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杭州市2024-2025学年九年级上学期期中模拟考试数学（一）
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．（3分）若线段a，b，c，d成比例，且线段a，b，c的长分别为1cm，4 cm，2cm，则线段d的长为（ ）
A．2cm B．4cm C．8cm D．16cm
2．（3分）如图，在菱形ABCD中，E是AB边上的中点，作EF∥BC，交对角线AC于点F．若EF＝6，则CD的长为（ ）
A．24 B．18 C．16 D．12
3．（3分）如图，已知点A（16，0），O为坐标原点，P是线段OA上任意一点（不含端点O，A），过P，O两点的二次函数y1和过P，A两点的二次函数y2的图象开口均向下，它们的顶点分别为B，C，射线OB与AC相交于点D，当OD＝AD＝10时，这两个二次函数的最大值之和等于（ ）
A．10 B．8 C．6 D．4
4．（3分）如图，已知⊙O的半径为5，AB是⊙O的弦，AB＝8，Q为AB中点，P是圆上的一点（不与A、B重合），连接PQ，则PQ的最小值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．8
5．（3分）将分别标有“精”“准”“扶”“贫”汉字的四个小球装在一个不透明的口袋中，这些球除汉字外无其它差别，每次摸球前先搅拌均匀，随机摸出一球，放回后；再随机摸出一球，两次摸的球上的汉字组成词语“扶贫”的概率是（ ）
A． B． C． D．
6．（3分）如图，在△ABC中，DE∥BC，若，则（ ）
A． B． C． D．
7．（3分）如图，矩形ABCD的两条对角线相交于点O，CE垂直平分DO，AB＝4，则BE等于（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
8．（3分）对于抛物线y＝ax2+4ax﹣m（a≠0）与x轴的交点为A（﹣1，0），B（x2，0），则下列说法：
①一元二次方程ax2+4ax﹣m＝0的两根为x1＝﹣1，x2＝﹣3；
②原抛物线与y轴交于点C，CD∥x轴交抛物线于D点，则CD＝4；
③点E（1，y1）、点F（﹣4，y2）在原抛物线上，则y1＞y2；
④抛物线y＝﹣ax2﹣4ax+m与原抛物线关于x轴对称．其中正确的有（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
9．（3分）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的部分图象如图所示，图象过点（﹣1，0），对称轴为直线x＝1，下列结论：①abc＜0；②b＜c；③3a+c＝0；④对于任意实数m，a+b≥am2+bm．其中正确的结论有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
10．（3分）如图，在平行四边形ABCD中，以对角线AC为直径的⊙O分别交BC，CD于M，N．若AB＝13，BC＝14，CM＝9，则AN的长度为（ ）
A．12 B．15 C． D．
二．填空题（共6小题，满分24分，每小题4分）
11．（4分）已知，则 ．
12．（4分）已知，如图，直线a∥b∥c，直线m，n分别与直线a，b，c交于点A、B、C、D、E、F，若AB：BC＝4：7，DE＝2.8cm，则EF＝ cm．
13．（4分）现有50件包装完全相同的产品，其中有2件不合格的产品，现随机从这批产品中抽取1件，则抽到不合格的产品的概率是 ．
14．（4分）如图，将Rt△ABC沿CB方向平移得到Rt△EFD，D为BC的中点，连接AE．以点D为圆心，以ED的长为半径画，分别交AC于点M，交EF于点N．若∠ABC＝30°，AC＝2，则图中阴影部分的面积为 ．
15．（4分）方程（2x+1）2+3（2x+1）＝0的解为 ．
16．（4分）如图，AD＝AE，BE＝CD，∠1＝∠2，∠C＝50°，那么∠B＝ 度．
三．解答题（共7小题，满分66分）
17．（6分）已知二次函数的图象经过原点及点（，），且图象与x轴的另一交点到原点的距离为1，求该二次函数解析式．
