求，则在函数y＝a（x﹣3）2+k中当x米，y≥0，当x＝5米时y≤0，解不等式即可得．
【解答】解：（1）如图所示：
根据题意，可得抛物线顶点坐标M（3，4），A（2，3），
设抛物线解析为：y＝a（x﹣3）2+4，
则3＝a（2﹣3）2+4，
解得：a＝﹣1，
故抛物线解析式为：y＝﹣（x﹣3）2+4；
（2）根据题意，抛物线解析式为：y＝a（x﹣3）2+5，
把点A（2，3）代入解析式得：3＝a×（2﹣3）2+5，
解得：a＝﹣2，
抛物线解析式为：y＝﹣2（x﹣3）2+5，
由题意可得：当y＝0，则0＝﹣2（x﹣3）2+5，
解得：x1＝3，x2＝3，
故抛物线与x轴交点为：（3，0），（3，0），
当k＝5时，运动员落水点与点C的距离为3米；
（3）根据题意，抛物线解析式为：y＝a（x﹣3）2+k，
将点A（2，3）代入可得：a+k＝3，即a＝3﹣k
若跳水运动员在区域EF内（含点E，F）入水，
则当x时，ya+k≥0，即（3﹣k）+k≥0，
解得：k，
当x＝5时，y＝4a+k≤0，即4（3﹣k）+k≤0，
解得：k≥4，
故4≤k．
【点评】此题主要考查了二次函数的应用，根据题意利用顶点式求出二次函数解析式是解题基础，判断入水的位置对应的抛物线上点的坐标特点是解题关键．
23．（10分）已知抛物线y＝ax2+bx+b2﹣b（a≠0）．
（1）若b＝2a，求抛物线的对称轴；
（2）若a＝1，且抛物线的对称轴在y轴右侧．
①当抛物线顶点的纵坐标为1时，求b的值；
②点（﹣3，y1），（﹣1，y2），（3，y3）在抛物线上，若y1＞y3＞y2，请直接写出b的取值范围．
【思路点拔】（1）根据对称轴公式即可求得；
（2）①根据对称轴在y轴右侧即可判断b＜0，根据顶点公式即可求得；
②根据题意得出，即可得到﹣2＜b＜0．
【解答】解：（1）抛物线的对称轴为直线，
∵b＝2a，
∴x＝﹣1，
∴抛物线的对称轴为直线x＝﹣1．
（2）①当a＝1时，抛物线y＝x2+bx+b2﹣b，
∴抛物线的对称轴为直线，
∵抛物线的对称轴在y轴右侧，
∴，
∴b＜0，
∵该抛物线顶点的纵坐标为1，
∴，解得：，b2＝2，
又∵b＜0，
∴．
②当a＝1时，抛物线y＝x2+bx+b2﹣b，
∴抛物线的对称轴为直线，
∵点（﹣3，y1），（﹣1，y2），（3，y3）在抛物线上，且y1＞y3＞y2，
∴，
∴﹣2＜b＜0．
【点评】本题主要考查图象与二次函数系数之间的关系，二次函数的性质以及二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握对称轴方程以及顶点公式是解题的关键．
24．（12分）如图1，已知⊙O的内接四边形ABCD，AB∥CD，BC∥AD，AB＝6，BC＝8．
（1）求证：四边形ABCD为矩形．
（2）如图2，E是上一点，连接CE交AD于点F，连接AC．
①当点D是中点时，求线段DF的长度．
②当16S△DCF＝3S四边形ABCD时，试证明点E为的中点．
（3）如图3，点E是⊙O上一点（点E不与A、C重合），连接EA、EC、OE，点Ⅰ是△AEC的内心，点M在线段OE上，且ME＝2MO，则线段MI的最小值为 5 ．
【思路点拔】（1）先判定四边形ABCD是平行四边形，再运用平行四边形的性质和矩形的判定即可证得结论；
（2）①先证明△CDF∽△ADC，利用相似三角形性质可得：即，即可求得答案；
②如图2，过点F作FD′⊥AC，根据16S△DCF＝3S四边形ABCD，可求得：DF＝3，AF＝5，再证明△FD′A∽△CDA，运用相似三角形性质可求得FD′＝3，再运用等腰三角形性质即可证得结论；
（3）如图3，连接AI、CI，过点O作O′O″⊥AC交⊙O于O′、O″，先判断出点I的运动路径为分别以O′、O″为圆心，O′A为半径的两段弧，点M的运动路径为以O为圆心，OM为半径的圆，当MI取得最小值时，点I在OE上，此时，OI＝55，根据ME＝2MO，可得OMOE，MI的最小值为：MI＝OI﹣OM＝5．
【解答】（1）证明：如图1，∵AB∥CD，BC∥AD，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∴∠A＝∠C，
∵四边形ABCD内接于⊙O，
∴∠A+∠C＝180°，
∴∠A＝∠C＝90°，
∴ ABCD是矩形；
（2）①解：∵点D是的中点，
∴，
∴∠ECD＝∠DAC，
∵∠CDF＝∠ADC＝90°，
∴△CDF∽△ADC，
∴即，
∴DF；
②证明：如图2，过点F作FD′⊥AC，
∵16S△DCF＝3S四边形ABCD，
∴166×DF＝3×6×8，
∴DF＝3，
∴AF＝8﹣3＝5，
∵∠DAC＝∠D′AF，∠FD′A＝∠ADC＝90°，
∴△FD′A∽△CDA，
∴，
∴，
∴FD′＝3，
∵DF＝D′F＝3，FD′⊥AC，FD⊥CD，
∴CF平分∠DCA，
∴∠ECD＝∠ECA，
∴点E为的中点．
（3）如图3，连接AI、CI，过点O作O′O″⊥AC交⊙O于O′、O″，
∵点Ⅰ是△AEC的内心，
∴∠AIC＝90°∠AEC＝135°，
∴点I的运动路径为分别以O′、O″为圆心，O′A为半径的两段弧，
∵∠ABC＝90°，AB＝6，BC＝8，
∴AC10，
∴O′A＝O′C＝5，即⊙O′的半径为5，
∵点M在线段OE上，且ME＝2MO，
∴OMOE5，即点M的运动路径为以O为圆心，OM为半径的圆，
∵MI取得最小值时，点I在OE上，此时，OI＝55，
∴MI的最小值为：MI＝OI﹣OM＝555，
故答案为：5．
【点评】本题是圆的综合题，考查了圆内接四边形的性质，平行四边形的判定和性质，矩形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，圆的性质，三角形内心，勾股定理等，第（3）小题中判断出点I、M的运动路径是解题关键．
