12.3角的平分线的性质易错精讲与针对性训练（含解析）
文档属性
| 名称 | 12.3角的平分线的性质易错精讲与针对性训练（含解析） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 1.5MB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 人教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2024-11-04 10:05:25 | ||
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文档简介
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12.3角的平分线的性质易错精讲与针对性训练-数学八年级上册人教版
一、单选题
1．如图，平分，于点，若，则到的距离是（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
2．如图，在中，，平分，交于点D，已知，则的面积为（ ）
A．80 B．60 C．20 D．10
3．如图，点是射线上的动点，的平分线和的平分线所在直线相交于点D，连接，若的大小为（ ）
A． B．
C． D．随2点的移动而变化
4．如图，，，的角平分线和的角平分线相交于点D，过D点作于E．若，则（ ）
A．2 B．3 C．3.5 D．4
5．如图，平分，于E点，，则的长为（ ）
A．6 B．4 C．3 D．不能确定
6．如图，已知，垂足分别为交于点O，且平分，那么图中全等三角形共有（ ）
A．3对 B．4对 C．5对 D．6对
7．如图，是中的平分线，于点，于点．，，，则的长是（ ）
A．4 B．3 C．6 D．5
8．如图，OC平分∠AOB，P是OC上一点，PH⊥OB于点H，Q是射线OA上的一个动点，若PH＝3，则PQ长的最小值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
二、填空题
9．如图，中，平分，则的面积是 ；
10．如图，在中，，是的角平分线，若点到的距离为3，，则的长为 ．
11．如图，平分，于点，点是射线上的一个动点，若．则的最小值为 ．
12．如图，在中，为中点，为的角平分线，的面积记为，的面积记为，则和之间的关系表示为 ．
13．如图，是内部的一条射线，P是射线上任意一点，．下列条件：，其中能判定是的平分线的有 ．（填序号）
14．如图，是的角平分线，于点，的面积是15，，，则的长为 ．
15．如图，在中，，平分，，且，则点P到的距离为
16． 如图，在中，，，以点A为圆心，适当长度为半径画弧分别交、于点M和N，再分别以点M，N为圆心画弧，两弧交于点P，连接并延长交于点D，则下列说法：①是的平分线；②；③；④点D到直线的距离等于的长度．其中正确的有 ．
三、解答题
17．如图，在中，是角平分线，E，F分别为上的点，且．与有何数量关系？请说明理由．
18．如图，在的两边上分别取点M，N，连接．若平分，平分．
(1)求证：平分；
(2)若，且与的面积分别是16和24，求线段与的长度之和．
19．如图，于E，于F，若，．求的大小．
20．如图，，平分，平分，且与交于E．求证：
(1)；
(2)．
21．如图，中，点D在边上，，的平分线交于点E，过点E作，垂足为，且，连接．
(1)求的度数．
(2)求证：平分；
(3)若，三角形的面积是18，求的面积．
参考答案：
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 C B C B A B B C
1．C
【分析】本题考查角平分线的知识，解题的关键是掌握角平分线的性质定理，根据题意，则到的距离即为的长．
【详解】∵平分，于点，
∴到的距离等于的长，
∵，
∴到的距离为，
故选：C．
2．B
【分析】解：本题考查了角平分线性质，作辅助线灵活运用角平分线性质；过点D作，垂足为E，根据角平分线性质得到，再用三角形面积即可求出答案．
