浙江省2023-2024学年高二下学期6月学业水平第二次适应性联考数学试题
1．（2024高二下·浙江期末）已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
2．（2024高二下·浙江期末）复数（为虚数单位）的虚部是（ ）
A．1 B． C．2024 D．
3．（2024高二下·浙江期末）函数的定义域为（ ）
A． B． C． D．
4．（2024高二下·浙江期末）样本数据1，3，5，6，7，10的中位数为（ ）
A．5 B．5.5 C．6 D．5或6
5．（2024高二下·浙江期末）下列函数在定义域上为减函数的是（ ）
A． B． C． D．
6．（2024高二下·浙江期末）已知，则的值（ ）
A． B． C． D．2
7．（2024高二下·浙江期末）已知，若，，，则（ ）
A． B． C． D．
8．（2024高二下·浙江期末）在一次数学考试中，超过85分（含85分）为优秀，现有5位学生成绩如下：79，83，87，90，95.从这5位学生中随机抽取2位，则抽到的2位同学考试成绩都为优秀的概率（ ）
A． B． C． D．
9．（2024高二下·浙江期末）已知实数，是奇函数，则（ ）
A．2 B．1 C． D．
10．（2024高二下·浙江期末）近年来纯电动汽车越来越受消费者的青睐，新型动力电池迎来了蓬勃发展的风口，于1898年提出蓄电池的容量（单位：），放电时间（单位：）与放电电流（单位：）之间关系的经验公式：，其中为常数.为测算某蓄电池的常数，在电池容量不变的条件下，当放电电流时，放电时间；当放电电流时，放电时间.若计算时取，，则该蓄电池的常数大约为（ ）
A．1.25 B．1.75 C．2.25 D．2.55
11．（2024高二下·浙江期末）我们知道，函数的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数.有同学发现可以将其推广为：函数的图象关于点成中心对称的充要条件是函数为奇函数，若函数的图象关于点成中心对称图形，则（ ）
A． B． C． D．
12．（2024高二下·浙江期末）已知关于的不等式对任意恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
13．（2024高二下·浙江期末）已知向量，，下列说法正确的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
14．（2024高二下·浙江期末）已知，，是三条不重合的直线，，，是三个两两不重合的平面，则下列命题中真命题是（ ）
A．若，，则
B．若，，，，则
C．若，，，则
D．若，，，则
15．（2024高二下·浙江期末）已知函数，则下列正确的是（ ）
A．函数的值域为
B．函数的最小正周期为
C．当时，方程有且仅有1个实根
D．在区间上单调递增，则
16．（2024高二下·浙江期末）如图，直三棱柱中，，，点在棱上运动（含端点），则下列结论正确的是（ ）
A．直线与直线所成角的范围是
B．存在点，使得平面
C．若为棱的中点，则平面截三棱柱所得截面积为
D．若为棱上的动点，则三棱锥体积的最大值为
17．（2024高二下·浙江期末）在中，内角所对的边分别为，，，已知，，，则 .
18．（2024高二下·浙江期末）若，且，则的最小值为 ；的最小值为 .
19．（2024高二下·浙江期末）若函数，存在使得，则实数的值为 .
20．（2024高二下·浙江期末）在棱长为2的正方体中，已知，分别为线段，的中点，点在矩形及其内部运动，则周长的最小值为 .
21．（2024高二下·浙江期末）已知平面向量，，且函数.
（1）求的值；
（2）求函数的最小正周期；
（3）求函数在上的最大值，并求出取得最大值时的值.
22．（2024高二下·浙江期末）如图，已知四棱锥，底面是边长为4的正方形，，分别为棱，的中点，，，.
（1）求证：平面；
（2）求二面角的平面角余弦值.
23．（2024高二下·浙江期末）已知函数，函数.
（1）若，且，求，的值；
（2）当时，若函数的值域和函数的值域相同，求的取值范围；
（3）当时，记为在上的最大值，求的最小值.
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】交集及其运算
【解析】【解答】因为，，所以.
故答案为：C
【分析】根据交集定义运算即可求解.
2．【答案】B
【知识点】复数的基本概念
【解析】【解答】由复数的概念得的虚部是.
故答案为：B
【分析】根据复数的概念及虚部的定义即可求解.
