2024-2025学年江西省上饶市广丰中学高二（上）第一次月考数学试卷（含答案）

2024-2025学年江西省上饶市广丰中学高二（上）第一次月考数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知，都是正实数，且直线与直线互相垂直，则的最小值为( )
A. B. C. D.
2.已知点到直线的距离为，且直线在两坐标轴上的截距相等，则满足条件的直线共有条．
A. B. C. D.
3.若圆：上总存在两点关于直线对称，则过圆外一点向圆所作的切线长的最小值是( )
A. B. C. D.
4.已知圆：与圆：相交于，两点，直线：，点在直线上，点在圆上，圆与直线相切；线段的长为；的最小值是；从点向圆引切线，切线长的最小值是则说法正确的是( )
A. B. C. D.
5.已知，分别为椭圆：的左右焦点，过的一条直线与交于，两点，且，，则椭圆长轴长的最小值是( )
A. B. C. D.
6.已知椭圆的焦距为，若直线恒与椭圆有两个不同的公共点，则椭圆的离心率范围为( )
A. B. C. D.
7.已知抛物线：的焦点到准线的距离为，过焦点的直线与抛物线交于，两点，则的最小值为( )
A. B. C. D.
8.已知抛物线：上的点到其焦点的距离是它到轴距离的倍，若抛物线的焦点与双曲线的右焦点重合，过双曲线左右顶点，作的同一条渐近线的垂线，垂足分别为，，若，则双曲线的离心率为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知点及圆及，过圆上一点作圆的两条切线，，圆为的外接圆，则( )
A. 圆半径为定值
B. 当轴时，直线方程为
C. 的值不可能为
D. 当点横坐标为时，直线的方程为或
10.已知椭圆的左、右焦点分别为、，上顶点为，动点在椭圆上，则下列描述正确的有( )
A. 若的周长为，则
B. 若当时，的内切圆半径为，则
C. 若存在点，使得，则
D. 若的最大值为，则
11.已知，分别为双曲线的左、右焦点，过的直线与圆：相切于点，与第二象限内的渐近线交于点，则( )
A. 双曲线的离心率
B. 若：：，则的渐近线方程为
C. 若，则的渐近线方程为
D. 若，则的渐近线方程为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.若直线：与直线：平行，且与间的距离为，则 ______．
13.已知圆：与圆：的公共弦长为，则圆的方程为______．
14.已知抛物线：经过点，为抛物线的焦点，且，则的值为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知直线：．
求点关于直线的对称点坐标；
求直线：关于直线对称的直线的方程；
求直线关于点对称的直线方程．
16.本小题分
已知以点为圆心的圆与直线：相切．
求圆的方程；
过点的直线与圆相交于，两点，当时，求直线方程；
已知实数，满足圆的方程，求的最小值．
17.本小题分
已知椭圆，三点中恰有两点在椭圆上．
求椭圆的方程；
若直线交椭圆于，两点，且线段的中点的横坐标为，过作新直线，
求直线和直线的斜率之积；
证明：新直线恒过定点，并求出该定点的坐标．
18.本小题分
已知双曲线：的虚轴长为，且离心率为．
求的方程和焦点坐标；
设的右焦点为，过的直线交于，两点，若中点的横坐标为，求．
19.本小题分
给出如下的定义和定理：
定义：若直线与抛物线有且仅有一个公共点，且与的对称轴不平行，则称直线与抛物线相切，公共点称为切点．
定理：过抛物线上一点处的切线方程为．
完成下述问题：
已知抛物线：，焦点为，过外一点不在轴上，作的两条切线，切点分别为，，在轴两侧直线，分别交轴于，两点，
若，求线段的长度；
若点在直线上，证明直线过定点，并求出该定点；
若点在曲线上，求四边形的面积的范围．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.或
13.
14.
15.解：设点关于直线的对称点为，则线段的中点在直线上，且，
所以，解得，即点的坐标为；
上任一点关于的对称点一定在直线上，反之也成立，
由，解得，
将代入方程，有，整理得，
即直线的方程为；
在：上取一点，则点关于点的对称点的坐标为，
且在关于点对称的直线上，
因为所求直线与平行，所以可设所求直线为，
因为该直线过点，所以，
从而所求直线方程为．
16.解：以点为圆心的圆与直线：相切，
所以，即圆的半径为，
所以圆的方程为；
因为直线与圆相交于，两点，设圆心到直线的距离，
因为，
所以圆心到直线的距离为，
当直线的斜率不存在时，直线方程为，圆心到直线的距离为，符合题意，
当直线的斜率存在时，设直线的方程为，即，
圆心到直线的距离，解得，
所以直线的方程为，即，
综上所述：直线的方程为或；
表示圆上的点到的距离的平方，
又圆心到的距离为，
所以点到的距离的最小值为，
所以的最小值为．
17.解：由题可知，一定在椭圆上，，其中一个在椭圆上，
当椭圆过点，有，
所以椭圆的方程为；
当椭圆过点，有，该方程组无解，
综上，椭圆的方程为．
解：设，
当时，直线垂直于轴，其斜率不存在，不符合题意，
所以，
设，，显然，
联立，两式相减整理得，即，
因为为线段的中点，所以，
又，，
所以，即直线和直线的斜率之积为．
证明：当时，由知直线的斜率为，
因为，
所以直线的斜率为，其方程为，即，
显然恒过定点，
当时，直线的方程为，此时为轴，也过点，
综上所述，恒过定点．
18.解：因为的离心率为，又的虚轴长为，
所以，又，
解得，，，
所以的方程为，左、右焦点坐标分别为，；
由知，根据题意易得过的直线斜率存在，
设为，，，
联立化简得，
则，
所以，
因为中点横坐标为，所以，
解得，所以，
则，
则．
19.解：由题意知，直线，的斜率均不为零，其斜率都存在且异号，
设，
由抛物线的性质可得，解得，
，
不妨设，则方程为，
即，，，
所以线段的长度为；
证明：设，，，直线：，
联立，可得，
因为，在轴两侧，
，
所以，，所以，
所以点处的切线方程为，
整理得，
同理可求得点处的切线方程为，
由，可得，
又因为在直线上，所以，即，
所以直线过定点；
解：由可得，
因为在曲线上，所以，
由可知，
因为，
，
所以
，
令，，，
所以在单调递减，
因为，所以，
所以，
即四边形的面积的范围为．
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