12.2三角形全等的判定典型例题与跟踪训练（含解析）
文档属性
| 名称 | 12.2三角形全等的判定典型例题与跟踪训练（含解析） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 1.5MB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 人教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2024-11-04 10:08:33 | ||
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文档简介
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12.2三角形全等的判定典型例题与跟踪训练-数学八年级上册人教版
一、单选题
1．如图，小明不小心把一块三角形的陶瓷片打碎成了三块，他经过思考，决定只带碎片①去商店配一块与原来一样的三角形陶瓷片．他用到的判定三角形全等的方法是（ ）
A． B． C． D．
2．如图所示，于点E，于点D，交于点O，且平分，则图中的全等三角形共有（ ）对
A．3 B．4 C．5 D．6
3．如图，在中，，，，线段，，两点分别在线段和过点且垂直于的射线上运动，当和全等时，长为（ ）
A．4 B．6 C．6或8 D．4或8
4．如图，在中，，，，则与的关系为（ ）
A． B．
C． D．
5．如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，则和的关系为（ ）
A． B．
C． D．
6．如图，已知，，下列添加的条件中，下列哪一个选项不能用于判定的选项是（ ）
A． B． C． D．
7．如图，在四边形中，，平分，作于点H．，，则的长度为（ ）
A．3 B．2 C． D．
8．小丽与爸妈在公园里荡秋千．如图，小丽坐在秋千的起始位置A处，与地面垂直，两脚在地面上用力一蹬，妈妈在距地面高的B处接住她后用力一推，爸爸在C处接住她．若妈妈与爸爸到的水平距离分别为和，．爸爸在C处接住小丽时，小丽距离地面的高度是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
9．如图，在 33的方格图中，每个小方格的边长都为1，则与的关系是 ．
10．如图，已知，，请你依据“”添加一个条件 ，使
11．如图，在和中，，，，过A作，垂足为F，交的延长线于点G，连接．四边形的面积为，，则的长是 ．
12．如图，已知线段于点，射线于点从点向运动，每秒走点从点向运动，每秒走同时从出发，则出发 秒后，在线段上有一点，使与全等．
13．下列四个命题其中正确的有 （填序号）．
①全等三角形的对应角相等；
②，，，则；
③，，，则和全等；
④如果两个三角形有两条边和其中一边上的中线分别相等，那么这两个三角形全等．
14．振兴中学数学兴趣小组为测量校内攀岩墙的高度，设计了如下方案：首先找一根长度大于的直杆，使直杆斜靠在墙上，且顶端与点重合，记录直杆与地面的夹角，然后使直杆顶端沿墙面竖直缓慢下滑，直到，标记此时直杆的底端点，最后测得，则攀岩墙的高度 ．
15．如图，在四边形中，，，，、分别是、上的点，且，则图中线段、、之间的数量关系为 ．
16．如图，小明与小红玩跷跷板游戏，支点O是跷跷板的中点，两人分别坐在跷跷板的两端（即），如果点O距地面的距离是，当小明从水平位置上升，这时小红距地面的高度是 ．
三、解答题
17．如图所示，点B、F、C、E在同一条直线上，，，，与相等吗？请说明理由．
18．已知：如图，点、、、在同一直线上，，，，求证：．
19．如图，，，，，连接，线段的延长线与交于点F，交于点G，连接．
(1)求证：；
(2)求证：．
20．如图，的顶点都在方格纸的格点上，按要求在方格纸中画图．
(1)在图①中画出中边上的高线；
(2)在图②中，作直线，将分成面积相等的两个三角形；
(3)在图③中画出一个与全等的．
21．【问题背景】
在中，边上的高交于点．
【问题探究】
（1）如图1，求证：；
（2）如图1，求证：；
【拓展延伸】
（3）如图2，延长到点，过点作的垂线交的延长线于点，连接，已知，为上一点，连接，有，请判断与是否平行，并说明理由．
参考答案：
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 B B D D D C B B
1．B
【分析】本题考查了全等三角形的应用(有两个角对应相等，且夹边也对应相等的两三角形全等)；学会把实际问题数学化为正确解答本题的关键．
显然第①中有完整的三个条件，用易证现要的三角形与原三角形全等．
【详解】解∶因为第①块中有完整的两个角以及他们的夹边，利用易证三角形全等，故应带第①块，
故选∶B．
2．B