18．（8分）等腰三角形ABC的顶角∠A＝100°，两腰AB、AC的垂直平分线相交于点P，试判断点P在△ABC的内部、外部，还是在BC边上．请画图说明理由．
19．（8分）掷一枚质地均匀的骰子，观察向上一面的点数，求下列事件的概率：
（1）点数为4；
（2）点数为偶数；
（3）点数大于2且小于6．
20．（10分）二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数，且a≠0）中的x与y的部分对应值如表．
x …… ﹣1 0 2 3 ……
y …… 0 ﹣3 ﹣3 0 ……
（1）求二次函数解析式；
（2）若此抛物线与y轴交于点P，点Q（m，n）为抛物线上一个动点，当此抛物线在点P与点Q之间部分（含点P和点Q）最高点与最低点的纵坐标之差为2时，求m的值．
（3）横、纵坐标都是整数的点叫做整点，若此抛物线与x轴交于点A、B（A在B的左边），经过点A的直线y＝kx+b与抛物线位于第四象限的图象交于点M，若线段AB、AM、BM围成的区域（不含边界）内有3个整点，直接写出k的取值范围．
21．（10分）已知⊙O中，直径AC长为12，MA、MB分别切⊙O于点A，B，弦AD∥BM．
（1）如图1，若∠AMB＝120°，求∠C的大小和弦CD的长；
（2）如图2，过点C的切线分别与AD、MB的延长线交于点E，F，且，求弦CD的长．
22．（12分）如图，抛物线y＝﹣x2+b的顶点C在y轴正半轴上，与x轴交于A、B两点（A点在B点左边），OA＝OC．
（1）求抛物线的解析式
（2）点P在第四象限，点Q在第二象限，且AP∥BQ；
①如图2，若四边形APBQ的面积为2，求直线AP的解析式；
②如图3，直线AQ、BP分别交y轴于E、F两点，求OE+OF的值．
23．（12分）综合与实践
动手操作
如图1，在Rt△ABC中，∠C＝90°，将△ABC绕点A逆时针旋转90°得到△AED．延长ED分别交CB于点F，交AB于点G，连接AF．
思考探究
（1）∠CAF＝ °，∠EAG＝ °；
（2）若BC＝（1）AC，则①∠DAG＝ °；② ，请证明你的结论；
开放拓展
（3）如图2，若改变旋转角，已知AC＝3，BC＝4，当∠EAF＝90°时，△AFB的面积为 ．中小学教育资源及组卷应用平台
杭州市2024-2025学年九年级上学期期中模拟考试数学（一）
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．（3分）若线段a，b，c，d成比例，且线段a，b，c的长分别为1cm，4 cm，2cm，则线段d的长为（ ）
A．2cm B．4cm C．8cm D．16cm
【思路点拔】根据a、b、c、d是成比例线段，得a：b＝c：d，再根据比例的基本性质，求出d的值即可．
【解答】解：∵线段a，b，c，d成比例，
∴a：b＝c：d，
∵a＝1cm，b＝4cm，c＝2cm，
∴d＝8cm．
故选：C．
【点评】本题考查了比例线段，写比例式的时候一定要注意顺序，再根据比例的基本性质进行求解．
2．（3分）如图，在菱形ABCD中，E是AB边上的中点，作EF∥BC，交对角线AC于点F．若EF＝6，则CD的长为（ ）
A．24 B．18 C．16 D．12
【思路点拔】根据已知可得到EF是△ABC的中位线，从而得到BC＝2EF，进而求出CD的长．
【解答】解：∵E是AB边上的中点，EF∥BC，
∴EF是△ABC的中位线，
∴BC＝2EF＝12，
∵四边形ABCD是菱形，
∴CD＝BC＝12．
故选：D．
【点评】此题主要考查菱形的性质以及中位线的性质，属于基础性题目．
3．（3分）如图，已知点A（16，0），O为坐标原点，P是线段OA上任意一点（不含端点O，A），过P，O两点的二次函数y1和过P，A两点的二次函数y2的图象开口均向下，它们的顶点分别为B，C，射线OB与AC相交于点D，当OD＝AD＝10时，这两个二次函数的最大值之和等于（ ）
A．10 B．8 C．6 D．4