【详解】解：过点D作，垂足为E，
∵平分，，
∴，
∵，
∴，
故选：B．
3．C
【分析】该题主要考查了角平分线的性质和判定，全等三角形的性质和判定，三角形外角的性质等知识点，解题的关键是正确作出辅助线．
根据题意得出，过点作交于点，作交于点，作交于点，根据角平分线的性质得出，证明，得出，证明，得出是的角平分线，算出，再根据三角形的外角的性质即可求解．
【详解】解：∵的平分线和的平分线所在直线相交于点D，
∴，
∵过点作交于点，作交于点，作交于点，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴是的角平分线，
∵，
∴，
∴，
∴，
故选：C．
4．B
【分析】本题考查了角平分线的性质，三角形的面积等，熟练掌握知识点是解题的关键．连接，过点D作于K，于J，利用面积构建关系式求解即可．
【详解】解：如图，连接，过点D作于K，于J．
∵的角平分线和的角平分线相交于点D，
∴，
∵，，，
∴，
解得，
故选：B．
5．A
【分析】过点D作于点F，证明即可．
本题考查了角的平分线性质，熟练掌握性质是解题的关键．
【详解】解：过点D作于点F，
∵平分，，，
∴，
∵，
∴，
∴，
故选A．
6．B
【分析】本题考查了角平分线的性质，全等三角形的判定与性质等知识．熟练掌握角平分线的性质，全等三角形的判定与性质是解题的关键．
由平分，，可得，证明，则，证明，则，，，，证明，同理，，然后判断作答即可．
【详解】解：∵平分，，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵，，，
∴，
∴，，
∴，，
∵，，，
∴，
同理，，
综上所述，图中全等三角形共有4对，
故选：B．
7．B
【分析】先根据角平分线的性质得到，再利用三角形面积公式得到，然后解关于的方程即可．本题考查了角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．
【详解】解：是的平分线，，，
，
，
，
．
故选：B．
8．C
【分析】本题考查了角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质，垂线段最短的性质，熟记性质是解题的关键．根据垂线段最短可得时，最短，再根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得，从而得解．
【详解】当时，的值最小，
∵平分，，
∴，
∵，
∴的最小值为．
故选：C．
9．15
【分析】本题考查角平分线的性质，根据角平分线的性质得到点到边的距离等于的长，利用面积公式进行计算即可．
【详解】解：∵平分
∴点到边的距离等于的长，
设点到边的距离为，则：，
∴的面积；
故答案为：15．
10．7
【分析】本题主要考查了角平分线的性质，过点D作于E，则，再由角平分线上的点到角两边的距离相等得到，则．
【详解】解：如图所示，过点D作于E，
∵点到的距离为3，
∴，
∵是的角平分线，，，
∴，
∵，
∴，
故答案为：7．
11．
【分析】本题考查了角平分线的性质，点到直线的距离，垂线段最短，根据直线外一点到直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离得出点到的距离为，根据角的平分线上的点到角的两边的距离相等得出点到的距离为，根据从直线外一点到这条直线所作的垂线段最短，得出当时，的值最小是2．
【详解】解：根据题意可得：线段的长表示点到的距离，
∵平分，于点，
∴点到的距离等于点到的距离，
即点到的距离为，
故当时，的值最小，
∴的最小值是2．
故答案为：．
12．
【分析】本题考查角平分线的性质、三角形的中线性质，解答的关键是根据角平分线的性质、三角形的中线性质，得出各三角形的面积关系．先根据角平分线的性质得到，再根据三角形的中线性质得到，进而可得结论．
【详解】解：∵为的角平分线，
∴点D到边、的距离相等，
∵，，的面积为，
∴，
∴，
∵点E为中点，
∴，又的面积为，
∴，
即，
故答案为：．
13．①②③④
