中小学教育资源及组卷应用平台
杭州市2024-2025学年八年级上学期期中模拟考试数学（一）
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．（3分）下列图案中，不是轴对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
【思路点拔】根据轴对称图形的概念判断即可．
【解答】解：A、是轴对称图形；
B、是轴对称图形；
C、是轴对称图形；
D、不是轴对称图形；
故选：D．
【点评】本题考查的是轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
2．（3分）已知四组线段的长分别如下，以各组线段为边，不能组成三角形的是（ ）
A．1，2，3 B．2，3，4 C．3，4，5 D．2，2，2
【思路点拔】利用三角形的三边关系进行分析即可．
【解答】解：A、1+2＝3，不能组成三角形，故此选项符合题意；
B、2+3＞4，能组成三角形，故此选项不符合题意；
C、3+4＞5，能组成三角形，故此选项不符合题意；
D、2+2＞2，能组成三角形，故此选项不符合题意；
故选：A．
【点评】此题主要考查了三角形的三边关系，关键是掌握在运用三角形三边关系判定三条线段能否构成三角形时并不一定要列出三个不等式，只要两条较短的线段长度之和大于第三条线段的长度即可判定这三条线段能构成一个三角形．
3．（3分）已知a＜b，则下列四个不等式中，不正确的是（ ）
A．2a＜2b B．﹣5a＜﹣5b
C．a﹣2＜b﹣2 D．1.2+a＜1.2+b
【思路点拔】根据不等式的性质逐个选项分析即可．
【解答】解：根据不等式的性质可得：
选项A：根据不等式的性质2，在a＜b的两边同时乘以2，可得2a＜2b，故A正确，不符合题意；
选项B：根据不等式的性质3，在a＜b的两边同时乘以﹣5，可得﹣5a＞﹣5b，故B不正确，符合题意；
选项C：根据不等式的性质1，在a＜b的两边同时减去2，可得a﹣2＜b﹣2，故C正确，不符合题意；
选项D：根据不等式的性质1，在a＜b的两边同时加上1.2，可得1.2+a＜1.2+b，故D正确，不符合题意；
综上，只有选项B不正确．
故选：B．
【点评】本题考查了不等式的性质，属于基础知识的考查，比较简单．
4．（3分）若a、b、c、d都是正数，则在以下命题中，错误的是（ ）
A．若a2+b2+c2＝ab+bc+ca，则a＝b＝c
B．若（a+b+c）（a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ac）＝0，则a＝b＝c
C．若a4+b4+c4+d4＝2（a2b2+c2d2），则a＝b＝c＝d
D．若a4+b4+c4+d4＝4abcd，则a＝b＝c＝d
【思路点拔】由a2+b2+c2＝ab+bc+ac，得（a﹣b）2+（b﹣c）2+（a﹣c）2＝0，
由（a+b+c）（a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ac）＝0，得a＝b＝c，
由a4+b4+c4+d4＝4abcd，得（a2﹣b2）2+（c2﹣d2）2+2（ab﹣cd）2＝0．
【解答】解：由a2+b2+c2＝ab+bc+ac，得（a﹣b）2+（b﹣c）2+（a﹣c）2＝0，则a＝b＝c，故A正确；
由（a+b+c）（a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ac）＝0，得a＝b＝c，故B正确；
由a4+b4+c4+d4＝4abcd，得（a2﹣b2）2+（c2﹣d2）2+2（ab﹣cd）2＝0，则a＝b＝c＝d，故D正确；
故选：C．
【点评】本题考查了命题与证明，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．
5．（3分）在如图中，正确画出AC边上高的是（ ）
A． B．
C． D．
【思路点拔】作哪一条边上的高，即从所对的顶点向这条边或这条边的延长线作垂线即可．
