广东省揭阳市两校2024-2025学年高三上学期8月联考数学试题
1．（2024高三上·榕城月考）设集合，，则（ ）
A． B． C． D．
2．（2024高三上·榕城月考）“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
3．（2024高三上·榕城月考）已知函数的值域为R，那么实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
4．（2024高三上·榕城月考）如图，已知，，点C在函数的图象上，点D在函数的图象上，若四边形为正方形，则（ ）
A． B．2 C．3 D．4
5．（2024高三上·榕城月考）已知 ，则 （ ）
A． B． C． D．
6．（2024高三上·榕城月考）神舟十二号载人飞船搭载3名宇航员进入太空，在中国空间站完成了为期三个月的太空驻留任务，期间进行了很多空间实验，目前已经顺利返回地球．在太空中水资源有限，要通过回收水的方法制造可用水．回收水是将宇航员的尿液、汗液和太空中的水收集起来经过特殊的净水器处理成饮用水，循环使用．净化水的过程中，每增加一次过滤可减少水中杂质20%，要使水中杂质减少到原来的5%以下，则至少需要过滤的次数为（ ）（参考数据）
A．10 B．12 C．14 D．16
7．（2024高三上·榕城月考）设，分别是椭圆的左、右焦点，过的直线交椭圆于A，B两点，且，，则椭圆E的离心率为（ ）
A． B． C． D．
8．（2024高三上·榕城月考）已知数列满足，前n项和为，，则等于（ ）
A． B． C． D．
9．（2024高三上·榕城月考）下列大小关系正确的是（ ）
A． B．
C． D．
10．（2024高三上·榕城月考）已知函数，则（ ）
A．的最小正周期为
B．函数的图象不可能关于点对称
C．当时，函数在上单调递增
D．若函数在上存在零点，则实数a的取值范围是
11．（2024高三上·榕城月考）已知函数，若不等式对任意恒成立，则实数t的可能取值为（ ）
A．1 B． C．3 D．4
12．（2024高三上·榕城月考）定义运算则不等式对任意恒成立，则实数的取值范围是 .
13．（2024高三上·榕城月考）已知过原点O的直线与交于A，B两点（A点在B点左侧），过A作x轴的垂线与函数交于C点，过B点作x轴的垂线与函数交于D点，当平行于x轴时，点A的横坐标为 .
14．（2024高三上·榕城月考）已知是定义在上的单调函数，对恒成立，则的值为 ．
15．（2024高三上·榕城月考）在中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知，．
（1）求角B的大小；
（2）若的面积，设D是BC的中点，求的值．
16．（2024高三上·榕城月考）如图，在四棱台中，底面是菱形，，，平面.
（1）证明：BDCC1；
（2）棱上是否存在一点，使得二面角的余弦值为若存在，求线段的长；若不存在，请说明理由.
17．（2024高三上·榕城月考）设函数，满足：①；②对任意，恒成立．
（1）求函数的解析式．
（2）设矩形的一边在轴上，顶点，在函数的图象上．设矩形的面积为，求证：．
18．（2024高三上·榕城月考）已知函数是奇函数.（e是自然对数的底）
（1）求实数k的值；
（2）若时，关于x的不等式恒成立，求实数m的取值范围；
（3）设，对任意实数，若以a，b，c为长度的线段可以构成三角形时，均有以，，为长度的线段也能构成三角形，求实数n的最大值.
19．（2024高三上·榕城月考）已知函数．
（1）讨论的单调性；
（2）若不等式恒成立，求的取值范围；
（3）当时，试判断函数的零点个数，并给出证明．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】交集及其运算
2．【答案】B
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；一元二次不等式及其解法
【解析】【解答】因为等价于，所以，
因为所以，所以，解得，
因为，所以“”是“”成立的必要不充分条件.
故答案为：B
【分析】根据分式不等式和一元二次不等式的解法，结合充分条件和必要条件的定义即可得解.
3．【答案】B
【知识点】函数的值域
【解析】【解答】解：因为函数的值域为，
而的值域为，所以函数的值域包含，
所以，解得，
故答案为：B
【分析】 先确定当x≥1时函数的值域，再利用一次函数的单调性确定函数的值域，结合题意，求解出 实数a的取值范围 .