3．【答案】D
【知识点】函数的定义域及其求法；正弦函数的性质；含三角函数的复合函数的定义域
【解析】【解答】要使 函数 有意义需，即，解得或，
所以函数的定义域为.
故答案为：D.
【分析】根据定义域的定义，要使函数有意义，需开偶次方被开方数大于等于0，分母不能为零，结合一元二次不等式以及三角不等式，解不等式组即可求解.
4．【答案】B
【知识点】众数、中位数、平均数
【解析】【解答】把样本数据1，3，5，6，7，10 从小到大排列为1，3，5，6，7，10，可得中位数为.
故答案为：B.
【分析】根据中位数定义将数据排序，求中间两数平均数即可.
5．【答案】D
【知识点】函数单调性的判断与证明；指数函数的单调性与特殊点；正弦函数的性质
【解析】【解答】对于A，在上是单调增函数，故A错误；
对于B，，，不是单调减函数，故B错误；
对于C，，不是单调减函数，故C错误；
对于D，在上单调递减，故D正确.
故答案为：D.
【分析】根据一次函数、反比例函数、正弦函数、指数函数的单调性分别判断各个选项即可.
6．【答案】A
【知识点】同角三角函数间的基本关系；同角三角函数基本关系的运用
【解析】【解答】因为，所以，
将分式的分子和分母同时除以得，
.
故答案为：A
【分析】利用同角三角函数之间的基本关系将弦化切代入即可求解.
7．【答案】B
【知识点】分段函数的解析式求法及其图象的作法；对数函数的图象与性质
【解析】【解答】由得，
所以，
所以，因为在为单调递增函数
所以，即；
故答案为：B
【分析】利用分段函数性质将转化为，根据当时，函数为单调递增，比较自变量2，3，4，即可得出结论.
8．【答案】C
【知识点】古典概型及其概率计算公式
【解析】【解答】从这5位学生成绩 79，83，87，90，95 中随机抽取2位同学考试成绩，组成的样本空间共有10个样本点；即；
其中2位同学考试成绩都为优秀的样本点为，共3个；
所以抽到的2位同学考试成绩都为优秀的概率为.
故答案为：C
【分析】根据古典概型概率计算公式即可求解.
9．【答案】A
【知识点】函数的奇偶性；有理数指数幂的运算性质
【解析】【解答】因为实数，是奇函数， 所以，即，
故，
所以，解得，经检验，满足题意.
故答案为：A
【分析】根据奇函数定义得，代入得得到方程，化简得到，即可求解，
10．【答案】C
【知识点】对数的性质与运算法则；“指数爆炸”模型
【解析】【解答】因为在电池容量不变的条件下，当放电电流时，放电时间；当放电电流时，放电时间. 代入得，
两式相除可得，即可得，
两边同时取对数可得，即可得；
即.
故答案为：C
【分析】利用经验公式将数据代入构造方程组，再由对数运算法则可解得常数.
11．【答案】B
【知识点】函数的奇偶性；奇偶函数图象的对称性
【解析】【解答】因为函数图象的对称中心为，
则
，
因为为奇函数，所以，
即
，
所以得，
解得，.
故答案为：B
【分析】利用为图象的对称中心得，根据为奇函数，利用奇函数定义，则，即可得出结果.
12．【答案】C
【知识点】函数恒成立问题；含三角函数的复合函数的值域与最值
【解析】【解答】因为对于函数，当时，即时，恒成立，
所以，要使 关于的不等式对任意恒成立
只需恒成立即可，所以恒成立；
因为，所以，
所以；
当时，即或时，此时，
若，可得恒成立，
因此只需满足在上恒成立，显然不合题意；
若，可得恒成立，
因此只需满足在上恒成立，
不妨取，可得，显然不合题意；
综上可知，实数的取值范围是.
故答案为：C
【分析】将不等式恒成立问题转化成判断函数与恒成立问题，再利用分类讨论二次函数和三角函数性质即可得出结论.
13．【答案】A,B,D
【知识点】平面向量共线（平行）的坐标表示；平面向量数量积的坐标表示、模、夹角；平面向量数量积的坐标表示；利用数量积判断平面向量的垂直关系
【解析】【解答】因为，，
对于A选项，若，则有，故A正确；
对于B选项，若，则有，解得，故B正确；
对于C选项，若，则，即，解得，故C错误；
对于D选项，，若，则，即，解得，故D正确.
