12.3角的平分线的性质典型例题与跟踪训练（含解析）

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12.3角的平分线的性质典型例题与跟踪训练-数学八年级上册人教版
一、单选题
1．如图在中，是的平分线，，垂足是E．若，，则为（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
2．如图，已知平分，是上一点，于，若，则点与射线上某一点连线的长度可以是（ ）
A．4 B．8 C．5 D．6
3．如图，在中，，是角平分线，于点E，，，则的面积为（ ）
A．4 B．6 C．8 D．12
4．如图，，和分别平分和，过点，且与垂直，若，则点到的距离是（ ）
A．2 B． C．3 D．
5．如图，平分，在上取一点，作，已知的面积为，点是射线上一动点．则长度的最小值为（ ）
A．1 B．1.5 C．2 D．2.5
6．如图，在中，、分别是、上的点，作，，垂足分别为、，若，，则①平分；②；③；④．这四个结论中正确的有( )
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
7．如图，，以点为圆心，适当长为半径画弧，分别交于点，再分别以点为圆心，大于长为半径画弧，两弧相交于点，画射线，交于点．若，则的大小为（ ）
A． B． C． D．
8．如图，直线，垂足为O，点A是射线上一点，，以为边在右侧作，且满足，若点B是射线上的一个动点（不与点O重合），连接．作的两个外角平分线交于点C，在点B在运动过程中，当线段取最小值时，的度数为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
9．中，，平分，且，则点D到的距离是 ．

10．如图，在中，平分，，若，，则 ．
11．如图，，P是上一动点，则的最小值为 ．

12．如图， ，以 为圆心，任意长为半径画弧，分别交 ， 于点 ， ，画射线 ，以点 为圆心， 为半径画弧交 于点 ，以点 为圆心， 长为半径画弧，交上一步所画弧于点 ，再以点 为圆心， 长为半径画弧，交弧 于点 ，再以点 为圆心， 长为半径画弧，交弧 于点 ，画射线 ，反向延长 ，得到射线 ，画出 的平分线 ，则 ．（用含 的代数式表示）
13．如图，点O是内一点，平分，于点，连接．若，，则的面积是 ．
14． 如图，在中，，，以点A为圆心，适当长度为半径画弧分别交、于点M和N，再分别以点M，N为圆心画弧，两弧交于点P，连接并延长交于点D，则下列说法：①是的平分线；②；③；④点D到直线的距离等于的长度．其中正确的有 ．
15．如图，利用尺规作的平分线，做法如下：①在上分别截取，使；②分别以点D、C为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在内交于一点E；③画射线，射线就是的平分线．在用尺规作角平分线时，用到的三角形全等的判定方法是 ．
16．如图，在Rt中，，的角平分线相交于点P，过P作交的延长线于点F，交于点H，则下列结论①；②；③；④；⑤，正确的序号是 ．
三、解答题
17．如图，四边形中，，E是的中点，平分．
(1)求证：平分；
(2)判断、、之间的数量关系，并证明．
18．如图，，，，、交于点F．
(1)求证：；
(2)求证：平分．
19．如图，是的角平分线，，分别是和的高．求证：垂直平分．