4．【答案】B
【知识点】对数函数的图象与性质
【解析】【解答】因为， ，所以，由四边形为正方形，得，
因为在函数的图象上，所以，解得，
经验证符合题意，所以.
故答案为：B
【分析】根据四边形为正方形，求出及，进而求出点的坐标，代入即可得解.
5．【答案】B
【知识点】两角和与差的正弦公式
【解析】【解答】由题意可得： ，
则： ， ，
从而有： ，
即 .
故答案为：B.
【分析】将所给的三角函数式展开变形，然后再逆用两角和的正弦公式即可求得三角函数式的值.
6．【答案】C
【知识点】根据实际问题选择函数类型
【解析】【解答】设过滤的次数为，原来水中杂质为1，
则，即，
所以，
所以，
所以，
因为，
所以的最小值为14，则至少要过滤14次．
故答案为：C.
【分析】由指数、对数的运算性质求解，即可得出答案。
7．【答案】B
【知识点】利用数量积判断平面向量的垂直关系；椭圆的定义；椭圆的简单性质
【解析】【解答】设，因为，则，，
由椭圆的定义可得，，
因为，即，
在中，则，即，
解得，可得，
在△中，可得，整理得，
所以椭圆E的离心率为.
故答案为：B．
【分析】设，根据椭圆定义结合勾股定理，
解得，进而可得，在△中，利用勾股定理列式求解即可.
8．【答案】D
【知识点】等比数列概念与表示；等比数列的前n项和；数列的递推公式
【解析】【解答】数列中，，因为，所以，，所以，
所以数列是以1为首项，2为公比的等比数列，
数列是以2为首项，2为公比的等比数列，
所以.
故答案为：D
【分析】根据，得，，得到数列是以1为首项，2为公比的等比数列，数列是以2为首项，2为公比的等比数列，再利用等比数列前n项和公式计算即得.
9．【答案】A,B,D
【知识点】指数函数的单调性与特殊点；对数函数的单调性与特殊点
【解析】【解答】作出 和 的图象，如图所示，由图象可得，当 时， ，
当 时， ， ， ，A，B符合题意.
令 ，则 ， 在 上单调递减，所以 ，C不符合题意.
，所以 ，D符合题意.
故答案为：ABD.
【分析】作出 和 的图象，再结合两函数的图象和分类讨论的方法以及指数函数的单调性，得出 ， ，令 ，再结合减函数的定义，从而判断出函数 在 上的单调性，进而得出 ，再利用作差比较大小的方法和均值不等式求最值的方法，进而得出 ，从而找出大小关系正确的选项。
10．【答案】B,C,D
【知识点】函数的周期性；二倍角的余弦公式；正弦函数的性质
11．【答案】C,D
【知识点】函数单调性的性质；函数的奇偶性；函数恒成立问题；两角和与差的正弦公式；同角三角函数间的基本关系
12．【答案】
【知识点】函数恒成立问题；二次函数与一元二次不等式的对应关系
【解析】【解答】因为 ，所以对任意恒成立，
若，则，符合题意，即成立；
若，则，解得；
综上所述：实数的取值范围是.
故答案为：.
【分析】不等式对任意恒成立 转化为对任意恒成立，分和两种情况，结合一元二次不等式恒成立条件，解不等式（组）即可求解.
13．【答案】2
【知识点】指数函数的图象与性质；对数的性质与运算法则；斜率的计算公式
【解析】【解答】设，因为 过原点O的直线与交于A，B两点 ，所以，
因为 过A作x轴的垂线与函数交于C点，过B点作x轴的垂线与函数交于D点，
所以，又平行于x轴，得，解得，
所以，整理，即，解得，
所以点A的横坐标为2.
故答案为：2
【分析】设，表示出点的坐标，再由直线过原点及平行于x轴列方程计算即得.
14．【答案】9
【知识点】函数单调性的性质；函数恒成立问题
【解析】【解答】因为函数是定义在上的单调函数，且对，恒成立，
所以存在常数，使得，
则，即，
又因为，则，
因为在上单调递增，且，所以，
所以，即.
故答案为：9.
【分析】先根据函数的单调性与恒成立，求出函数的解析式，根据在上单调递增，确定c，即可求解．
15．【答案】（1）解：∵，∴由正弦定理得，，
所以，
所以，
所以，
所以，
，，，
，；
（2）解： 因为的面积
所以，
所以.