【思路点拔】过B作BF⊥OA于F，过D作DE⊥OA于E，过C作CM⊥OA于M，则BF+CM是这两个二次函数的最大值之和，BF∥DE∥CM，求出AE＝OE＝8，DE＝6．设P（2x，0），根据二次函数的对称性得出OF＝PF＝x，推出△OBF∽△ODE，△ACM∽△ADE，得出，，代入求出BF和CM，相加即可求出答案．
【解答】解：过B作BF⊥OA于F，过D作DE⊥OA于E，过C作CM⊥OA于M，
∵BF⊥OA，DE⊥OA，CM⊥OA，
∴BF∥DE∥CM，
∵OD＝AD＝10，DE⊥OA，
∴OE＝EAOA＝8，
由勾股定理得：DE6．
设P（2x，0），根据二次函数的对称性得出OF＝PF＝x，
∵BF∥DE∥CM，
∴△OBF∽△ODE，△ACM∽△ADE，
∴，，
∵AM＝PM（OA﹣OP）（16﹣2x）＝8﹣x，
即，，
解得：BFx，CM＝6x，
∴BF+CM＝6．
故选：C．
【点评】此题考查了二次函数的最值，勾股定理，等腰三角形的性质，以及相似三角形的性质和判定的应用，正确运用相关知识是解题关键．
4．（3分）如图，已知⊙O的半径为5，AB是⊙O的弦，AB＝8，Q为AB中点，P是圆上的一点（不与A、B重合），连接PQ，则PQ的最小值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．8
【思路点拔】连接OP、OA，根据垂径定理求出AQ，根据勾股定理求出OQ，计算即可．
【解答】解：由题意得，当点P为劣弧的中点时，PQ最小，
连接OP、OA，
由垂径定理得，点Q在OP上，AQAB＝4，
在Rt△AOQ中，OQ3，
∴PQ＝OP﹣OQ＝2，
故选：B．
【点评】本题考查的是垂径定理、勾股定理，掌握垂径定理的推论是解题的关键．
5．（3分）将分别标有“精”“准”“扶”“贫”汉字的四个小球装在一个不透明的口袋中，这些球除汉字外无其它差别，每次摸球前先搅拌均匀，随机摸出一球，放回后；再随机摸出一球，两次摸的球上的汉字组成词语“扶贫”的概率是（ ）
A． B． C． D．
【思路点拔】画树状图，共有16个等可能的结果，两次摸的球上的汉字组成词语“扶贫”的结果有2个，再由概率公式求解即可．
【解答】解：画树状图如图：
共有16个等可能的结果，两次摸的球上的汉字组成词语“扶贫”的结果有2个，
∴两次摸的球上的汉字组成词语“扶贫”的概率为，
故选：C．
【点评】此题考查了列表法与树状图法求概率；用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
6．（3分）如图，在△ABC中，DE∥BC，若，则（ ）
A． B． C． D．
【思路点拔】由，可求得，又由DE∥BC，根据平行线分线段成比例定理，可得．
【解答】解：∵，
∴，
∵DE∥BC，
∴．
故选：C．
【点评】此题考查了平行线分线段成比例定理，比例的性质，注意掌握比例线段的对应关系是解此题的关键．
7．（3分）如图，矩形ABCD的两条对角线相交于点O，CE垂直平分DO，AB＝4，则BE等于（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
【思路点拔】由矩形的性质得出OA＝OB＝OD＝OC，证明△ODC，△OAB都是等边三角形即可解决问题．
【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴OA＝OB＝OD＝OC，
∵CE垂直平分相等OD，
∴CO＝CD，
∴OC＝OD＝CD，
∵△OCD，△AOB都是等边三角形，
∴OB＝AB＝OD＝4，OE＝DECD＝2，
∴BE＝OB+OE＝4+2＝6，
故选：C．
【点评】本题考查矩形的性质、等边三角形的判断和性质、线段的垂直平分线的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．
8．（3分）对于抛物线y＝ax2+4ax﹣m（a≠0）与x轴的交点为A（﹣1，0），B（x2，0），则下列说法：
①一元二次方程ax2+4ax﹣m＝0的两根为x1＝﹣1，x2＝﹣3；
②原抛物线与y轴交于点C，CD∥x轴交抛物线于D点，则CD＝4；
③点E（1，y1）、点F（﹣4，y2）在原抛物线上，则y1＞y2；