20．如图，中，点在边上， ， 的平分线交于点 ，过点作，交的延长线于点，且 ，连接．
(1)求 的度数；
(2)求证：平分 ；
(3)若，，，且的面积，求的面积．
21．尺规作图：
已知：
求作：内部一点以及线段和，使得于点，于点且．
作法：
①以为圆心，适当长为半径作弧，交于，交于；
②分别以，为圆心，大于的长为半径作弧，两弧在的内部交于点；
③作射线；
④在射线上取一点（不与点，重合），过点作于点，于点．请根据尺规作图过程，
(1)使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹）
(2)求证：．
参考答案：
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 B B B C C B B C
1．B
【分析】本题主要考查角平分线的性质，根据角平分线的性质可得，进而即可求解．
【详解】∵平分，，，
∴，
∵，
∴．
故选：B．
2．B
【分析】本题考查了角平分线的性质，垂线段最短．熟练掌握角平分线上的点到角的两边的距离相等，是解题的关键．
过点P作于点G，设点Q为上某一点，连接，根据角平分线的性质可得，根据，取即可．
【详解】过点P作于点G，设点Q为上某一点，连接，
∵平分，于，，
∴，
∵，
∴，
∴取．
故选：B．
3．B
【分析】本题考查了角平分线的性质；
根据角平分线的性质可得，然后利用三角形的面积公式计算即可．
【详解】解：∵是角平分线，，，
∴，
∴，
故选：B．
4．C
【分析】本题考查的是角平分线的性质，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键．
过点P作于E，根据角平分线的性质得到，，根据，计算即可得到答案．
【详解】解：过点P作于E，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵和分别平分和，，，，
∴，，
∴，
∴，
∴，即点P到的距离是3．
故选：C．
5．C
【分析】本题考查了角平分线的性质，先求解，过P点作于H，根据角平分线的性质得到，然后根据垂线段最短求解．
【详解】解：∵的面积为，，
∴，
∴，
过P点作于H，如图，
平分，，
，
点E是射线上的动点，
的最小值为，
故选：C．
6．B
【分析】本题考查了角平分线的判定定理，全等三角形的判定和性质，等腰三角形性质；根据角平分线的判定定理可判断①；证明出，再利用全等三角形的性质可得，从而可判断②；由，利用等边对等角得，从而有，利用内错角相等两直线平行可得，可判断③；根据已知条件可知与只有一角、一边对应相等，故不能证明两三角形全等，可判断④．
【详解】解：∵，，，
∴平分，故①正确；
∴，
在和中，
，
，
∴，故②正确；
，
，
又∴，
∴，
；故③正确；
④在和中，
只有，两个条件，
不一定全等与（只具备一角一边的两三角形不一定全等）．
综上所述：正确的有①②③，共3个．
故选：B．
7．B
【分析】本题考查了角平分线的尺规作图，以及平行线的性质，根据题意得出平分是解题关键．根据平行线的性质得到，由角平分线的定义，可得，再根据平行线的性质即可解答．
【详解】解：由题意得：平分，
∵，，
∴，
∴
∵，
∴
故选：B．
8．C
【分析】本题主要考查了角平分线．熟练掌握角平分线的性质定理和判定定理，垂线段最短，根据角平分线构造垂线，是解题的关键．
连接，过C作于点D，作于点E，作于点G，根据角平分线性质得到，得到，得到平分，得到，求出，当时，最小，．得到．
【详解】如图，连接，过C作于点D，作于点E，作于点G，
∵平分，平分，
∴，
∴，
∴平分，
∴，
∵，
∴，
∴当时，最小，．
∴．
故选：C．
9．3
【分析】本题主要考查了角平分线的性质，掌握角平分线上的点到角的两边距离相等成为解题的关键．
如图：作，由，平分交于点D．，，即可得点D到的距离为．
【详解】解：如图：作，
∵，平分交于点D，
∴,
∵，，
∴
∴点D到的距离是3．
故答案为3．

10．18
【分析】本题主要考查角平分线的性质．过点作，交于点，利用角平分线的性质得出，根据即可求解．
【详解】解：过点作，交于点，
∵，平分，
∴，
又∵，
∴．
故答案为：18．
11．
【分析】本题考查了垂线段最短和角平分线的性质，根据垂线段最短得出时，的值最小，根据角平分线的性质得出，再求出答案即可，能熟记垂线段最短和角平分线上的点到这个角两边的距离相等是解此题的关键．
【详解】解：如图，过点作的垂线，交于点，