【分析】本题考查了角平分线的性质，角平分线的判定，全等三角形的证明，灵活运用所学知识是关键．根据角平分线的性质即可判断①；根据角平分线的判定即可判断②；根据条件证明即可判断③；根据条件证明即可判断④．
【详解】∵，
∴是的平分线，故①正确；
∵，
∴是的平分线，故②正确；
∵，
∴
∵，
∴
∴
∴是的平分线，故③正确；
∵，
∴
∵，
∴
∴
∴是的平分线，故④正确；
故答案为：①②③④．
14．2
【分析】本题考查的是角平分线的性质，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键．
作交的延长线于F，根据角平分线的性质得到，根据三角形的面积公式列式计算即可．
【详解】解：作交的延长线于F，
∵是的角平分线，，，
∴，
∵，
∴，
即，
解得，，
故答案为：2．
15．4
【分析】本题考查了角平分线的性质，先过点P作，由角平分线的性质得出，因为，且，所以，即可作答．
【详解】解：如图：过点P作，
∵平分，，，
∴，
∵，且，
∴，
∴则点P到的距离为4，
故答案为：4．
16．①②③④
【分析】本题主要考查等腰三角形的性质与判定、直角三角形的性质及角平分线的性质定理，熟练掌握等腰三角形的性质与判定、直角三角形的性质及角平分线的性质定理是解题的关键．根据基本作图（作已知角的角平分线）可对①进行判断；利用为角平分线可得，则根据三角形外角性质可计算出，则可对②③进行判断；根据角平分线的性质定理可对④进行判断．
【详解】解：根据作图过程可知是的平分线，故①正确；
∵，，
∴，
∵平分，
∴，
∴，故②正确；
∵，故③正确；
∵垂直平分线上的点到角的两边距离相等，
∴点D到直线的距离等于的长度，故④正确；
综上分析可知：正确的有①②③④；
故答案为：①②③④．
17．，理由见详解
【分析】过点D分别作于点M，于点N，
根据，，可得，再证明，从而问题解决．
【详解】，理由如下：
过点D分别作于点M，于点N，如图，
∴，
∵是角平分线，
∴，
∵，，
∴
在和中，
∵
∴，
∴
18．(1)见解析
(2)20
【分析】本题主要考查了三角形的角平分线．添加垂线，熟练掌握角平分线的判定与性质，三角形面积面积公式求三角形面积，是解题的关键．
（1）过点P作，垂足为C，过点P作，垂足为D，过点P作，垂足为E，先利用角平分线的性质定理可得，再利用角平分线判定定理，即可解答；
（2）根据，，可求出，从而可得，然后再利用，进行计算即可解答．
【详解】（1）如图，过点P作，垂足为C，过点P作，垂足为D，过点P作，垂足为E．
∵平分，，，
∴，
∵平分，，，
∴．
∴，
∴平分；
（2）∵，
∴，
∵，
∴．
∴．
∴．
∵，
∴．
∴．
∴，
即．
∴，
故线段与的长度之和为20．
19．
【分析】本题主要考查了全等三角形和角平分线．熟练掌握全等三角形的判定与性质，角平分线的判定和性质，是解决问题的关键．
首先证明，根据全等三角形的对应边相等，，即可证得是的平分线，据此即可求解．
【详解】解：∵于E，于F，
∴，和都是直角三角形，
在和中，
，
∴，
∴，，
∴平分，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
．
故的大小是．
20．(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题考查角平分线的性质，全等三角形的判定和性质：
（1）过点作，根据角平分线的性质，即可得出结论；
（2）分别证明，，得到，根据平角的定义，得到，即可．
【详解】（1）解：过点作，
∵平分，平分，，
∴，，
∴；
（2）证明：在和中，
，
∴，
∴，
同理：，
∴，
∵，
∴，
∴，即：，
∴
21．(1)
(2)见解析
(3)
【分析】本题考查了角平分线的判定和性质，三角形的内角和定理，三角形外角的性质，三角形面积公式，熟练掌握角平分线上的点到角的两边的距离相等是解题关键．
（1）根据垂直得到，利用三角形外角的性质得到，再根据，即可求出的度数；
（2）过点E作，，根据角平分线的性质得到，，进而得到，再根据角平分线的判定定理即可证明结论；
