2024-2025学年海南省琼海市嘉积中学高二（上）月考数学试卷（一）（含答案）

2024-2025学年海南省琼海市嘉积中学高二（上）月考数学试卷（一）
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，，则( )
A. B. C. D.
2.复数，则( )
A. B. C. D.
3.不等式的解集是( )
A. B.
C. D.
4.已知向量，，则“”是“”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
5.从，，，，这个素数中，随机选取两个不同的数，其积为偶数的概率为( )
A. B. C. D.
6.函数的部分图象大致为( )
A. B. C. D.
7.体育是初三学生中考的第一科，某班名同学的体育中考成绩数据如表，其中有两个数据被遮盖，下列关于成绩的统计量中，与被遮盖的数据无关的是( )
分数
人数
A. 中位数，众数 B. 中位数，方差 C. 平均数，方差 D. 平均数，众数
8.若向量是空间中的一个基底，那么对任意一个空间向量，存在唯一的有序实数组，使得：，我们把有序实数组叫做基底下向量的斜坐标设向量在基底下的斜坐标为，则向量在基底下的斜坐标为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.从装有个红球和个黑球的口袋中任取个小球，则下列结论正确的是( )
A. “至少一个红球”和“都是红球”是互斥事件
B. “恰有一个黑球”和“都是黑球”是互斥事件
C. “至少一个黑球”和“都是红球”是对立事件
D. “恰有一个红球”和“都是红球”是对立事件
10.以下命题为真命题的是( )
A. 若样本数据，，，，，的方差为，则数据，，，，，的方差为
B. 一组数据，，，，的第百分位数是
C. 数据，，，的极差与平均数之积为
D. 已知一组不完全相同的数据，，，的平均数为，在这组数据中加入一个数后得到一组新数据，，，，，其平均数为，则
11.如图，在正方体中，点在线段上运动，则下列结论正确的是( )
A. 直线平面
B. 三棱锥的体积为定值
C. 异面直线与所成角的取值范围是
D. 直线与平面所成角的正弦值的最大值为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知角的顶点为坐标原点，始边为轴的正半轴，终边上有一点，则 ______．
13.设向量，，则向量在向量上投影向量的坐标为______．
14.甲、乙两队进行篮球决赛，采取七场四胜制当一队赢得四场胜利时，该队获胜，决赛结束根据前期比赛成绩，甲队的主客场安排依次为“主主客客主客主”设甲队主场取胜的概率为，客场取胜的概率为，且各场比赛结果相互独立，则甲队以：获胜的概率是 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
在锐角中，角，，的对边分别为，，，．
求角的值；
若，的面积为，求的最大值．
16.本小题分
平行六面体中，底面是边长为的正方形，侧棱，且，为中点，为中点，设，，．
用向量，，表示向量，并求出线段的长度；
请求出异面直线与所成夹角的余弦值．
17.本小题分
从我校高二年级的名男生中随机抽取名测量身高，被测学生身高全部介于和之间，将测量结果按如下方式分成八组：第一组，第二组，，第八组，下图是按上述分组方法得到的频率分布直方图的一部分，已知第一组与第八组人数相同，第六组的人数为人．
求第七组的频率；
估计该校的名男生的身高的平均数；
若从身高属于第六组和第八组的所有男生中随机抽取两名男生，求出这两名男生来自同一组的概率．
18.本小题分
如图，平面，，，，，点，，分别为，，的中点．
求证：平面；
求平面与平面夹角的正弦值；
若为线段上的点，且直线与平面所成的角为，求到平面的距离．
19.本小题分
类比思想在数学中极为重要，例如类比于二维平面内的余弦定理，有三维空间中的三面角余弦定理：如图，由射线，，构成的三面角，记，，，二面角的大小为，则如图，四棱柱中， 为菱形，，，，且点在底面内的射影为的中点．
求的值；
直线与平面内任意一条直线夹角为，证明：；
在直线上是否存在点，使平面？若存在，求出点的位置；若不存在，说明理由．
参考答案
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15.解：由，
根据正弦定理得，
即，
结合，可得，
因为锐角中，为锐角，所以；
中，，且，
由余弦定理得，即．
所以，
可得，即，当且仅当时，等号成立．
因为，
所以当时，有最大值．
16.解：，
由题意可知，，，，，
所以，
所以线段长为；
由可知，
又因为，
所以，
所以，
则，
所以，，
则与所成夹角的余弦值为．
17.解：第六组的频率为，
所以第七组的频率为；
由直方图得，身高在第一组的频率为，
身高在第二组的频率为，
身高在第三组的频率为，
身高在第四组的频率为，
身高在第五组的频率为，
身高在第八组的频率为，
则平均数为：；
第六组的抽取人数为，设所抽取的人为，，，，
第八组的抽取人数为，设所抽取的人为，，
则从中随机抽取两名男生有，，，，，，，，，，，，，，共种情况，
记事件“随机抽取的两名男生在同一组”，
所以事件包含的基本事件为，，，，，，共种情况，
所以．
18.解：证明：连接，因为，，所以，
又因为，所以四边形为平行四边形，
因为点和分别为和的中点，所以且，
因为，，为的中点，所以且，
可得且，即四边形为平行四边形，
所以，又平面，平面，
所以平面．
因为平面，，
故以为原点，分别以，，所在的直线为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，
依题意可得，，，，
，，，
，
设为平面的法向量，
则，即，取，
设为平面的法向量，
则，即，取，
所以，
设平面与平面夹角为，
所以，
即平面与平面夹角的正弦值为．
设，即，
则．
从而．
由知平面的法向量为，
而直线与平面所成的角为，
所以，
即，
整理得，解得或，
因为，
所以，所以，，
由知是平面的法向量，
点到平面的距离为．
19.解：连接，由已知得平面，，
又平面，所以平面平面，
所以二面角的大小为，因为四边形为菱形，，
所以，又，所以，
在中，，
由三面角余弦定理可得
．
证明：依题意可得，设平面内任一条直线为，
若过点时，记与的夹角为，
则，因为，
所以，
又，所以；
若不过点时，过点作使得，记与的夹角为，
则，因为，
所以，
又，所以，
综上可得．
以为坐标原点，以，，为，，轴正方向建立空间直角坐标系，
则，，，，，，
则，设，即，
则，
设为平面的法向量，
，，
则，则，不妨设，可得，
要使平面，
则，则，
即存在点，在线段的延长线上，．
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