【解答】解：画出AC边上高就是过B作AC的垂线，
故选：C．
【点评】此题主要考查了三角形的高，关键是掌握高的作法．
6．（3分）在△ABC中，已知∠B＝2∠C，∠A＝30°，则这个三角形是（ ）
A．锐角三角形 B．直角三角形
C．钝角三角形 D．无法判断
【思路点拔】根据三角形的内角和定理可求解∠B，∠C的度数，进而可判断三角形的形状．
【解答】解：∵∠A+∠B+∠C＝180°，∠B＝2∠C，∠A＝30°，
∴30°+2∠C+∠C＝180°，
解得∠C＝50°，
∴∠B＝2∠C＝100°，
∴△ABC为钝角三角形．
故选：C．
【点评】本题主要考查三角形的内角和定理，三角形的分类，求解∠B，∠C的度数是解题的关键．
7．（3分）若不等式x≤m的解都是不等式x≤2的解，则m的取值范围是（ ）
A．m≤2 B．m≥2 C．m＜2 D．m＞2
【思路点拔】根据“同小取小”即可得出m的取值范围．
【解答】解：∵不等式x≤m的解都是不等式x≤2的解，
∴m≤2．
故选：A．
【点评】本题考查的是不等式组的解集，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
8．（3分）如图，在△ABC中，∠C＝90°，以点A为圆心，任意长为半径画弧，分别交AC，AB于点M，N，再分别以M，N为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于点O，作射线AO，交BC于点E．已知AC＝3，AB＝5，则CE的长为（ ）
A．1 B． C． D．
【思路点拔】过点E作EH⊥AB于点H．根据S△ABC AC BC AC EC AB EH，求解即可．
【解答】解：过点E作EH⊥AB于点H．
∵AE平分∠CAB，EC⊥AC，EH⊥AB，
∴EC＝EH，
∵∠C＝90°，AC＝3，AB＝5，
∴BC4，
∵S△ABC AC BC AC EC AB EH，
∴EC．
故选：C．
【点评】本题考查作图﹣基本作图，角平分线的性质，勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，利用面积法解决问题．
9．（3分）如图，AB＝AD，点B关于AC的对称点E恰好落在CD上，∠BAD＝140°，则∠ACB的度数为（ ）
A．15° B．20° C．25° D．30°
【思路点拔】连接BE，过A作AF⊥CD于F，依据∠BAC＝∠EAC，∠DAF＝∠EAF，即可得出∠CAF∠BAD，再根据四边形内角和以及三角形外角性质，即可得到∠ACB＝∠ACE＝90°∠BAD．
【解答】解：如图，连接BE，过A作AF⊥CD于F，
∵点B关于AC的对称点E恰好落在CD上，
∴AC垂直平分BE，
∴AB＝AE，
∴∠BAC＝∠EAC，
∵AB＝AD，
∴AD＝AE，
又∵AF⊥CD，
∴∠DAF＝∠EAF，
∴∠CAF∠BAD＝70°，
又∵∠AFE＝90°，
∴Rt△ACF中，∠ACE＝90°﹣70°＝20°，
∴∠ACB＝∠ACE＝20°，
故选：B．
【点评】本题主要考查了轴对称的性质，等腰三角形的性质，解决问题的关键是作辅助线构造四边形AOEF，解题时注意：如果两个图形关于某直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线．
10．（3分）将矩形ABCD沿AE折叠，得如图所示的图形，已知∠CED'＝70°，则∠AED的大小是（ ）
A．50° B．55° C．60° D．70°
【思路点拔】先由∠CED'＝70°得到∠DED'＝110°，然后由折叠得到∠DEA＝∠D'EA，进而求得∠AED的大小．
【解答】解：∵∠CED'＝70°，
∴∠DED'＝180°﹣∠CED'＝110°，
由折叠得，∠DEA＝∠D'EA∠DED'，
∴∠AED110°＝55°，
故选：B．
【点评】本题考查了折叠的性质，解题的关键是利用∠CED'的度数求得∠DED'的度数．
二．解答题（共6小题，满分24分，每小题4分）