④抛物线y＝﹣ax2﹣4ax+m与原抛物线关于x轴对称．其中正确的有（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【思路点拔】由抛物线的对称轴x＝﹣2及其与x轴的交点A（﹣1，0），利用对称性可得另一交点即可判断①；根据抛物线的对称性及对称轴x＝﹣2可得CD的长，即可判断②；根据抛物线与x轴的交点及二次函数的增减性，结合开口方向可判断③；根据关于x轴的对称的图形横坐标相等、纵坐标为相反数可判断④．
【解答】解：①∵抛物线y＝ax2+4ax﹣m的对称轴为x2，
∴由抛物线与x轴的交点A（﹣1，0）知抛物线与x轴的另一个交点B的坐标为（﹣3，0），
则一元二次方程ax2+4ax﹣m＝0的两根为x1＝﹣1，x2＝﹣3，故①正确，符合题意；
②根据题意，设C（0，﹣m），D（n，﹣m），
由抛物线的对称轴为x＝﹣2知（0+n）＝﹣2，得n＝﹣4，
∴CD＝|n﹣0|＝|n|＝4，故②正确；
③由题意知，函数的对称轴为x＝﹣2，点（﹣4，0）比（1，0）离x轴近，
∴当抛物线开口向上时，y2＜y1，
而当抛物线开口向下时，y2＞y1，故③错误，不符合题意；
④抛物线y＝ax2+4ax﹣m关于x轴对称的抛物线为﹣y＝ax2+4ax﹣m，即y＝﹣ax2﹣4ax+m，故④正确，符合题意；
综上，正确的是①②④，
故选：B．
【点评】本题主要考查抛物线与x轴的交点问题，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键．
9．（3分）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的部分图象如图所示，图象过点（﹣1，0），对称轴为直线x＝1，下列结论：①abc＜0；②b＜c；③3a+c＝0；④对于任意实数m，a+b≥am2+bm．其中正确的结论有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【思路点拔】由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．
【解答】解：①对称轴位于x轴的右侧，则a，b异号，即ab＜0．
抛物线与y轴交于正半轴，则c＞0．
∴abc＜0．
故①正确；
②∵抛物线开口向下，
∴a＜0．
∵抛物线的对称轴为直线x1，
∴b＝﹣2a．
∵x＝﹣1时，y＝0，
∴a﹣b+c＝0，
而b＝﹣2a，
∴c＝﹣3a，
∴b﹣c＝﹣2a+3a＝a＜0，
即b＜c，
故②正确；
③∵x＝﹣1时，y＝0，
∴a﹣b+c＝0，
而b＝﹣2a，
∴c＝﹣3a，
∴3a+c＝0．
故③正确；
④当x＝1时，y最大＝a+b+c，当x＝m时，y＝am2+bm+c，因此有a+b≥am2+bm，
故④正确；
综上所述，正确的结论有：4个，
故选：D．
【点评】考查了抛物线与x轴的交点，二次函数图象上点的坐标特征，二次函数图象与系数的关系．二次函数y＝ax2+bx+c系数符号的确定由抛物线开口方向、对称轴、与y轴的交点有关．
10．（3分）如图，在平行四边形ABCD中，以对角线AC为直径的⊙O分别交BC，CD于M，N．若AB＝13，BC＝14，CM＝9，则AN的长度为（ ）
A．12 B．15 C． D．
【思路点拔】连接AM，由AC为⊙O的直径，推出∠AMC＝90°＝∠AMB，∠ANC＝90°＝∠AND，在 Rt△AMB中，勾股定理求出AM的长，利用平行四边形的性质得到∠B＝∠D，AD＝BC＝14，证明△AMB∽△AND，得到，代入数值计算可得AN的长度．
【解答】解：连接AM，
∵AC为⊙O的直径，
∴∠AMC＝90°＝∠AMB，∠ANC＝90°＝∠AND，
在 Rt△AMB中，BM＝BC﹣CM＝14﹣9＝5，
∴，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠B＝∠D，AD＝BC＝14，
又∵∠AMB＝∠AND
∴△AMB∽△AND
∴，
∴，
∴，
故选：C．
【点评】本题考查平行四边形的性质，圆周角定理，相似三角形的判定和性质，熟练掌握圆周角定理和相似三角形的判定定理是解题的关键．
二．填空题（共6小题，满分24分，每小题4分）
11．（4分）已知，则 ．
【思路点拔】直接利用已知用同一未知数表示出x，y，z的值，进而化简得出答案．