在中，由正弦定理得，，
在中，由正弦定理得，，
，，
∴.
【知识点】两角和与差的正弦公式；正弦定理的应用；余弦定理的应用；三角形中的几何计算
【解析】【分析】(1)利用正弦定理边化角将转化为，将角A转化为角B、C，根据两角和差公式，即可求出B；
(2)根据三角形面积公式求出a，根据余弦定理求出b.在和分别由正弦定理表示出和，根据，即可得.
（1）∵，
∴由正弦定理得，，
即，
即，
即，
即，
，，，
，；
（2），
.
在中，由正弦定理得，，
在中，由正弦定理得，，
，，
∴.
16．【答案】（1）证明：如图所示，连接，
因为为棱台，所以四点共面，
又因为四边形为菱形，所以，
因为平面，平面，所以，
又因为且平面，所以平面，
因为平面，所以.
（2）解：取中点，连接，
因为底面是菱形，且，所以是正三角形，所以，即，
由于平面，以为原点，分别以为轴、轴和轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则
假设点存在，设点的坐标为，其中，
可得
设平面的法向量，则，
取，可得，所以.
又由平面的法向量为，
所以，解得
由于二面角为锐角，则点在线段上，所以，即
故上存在点，当时，二面角的余弦值为.
【知识点】直线与平面垂直的判定；直线与平面垂直的性质；用空间向量研究二面角
【解析】【分析】（1）连接，根据菱形性质得，线面垂直性质得，利用线面垂直的判定定理，证得平面，进而由线面垂直性质证得；
（2）取中点，连接，以为原点，以为原点，分别以为轴、轴和轴，建立空间直角坐标系，求得所需点坐标，假设点存在，设点，求得平面和的一个法向量和，结合向量的夹角公式，列出方程，求得，即可求解.
（1）证明：如图所示，连接，
因为为棱台，所以四点共面，
又因为四边形为菱形，所以，
因为平面，平面，所以，
又因为且平面，所以平面，
因为平面，所以.
（2）解：取中点，连接，
因为底面是菱形，且，所以是正三角形，所以，即，
由于平面，以为原点，分别以为轴、轴和轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则
假设点存在，设点的坐标为，其中，
可得
设平面的法向量，则，
取，可得，所以.
又由平面的法向量为，
所以，解得
由于二面角为锐角，则点在线段上，所以，即
故上存在点，当时，二面角的余弦值为.
17．【答案】（1）解：因为，
所以，则；
因为，所以，恒成立，
即恒成立，所以，所以，
所以；
（2）证明：因为，
令，得；令，得；
所以在单调递增，单调递减．
不妨设，，由知，
那么，；
故，
因为，所以．
【知识点】函数恒成立问题；函数的值；利用导数研究函数的单调性
【解析】【分析】（1）利用待定系数法，利用 、恒成立 ，联立方程，即可得解；
（2）先求导，利用导数判断的单调性，从而利用矩形面积公式得到关于的表达式，从而得证.
（1）因为，
由，得，则；
由，得，恒成立，
即恒成立，所以，所以，
所以；
（2）因为，
令，得；令，得；
所以在单调递增，单调递减．
不妨设，，由知，
那么，；
故，
因为，所以．
18．【答案】（1）解： 因为是奇函数，且定义域为R，所以，
即，解得.经检验，此时是奇函数，所以.
（2）解： 由（1）知，
由时，恒成立，得，
因为，所以，
设，
因为，当且仅当时，等号成立，又，所以，
故，所以
（3）解： 由题意得：.
不妨设，
以a，b，c为长度的线段可以构成三角形，即，且，
以，，为长度的线段也能构成三角形，则恒成立，得恒成立，
因为，仅当a=b时前一个等号成立，
所以，即，于是n的最大值为
【知识点】函数单调性的性质；奇函数与偶函数的性质；函数恒成立问题；基本不等式
【解析】【分析】（1）根据奇函数性质求出，再检验的奇偶性；
（2）若，将关于x的不等式恒成立，转化为恒成立，利用基本不等式得，从而可得；
（3）化简，设，得，且，根据题意得恒成立，根据基本不等式得，由求出的最大值即为的最大值.