11．（4分）如图，△ABC是等边三角形，延长BC到E，使CEBC．点D是边AC的中点，连接ED并延长ED交AB于F求证：
（1）EF⊥AB；
（2）DE＝2DF．
【思路点拔】（1）根据等边三角形的性质得出AC＝BC，∠ACB＝∠B＝60°，求出CD＝CE，根据三角形外角性质和等腰三角形的性质求出∠E＝30°，求出∠BFE即可；
（2）连接BD，求出BD＝DE，根据含30°角的直角三角形的性质得出BD＝2DF，即可得出答案．
【解答】证明：（1）∵△ABC是等边三角形，
∴AC＝BC，∠ACB＝∠B＝60°，
∵D为AC的中点，
∴AD＝CDAC，
∵CEBC，
∴CD＝CE，
∵∠E+∠CDE＝∠ACB＝60°，
∴∠E＝∠CDE＝30°，
∵∠B＝60°，
∴∠EFB＝180°﹣60°﹣30°＝90°，
即EF⊥AB；
（2）连接BD，
∵△ABC是等边三角形，
∴AB＝BC，∠ABC＝60°，
∵D为AC的中点，
∴∠DBC＝∠ABDABC＝30°，
∵∠E＝30°，
∴∠DBC＝∠E，
∴DE＝BD，
∵∠BFE＝90°，∠ABD＝30°，
∴BD＝2DF，
即DE＝2DF．
【点评】本题考查了等边三角形的性质，含30°角的直角三角形的性质，等腰三角形的判定，三角形的外角性质，三角形的内角和定理等知识点，能综合运用定理进行推理是解此题的关键
12．（4分）求不等式3的非正整数的解．
【思路点拔】根据解一元一次不等式基本步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1可得．
【解答】解：2（x﹣3）+6x﹣1＞﹣18，
2x﹣6+6x﹣1＞﹣18，
2x+6x＞﹣18+6+1，
8x＞﹣11，
x，
则不等式的非正整数解为﹣1、0．
【点评】本题主要考查一元一次不等式的整数解，严格遵循解不等式的基本步骤是关键，尤其需要注意不等式两边都乘以或除以同一个负数不等号方向要改变．
13．（4分）如图所示，在△ABC中，DM、EN分别垂直平分AB和AC，交BC于D、E．
（1）∠DAE＝40°，求∠BAC的度数；
（2）若△ADE的周长为18，求BC的长度．
【思路点拔】（1）根据DM垂直平分AB得DA＝DB，则∠DAB＝∠B，进而得∠ADE＝∠DAB+∠B＝2∠B，同理EA＝EC，∠AED＝2∠C，在△ADE中，由三角形内角和定理得∠ADE+∠AED＝180°﹣∠DAE＝140°，则2∠B+2∠C＝140°，进而得∠B+∠C＝70°，然后再根据三角形内角和定理可得∠BAC的度数；
（2）根据△ADE的周长为18得DA+DE+AE＝18，由（1）可知DA＝DB，EA＝EC，则DB+DE+EC＝18，据此可得BC的长．
【解答】解：（1）∵DM垂直平分AB，
∴DA＝DB，
∴∠DAB＝∠B，
∵∠ADE+∠ADB＝180°，∠DAB+∠B+∠ADB＝180°，
∴∠ADE＝∠DAB+∠B＝2∠B，
同理：EA＝EC，∠AED＝2∠C，
∵∠ADE+∠AED+∠DAE＝180°，∠DAE＝40°，
∴∠ADE+∠AED＝180°﹣∠DAE＝140°，
即2∠B+2∠C＝140°，
∴∠B+∠C＝70°，
∴∠BAC＝180°﹣（∠B+∠C）＝110°；
（2）∵△ADE的周长为18，
∴DA+DE+AE＝18，
由（1）可知：DA＝DB，EA＝EC，
∴DB+DE+EC＝18，
∴BC＝18．
【点评】此题主要考查了线段垂直平分线的性质，三角形内角和定理，熟练掌握线段垂直平分线的性质，三角形内角和定理是解决问题的关键．
14．（4分）等腰三角形一个角的平分线与一腰的夹角为35°，求这个等腰三角形的顶角的度数．
【思路点拔】根据等腰三角形的性质可得∠ABC＝∠ACB，然后分三种情况：当顶角的角平分线与一腰的夹角为35°；当底角的角平分线与一腰的夹角为35°，分别进行计算即可解答．
【解答】解：在等腰△ABC中，AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB，
分三种情况：
当顶角的角平分线与一腰的夹角为35°，如图：