当时，有最小值，
∵，，
∴，
∴的最小值为，
故答案为：．
12．
【分析】本题考查了尺规基本作图-作角等于已知角、作角的平分线，与角平分线相关的角的运算，关键是掌握利用角平分线的定义和角的和差的计算．
根据题意可知，推出，根据角平分线的性质，即可得到．
【详解】解：由作法可得，，
，
为的角平分线，
，
故答案为：．
13．15
【分析】此题考查角平分线的性质，关键是根据角平分线的性质得出解答．
过O作于点E，根据角平分线的性质求出，最后用三角形的面积公式即可解答．
【详解】解：过作于点，
平分，于点，
，
的面积，
故答案为：15．
14．①②③④
【分析】本题主要考查等腰三角形的性质与判定、直角三角形的性质及角平分线的性质定理，熟练掌握等腰三角形的性质与判定、直角三角形的性质及角平分线的性质定理是解题的关键．根据基本作图（作已知角的角平分线）可对①进行判断；利用为角平分线可得，则根据三角形外角性质可计算出，则可对②③进行判断；根据角平分线的性质定理可对④进行判断．
【详解】解：根据作图过程可知是的平分线，故①正确；
∵，，
∴，
∵平分，
∴，
∴，故②正确；
∵，故③正确；
∵垂直平分线上的点到角的两边距离相等，
∴点D到直线的距离等于的长度，故④正确；
综上分析可知：正确的有①②③④；
故答案为：①②③④．
15．
【分析】本题主要考查了角平分线作图和全等三角形的判定，准确分析证明是解题的关键．连接，根据作图的过程证明三角形全等即可．
【详解】解：如图，连接，
根据作图可得：，
，
，
，
射线就是的平分线，
用到的三角形全等的判定方法是，
故答案为：．
16．①②④⑤
【分析】根据角的平分线，三角形内角和定理，三角形外角性质，三角形全等等知识，解答即可．
【详解】解：∵的角平分线相交于点P，
∴，
∵
∴，
∴，
∴，
故①正确；
∵，，
∴，
∵
∴
∴；
故②正确；
∵，
∴，无法得到，
故③错误；
过点D作于点M，
根据，，
得，
∴，
故④正确；
∵，
∴，，，
∵
∴
∴；
∴，
故⑤正确，
故答案为：①②④⑤．
【点睛】本题考查了角的平分线，三角形内角和定理，三角形外角性质，三角形全等等知识，熟练掌握相关知识是解题的关键．
17．(1)见解析
(2)，见解析
【分析】本题考查角平分线的判定与性质，全等三角形的判定与性质．
（1）过点E作于点F，根据角平分线的性质得出，进而得出，再根据角平分线的判定即可得出结论；
（2）证明，根据全等三角形的性质得出，同理，再根据线段的和即可得出结论．
【详解】（1）证明：过点E作于点F，
∵，平分，
∴，
∵E是的中点，
∴，
∴，
又∵，，
∴平分．
（2）解：，理由如下，
∵，
∴在和中，
，
∴，
∴，
同理，
∵，
∴．
18．(1)证明见解析
(2)证明见解析
【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，角平分线的判定定理，作辅助线构造全等三角形是解题关键．
（1）证明即可求解；
（2）过点作于点，于点，证明，得到，即可判定．
【详解】（1）证明：在和中，
，
，
；
（2）证明：如图，过点作于点，于点，
由（1）可知，，
，，
，，
，
在和中，
，
，
，
平分．
19．见解析
【分析】本题主要考查了角平分线的性质，全等三角形的性质与判定，线段垂直平分线的判定；根据角平分线的性质得，证明得到，再由，即可证明结论．
【详解】证明：∵是的角平分线，，分别是和的高，
∴（角平分线的性质）；
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
又∵，
∴垂直平分．
20．(1)
(2)详见解析
(3)
【分析】本题考查了角平分线的判定和性质，三角形外角的性质，三角形面积公式，熟练掌握角平分线上的点到角的两边的距离相等是解题关键．
（1）根据垂直得到，利用三角形外角的性质得到，再根据，即可求出的度数；
（2）过点E作，，根据角平分线的性质得到，，进而得到，再根据角平分线的判定定理即可证明结论；
（3）根据三角形的面积公式求出，再根据三角形的面积公式计算，即可求出的面积．
【详解】（1）解：，
，
，
，
，，
，
（2）证明：过点E作交于点G，交于点H，
由（1）可知，，
平分，
，，
，
平分，，，
，
，
，，
平分；
（3）解：，
，，，
，
．
21．(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题考查了尺规作图，全等三角形的判定和性质；
（1）根据作图步骤补全图形即可；
（2）先证明，可得，再证明，可得结论．
【详解】（1）解：如图所示：
（2）证明：连接．
在和中，
，
∴，
∴，
又∵，，
∴，
∴
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