（3）根据三角形的面积公式求出，再根据三角形的面积公式计算，即可求出的面积．
【详解】（1）解：，
，
，
，
，，
；
（2）证明：过点E作交于点G，交于点H，
∵，，
∴，
由（1）可知，，
∴，
平分，
，，
，
平分，，，
，
，
，，
平分；
（3）解：，
，，，
，
．
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12.3角的平分线的性质易错精讲与针对性训练-数学八年级上册人教版
一、单选题
1．如图，平分，于点，若，则到的距离是（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
2．如图，在中，，平分，交于点D，已知，则的面积为（ ）
A．80 B．60 C．20 D．10
3．如图，点是射线上的动点，的平分线和的平分线所在直线相交于点D，连接，若的大小为（ ）
A． B．
C． D．随2点的移动而变化
4．如图，，，的角平分线和的角平分线相交于点D，过D点作于E．若，则（ ）
A．2 B．3 C．3.5 D．4
5．如图，平分，于E点，，则的长为（ ）
A．6 B．4 C．3 D．不能确定
6．如图，已知，垂足分别为交于点O，且平分，那么图中全等三角形共有（ ）
A．3对 B．4对 C．5对 D．6对
7．如图，是中的平分线，于点，于点．，，，则的长是（ ）
A．4 B．3 C．6 D．5
8．如图，OC平分∠AOB，P是OC上一点，PH⊥OB于点H，Q是射线OA上的一个动点，若PH＝3，则PQ长的最小值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
二、填空题
9．如图，中，平分，则的面积是 ；
10．如图，在中，，是的角平分线，若点到的距离为3，，则的长为 ．
11．如图，平分，于点，点是射线上的一个动点，若．则的最小值为 ．
12．如图，在中，为中点，为的角平分线，的面积记为，的面积记为，则和之间的关系表示为 ．
13．如图，是内部的一条射线，P是射线上任意一点，．下列条件：，其中能判定是的平分线的有 ．（填序号）
14．如图，是的角平分线，于点，的面积是15，，，则的长为 ．
15．如图，在中，，平分，，且，则点P到的距离为
16． 如图，在中，，，以点A为圆心，适当长度为半径画弧分别交、于点M和N，再分别以点M，N为圆心画弧，两弧交于点P，连接并延长交于点D，则下列说法：①是的平分线；②；③；④点D到直线的距离等于的长度．其中正确的有 ．
三、解答题
17．如图，在中，是角平分线，E，F分别为上的点，且．与有何数量关系？请说明理由．
18．如图，在的两边上分别取点M，N，连接．若平分，平分．
(1)求证：平分；
(2)若，且与的面积分别是16和24，求线段与的长度之和．
19．如图，于E，于F，若，．求的大小．
20．如图，，平分，平分，且与交于E．求证：
(1)；
(2)．
21．如图，中，点D在边上，，的平分线交于点E，过点E作，垂足为，且，连接．
(1)求的度数．
(2)求证：平分；
(3)若，三角形的面积是18，求的面积．
参考答案：
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 C B C B A B B C
1．C
【分析】本题考查角平分线的知识，解题的关键是掌握角平分线的性质定理，根据题意，则到的距离即为的长．
【详解】∵平分，于点，
∴到的距离等于的长，
∵，
∴到的距离为，
故选：C．
2．B
【分析】解：本题考查了角平分线性质，作辅助线灵活运用角平分线性质；过点D作，垂足为E，根据角平分线性质得到，再用三角形面积即可求出答案．
【详解】解：过点D作，垂足为E，
∵平分，，
∴，
∵，
∴，
故选：B．
3．C
【分析】该题主要考查了角平分线的性质和判定，全等三角形的性质和判定，三角形外角的性质等知识点，解题的关键是正确作出辅助线．
根据题意得出，过点作交于点，作交于点，作交于点，根据角平分线的性质得出，证明，得出，证明，得出是的角平分线，算出，再根据三角形的外角的性质即可求解．