AD平分∠BAC，∠BAD＝35°，
∴∠BAC＝2∠BAD＝70°，
∴顶角的度数为70°；
当底角的角平分线与一腰的夹角为35°，如图：
BD平分∠ABC，∠ABD＝35°，
∴∠ABC＝2∠ABD＝70°，
∴∠ABC＝∠ACB＝70°，
∴∠A＝180°﹣∠ABC﹣∠ACB＝40°，
∴顶角的度数为40°；
当底角的角平分线与一腰的夹角为35°，如图：
BD平分∠ABC，∠ADB＝35°，
∴∠ABC＝2∠DBC，
∴∠ABC＝∠C＝2∠DBC，
∵∠ADB是△BCD的一个外角，
∴∠ADB＝∠DBC+∠C＝3∠DBC，
∴∠DBC，
∴∠ABC＝∠C＝2∠DBC，
∴∠A＝180°﹣∠ABC﹣∠C，
∴顶角的度数为；
综上所述：这个等腰三角形的顶角的度数为70°或40°或．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理，分三种情况讨论是解题的关键．
15．（4分）△ABC中，∠B与∠C的平分线交于点O，过O作EF∥BC分别交AB、AC于E、F．
（1）说明：OF与CF的大小关系；
（2）猜想：BE、CF、EF之间存在何种数量关系？并说明理由．
【思路点拔】（1）由BE＝EO，根据等边对等角，可得∠EBO＝∠EOB，又由△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线交于点O，可得∠EBO＝∠OBC，即可判定EF∥BC，则可证得∠FOC＝∠OCB＝∠OCF，由等角对等边，即可证得OF＝CF；
（2）先根据两直线平行内错角相等及角平分线定义，得到∠OBE＝∠EOB，根据等角对等边得到EO＝BE，同理OF＝FC，所以EF＝EO+OF＝BE+CF．
【解答】解：（1）OF＝CF．
理由：∵BE＝EO，
∴∠EBO＝∠EOB，
∵△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线交于点O，
∴∠EBO＝∠OBC，
∴∠EOB＝∠OBC，
∴EF∥BC，
∴∠FOC＝∠OCB＝∠OCF，
∴OF＝CF；
（2）EF＝BE+CF，
∵BO平分∠ABC，
∴∠EBO＝∠OBC，
∵EF∥BC，
∴∠OBC＝∠EOB，
∴∠EBO＝∠EOB；
∴EO＝BE，
同理可得OF＝FC，
∴EO+OF＝BE+FC，
即EF＝BE+CF．
【点评】本题考查了角平分线定义，平行线的性质，等腰三角形的判定和性质等知识点，关键是推出BE＝OE，CF＝OF．
16．（4分）已知：如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝28°，∠EBA＝25°，D是AB的中点．求∠DEB的度数．
【思路点拔】在Rt△ABC中，利用三角形内角和定理，可求出∠ABC的度数，由点D是斜边AB的中点，可得出CD＝BC，利用等边对等角，可求出∠DCB的度数，在△BCD中，利用三角形内角和定理，可求出∠BDC的度数，再在△BDE中，利用三角形内角和定理，可求出∠DEB的度数．
【解答】解：在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝28°，
∴∠ABC＝180°﹣∠ACB﹣∠A＝180°﹣90°﹣28°＝62°，
∵点D是斜边AB的中点，
∴CDAB＝BC，
∴∠DCB＝∠DBC＝62°．
在△BCD中，∠DCB＝∠DBC＝62°，
∴∠BDC＝180°﹣∠DCB﹣∠DBC＝180°﹣62°﹣62°＝56°．
在△BDE中，∠BDE＝56°，∠EBD＝25°，
∴∠DEB＝180°﹣∠BDE﹣∠EBD＝180°﹣56°﹣25°＝99°．
【点评】本题考查了三角形内角和定理、直角三角形斜边上的中线以及等腰三角形的性质，牢记“三角形内角和是180°”是解题的关键．
三．解答题（共8小题，满分66分）
17．（6分）若关于x的不等式组的解集为3≤x≤4，求关于x的不等式ax﹣b＜0的解集．
【思路点拔】先求出不等式组的解集，再求出a、b的值，得出不等式﹣4x﹣6＜0，再求出不等式的解集即可．