【解答】解：∵，
∴设x＝4a，则y＝3a，z＝2a，
则．
故答案为：．
【点评】此题主要考查了比例的性质，正确表示出各数是解题关键．
12．（4分）已知，如图，直线a∥b∥c，直线m，n分别与直线a，b，c交于点A、B、C、D、E、F，若AB：BC＝4：7，DE＝2.8cm，则EF＝ 4.9 cm．
【思路点拔】根据平行线所截线段对应成比例直接求解即可得到答案．
【解答】解：∵a∥b∥c，
∴，
∵AB：BC＝4：7，DE＝2.8cm，
∴（cm），
故答案为：4.9；
【点评】本题考查平行线所截线段对应成比例，解题的关键是熟练掌握此知识点．
13．（4分）现有50件包装完全相同的产品，其中有2件不合格的产品，现随机从这批产品中抽取1件，则抽到不合格的产品的概率是 ．
【思路点拔】有50件包装完全相同的产品，其中有2件不合格的产品，直接根据概率公式求解即可．
【解答】解：∵50件外观相同的产品中有2件不合格，
∴从中随机抽取1件进行检测，抽到不合格产品的概率是；
故答案为：．
【点评】本题考查了概率公式：随机事件A的概率P（A）＝事件A可能出现的结果数除以所有可能出现的结果数．
14．（4分）如图，将Rt△ABC沿CB方向平移得到Rt△EFD，D为BC的中点，连接AE．以点D为圆心，以ED的长为半径画，分别交AC于点M，交EF于点N．若∠ABC＝30°，AC＝2，则图中阴影部分的面积为 ．
【思路点拔】如图，连接DM，DN，EM．证明△DEM，△DEN都是等边三角形，推出阴影部分的面积等于△AME的面积．
【解答】解：如图，连接DM，DN，EM．
在Rt△ACB中，∵∠C＝90°，∠ABC＝30°，AC＝2，
∴AB＝EF＝2AC＝4．BCAC＝2，
∵DM＝DE＝AC＝2，CD＝DB，
∴CM1，
∴AM＝CM，
∵CD＝DB，
∴DM∥AB，
∴∠MDC＝∠ABC＝30°，
∴∠EDM＝60°，
∵DE＝DM，
∴△DEM是等边三角形，
∵DE＝DN，∠DEN＝60°，
∴△DEN是等边三角形，
∴∠MDE＝∠EDN＝60°，
∴S扇形DEF＝S扇形DEN，
∴S阴＝S△AEM AM AE，
故答案为．
【点评】本题考查扇形的面积，等边三角形的判定和性质，三角形的面积等知识，解题的关键是学会用转化的扇形思考问题，属于中考常考题型．
15．（4分）方程（2x+1）2+3（2x+1）＝0的解为 x1，x2＝﹣2 ．
【思路点拔】利用提取公因式法因式分解，进一步解方程即可．
【解答】解：（2x+1）2+3（2x+1）＝0
（2x+1）（2x+4）＝0
2x+1＝0，2x+4＝0，
x1，x2＝﹣2．
故答案为：x1，x2＝﹣2．
【点评】此题考查利用因式分解法解一元二次方程，注意运用合理的方法因式分解．
16．（4分）如图，AD＝AE，BE＝CD，∠1＝∠2，∠C＝50°，那么∠B＝ 50 度．
【思路点拔】此题根据已知添加可以利用SAS判定△ADF≌△AEF，再证全等，利用全等三角形的对应角相等得出∠B＝∠C＝50°．
【解答】解：∵AD＝AE，∠1＝∠2，AF＝AF，
∴△ADF≌△AEF（SAS），
∴DF＝EF，
又BE＝CD，
∴BF＝CF，
又∠DFB＝∠EFC，
∴△DFB≌△EFC，
∠B＝∠C，
∵∠C＝50°，
∴∠B＝50°．
故填50．
【点评】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、SSA、HL．
三．解答题（共7小题，满分66分）
17．（6分）已知二次函数的图象经过原点及点（，），且图象与x轴的另一交点到原点的距离为1，求该二次函数解析式．
【思路点拔】由于点（，）不在坐标轴上，与原点的距离为1的点有两种情况：点（1，0）和（﹣1，0），所以用待定系数法求解需分两种情况：
（1）经过原点及点（，）和点（﹣1，0），设y＝ax（x+1），可得y＝x2+x；
（2）经过原点及点（，）和点（1，0），设y＝ax（x﹣1），则得yx2x．
【解答】解：根据题意得，与x轴的另一个交点为（1，0）或（﹣1，0），因此要分两种情况：
（1）过点（﹣1，0），设y＝ax（x+1），则a（1），解得：a＝1，