故答案为：ABD
【分析】根据两向量平行的坐标运算判断A正确；根据两向量垂直的坐标运算判断B正确；根据向量模长的坐标表示判断C错误；根据两向量的积的坐标运算判断D正确.
14．【答案】A,C,D
【知识点】直线与平面垂直的判定；直线与平面垂直的性质；平面与平面垂直的判定；平面与平面垂直的性质
【解析】【解答】对于A，若，，根据线面垂直性质得，故A正确；
对于B，若，，，，当平行时，可能，故B错误；
对于C，若，，，则在平面内存在一条直线满足，则，故C正确；
对于D，如下图所示：
设，，
在平面内取一点，过点作直线，过点作直线，
根据面面垂直的性质定理得平面，平面；
又，即，所以可得；
又，且平面，所以，则D正确.
故答案为：ACD
【分析】由线面垂直性质判断A正确；利用线面垂直判定定理判断B错误；根据面面垂直的判定定理可判断C正确；根据面面垂直的性质可判断D正确.
15．【答案】A,D
【知识点】含三角函数的复合函数的周期；正弦函数的性质；含三角函数的复合函数的值域与最值；函数的零点与方程根的关系
【解析】【解答】对于A选项，因为，函数振幅为，所以函数的值域为，A正确；
对于B选项，函数的周期为，所以B错误；
对于C选项，时，，求方程的根，
可转化为求与的图象的交点个数，分别画出与的图象，
因为为周期函数最大值为，在定义域上单调递增且，
所以两函数图象在之后不会再有交点，所以如图方程有个实根，
C错误；
对于D选项，因为，所以，
令，则函数化为，又在区间上单调递增，
所以在上单调递增，因为，所以，
因为在上单调递增，则，解得，
又因为，则.
故答案为：AD
【分析】根据振幅判断A选项正确；根据函数周期判断B选项错误；利用数形结合分别画出与的图象，根据交点个数判断C选项错误；利用换元法，将函数，
化为，，通过，再结合已知条件确定的取值范围即可判断D.正确
16．【答案】A,C,D
【知识点】异面直线所成的角；直线与平面垂直的判定；锥体的体积公式及应用
【解析】【解答】对于A，由直三棱柱性质，，
所以直线与直线所成角即为直线与直线所成角，
所以直线与直线所成角为，
又点在棱上运动（含端点），且，
故，故，故A正确；
对于B，如图，分别取、、中点为、、，设此时为中点，
连接、、、、，
则且，
且，
且，且，
，
所以，故与不垂直，故与不垂直，
故根据垂直定义得，不存在点，使得平面，故B错误；
对于C，若为棱的中点，设为中点，
连接、，则且，
故由、可唯一确定一个平面，所以平面截三棱柱所得截面为面，
又，，
所以四边形为等腰梯形，故梯形的高为，
平面截三棱柱所得截面积为，故C正确；
对于D，因为，为Q到直线的距离，
所以当取得最大值时三棱锥体积最大，
而最大值为，
所以三棱锥体积最大为，故D正确.
故答案为：ACD.
【分析】对于A，利用直三棱柱性质，将直线与直线所成角转化为为直线与直线所成角，解出即可判断A正确；对于B，证明与不垂直，即可判断B错误；对于C，先明确平面截三棱柱所得截面，再根据已有数据求解，即可判断C正确；对于D，利用等体积法求解，即可判断D正确，.
17．【答案】
【知识点】解三角形；正弦定理的应用
【解析】【解答】因为，， ，利用正弦定理代入得，即；
可得.
故答案为：
【分析】根据正弦定理，代入即可求解.
18．【答案】3；
【知识点】对数的性质与运算法则；基本不等式在最值问题中的应用
【解析】【解答】（1）因为，且，所以，
所以，所以，当且仅当时，等号成立；
所以，即当时，的最小值为3；
（2）因为，且，所以，
当且仅当时，即时，等号成立；
所以当时，的最小值为.
故答案为：3，；
【分析】利用基本不等式得，时，等号成立，再由对数运算法则及对数函数单调性可得的最小值为3，根据基本不等式中“1”的妙用，将转化为，再转化为，利用基本不等式即可求得出的最小值.