【分析】本题考查三角形全等的判定和性质；灵活运用全等三角形的判定方法是解题的关键．可求证，；进一步可得，，，即可得到答案．
【详解】解：∵于点E，于点D
∴．
∵平分，
∴．
又，
∴．
∴．
∵，
∴．
∴．
又∵，，
∴．
∵,
∴，
∴有4对，
故选：B．
3．D
【分析】本题考查的是全等三角形的判定，分、两种情况，根据全等三角形的判定定理解答．掌握两个直角三角形全等的判定定理是解题的关键．
【详解】解：，，
，
，
时，，
时，，
或8时，和全等，
故选：D．
4．D
【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，三角形内角和定理，根据全等三角形的性质找出是解题的关键．
首先由三角形内角和定理得到，然后证明出，得到，然后等量代换得到，进而代入求解即可．
【详解】∵，
∴
∵，，，
∴
∴
∴
∴．
故选：D．
5．D
【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，解答本题的关键是判断出．根据可证得，可得出，继而可得出答案．
【详解】解：如图，
由题意得：，，，
，
，
，
．
故选：D．
6．C
【分析】本题考查了三角形全等的判定定理，熟练掌握三角形全等的判定定理是解答本题的关键．根据三角形全等的判定定理，，，，，分析每一个选项，只有C选项不能判定，由此得到答案．
【详解】选项中，，，，符合，可以判定，故本选项不符合题意；
选项中， ，，，符合，可以判定，故本选项不符合题意；
选项中，，，，不能判定，故本选项符合题意；
选项中，，得到，又，，符合，可以判定，故本选项不符合题意；
故选：C．
7．B
【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，如图所示，过点D作交延长线于E，证明，得到，，再证明，得到，据此根据线段的和差关系求解即可．
【详解】解：如图所示，过点D作交延长线于E，
∵，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴，，
又∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
故选：B．
8．B
【分析】由直角三角形的性质得出，根据可证明，由全等三角形的性质得出、，求出的长即可解答．本题考查全等三角形的判定和性质，证明是解题的关键．
【详解】解：由题意可知：，，
，
．
，
在和中，
，
，
，，
、分别为和，
，
∵妈妈在距地面高的B处接住她后用力一推，
，
．
故选：B．
9．/180度
【分析】此题主要考查了全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题的关键．
根据全等三角形的判定和性质即可得到结论．
【详解】如图，在与中，
∵，
∴，
∴．
∵，
∴．
故答案为：．
10．或（任写一个即可）
【分析】本题考查全等三角形判定，平行线性质．根据题意由平行线性质得，继而添加一个条件使得，即可得到本题答案．
【详解】解：∵，
∴，
∵依据“”证明全等，
∴在和中，
，
∴，
∴添加条件为：或（任写一个即可），
故答案为：或（任写一个即可）．
11．
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质以及三角形面积等知识；过点作于，证，得，再证，同理，得，进而得到的长．
【详解】解：过点作于，如图所示：
在和中，
，
∴
又∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
在和中，
∴，
同理：，
∴，
∵，
∴，
解得：；
故答案为：．
12．3
【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，分两种情况考虑：当时，当时，根据全等三角形的性质即可确定出时间．
【详解】设出发x秒后，使与全等，
根据题意可知，则，
当时，，
即，
解得；
当时，米，
所以此时所用时间是6，，不合题意，舍去．
综上所述，出发3秒后，在线段上有一点C，使与全等．
故答案为：3．
13．①④/④①
【分析】本题主要考查了判断命题真假，全等三角形的性质与判定，根据全等三角形的性质即可判断①；根据全等三角形的判定定理即可判断②③；先证明，得到，再证明即可判断④．
【详解】解：①全等三角形的对应角相等，原命题是真命题；
②，，，不可以利用证明，原命题是假命题；
③，，，则和不全等，原命题是假命题；
④如果两个三角形有两条边和其中一边上的中线分别相等，那么这两个三角形全等，原命题是真命题．
如图所示，和中，，分别是对应三角形的中线，
∴，
∴，
∴．
故答案为：①④．
14．
【分析】此题考查了全等三角形的判定与性质的应用，关键是根据题意进行全等三角形的判定．根据题意证明出，进而得到.
