2024-2025学年青海省西宁市海湖中学高一（上）第一次段考数学试卷（含答案）

2024-2025学年青海省西宁市海湖中学高一（上）第一次段考数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.设集合，，则( )
A. B. C. D.
2.设集合，，则( )
A. B. C. D.
3.命题“，”的否定是( )
A. ， B. ，
C. ， D. ，
4.命题：，：若的一个充分不必要条件是，则的取值范围是( )
A. B. C. D.
5.若正数，满足，则的最小值为( )
A. B. C. D.
6.集合，，若，则实数的取值集合为( )
A. B. C. D.
7.已知集合，若有两个元素，则实数的取值范围是( )
A. B.
C. 或 D.
8.几何原本中的几何代数法研究代数问题，这种方法是后西方数学家处理问题的重要依据，通过这一原理，很多的代数公理或定理都能够通过图形实现证明，也称为无字证明现有图形如图所示，为线段上的点，且，，为的中点，以为直径作半圆，过点作的垂线交半圆于点，连接，，，过点作的垂线，垂足为点，则该图形可以完成的无字证明为( )
A. B.
C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列四个结论中正确的是( )
A. 命题“若，则”的逆命题为真命题
B. 命题“，”的否定是“”
C. “”的充要条件是“”
D. “”是“”的必要不充分条件
10.下列说法中，正确的是( )
A. 若，则
B. 若，，则
C. 若，，则
D. 若，，则
11.下列结论中，错误的结论有( )
A. 取得最大值时的值为
B. 若，则的最大值为
C. 函数的最小值为
D. 若，，且，那么的最小值为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知集合的所有非空真子集的元素之和为，则 ______．
13.已知集合，，若满足，则实数的值为______．
14.已知关于的不等式，若此不等式的解集为，则实数的取值范围是______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
设，已知集合，．
当时，求和；
设：；：，若是的必要不充分条件，求实数的范围．
16.本小题分
设、为实数，比较与的值的大小；
已知，，求的取值范围；
写出集合的所有子集．
17.本小题分
已知，，，关于的不等式的解集为或．
求，的值；
解关于的不等式．
18.本小题分
某蛋糕店推出两款新品蛋糕，分别为薄脆百香果蛋糕和朱古力蜂果蛋糕，已知薄脆百香果蛋糕单价为元，朱古力蜂果蛋糕单位为元，现有两种购买方案：
方案一：薄脆百香果蛋糕购买数量为个，朱古力蜂果蛋糕购买数量为个，花费记为；
方案二：薄脆百香果蛋糕购买数量为个，朱古力蜂果蛋糕购买数量为个，花费记为．
其中，
试问哪种购买方案花费更少？请说明理由；
若，，，同时满足关系，，求这两种购买方案花费的差值最小值注：差值花费较大值花费较小值．
19.本小题分
已知函数．
若的解集是或，求实数的值；
若恒成立，求实数的取值范围；
当时，若时函数有解，求的取值范围．
参考答案
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15.解：因为，所以，
，
故或；
，
由题可得是的真子集，
当，则；
当，
则或，解得，
综上的取值范围为．
16.解：由，
又、为实数，，，
则，
所以；
因为，
所以，，
又因为，
所以，
即的取值范围为；
因为，
所以的子集为：，，，．
17.解：因为不等式的解集为或，
所以与是方程的两个实数根，
由根与系数的关系，得，
解得，．
由知不等式为，即，
当时，易得不等式的解集为；
当时，不等式可化为，不等式的解集为；
当时，不等式可化为，
当，即时，不等式的解集为，
当，即时，不等式的解集为，
当，即时，不等式的解集为．
18.解：方案一的总费用为元，
方案二的总费用为元，
，
又因为，，
所以，，
所以，
即，
所以，
所以采用方案二，花费更少；
由可知，
令，则，
所以，当，即，时，等号成立；
又因为，，
所以，当且仅当，即，时等号成立，
所以差值的最小值为，
当且仅当，，，时等号成立，
所以两种方案花费的差值的最小值为元．
19.解：依题意，的解集是或，
所以，解得．
若恒成立，则恒成立．
当时，不恒成立；
当时，，解得：．
实数的取值范围为：．
时，在有解，
即在有解，
因为的开口向上，对称轴，
即，时，函数取得最小值，即，．
即时，当取得最小值，此时，解得．
当即时，当时取得最小值，
此时，解得，综上，或．
所以：的范围为．
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