19．【答案】
【知识点】交集及其运算；余弦函数的性质；含三角函数的复合函数的值域与最值
【解析】【解答】由余弦函数的性质，得，所以的值域为，
当时，，，显然不成立；
同理，当时，不成立；
所以，存在使得，先满足，即，
当时，，，
所以，
所以集合与集合的交集不为空集，
即或，亦即，所以，
所以实数的值为.
故答案为：.
【分析】先求得函数 的值域为，根据的范围之间的关系分类讨论即可求解.
20．【答案】
【知识点】棱柱的结构特征；多面体和旋转体表面上的最短距离问题；直线与平面垂直的判定
【解析】【解答】在正方体中，取的中点，连接，再取的中点，连接，因为，
因为平面，且平面，，
又，且平面，所以平面，
又因为，所以平面，且，
所以关于平面对称，所以，
则，当点三点共线时，此时的最小值为，
在直角中，可得，
在直角中，可得，
所以周长的最小值为.
故答案为：.
【分析】取的中点，连接，再取的中点，连接，根据线面垂直判定 证得平面，且，得到关于平面对称，得到，当点三点共线时，此时的最小值为，进而求得周长的最小值.
21．【答案】（1）解法1： 因为平面向量，，
所以当时，，，
解法2：由诱导公式可得，，
所以
所以
（2）由解法2得，故函数的最小正周期为
（3）在中，当时，，
当，即时，函数取最大值1，
此时
【知识点】平面向量数量积的坐标表示；二倍角的余弦公式；运用诱导公式化简求值；函数y=Asin（ωx+φ）的图象与性质
【解析】【分析】（1）解法1：将代入可得向量，由向量数量积的坐标表示，即可求解；解法2：由向量数量积的坐标表示求出函数的表达式，再代入可得结果；
（2）根据解析式即可得最小正周期；
（3）先求得的取值范围，再利用正弦函数的性质求得最值.
（1）解法1：因为当时，，，
解法2：由诱导公式可得，，
所以
所以
（2）由解法2得，故函数的最小正周期为
（3）当时，，
当，即时，函数取最大值1，
此时
22．【答案】（1）证明：取的中点，连接，，如下图所示：
，分别是，的中点，
，，
，，
，，所以四边形为平行四边形，
，面，面，
所以平面
（2）解：取，的中点，，连接，，，
作交于，，且，
底面是边长为4的正方形，，
，，平面，
平面，平面，
，又且平面；
所以平面.
过点作，连接，如下图所示：
所以，则为二面角的平面角.
在中，，
在中，，
设，则，
则，解得，
可得，，
所以在中，.
所以二面角的平面角的余弦值为.
【知识点】直线与平面平行的判定；直线与平面垂直的判定；直线与平面垂直的性质；二面角及二面角的平面角
【解析】【分析】（1）取的中点，利用三角形中位线定理得，，结合平行四边形性质得，，证明为平行四边形，从而得，由线面平行的判定定理即可证明；
（2）利用线面垂直判定定理，作出二面角的平面角，再由余弦定理即可求解.
（1）取的中点，连接，，如下图所示：
，分别是，的中点，
，，
，，
，，可得四边形为平行四边形，
，面，面，
所以平面
（2）取，的中点，，连接，，，
作交于，，且，
底面是边长为4的正方形，，
，，平面，
平面，平面，
，又且平面；
即平面.
过点作，连接，如下图所示：
易知知，则为二面角的平面角.
在中，，
在中，，
设，则，
则，解得，
可得，，
所以在中，.
即二面角的平面角的余弦值为.
23．【答案】（1）解：由函数，
因为，且，所以，
解得.
（2）解：当，函数，
令，则，
因为函数的值域和函数相同，所以，解得，
所以实数的取值范围为.
（3）解：由函数，
当时，，，
且当时，时，取得最小值，此时，
所以，，
所以，得，
所以的最小值为.
【知识点】函数的定义域及其求法；函数的值域
【解析】【分析】（1）根据，且， 列出方程组，解出即可求解；
（2）将配方 求得，令，得到， 利用函数的值域和函数相同，列出不等式，即可求解；
（3） 由 ，得到，得出，且时，取得最小值，求得，结合函数的性质，求得和，列出方程，即可求解.
（1）解：由函数，
因为，且，可得，
解得.