【详解】解：∵，，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
故答案为：．
15．
【分析】本题主要考查了三角形全等的判定与性质，通过作辅助线，构造全等三角形是解题关键．延长至点，使得，连接，先证出，根据全等三角形的性质可得，从而可得，再证出，根据全等三角形的性质可得，由此即可得．
【详解】解：如图，延长至点，使得，连接，
∵，
∴，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，即，
在和中，
，
∴，
∴，
又∵，
∴，
故答案为：．
16．45
【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质．根据证明，可得，即可求解．
【详解】解：由题意可知，，
∴，
∴，
∵当小明从水平位置上升，即，
∴，
又∵点O至地面的距离是，
∴这时小红距地面的高度是，
故答案为：．
17．，理由见解析
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，根据得到，根据平行线的性质得出，然后证明，即可得出结论．
【详解】解：
理由如下：∵，
∴，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴．
18．见解析
【分析】本题考查全等三角形判定及性质，平行线判定等．根据题意先证明，继而利用全等的性质即可得到本题结论．
【详解】解：证明：在和中，
，
，
，
．
19．(1)见解析；
(2)见解析．
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质．
（1）根据垂直的定义得到，由角的和差得到，即可得到结论．
（2）证明， 结合，再利用三角形的内角和定理可得结论．
【详解】（1）证明：∵，，
∴．
∴，
在与中，
∵，
∴．
（2）证明：由（1）知，
∴，
∵，
∴．
∴．
20．(1)见解析
(2)见解析
(3)见解析
【分析】本题主要考查了画三角形的高，三角形中线的性质，全等三角形的判定：
（1）根据三角形高的定义画图即可；
（2）根据三角形中线平分三角形面积，找到中点N，作直线即可；
（3）根据网格的特点和全等三角形的判定定理求解即可．
【详解】（1）解：如图所示，高线即为所求；
（2）解：如图所示，取格点N，作直线，直线即为所求；
（3）解：如图所示，即为所求．
21．[问题探究]（1）证明过程见详解；（2）证明过程见详解；
[拓展延伸]（3），理由见详解
【分析】[问题探究]（1）根据垂直的性质，三角形内角和定理，对顶角的性质即可求证；
（2）根据（1）的结论，运用“角角边”证明即可求证；
[拓展延伸]（3）根据题意，运用“边角边”可证，可得，根据可得，则，结合“同位角相等，两直线平行”即可求证．
【详解】[问题探究]
（1）证明：∵，
∴，
∴，
∵，
∴，即；
（2）证明：由（1）可得，
在中，
，
∴，
∴；
[拓展延伸]
（3），理由如下，
∵，
∴，
在中，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题主要考查垂直的性质，三角形内角和定理，对顶角相等，全等三角形的判定和性质，平行线的判定和性质等知识的综合，掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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12.2三角形全等的判定典型例题与跟踪训练-数学八年级上册人教版
一、单选题
1．如图，小明不小心把一块三角形的陶瓷片打碎成了三块，他经过思考，决定只带碎片①去商店配一块与原来一样的三角形陶瓷片．他用到的判定三角形全等的方法是（ ）
A． B． C． D．
2．如图所示，于点E，于点D，交于点O，且平分，则图中的全等三角形共有（ ）对
A．3 B．4 C．5 D．6
3．如图，在中，，，，线段，，两点分别在线段和过点且垂直于的射线上运动，当和全等时，长为（ ）
A．4 B．6 C．6或8 D．4或8
4．如图，在中，，，，则与的关系为（ ）
A． B．
C． D．
5．如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，则和的关系为（ ）
A． B．
C． D．
6．如图，已知，，下列添加的条件中，下列哪一个选项不能用于判定的选项是（ ）
A． B． C． D．
7．如图，在四边形中，，平分，作于点H．，，则的长度为（ ）
A．3 B．2 C． D．
8．小丽与爸妈在公园里荡秋千．如图，小丽坐在秋千的起始位置A处，与地面垂直，两脚在地面上用力一蹬，妈妈在距地面高的B处接住她后用力一推，爸爸在C处接住她．若妈妈与爸爸到的水平距离分别为和，．爸爸在C处接住小丽时，小丽距离地面的高度是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
9．如图，在 33的方格图中，每个小方格的边长都为1，则与的关系是 ．
10．如图，已知，，请你依据“”添加一个条件 ，使
11．如图，在和中，，，，过A作，垂足为F，交的延长线于点G，连接．四边形的面积为，，则的长是 ．