【解答】解：，
解不等式①，得x，
解不等式②，得x≤﹣a，
所以不等式组的解集是x≤﹣a，
∵关于x的不等式组的解集为3≤x≤4，
∴3，﹣a＝4，
解得：a＝﹣4，b＝6，
∴﹣4x﹣6＜0，
∴﹣4x＜6，
∴x＞﹣1.5，
即不等式ax﹣b＜0的解集是x＞﹣1.5．
【点评】本题考查了解一元一次不等式组和解一元一次不等式，能根据不等式组的解集求出a、b的值是解此题的关键
18．（6分）判断下列命题的真假，并给出证明．
（1）若a＞b，则a2＞b2．
（2）三角形一条边上的中点到另两边的距离相等．
【思路点拔】（1）通过举反例证明原命题是假命题即可；
（2）通过证明特例符合命题，可得原命题不成立．
【解答】解：（1）若a＞b，则a2＞b2，是假命题，
理由：∵当b＜a＜0时，a2＜b2，
∴原命题是假命题；
（2）三角形一条边上的中点到另两边的距离相等，是假命题，
已知：D为△ABC中BC边的中线，DE⊥AB，DF⊥AC，DE＝DF，
求证：△ABC是等腰三角形．
证明：如图，D为△ABC中BC边的中线，
∵DE⊥AB，DF⊥AC，
∴∠BED＝∠DFC＝90°，
∵在△BDE和△CDF中，
，
∴Rt△DBE≌Rt△DFC（HL），
∴∠B＝∠C，
∴AB＝AC，
∴这个三角形一定是等腰三角形．
∴当三角形不是等腰三角形时，原命题不成立，故原命题是假命题．
【点评】本题考查了命题，举反例证明命题是假命题，掌握相关知识是解题的关键．
19．（6分）尺规作图：已知，在△ABC中P为AB边中点，在AC边上找一点Q，使得．（不写作法，保留作图痕迹）
【思路点拔】作AC的垂直平分线，与AC的交点为Q，根据三角形中位线定理，判定Q即为所求．
【解答】解：如图，分别以点A，B为圆心，以大于为半径画弧交于点M，N，连接MN交AC于点Q，连接PQ，即作AC的垂直平分线，
根据三角形中位线定理，，
故点Q即为所求．
【点评】本题主要考查了作图﹣复杂作图，熟练掌握基本作图和中位线定理是解题的关键．
20．（8分）已知实数x、y满足2x+3y＝1．
（1）用含有x的代数式表示y；
（2）若实数y满足y＞1，求x的取值范围；
（3）若实数x、y满足x＞﹣1，且2x﹣3y＝k，求k的取值范围．
【思路点拔】（1）移项得出3y＝1﹣2x，方程两边都除以3即可；
（2）根据题意得出不等式，求出不等式的解集即可；
（3）解方程组求出x、y，得出不等式组，求出不等式组的解集即可．
【解答】解：（1）2x+3y＝1，
3y＝1﹣2x，；
（2）1，
即1﹣2x＞3，﹣2x＞2，解得x＜﹣1，
即若实数y满足y＞1，x的取值范围是x＜﹣1；
（3）由题意得：
，
①+②得：4x＝1+k，解得x，
①﹣②得：6y＝1﹣k，解得y，
∴原方程组的解为：，
∵x＞﹣1，y，
∴，解得：﹣5＜k≤3，
故k的取值范围为：﹣5＜k≤3．
【点评】本题主要考查不等式的性质，熟练掌握不等式的性质是解决本题的关键．不等式的性质：（1）不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变．（2）不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变．（3）不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．
21．（8分）在解答“判断由长为2、、的线段组成的三角形是不是直角三角形”一题中，小明是这样做的：
解：设a＝2，b、c，因为，
所以由a、b、c组成的三角形不是直角三角形．
你认为小明的解答正确吗？请说明理由．
【思路点拔】根据勾股定理的逆定理，求出两小边的平方和和大边的平方，看看是否相等即可．
【解答】解：小明的做法不正确，
理由是：∵22+（）2＝（）2，
∴由长为2、、的线段组成的三角形是直角三角形．
【点评】本题考查了勾股定理的逆定理的应用，注意：如果两边（两小边）的平方和等于第三边（大边）的平方，那么这个三角形是直角三角形．