（2）解：当，函数，
令，则，
因为函数的值域和函数相同，可得，解得，
所以实数的取值范围为.
（3）解：由函数，
当时，可得，，
且当时，时，取得最小值，此时，
可得，，
所以，得，
所以的最小值为.
1 / 1浙江省2023-2024学年高二下学期6月学业水平第二次适应性联考数学试题
1．（2024高二下·浙江期末）已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】交集及其运算
【解析】【解答】因为，，所以.
故答案为：C
【分析】根据交集定义运算即可求解.
2．（2024高二下·浙江期末）复数（为虚数单位）的虚部是（ ）
A．1 B． C．2024 D．
【答案】B
【知识点】复数的基本概念
【解析】【解答】由复数的概念得的虚部是.
故答案为：B
【分析】根据复数的概念及虚部的定义即可求解.
3．（2024高二下·浙江期末）函数的定义域为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】函数的定义域及其求法；正弦函数的性质；含三角函数的复合函数的定义域
【解析】【解答】要使 函数 有意义需，即，解得或，
所以函数的定义域为.
故答案为：D.
【分析】根据定义域的定义，要使函数有意义，需开偶次方被开方数大于等于0，分母不能为零，结合一元二次不等式以及三角不等式，解不等式组即可求解.
4．（2024高二下·浙江期末）样本数据1，3，5，6，7，10的中位数为（ ）
A．5 B．5.5 C．6 D．5或6
【答案】B
【知识点】众数、中位数、平均数
【解析】【解答】把样本数据1，3，5，6，7，10 从小到大排列为1，3，5，6，7，10，可得中位数为.
故答案为：B.
【分析】根据中位数定义将数据排序，求中间两数平均数即可.
5．（2024高二下·浙江期末）下列函数在定义域上为减函数的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】函数单调性的判断与证明；指数函数的单调性与特殊点；正弦函数的性质
【解析】【解答】对于A，在上是单调增函数，故A错误；
对于B，，，不是单调减函数，故B错误；
对于C，，不是单调减函数，故C错误；
对于D，在上单调递减，故D正确.
故答案为：D.
【分析】根据一次函数、反比例函数、正弦函数、指数函数的单调性分别判断各个选项即可.
6．（2024高二下·浙江期末）已知，则的值（ ）
A． B． C． D．2
【答案】A
【知识点】同角三角函数间的基本关系；同角三角函数基本关系的运用
【解析】【解答】因为，所以，
将分式的分子和分母同时除以得，
.
故答案为：A
【分析】利用同角三角函数之间的基本关系将弦化切代入即可求解.
7．（2024高二下·浙江期末）已知，若，，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】分段函数的解析式求法及其图象的作法；对数函数的图象与性质
【解析】【解答】由得，
所以，
所以，因为在为单调递增函数
所以，即；
故答案为：B
【分析】利用分段函数性质将转化为，根据当时，函数为单调递增，比较自变量2，3，4，即可得出结论.
8．（2024高二下·浙江期末）在一次数学考试中，超过85分（含85分）为优秀，现有5位学生成绩如下：79，83，87，90，95.从这5位学生中随机抽取2位，则抽到的2位同学考试成绩都为优秀的概率（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】古典概型及其概率计算公式
【解析】【解答】从这5位学生成绩 79，83，87，90，95 中随机抽取2位同学考试成绩，组成的样本空间共有10个样本点；即；
其中2位同学考试成绩都为优秀的样本点为，共3个；
所以抽到的2位同学考试成绩都为优秀的概率为.
故答案为：C
【分析】根据古典概型概率计算公式即可求解.
9．（2024高二下·浙江期末）已知实数，是奇函数，则（ ）
A．2 B．1 C． D．
【答案】A
【知识点】函数的奇偶性；有理数指数幂的运算性质
【解析】【解答】因为实数，是奇函数， 所以，即，
故，
所以，解得，经检验，满足题意.