∴抛物线的解析式为：y＝x2+x；
（2）过点（1，0），设y＝ax（x﹣1），则a（1），解得：a，
∴抛物线的解析式为：yx2x．
所以该二次函数解析式为yx2x或y＝x2+x．
【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点，二次函数的解析式的求法．解题的关键是分类讨论思想的运用．
18．（8分）等腰三角形ABC的顶角∠A＝100°，两腰AB、AC的垂直平分线相交于点P，试判断点P在△ABC的内部、外部，还是在BC边上．请画图说明理由．
【思路点拔】根据题意画出草图分析，根据等腰三角形性质可得∠ABC＝∠C＝40°，证明Rt△AMP≌Rt△APO，得∠PAM＝∠PAC＝50°，根据线段垂直平分线性质知，∠PBA＝∠PAB＝50°＞∠ABC，即可得解．
【解答】解：点P在△ABC的外部，
理由是：如图所示，设垂直平分线MN、OQ相交于点P．
∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠C．
∵∠BAC＝100°，
∴∠ABC＝（180°﹣100°）÷2＝40°．
∵AMAB，AOAC，
∴AM＝AO，
在Rt△AMP和Rt△AOP中，
，
∴Rt△AMP≌Rt△AOP，
∴∠PAM＝∠PAC＝50°．
∵MN垂直平分AB，
∴PA＝PB．
∴∠PBA＝∠PAB＝50°＞∠ABC，
∴点P在△ABC的外部．
【点评】此题考查了等腰三角形性质、线段的垂直平分线性质等知识点，如何判断交点位置是关键．
19．（8分）掷一枚质地均匀的骰子，观察向上一面的点数，求下列事件的概率：
（1）点数为4；
（2）点数为偶数；
（3）点数大于2且小于6．
【思路点拔】（1）根据概率公式直接求解即可；
（2）用偶数的个数除以总数的个数即可得出答案；
（3）先找出点数大于2且小于6的个数，再除以总个数即可得出答案．
【解答】解：（1）P（点数为4）．
（2）点数为偶数的有3种可能，即点数为2，4，6，则P（点数为偶数）．
（3）点数大于2且小于6的有3种可能，即点数为3，4，5，
则P（点数大于2且小于6）．
【点评】此题考查概率的求法：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种可能，那么事件A的概率P（A）．
20．（10分）二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数，且a≠0）中的x与y的部分对应值如表．
x …… ﹣1 0 2 3 ……
y …… 0 ﹣3 ﹣3 0 ……
（1）求二次函数解析式；
（2）若此抛物线与y轴交于点P，点Q（m，n）为抛物线上一个动点，当此抛物线在点P与点Q之间部分（含点P和点Q）最高点与最低点的纵坐标之差为2时，求m的值．
（3）横、纵坐标都是整数的点叫做整点，若此抛物线与x轴交于点A、B（A在B的左边），经过点A的直线y＝kx+b与抛物线位于第四象限的图象交于点M，若线段AB、AM、BM围成的区域（不含边界）内有3个整点，直接写出k的取值范围．
【思路点拔】（1）利用待定系数法解得即可；
（2）利用分类讨论的方法分两种情况解答：当点Q在对称轴的左侧时，和当点Q在对称轴的右侧时，利用已知条件求得点Q的纵坐标，代入抛物线解析式即可求得横坐标m的值；
（3）通过分析找出3个整点，并确定直线AM经过点的临界点，利用待定系数法求得对应的k值，结合图形即可求得k的取值范围．
【解答】解：（1）由题意得：
，解得：．
∴二次函数解析式为y＝x2﹣2x﹣3．
（2）令x＝0，则y＝﹣3，
∴P（0，﹣3）．
∵y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，
∴抛物线的顶点坐标为（1，﹣4）．
当点Q在对称轴的左侧时，
∵此抛物线在点P与点Q之间部分（含点P和点Q）最高点与最低点的纵坐标之差为2，
此时点P是最低点，点Q是最高点，
∴点Q的纵坐标为﹣1，
令y＝﹣1，则x2﹣2x﹣3＝﹣1．
解得：x＝1±（正数不合题意舍去）．
∴Q（1，﹣1）．
∴m＝1．
当点Q在对称轴的右侧时，