22．（8分）高州市深镇仙人洞自然生态风景旅游区有“高州九寨沟”之称，山清水秀，吸引着各方游客．“五一”黄金周为吸引更多的游客，管理处在普通票价每人a元的基础上，订出两种团队票优惠方案：甲方案是团队中两人按原票价购买，其余每人优惠25%；乙方案是按团队人数每人均优惠20%．某团队共18人，应选择哪种优惠方案更合算，共可比另一方案节省多少元？
【思路点拔】设团队人数为x人，甲方案需门票费用共y甲元，乙方案门票费用共y乙元，可列出函数式，且假设一种方案优惠或者消费一样，可列成不等式组求解．并且讨论可得结果．
【解答】解：设团队人数为x人，甲方案需门票费用共y甲元，乙方案门票费用共y&乙元，
依题意得y甲＝（1﹣25%）（x﹣2）a+2a，y乙＝（1﹣20%）ax
设y甲≥y乙即（1﹣25%）（x﹣2）a+2a≥（1﹣20%）ax
解得 x≤10
即当团队人数少于10人时，选择乙方案合算，当团队人数为10人时，
两方案费用一样．当团队人数超过10人时，选择甲方案合算；
当x＝18时，y甲＝14a，y&乙＝14.4a，y乙﹣y甲＝14.4a﹣14a＝0.4a（元）
答：这团队应选择甲方案买票更合算，共可比乙方案节省0.4a元．
【点评】本题考查一元一次不等式的应用，设出人数和钱数，列出函数式，然后根据哪种情况下不多花费列出不等式求解讨论．
23．（12分）如图，AD为△ABC的角平分线．
（1）如图1，若CE⊥AD于点F，交AB于点E，AB＝7，AC＝5．则BE＝ 2 ；
（2）如图2，若AB＝7，AC＝5，△ACD的面积是10，求△ABC的面积；
（3）如图3，若∠C＝2∠B，AB＝m，AC＝n，请直接写出BD的长（用含m，n的式子表示）．
【思路点拔】（1）利用ASA证明△AEF≌△ACF，得AE＝AC＝5，得出答案；
（2）过D作DE⊥AC于E，DF⊥AB于F，根据三角形的面积公式即可得到结论；
（3）在AB上取AN＝AC，可得CD＝DN＝m﹣n，根据△ABD和△ACD的高相等，面积比等于底之比可求出BD的长．
【解答】解：（1）∵AD是△ABC的平分线，
∴∠BAD＝∠CAD，
∵CE⊥AD，
∴∠CFA＝∠EFA，
在△AEF和△ACF中，
，
∴△AEF≌△ACF（ASA），
∴AE＝AC＝5，
∴BE＝AB﹣AC＝7﹣5＝2，
故答案为：2；
（2）过D作DE⊥AC于E，DF⊥AB于F，
∵AD为△ABC的角平分线，
∴DF＝DE，
∵AC＝5，△ACD的面积是10，
∴DE＝4，
∴DF＝4，
∴S△ABDAB DF7×4＝14，
∴△ABC的面积＝24；
（3）在AB上取AN＝AC，
∵AD是△ABC的平分线，
∴∠NAD＝∠CAD，
在△ADN与△ADC中，
，
∴△ADN≌△ADC（SAS），
∴∠AND＝∠C，DN＝CD，
∵∠C＝2∠B，
∴∠AND＝2∠B，
∴∠B＝∠BDN，
∴BN＝DN＝AB﹣AC＝m﹣n，
∴CD＝DN＝m﹣n，
根据△ABD和△ACD的高相等，面积比等于底之比可得：
，
∴，
∴BDm．
【点评】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，角平分线的定义，三角形的面积等知识，利用角的轴对称性构造全等三角形是解题的关键．
24．（12分）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，过点B作直线l，点M在直线l上，连接CM、AM，且CM＝BC，过C点作CN⊥AM交AM于点N．
（1）如图1，请问∠ACN和∠MCN有怎样的数量关系，并证明；
（2）如图2，直线CN交直线l于点H，求证：CH＝HB+HM；
（3）已知BC＝4，在直线l绕点B旋转的过程中，当∠CBM＝15°时，请直接写出MH的长度．
【思路点拔】（1）由等腰三角形的判定与性质可证∠ACN＝∠MCN；
（2）如图2，在直线l上取点D，连接CD，使∠HCD＝90°，则∠DCB＝∠HCM，证明△CBD≌△CMH（ASA），则BD＝HM，CD＝CH，∠CDB＝∠CHM＝45°，由勾股定理得，，由DH＝HB+BD＝HB+HM，可得；