故答案为：A
【分析】根据奇函数定义得，代入得得到方程，化简得到，即可求解，
10．（2024高二下·浙江期末）近年来纯电动汽车越来越受消费者的青睐，新型动力电池迎来了蓬勃发展的风口，于1898年提出蓄电池的容量（单位：），放电时间（单位：）与放电电流（单位：）之间关系的经验公式：，其中为常数.为测算某蓄电池的常数，在电池容量不变的条件下，当放电电流时，放电时间；当放电电流时，放电时间.若计算时取，，则该蓄电池的常数大约为（ ）
A．1.25 B．1.75 C．2.25 D．2.55
【答案】C
【知识点】对数的性质与运算法则；“指数爆炸”模型
【解析】【解答】因为在电池容量不变的条件下，当放电电流时，放电时间；当放电电流时，放电时间. 代入得，
两式相除可得，即可得，
两边同时取对数可得，即可得；
即.
故答案为：C
【分析】利用经验公式将数据代入构造方程组，再由对数运算法则可解得常数.
11．（2024高二下·浙江期末）我们知道，函数的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数.有同学发现可以将其推广为：函数的图象关于点成中心对称的充要条件是函数为奇函数，若函数的图象关于点成中心对称图形，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】函数的奇偶性；奇偶函数图象的对称性
【解析】【解答】因为函数图象的对称中心为，
则
，
因为为奇函数，所以，
即
，
所以得，
解得，.
故答案为：B
【分析】利用为图象的对称中心得，根据为奇函数，利用奇函数定义，则，即可得出结果.
12．（2024高二下·浙江期末）已知关于的不等式对任意恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】函数恒成立问题；含三角函数的复合函数的值域与最值
【解析】【解答】因为对于函数，当时，即时，恒成立，
所以，要使 关于的不等式对任意恒成立
只需恒成立即可，所以恒成立；
因为，所以，
所以；
当时，即或时，此时，
若，可得恒成立，
因此只需满足在上恒成立，显然不合题意；
若，可得恒成立，
因此只需满足在上恒成立，
不妨取，可得，显然不合题意；
综上可知，实数的取值范围是.
故答案为：C
【分析】将不等式恒成立问题转化成判断函数与恒成立问题，再利用分类讨论二次函数和三角函数性质即可得出结论.
13．（2024高二下·浙江期末）已知向量，，下列说法正确的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
【答案】A,B,D
【知识点】平面向量共线（平行）的坐标表示；平面向量数量积的坐标表示、模、夹角；平面向量数量积的坐标表示；利用数量积判断平面向量的垂直关系
【解析】【解答】因为，，
对于A选项，若，则有，故A正确；
对于B选项，若，则有，解得，故B正确；
对于C选项，若，则，即，解得，故C错误；
对于D选项，，若，则，即，解得，故D正确.
故答案为：ABD
【分析】根据两向量平行的坐标运算判断A正确；根据两向量垂直的坐标运算判断B正确；根据向量模长的坐标表示判断C错误；根据两向量的积的坐标运算判断D正确.
14．（2024高二下·浙江期末）已知，，是三条不重合的直线，，，是三个两两不重合的平面，则下列命题中真命题是（ ）
A．若，，则
B．若，，，，则
C．若，，，则
D．若，，，则
【答案】A,C,D
【知识点】直线与平面垂直的判定；直线与平面垂直的性质；平面与平面垂直的判定；平面与平面垂直的性质
【解析】【解答】对于A，若，，根据线面垂直性质得，故A正确；
对于B，若，，，，当平行时，可能，故B错误；
对于C，若，，，则在平面内存在一条直线满足，则，故C正确；
对于D，如下图所示：
设，，
在平面内取一点，过点作直线，过点作直线，
根据面面垂直的性质定理得平面，平面；
又，即，所以可得；
又，且平面，所以，则D正确.
故答案为：ACD
【分析】由线面垂直性质判断A正确；利用线面垂直判定定理判断B错误；根据面面垂直的判定定理可判断C正确；根据面面垂直的性质可判断D正确.
15．（2024高二下·浙江期末）已知函数，则下列正确的是（ ）
A．函数的值域为
B．函数的最小正周期为
C．当时，方程有且仅有1个实根
D．在区间上单调递增，则
【答案】A,D
【知识点】含三角函数的复合函数的周期；正弦函数的性质；含三角函数的复合函数的值域与最值；函数的零点与方程根的关系
【解析】【解答】对于A选项，因为，函数振幅为，所以函数的值域为，A正确；
对于B选项，函数的周期为，所以B错误；
对于C选项，时，，求方程的根，
可转化为求与的图象的交点个数，分别画出与的图象，
因为为周期函数最大值为，在定义域上单调递增且，
所以两函数图象在之后不会再有交点，所以如图方程有个实根，
C错误；
对于D选项，因为，所以，
令，则函数化为，又在区间上单调递增，
所以在上单调递增，因为，所以，
因为在上单调递增，则，解得，
又因为，则.
