2024-2025学年山东省聊城市聊城二中高二（上）第二次月考数学试卷（含答案）

2024-2025学年山东省聊城二中高二（上）第二次月考数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.向量，，若，则( )
A. ， B. ，
C. ， D.
2.过点且倾斜角为的直线方程为( )
A. B.
C. D.
3.在四面体中，，，，，，用向量表示，则等于( )
A.
B.
C.
D.
4.在所有棱长均为的平行六面体中，，则的长为( )
A. B. C. D.
5.已知向量，，，若不能构成空间的一个基底，则实数的值为( )
A. B. C. D.
6.已知直线：，：，“”是“”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
7.已知两点，，过点的直线与线段含端点有交点，则直线的斜率的取值范围为( )
A. ， B.
C. D.
8.已知，则的最小值为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.满足下列条件的直线与，其中的是( )
A. 的倾斜角为，的斜率为
B. 的斜率为，经过点，
C. 经过点，，经过点，
D. 的方向向量为，的方向向量为
10.若三条直线：，：，：可以围成一个三角形，则实数的值可以为( )
A. B. C. D.
11.已知四面体满足，，则( )
A. 直线与所成的角为
B. 直线与所成的角为
C. 点为直线上的动点，到距离的最小值为
D. 二面角平面角的余弦值为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知直线：与直线：的交点为则过点且与直线：垂直的直线的一般式方程为______．
13.已知三角形的三个顶点，，，则的高等于______．
14.已知向量与的夹角为，则在方向上的投影向量的模长为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知空间中三点，，设，．
求和；
若与互相垂直，求实数的值．
16.本小题分
已知三角形的顶点坐标为，，．
求过点且与边平行的直线；
求边上的高所在的直线方程．
17.本小题分
如图，在四棱锥中，底面为正方形，平面，，分别为棱，的中点．
证明：平面；
若，求直线与平面所成角的正弦值．
18.本小题分
已知直线过点且与轴、轴的正半轴分别交于、两点，为坐标原点．
求三角形面积取最小值时直线的方程；
求取最小值时直线的方程．
19.本小题分
如图，在四棱锥中，，，四边形是菱形，，是棱上的动点，且．
证明：平面．
是否存在实数，使得平面与平面所成锐二面角的余弦值是？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
参考答案
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14.
15.解：因为，，，
所以，，
所以，
，
所以，
所以．
因为，
，
且与互相垂直，所以，
即，
化简得，解得．
16.解：因为，由直线的点斜式方程可得，
化简可得．
由可知，，则边上的高所在的直线斜率为，
由直线的点斜式方程可得，
化简可得．
17.解：证明：因为、分别为，的中点，所以，
因为为正方形，所以，所以，
因为平面，平面，所以平面．
由题知，平面，，建立如图所示的空间直角坚标系，
设，则，，，，，，，
所以，，，
设平面的法向量为，则，，
所以，令，则，，所以，
设直线与平面所或的角为，
所以．
所以直线与平面所成角的正弦值为．
18.解：直线过点且与轴、轴的正半轴分别交于、两点，为坐标原点，
直线的斜率存在，且，直线方程为，即，
，，
三角形面积，
当且仅当，即时，等号成立，
此时，直线的方程为，即．
由题意可得，
当且仅当，即时，等号成立，
此时，直线的方程为，即．
19.解：证明：因为四边形是菱形，所以．
因为，，平面，且，
所以平面因为平面，所以．
因为，所以，所以．
因为，平面，且，所以平面．
取棱的中点，连接，易证，，两两垂直，故以为原点，建立如图所示的空间直角坐标系．
设，则，，，，
故，，．
因为，所以，则．
设平面的法向量为，则，
令，得．
平面的一个法向量为．
设平面与平面所成的锐二面角为，则，
整理得，解得或舍去．
故存在实数，使得平面与平面所成锐二面角的余弦值是．
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