（3）由题意知，分两种情况求解；①如图3，则∠CMB＝∠CBM＝15°，∠MCB＝150°，∠MCA＝∠MCB﹣∠ACB＝60°，，，∠CMN＝60°，由∠MHN＝45°＝∠HMN，可得NH＝MN＝2，由勾股定理求MH即可；②如图4，同理①计算求解即可．
【解答】（1）解：∠ACN＝∠MCN；理由如下：
∵AC＝BC，CM＝BC，
∴AC＝CM，
∵CN⊥AM，
∴∠ACN＝∠MCN；
（2）证明：如图2，在直线l上取点D，连接CD，使∠HCD＝90°，
∴∠HCB+∠DCB＝90°＝∠HCB+∠HCA，即∠DCB＝∠HCA，
∴∠DCB＝∠HCM，
∵BC＝CM，
∴∠CBM＝∠CMB，
∴∠CBD＝∠CMH，
∵∠DCB＝∠HCM，BC＝CM，∠CBD＝∠CMH，
∴△CBD≌△CMH（ASA），
∴BD＝HM，CD＝CH，∠CDB＝∠CHM＝45°，
由勾股定理得，DHCH，
∵DH＝HB+BD＝HB+HM，
∴CH＝HB+HM；
（3）解：MH的长为或．理由如下：
由题意知，分两种情况求解；
①如图3，
∵CM＝BC＝4，∠CBM＝15°，
∴∠CMB＝∠CBM＝15°，
∴∠MCB＝150°，∠MCA＝∠MCB﹣∠ACB＝60°，
∴∠MCN∠MCA＝30°，
∴MNCM＝2，∠CMN＝60°，
∴∠HMN＝∠CMN﹣∠CMB＝45°，
∴∠MHN＝45°＝∠HMN，
∴NH＝MN＝2，
由勾股定理得MH2；
②如图4，
同理可得，∠CMB＝∠CBM＝15°，
∴∠MCB＝150°，∠MCA＝360°﹣∠MCB﹣∠ACB＝120°，
∴∠MCN∠MCA＝60°，∠MCH＝180°﹣∠MCN＝120°，
∴∠CMN＝30°，∠BCH＝∠MCB﹣∠MCH＝30°，
∴CNCM＝2，
由勾股定理得MN2，
∵∠MHN＝∠MBC+∠BCH＝45°，
∴∠HMN＝45°＝∠MHN，
∴NH＝MN＝2，
由勾股定理得MH2；
综上所述，MH的长为2或2．
【点评】本题考查了等腰三角形的判定与性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质，三角形内角和定理，三角形外角的性质，含30°的直角三角形等知识．熟练掌握等腰三角形的判定与性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质，三角形内角和定理，三角形外角的性质，含30°的直角三角形是解题的关键．中小学教育资源及组卷应用平台
杭州市2024-2025学年八年级上学期期中模拟考试数学（一）
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．（3分）下列图案中，不是轴对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
2．（3分）已知四组线段的长分别如下，以各组线段为边，不能组成三角形的是（ ）
A．1，2，3 B．2，3，4 C．3，4，5 D．2，2，2
3．（3分）已知a＜b，则下列四个不等式中，不正确的是（ ）
A．2a＜2b B．﹣5a＜﹣5b
C．a﹣2＜b﹣2 D．1.2+a＜1.2+b
4．（3分）若a、b、c、d都是正数，则在以下命题中，错误的是（ ）
A．若a2+b2+c2＝ab+bc+ca，则a＝b＝c
B．若（a+b+c）（a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ac）＝0，则a＝b＝c
C．若a4+b4+c4+d4＝2（a2b2+c2d2），则a＝b＝c＝d
D．若a4+b4+c4+d4＝4abcd，则a＝b＝c＝d
5．（3分）在如图中，正确画出AC边上高的是（ ）
A． B．
C． D．
6．（3分）在△ABC中，已知∠B＝2∠C，∠A＝30°，则这个三角形是（ ）
A．锐角三角形 B．直角三角形
C．钝角三角形 D．无法判断
7．（3分）若不等式x≤m的解都是不等式x≤2的解，则m的取值范围是（ ）