∵此抛物线在点P与点Q之间部分（含点P和点Q）最高点与最低点的纵坐标之差为2，
此时顶点（1，﹣4）是最低点，点Q是最高点，
∴点Q的纵坐标为﹣2，
令y＝﹣2，则x2﹣2x﹣3＝﹣2．
解得：x＝1±（负数不合题意舍去）．
∴Q（1，﹣2）．
∴m＝1．
综上，当此抛物线在点P与点Q之间部分（含点P和点Q）最高点与最低点的纵坐标之差为2时，m的值为1或1．
（3）由题意得：线段AB、AM、BM围成的区域（不含边界）内有3个整点，
则这3个整点为（1，﹣1），（2，﹣1），（2，﹣2），
∴直线AM必经过点（1，﹣2）或经过（1，﹣2）与（2，﹣2）之间的点，不包括（2，﹣2），
∴直线AM必经过点（1，﹣2）时，
，解得：．
∴k≥﹣1．
直线AM必经过点（2，﹣2）时，
，解得：．
∴k．
综上，k的取值范围为﹣1≤k．
【点评】本题主要考查了待定系数法求得函数的解析式，二次函数的性质，抛物线上点的坐标的特征，配方法求抛物线的顶点坐标，一次函数图象的性质，一次函数图象上点的坐标的特征，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
21．（10分）已知⊙O中，直径AC长为12，MA、MB分别切⊙O于点A，B，弦AD∥BM．
（1）如图1，若∠AMB＝120°，求∠C的大小和弦CD的长；
（2）如图2，过点C的切线分别与AD、MB的延长线交于点E，F，且，求弦CD的长．
【思路点拔】（1）利用平行线的性质和圆的切线的性质定理求得∠EAC的度数，再利用圆周角定理和含30°角的直角三角形的性质解答即可得出结论；
（2）连接OB，OF，OM，利用切线的性质定理和全等三角形的判定与性质得到FC＝FB，MB＝MA；利用切线的性质定理和平行四边形的判定定理得到四边形AMFE为平行四边形，则MF＝AE，MA＝EF；设CE＝5k，则EF＝4k，在Rt△AEC中，利用勾股定理列出关于k的方程，解方程求得k值，最后利用三角形的面积公式解答即可得出结论．
【解答】解：（1）∵AD∥BM，
∴∠AMB+∠MAD＝180°，
∵∠AMB＝120°，
∴∠MAD＝60°．
∵MA切⊙O于点A，
∴OA⊥AM，
∴∠EAC＝30°．
∵AC为⊙O的直径，
∴∠ADC＝90°，
∴CDAC＝6；
（2）连接OB，OF，OM，如图，
∵FC，FB为⊙O的切线，
∴OC⊥FC，OB⊥FB，
在Rt△FCO和Rt△FBO中，
，
∴Rt△FCO≌Rt△FBO（HL），
∴FC＝FB，
同理：MB＝MA．
∵FC，MA为⊙O的切线，
∴AC⊥FC，MA⊥AC，
∴MA∥FC，
∵AD∥BM，
∴四边形AMFE为平行四边形，
∴MF＝AE，MA＝EF．
∵，
∴设CE＝5k，则EF＝4k，
∴MA＝MB＝EF＝4k，FC＝FB＝9k，
∴MF＝MB+FB＝13k，
∴AE＝MF＝13k．
在Rt△AEC中，
∵AC2+EC2＝AE2，
∴122+（5k）2＝（13k）2，
∵k＞0，∴k＝1．
∴EC＝5，AE＝13．
∵AC为⊙O的直径，
∴∠ADC＝90°，
∴CD为斜边AE上的高，
∵AC ECAE CD，
∴AC EC＝AE CD，
∴CD．
【点评】本题主要考查了圆的有关性质，圆周角定理，圆的切线的性质定理，平行线的性质，含30°角的直角三角形的性质，平行四边形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，连接经过切点的半径是解决此类问题常添加的辅助线．
22．（12分）如图，抛物线y＝﹣x2+b的顶点C在y轴正半轴上，与x轴交于A、B两点（A点在B点左边），OA＝OC．
（1）求抛物线的解析式
（2）点P在第四象限，点Q在第二象限，且AP∥BQ；
①如图2，若四边形APBQ的面积为2，求直线AP的解析式；
②如图3，直线AQ、BP分别交y轴于E、F两点，求OE+OF的值．
【思路点拔】（1）由题意可得点C的坐标，求出OC的长，再根据OA＝AC，得出点A的坐标，代入解析式，求出b的值，即可求出抛物线解析式；
（2）①设出直线AP的解析式，可求出直线BQ的解析式，进而可求出点P和点Q的坐标，根据四边形APBQ的面积为2，可求出直线AP的解析式；