【详解】解：∵的平分线和的平分线所在直线相交于点D，
∴，
∵过点作交于点，作交于点，作交于点，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴是的角平分线，
∵，
∴，
∴，
∴，
故选：C．
4．B
【分析】本题考查了角平分线的性质，三角形的面积等，熟练掌握知识点是解题的关键．连接，过点D作于K，于J，利用面积构建关系式求解即可．
【详解】解：如图，连接，过点D作于K，于J．
∵的角平分线和的角平分线相交于点D，
∴，
∵，，，
∴，
解得，
故选：B．
5．A
【分析】过点D作于点F，证明即可．
本题考查了角的平分线性质，熟练掌握性质是解题的关键．
【详解】解：过点D作于点F，
∵平分，，，
∴，
∵，
∴，
∴，
故选A．
6．B
【分析】本题考查了角平分线的性质，全等三角形的判定与性质等知识．熟练掌握角平分线的性质，全等三角形的判定与性质是解题的关键．
由平分，，可得，证明，则，证明，则，，，，证明，同理，，然后判断作答即可．
【详解】解：∵平分，，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵，，，
∴，
∴，，
∴，，
∵，，，
∴，
同理，，
综上所述，图中全等三角形共有4对，
故选：B．
7．B
【分析】先根据角平分线的性质得到，再利用三角形面积公式得到，然后解关于的方程即可．本题考查了角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．
【详解】解：是的平分线，，，
，
，
，
．
故选：B．
8．C
【分析】本题考查了角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质，垂线段最短的性质，熟记性质是解题的关键．根据垂线段最短可得时，最短，再根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得，从而得解．
【详解】当时，的值最小，
∵平分，，
∴，
∵，
∴的最小值为．
故选：C．
9．15
【分析】本题考查角平分线的性质，根据角平分线的性质得到点到边的距离等于的长，利用面积公式进行计算即可．
【详解】解：∵平分
∴点到边的距离等于的长，
设点到边的距离为，则：，
∴的面积；
故答案为：15．
10．7
【分析】本题主要考查了角平分线的性质，过点D作于E，则，再由角平分线上的点到角两边的距离相等得到，则．
【详解】解：如图所示，过点D作于E，
∵点到的距离为3，
∴，
∵是的角平分线，，，
∴，
∵，
∴，
故答案为：7．
11．
【分析】本题考查了角平分线的性质，点到直线的距离，垂线段最短，根据直线外一点到直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离得出点到的距离为，根据角的平分线上的点到角的两边的距离相等得出点到的距离为，根据从直线外一点到这条直线所作的垂线段最短，得出当时，的值最小是2．
【详解】解：根据题意可得：线段的长表示点到的距离，
∵平分，于点，
∴点到的距离等于点到的距离，
即点到的距离为，
故当时，的值最小，
∴的最小值是2．
故答案为：．
12．
【分析】本题考查角平分线的性质、三角形的中线性质，解答的关键是根据角平分线的性质、三角形的中线性质，得出各三角形的面积关系．先根据角平分线的性质得到，再根据三角形的中线性质得到，进而可得结论．
【详解】解：∵为的角平分线，
∴点D到边、的距离相等，
∵，，的面积为，
∴，
∴，
∵点E为中点，
∴，又的面积为，
∴，
即，
故答案为：．
13．①②③④
【分析】本题考查了角平分线的性质，角平分线的判定，全等三角形的证明，灵活运用所学知识是关键．根据角平分线的性质即可判断①；根据角平分线的判定即可判断②；根据条件证明即可判断③；根据条件证明即可判断④．
【详解】∵，
∴是的平分线，故①正确；
∵，
∴是的平分线，故②正确；
∵，
∴
∵，
∴
∴
∴是的平分线，故③正确；
∵，
∴
∵，
∴
∴
∴是的平分线，故④正确；
故答案为：①②③④．