12．如图，已知线段于点，射线于点从点向运动，每秒走点从点向运动，每秒走同时从出发，则出发 秒后，在线段上有一点，使与全等．
13．下列四个命题其中正确的有 （填序号）．
①全等三角形的对应角相等；
②，，，则；
③，，，则和全等；
④如果两个三角形有两条边和其中一边上的中线分别相等，那么这两个三角形全等．
14．振兴中学数学兴趣小组为测量校内攀岩墙的高度，设计了如下方案：首先找一根长度大于的直杆，使直杆斜靠在墙上，且顶端与点重合，记录直杆与地面的夹角，然后使直杆顶端沿墙面竖直缓慢下滑，直到，标记此时直杆的底端点，最后测得，则攀岩墙的高度 ．
15．如图，在四边形中，，，，、分别是、上的点，且，则图中线段、、之间的数量关系为 ．
16．如图，小明与小红玩跷跷板游戏，支点O是跷跷板的中点，两人分别坐在跷跷板的两端（即），如果点O距地面的距离是，当小明从水平位置上升，这时小红距地面的高度是 ．
三、解答题
17．如图所示，点B、F、C、E在同一条直线上，，，，与相等吗？请说明理由．
18．已知：如图，点、、、在同一直线上，，，，求证：．
19．如图，，，，，连接，线段的延长线与交于点F，交于点G，连接．
(1)求证：；
(2)求证：．
20．如图，的顶点都在方格纸的格点上，按要求在方格纸中画图．
(1)在图①中画出中边上的高线；
(2)在图②中，作直线，将分成面积相等的两个三角形；
(3)在图③中画出一个与全等的．
21．【问题背景】
在中，边上的高交于点．
【问题探究】
（1）如图1，求证：；
（2）如图1，求证：；
【拓展延伸】
（3）如图2，延长到点，过点作的垂线交的延长线于点，连接，已知，为上一点，连接，有，请判断与是否平行，并说明理由．
参考答案：
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 B B D D D C B B
1．B
【分析】本题考查了全等三角形的应用(有两个角对应相等，且夹边也对应相等的两三角形全等)；学会把实际问题数学化为正确解答本题的关键．
显然第①中有完整的三个条件，用易证现要的三角形与原三角形全等．
【详解】解∶因为第①块中有完整的两个角以及他们的夹边，利用易证三角形全等，故应带第①块，
故选∶B．
2．B
【分析】本题考查三角形全等的判定和性质；灵活运用全等三角形的判定方法是解题的关键．可求证，；进一步可得，，，即可得到答案．
【详解】解：∵于点E，于点D
∴．
∵平分，
∴．
又，
∴．
∴．
∵，
∴．
∴．
又∵，，
∴．
∵,
∴，
∴有4对，
故选：B．
3．D
【分析】本题考查的是全等三角形的判定，分、两种情况，根据全等三角形的判定定理解答．掌握两个直角三角形全等的判定定理是解题的关键．
【详解】解：，，
，
，
时，，
时，，
或8时，和全等，
故选：D．
4．D
【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，三角形内角和定理，根据全等三角形的性质找出是解题的关键．
首先由三角形内角和定理得到，然后证明出，得到，然后等量代换得到，进而代入求解即可．
【详解】∵，
∴
∵，，，
∴
∴
∴
∴．
故选：D．
5．D
【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，解答本题的关键是判断出．根据可证得，可得出，继而可得出答案．
【详解】解：如图，
由题意得：，，，
，
，
，
．
故选：D．
6．C
【分析】本题考查了三角形全等的判定定理，熟练掌握三角形全等的判定定理是解答本题的关键．根据三角形全等的判定定理，，，，，分析每一个选项，只有C选项不能判定，由此得到答案．
【详解】选项中，，，，符合，可以判定，故本选项不符合题意；
选项中， ，，，符合，可以判定，故本选项不符合题意；
选项中，，，，不能判定，故本选项符合题意；
选项中，，得到，又，，符合，可以判定，故本选项不符合题意；
故选：C．
7．B
【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，如图所示，过点D作交延长线于E，证明，得到，，再证明，得到，据此根据线段的和差关系求解即可．
【详解】解：如图所示，过点D作交延长线于E，
∵，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴，，
又∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
故选：B．
8．B
【分析】由直角三角形的性质得出，根据可证明，由全等三角形的性质得出、，求出的长即可解答．本题考查全等三角形的判定和性质，证明是解题的关键．
【详解】解：由题意可知：，，
，
．
，
在和中，
，
，
，，
、分别为和，
，
∵妈妈在距地面高的B处接住她后用力一推，
，
．
故选：B．
9．/180度
【分析】此题主要考查了全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题的关键．
根据全等三角形的判定和性质即可得到结论．
【详解】如图，在与中，
∵，
∴，
∴．
∵，
∴．
故答案为：．
10．或（任写一个即可）
【分析】本题考查全等三角形判定，平行线性质．根据题意由平行线性质得，继而添加一个条件使得，即可得到本题答案．
【详解】解：∵，
∴，
∵依据“”证明全等，