②根据①中点P和点Q的坐标，分别求出直线BP和直线AQ的表达式，表达出点E和F的坐标，求出OE和OF的长即可．
【解答】解：（1）∵抛物线y＝﹣x2+b的顶点C在y轴正半轴上，
∴C（0，b），且b＞0，
∴OC＝b，
∵OA＝OC，
∴OA＝b，
∴A（﹣b，0），
∵抛物线y＝﹣x2+b与x轴交于A，
∴0＝﹣b2+b，解得b＝0（舍）或b＝1，
∴抛物线的解析式为：y＝﹣x2+1．
（2）由抛物线解析式可知，A（﹣1，0），B（1，0），
①设直线AP的表达式为：y＝k（x+1）＝kx+k，
∵AP∥BQ，
∴直线BQ的解析式为：y＝k（x﹣1）＝kx﹣k，
联立，解得，
∴P（﹣k+1，﹣k2+2k），
同理可得，Q（﹣k﹣1，﹣k2﹣2k），
∵四边形APBQ的面积为2，
∴S＝S△ABQ+S△ABP2（﹣k2﹣2k）2（k2﹣2k）＝2，解得k，
∴直线AP的表达式为：yx．
②由①知P（﹣k+1，﹣k2+2k），Q（﹣k﹣1，﹣k2﹣2k），B（1，0），A（﹣1，0），
设直线BP的表达式为：y＝m（x﹣1），直线AQ的表达式为：y＝n（x+1），
∴m（﹣k+1﹣1）＝﹣k2+2k，n（﹣k﹣1+1）＝﹣k2﹣2k，解得m＝k﹣2，n＝k+2，
∴直线BP的表达式为：y＝（k﹣2）（x﹣1），直线AQ的表达式为：y＝（k+2）（x+1），
∵直线AQ、BP分别交y轴于E、F两点，
∴E（0，﹣k+2），F（0，k+2），
∴OE＝﹣k+2，OF＝k+2，
∴OE+OF＝4．
【点评】本题属于函数综合题，主要涉及待定系数法求函数解析式，一次函数与抛物线交点问题，题目思路不复杂，关键在于计算．
23．（12分）综合与实践
动手操作
如图1，在Rt△ABC中，∠C＝90°，将△ABC绕点A逆时针旋转90°得到△AED．延长ED分别交CB于点F，交AB于点G，连接AF．
思考探究
（1）∠CAF＝ 45 °，∠EAG＝ 90 °；
（2）若BC＝（1）AC，则①∠DAG＝ 22.5 °；② ，请证明你的结论；
开放拓展
（3）如图2，若改变旋转角，已知AC＝3，BC＝4，当∠EAF＝90°时，△AFB的面积为 ．
【思路点拔】（1）由旋转的性质可得∠CAD＝∠BAE＝90°，AC＝AD，BC＝DE，∠C＝∠ADE＝90°，可证四边形ACFD是正方形，∠EAG＝90°，可求∠CAF＝45°；
（2）由正方形的性质可得∠CAF＝∠AFC＝45°，AC＝CF＝AD＝DF，AFAC，可求BF＝AFAC，可得∠FAB＝∠FBA＝22.5°，由平行线的性质可求∠DAG＝∠FBA＝22.5°，由相似三角形的性质可求；
（3）由勾股定理可求AB＝5，由旋转的性质可求AD＝AC＝3，BC＝DE＝4，AB＝AE＝5，∠C＝∠ADE＝90°，通过证明△ADE∽△FDA，可求AF的长，由三角形的面积公式可求解．
【解答】解：（1）∵将△ABC绕点A逆时针旋转90°得到△AED．
∴∠CAD＝∠BAE＝90°，AC＝AD，BC＝DE，∠C＝∠ADE＝90°，
∴四边形ACFD是正方形，∠EAG＝90°，
∴∠CAF＝45°，
故答案为：45，90；
（2）∵四边形ACFD是正方形，
∴∠CAF＝∠AFC＝45°，AC＝CF＝AD＝DF，AFAC，
∵BC＝（1）AC，
∴BF＝AFAC，
∴∠FAB＝∠FBA，
又∵∠CFA＝∠FAB+∠FBA，
∴∠FAB＝∠FBA＝22.5°，
∵AD∥BC，
∴∠DAG＝∠FBA＝22.5°，
∵AD∥BC，
∴△ADG∽△BFG，
∴，
故答案为：22.5，；
（3）∵AC＝3，BC＝4，∠C＝90°，
∴AB5，
∵将△ABC绕点A逆时针旋转90°得到△AED．
∴AD＝AC＝3，BC＝DE＝4，AB＝AE＝5，∠C＝∠ADE＝90°，
∴∠E+∠EAD＝90°，
∵∠EAF＝90°，
∴∠EAD+∠FAD＝90°，
∴∠E＝∠FAD，
又∵∠ADE＝∠ADF＝90°，
∴△ADE∽△FDA，
∴，
∴，
∴AF，
∴CF，
∴BF＝BC﹣CF＝4，
∴△AFB的面积3，
故答案为：．
【点评】本题是几何变换综合题，考查了相似三角形的判定和性质，勾股定理，旋转的性质，正方形的判定和性质等知识，灵活运用这些性质解决问题是本题的关键．