A．m≤2 B．m≥2 C．m＜2 D．m＞2
8．（3分）如图，在△ABC中，∠C＝90°，以点A为圆心，任意长为半径画弧，分别交AC，AB于点M，N，再分别以M，N为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于点O，作射线AO，交BC于点E．已知AC＝3，AB＝5，则CE的长为（ ）
A．1 B． C． D．
9．（3分）如图，AB＝AD，点B关于AC的对称点E恰好落在CD上，∠BAD＝140°，则∠ACB的度数为（ ）
A．15° B．20° C．25° D．30°
10．（3分）将矩形ABCD沿AE折叠，得如图所示的图形，已知∠CED'＝70°，则∠AED的大小是（ ）
A．50° B．55° C．60° D．70°
二．解答题（共6小题，满分24分，每小题4分）
11．（4分）如图，△ABC是等边三角形，延长BC到E，使CEBC．点D是边AC的中点，连接ED并延长ED交AB于F求证：
（1）EF⊥AB；
（2）DE＝2DF．
12．（4分）求不等式3的非正整数的解．
13．（4分）如图所示，在△ABC中，DM、EN分别垂直平分AB和AC，交BC于D、E．
（1）∠DAE＝40°，求∠BAC的度数；
（2）若△ADE的周长为18，求BC的长度．
14．（4分）等腰三角形一个角的平分线与一腰的夹角为35°，求这个等腰三角形的顶角的度数．
15．（4分）△ABC中，∠B与∠C的平分线交于点O，过O作EF∥BC分别交AB、AC于E、F．
（1）说明：OF与CF的大小关系；
（2）猜想：BE、CF、EF之间存在何种数量关系？并说明理由．
16．（4分）已知：如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝28°，∠EBA＝25°，D是AB的中点．求∠DEB的度数．
三．解答题（共8小题，满分66分）
17．（6分）若关于x的不等式组的解集为3≤x≤4，求关于x的不等式ax﹣b＜0的解集．
18．（6分）判断下列命题的真假，并给出证明．
（1）若a＞b，则a2＞b2．
（2）三角形一条边上的中点到另两边的距离相等．
19．（6分）尺规作图：已知，在△ABC中P为AB边中点，在AC边上找一点Q，使得．（不写作法，保留作图痕迹）
20．（8分）已知实数x、y满足2x+3y＝1．
（1）用含有x的代数式表示y；
（2）若实数y满足y＞1，求x的取值范围；
（3）若实数x、y满足x＞﹣1，且2x﹣3y＝k，求k的取值范围．
21．（8分）在解答“判断由长为2、、的线段组成的三角形是不是直角三角形”一题中，小明是这样做的：
解：设a＝2，b、c，因为，
所以由a、b、c组成的三角形不是直角三角形．
你认为小明的解答正确吗？请说明理由．
22．（8分）高州市深镇仙人洞自然生态风景旅游区有“高州九寨沟”之称，山清水秀，吸引着各方游客．“五一”黄金周为吸引更多的游客，管理处在普通票价每人a元的基础上，订出两种团队票优惠方案：甲方案是团队中两人按原票价购买，其余每人优惠25%；乙方案是按团队人数每人均优惠20%．某团队共18人，应选择哪种优惠方案更合算，共可比另一方案节省多少元？
23．（12分）如图，AD为△ABC的角平分线．
（1）如图1，若CE⊥AD于点F，交AB于点E，AB＝7，AC＝5．则BE＝ ；
（2）如图2，若AB＝7，AC＝5，△ACD的面积是10，求△ABC的面积；
（3）如图3，若∠C＝2∠B，AB＝m，AC＝n，请直接写出BD的长（用含m，n的式子表示）．
24．（12分）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，过点B作直线l，点M在直线l上，连接CM、AM，且CM＝BC，过C点作CN⊥AM交AM于点N．
（1）如图1，请问∠ACN和∠MCN有怎样的数量关系，并证明；
（2）如图2，直线CN交直线l于点H，求证：CH＝HB+HM；
（3）已知BC＝4，在直线l绕点B旋转的过程中，当∠CBM＝15°时，请直接写出MH的长度．