故答案为：AD
【分析】根据振幅判断A选项正确；根据函数周期判断B选项错误；利用数形结合分别画出与的图象，根据交点个数判断C选项错误；利用换元法，将函数，
化为，，通过，再结合已知条件确定的取值范围即可判断D.正确
16．（2024高二下·浙江期末）如图，直三棱柱中，，，点在棱上运动（含端点），则下列结论正确的是（ ）
A．直线与直线所成角的范围是
B．存在点，使得平面
C．若为棱的中点，则平面截三棱柱所得截面积为
D．若为棱上的动点，则三棱锥体积的最大值为
【答案】A,C,D
【知识点】异面直线所成的角；直线与平面垂直的判定；锥体的体积公式及应用
【解析】【解答】对于A，由直三棱柱性质，，
所以直线与直线所成角即为直线与直线所成角，
所以直线与直线所成角为，
又点在棱上运动（含端点），且，
故，故，故A正确；
对于B，如图，分别取、、中点为、、，设此时为中点，
连接、、、、，
则且，
且，
且，且，
，
所以，故与不垂直，故与不垂直，
故根据垂直定义得，不存在点，使得平面，故B错误；
对于C，若为棱的中点，设为中点，
连接、，则且，
故由、可唯一确定一个平面，所以平面截三棱柱所得截面为面，
又，，
所以四边形为等腰梯形，故梯形的高为，
平面截三棱柱所得截面积为，故C正确；
对于D，因为，为Q到直线的距离，
所以当取得最大值时三棱锥体积最大，
而最大值为，
所以三棱锥体积最大为，故D正确.
故答案为：ACD.
【分析】对于A，利用直三棱柱性质，将直线与直线所成角转化为为直线与直线所成角，解出即可判断A正确；对于B，证明与不垂直，即可判断B错误；对于C，先明确平面截三棱柱所得截面，再根据已有数据求解，即可判断C正确；对于D，利用等体积法求解，即可判断D正确，.
17．（2024高二下·浙江期末）在中，内角所对的边分别为，，，已知，，，则 .
【答案】
【知识点】解三角形；正弦定理的应用
【解析】【解答】因为，， ，利用正弦定理代入得，即；
可得.
故答案为：
【分析】根据正弦定理，代入即可求解.
18．（2024高二下·浙江期末）若，且，则的最小值为 ；的最小值为 .
【答案】3；
【知识点】对数的性质与运算法则；基本不等式在最值问题中的应用
【解析】【解答】（1）因为，且，所以，
所以，所以，当且仅当时，等号成立；
所以，即当时，的最小值为3；
（2）因为，且，所以，
当且仅当时，即时，等号成立；
所以当时，的最小值为.
故答案为：3，；
【分析】利用基本不等式得，时，等号成立，再由对数运算法则及对数函数单调性可得的最小值为3，根据基本不等式中“1”的妙用，将转化为，再转化为，利用基本不等式即可求得出的最小值.
19．（2024高二下·浙江期末）若函数，存在使得，则实数的值为 .
【答案】
【知识点】交集及其运算；余弦函数的性质；含三角函数的复合函数的值域与最值
【解析】【解答】由余弦函数的性质，得，所以的值域为，
当时，，，显然不成立；
同理，当时，不成立；
所以，存在使得，先满足，即，
当时，，，
所以，
所以集合与集合的交集不为空集，
即或，亦即，所以，
所以实数的值为.
故答案为：.
【分析】先求得函数 的值域为，根据的范围之间的关系分类讨论即可求解.
20．（2024高二下·浙江期末）在棱长为2的正方体中，已知，分别为线段，的中点，点在矩形及其内部运动，则周长的最小值为 .
【答案】
【知识点】棱柱的结构特征；多面体和旋转体表面上的最短距离问题；直线与平面垂直的判定
【解析】【解答】在正方体中，取的中点，连接，再取的中点，连接，因为，
因为平面，且平面，，
又，且平面，所以平面，
又因为，所以平面，且，
所以关于平面对称，所以，
则，当点三点共线时，此时的最小值为，
在直角中，可得，
在直角中，可得，
所以周长的最小值为.