14．2
【分析】本题考查的是角平分线的性质，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键．
作交的延长线于F，根据角平分线的性质得到，根据三角形的面积公式列式计算即可．
【详解】解：作交的延长线于F，
∵是的角平分线，，，
∴，
∵，
∴，
即，
解得，，
故答案为：2．
15．4
【分析】本题考查了角平分线的性质，先过点P作，由角平分线的性质得出，因为，且，所以，即可作答．
【详解】解：如图：过点P作，
∵平分，，，
∴，
∵，且，
∴，
∴则点P到的距离为4，
故答案为：4．
16．①②③④
【分析】本题主要考查等腰三角形的性质与判定、直角三角形的性质及角平分线的性质定理，熟练掌握等腰三角形的性质与判定、直角三角形的性质及角平分线的性质定理是解题的关键．根据基本作图（作已知角的角平分线）可对①进行判断；利用为角平分线可得，则根据三角形外角性质可计算出，则可对②③进行判断；根据角平分线的性质定理可对④进行判断．
【详解】解：根据作图过程可知是的平分线，故①正确；
∵，，
∴，
∵平分，
∴，
∴，故②正确；
∵，故③正确；
∵垂直平分线上的点到角的两边距离相等，
∴点D到直线的距离等于的长度，故④正确；
综上分析可知：正确的有①②③④；
故答案为：①②③④．
17．，理由见详解
【分析】过点D分别作于点M，于点N，
根据，，可得，再证明，从而问题解决．
【详解】，理由如下：
过点D分别作于点M，于点N，如图，
∴，
∵是角平分线，
∴，
∵，，
∴
在和中，
∵
∴，
∴
18．(1)见解析
(2)20
【分析】本题主要考查了三角形的角平分线．添加垂线，熟练掌握角平分线的判定与性质，三角形面积面积公式求三角形面积，是解题的关键．
（1）过点P作，垂足为C，过点P作，垂足为D，过点P作，垂足为E，先利用角平分线的性质定理可得，再利用角平分线判定定理，即可解答；
（2）根据，，可求出，从而可得，然后再利用，进行计算即可解答．
【详解】（1）如图，过点P作，垂足为C，过点P作，垂足为D，过点P作，垂足为E．
∵平分，，，
∴，
∵平分，，，
∴．
∴，
∴平分；
（2）∵，
∴，
∵，
∴．
∴．
∴．
∵，
∴．
∴．
∴，
即．
∴，
故线段与的长度之和为20．
19．
【分析】本题主要考查了全等三角形和角平分线．熟练掌握全等三角形的判定与性质，角平分线的判定和性质，是解决问题的关键．
首先证明，根据全等三角形的对应边相等，，即可证得是的平分线，据此即可求解．
【详解】解：∵于E，于F，
∴，和都是直角三角形，
在和中，
，
∴，
∴，，
∴平分，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
．
故的大小是．
20．(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题考查角平分线的性质，全等三角形的判定和性质：
（1）过点作，根据角平分线的性质，即可得出结论；
（2）分别证明，，得到，根据平角的定义，得到，即可．
【详解】（1）解：过点作，
∵平分，平分，，
∴，，
∴；
（2）证明：在和中，
，
∴，
∴，
同理：，
∴，
∵，
∴，
∴，即：，
∴
21．(1)
(2)见解析
(3)
【分析】本题考查了角平分线的判定和性质，三角形的内角和定理，三角形外角的性质，三角形面积公式，熟练掌握角平分线上的点到角的两边的距离相等是解题关键．
（1）根据垂直得到，利用三角形外角的性质得到，再根据，即可求出的度数；
（2）过点E作，，根据角平分线的性质得到，，进而得到，再根据角平分线的判定定理即可证明结论；
（3）根据三角形的面积公式求出，再根据三角形的面积公式计算，即可求出的面积．
【详解】（1）解：，
，
，
，
，，
；
（2）证明：过点E作交于点G，交于点H，
∵，，
∴，
由（1）可知，，
∴，
平分，
，，
，
平分，，，
，
，
，，
平分；
（3）解：，
，，，
，
．
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