∴在和中，
，
∴，
∴添加条件为：或（任写一个即可），
故答案为：或（任写一个即可）．
11．
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质以及三角形面积等知识；过点作于，证，得，再证，同理，得，进而得到的长．
【详解】解：过点作于，如图所示：
在和中，
，
∴
又∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
在和中，
∴，
同理：，
∴，
∵，
∴，
解得：；
故答案为：．
12．3
【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，分两种情况考虑：当时，当时，根据全等三角形的性质即可确定出时间．
【详解】设出发x秒后，使与全等，
根据题意可知，则，
当时，，
即，
解得；
当时，米，
所以此时所用时间是6，，不合题意，舍去．
综上所述，出发3秒后，在线段上有一点C，使与全等．
故答案为：3．
13．①④/④①
【分析】本题主要考查了判断命题真假，全等三角形的性质与判定，根据全等三角形的性质即可判断①；根据全等三角形的判定定理即可判断②③；先证明，得到，再证明即可判断④．
【详解】解：①全等三角形的对应角相等，原命题是真命题；
②，，，不可以利用证明，原命题是假命题；
③，，，则和不全等，原命题是假命题；
④如果两个三角形有两条边和其中一边上的中线分别相等，那么这两个三角形全等，原命题是真命题．
如图所示，和中，，分别是对应三角形的中线，
∴，
∴，
∴．
故答案为：①④．
14．
【分析】此题考查了全等三角形的判定与性质的应用，关键是根据题意进行全等三角形的判定．根据题意证明出，进而得到.
【详解】解：∵，，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
故答案为：．
15．
【分析】本题主要考查了三角形全等的判定与性质，通过作辅助线，构造全等三角形是解题关键．延长至点，使得，连接，先证出，根据全等三角形的性质可得，从而可得，再证出，根据全等三角形的性质可得，由此即可得．
【详解】解：如图，延长至点，使得，连接，
∵，
∴，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，即，
在和中，
，
∴，
∴，
又∵，
∴，
故答案为：．
16．45
【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质．根据证明，可得，即可求解．
【详解】解：由题意可知，，
∴，
∴，
∵当小明从水平位置上升，即，
∴，
又∵点O至地面的距离是，
∴这时小红距地面的高度是，
故答案为：．
17．，理由见解析
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，根据得到，根据平行线的性质得出，然后证明，即可得出结论．
【详解】解：
理由如下：∵，
∴，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴．
18．见解析
【分析】本题考查全等三角形判定及性质，平行线判定等．根据题意先证明，继而利用全等的性质即可得到本题结论．
【详解】解：证明：在和中，
，
，
，
．
19．(1)见解析；
(2)见解析．
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质．
（1）根据垂直的定义得到，由角的和差得到，即可得到结论．
（2）证明， 结合，再利用三角形的内角和定理可得结论．
【详解】（1）证明：∵，，
∴．
∴，
在与中，
∵，
∴．
（2）证明：由（1）知，
∴，
∵，
∴．
∴．
20．(1)见解析
(2)见解析
(3)见解析
【分析】本题主要考查了画三角形的高，三角形中线的性质，全等三角形的判定：
（1）根据三角形高的定义画图即可；
（2）根据三角形中线平分三角形面积，找到中点N，作直线即可；
（3）根据网格的特点和全等三角形的判定定理求解即可．
【详解】（1）解：如图所示，高线即为所求；
（2）解：如图所示，取格点N，作直线，直线即为所求；
（3）解：如图所示，即为所求．
21．[问题探究]（1）证明过程见详解；（2）证明过程见详解；
[拓展延伸]（3），理由见详解
【分析】[问题探究]（1）根据垂直的性质，三角形内角和定理，对顶角的性质即可求证；
（2）根据（1）的结论，运用“角角边”证明即可求证；
[拓展延伸]（3）根据题意，运用“边角边”可证，可得，根据可得，则，结合“同位角相等，两直线平行”即可求证．
【详解】[问题探究]
（1）证明：∵，
∴，
∴，
∵，
∴，即；
（2）证明：由（1）可得，
在中，
，
∴，
∴；
[拓展延伸]
（3），理由如下，
∵，
∴，
在中，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题主要考查垂直的性质，三角形内角和定理，对顶角相等，全等三角形的判定和性质，平行线的判定和性质等知识的综合，掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键．
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