故答案为：.
【分析】取的中点，连接，再取的中点，连接，根据线面垂直判定 证得平面，且，得到关于平面对称，得到，当点三点共线时，此时的最小值为，进而求得周长的最小值.
21．（2024高二下·浙江期末）已知平面向量，，且函数.
（1）求的值；
（2）求函数的最小正周期；
（3）求函数在上的最大值，并求出取得最大值时的值.
【答案】（1）解法1： 因为平面向量，，
所以当时，，，
解法2：由诱导公式可得，，
所以
所以
（2）由解法2得，故函数的最小正周期为
（3）在中，当时，，
当，即时，函数取最大值1，
此时
【知识点】平面向量数量积的坐标表示；二倍角的余弦公式；运用诱导公式化简求值；函数y=Asin（ωx+φ）的图象与性质
【解析】【分析】（1）解法1：将代入可得向量，由向量数量积的坐标表示，即可求解；解法2：由向量数量积的坐标表示求出函数的表达式，再代入可得结果；
（2）根据解析式即可得最小正周期；
（3）先求得的取值范围，再利用正弦函数的性质求得最值.
（1）解法1：因为当时，，，
解法2：由诱导公式可得，，
所以
所以
（2）由解法2得，故函数的最小正周期为
（3）当时，，
当，即时，函数取最大值1，
此时
22．（2024高二下·浙江期末）如图，已知四棱锥，底面是边长为4的正方形，，分别为棱，的中点，，，.
（1）求证：平面；
（2）求二面角的平面角余弦值.
【答案】（1）证明：取的中点，连接，，如下图所示：
，分别是，的中点，
，，
，，
，，所以四边形为平行四边形，
，面，面，
所以平面
（2）解：取，的中点，，连接，，，
作交于，，且，
底面是边长为4的正方形，，
，，平面，
平面，平面，
，又且平面；
所以平面.
过点作，连接，如下图所示：
所以，则为二面角的平面角.
在中，，
在中，，
设，则，
则，解得，
可得，，
所以在中，.
所以二面角的平面角的余弦值为.
【知识点】直线与平面平行的判定；直线与平面垂直的判定；直线与平面垂直的性质；二面角及二面角的平面角
【解析】【分析】（1）取的中点，利用三角形中位线定理得，，结合平行四边形性质得，，证明为平行四边形，从而得，由线面平行的判定定理即可证明；
（2）利用线面垂直判定定理，作出二面角的平面角，再由余弦定理即可求解.
（1）取的中点，连接，，如下图所示：
，分别是，的中点，
，，
，，
，，可得四边形为平行四边形，
，面，面，
所以平面
（2）取，的中点，，连接，，，
作交于，，且，
底面是边长为4的正方形，，
，，平面，
平面，平面，
，又且平面；
即平面.
过点作，连接，如下图所示：
易知知，则为二面角的平面角.
在中，，
在中，，
设，则，
则，解得，
可得，，
所以在中，.
即二面角的平面角的余弦值为.
23．（2024高二下·浙江期末）已知函数，函数.
（1）若，且，求，的值；
（2）当时，若函数的值域和函数的值域相同，求的取值范围；
（3）当时，记为在上的最大值，求的最小值.
【答案】（1）解：由函数，
因为，且，所以，
解得.
（2）解：当，函数，
令，则，
因为函数的值域和函数相同，所以，解得，
所以实数的取值范围为.
（3）解：由函数，
当时，，，
且当时，时，取得最小值，此时，
所以，，
所以，得，
所以的最小值为.
【知识点】函数的定义域及其求法；函数的值域
【解析】【分析】（1）根据，且， 列出方程组，解出即可求解；
（2）将配方 求得，令，得到， 利用函数的值域和函数相同，列出不等式，即可求解；
（3） 由 ，得到，得出，且时，取得最小值，求得，结合函数的性质，求得和，列出方程，即可求解.
（1）解：由函数，
因为，且，可得，
解得.
（2）解：当，函数，
令，则，
因为函数的值域和函数相同，可得，解得，
所以实数的取值范围为.
（3）解：由函数，
当时，可得，，
且当时，时，取得最小值，此时，
可得，，
所以，得，
所以的最小值为.
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