19．【答案】（1）解：因为，
所以，
当时，恒成立，
所以；
当时，令，
解得（舍负），
令，得；
令，得．
综上所述，
当时，在上单调递减；
当时，在上单调递减，在上单调递增．
（2）解：由恒成立，得在上恒成立，
所以在上恒成立．
令，
则．
令，
易知在上单调递减．
又，
所以当时，，
当时，，
所以在上单调递增，在上单调递减，
所以在处取得极大值，也是最大值，
即，
所以，即的取值范围为．
（3）解：当时，，
则，
令，
则，
当时，，所以在上单调递减．
又，
所以在上存在唯一的零点．
设在上的零点为，
可得当时，单调递增；
当时，单调递减，
解法一：，
因为，所以，
故．
又，所以．
又，
所以在上有一个零点．
又
所以在上有一个零点．
当时，，
所以在上没有零点．
当时，
令，
则，
所以在上单调递减，
所以，所以，
所以，
而，所以，
故在上没有零点．
综上所述，在定义域上保且仅有2个零点．
解法二：因为，，
所以在上有一个零点．
又，
所以在上有一个零点，
当时，，
易证，
所以，
从而在上恒成立，
故在上没有零点．
当时，，
设，
则，
所以在上单调递减．
又，
则在上恒成立，
所以在上恒成立，
故在上没有零点．
综上所述，在定义域上有且仅有2个零点．
【知识点】函数恒成立问题；利用导数研究函数的单调性；导数在最大值、最小值问题中的应用；函数零点存在定理
【解析】【分析】（1）先求导，讨论a的范围确定、，从而确定单调性及单调区间.
(2)将转化为在上恒成立．通过导函数研究单调性，从而得最值.
(3)构造函数，利用导数研究单调性，结合零点存在定理即可求解.
解法一：讨论在、上各有一个零点．在、上都没有零点．
解法二：讨论在、上各有一个零点，在、上没有零点.
1 / 1广东省揭阳市两校2024-2025学年高三上学期8月联考数学试题
1．（2024高三上·榕城月考）设集合，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】交集及其运算
2．（2024高三上·榕城月考）“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；一元二次不等式及其解法
【解析】【解答】因为等价于，所以，
因为所以，所以，解得，
因为，所以“”是“”成立的必要不充分条件.
故答案为：B
【分析】根据分式不等式和一元二次不等式的解法，结合充分条件和必要条件的定义即可得解.
3．（2024高三上·榕城月考）已知函数的值域为R，那么实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】函数的值域
【解析】【解答】解：因为函数的值域为，
而的值域为，所以函数的值域包含，
所以，解得，
故答案为：B
【分析】 先确定当x≥1时函数的值域，再利用一次函数的单调性确定函数的值域，结合题意，求解出 实数a的取值范围 .
4．（2024高三上·榕城月考）如图，已知，，点C在函数的图象上，点D在函数的图象上，若四边形为正方形，则（ ）
A． B．2 C．3 D．4
【答案】B
【知识点】对数函数的图象与性质
【解析】【解答】因为， ，所以，由四边形为正方形，得，
因为在函数的图象上，所以，解得，
经验证符合题意，所以.
故答案为：B
【分析】根据四边形为正方形，求出及，进而求出点的坐标，代入即可得解.
5．（2024高三上·榕城月考）已知 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】两角和与差的正弦公式
【解析】【解答】由题意可得： ，
则： ， ，
从而有： ，
即 .
故答案为：B.
【分析】将所给的三角函数式展开变形，然后再逆用两角和的正弦公式即可求得三角函数式的值.
6．（2024高三上·榕城月考）神舟十二号载人飞船搭载3名宇航员进入太空，在中国空间站完成了为期三个月的太空驻留任务，期间进行了很多空间实验，目前已经顺利返回地球．在太空中水资源有限，要通过回收水的方法制造可用水．回收水是将宇航员的尿液、汗液和太空中的水收集起来经过特殊的净水器处理成饮用水，循环使用．净化水的过程中，每增加一次过滤可减少水中杂质20%，要使水中杂质减少到原来的5%以下，则至少需要过滤的次数为（ ）（参考数据）
A．10 B．12 C．14 D．16
【答案】C
【知识点】根据实际问题选择函数类型
【解析】【解答】设过滤的次数为，原来水中杂质为1，
则，即，
所以，
所以，
所以，
因为，
所以的最小值为14，则至少要过滤14次．
故答案为：C.
【分析】由指数、对数的运算性质求解，即可得出答案。
7．（2024高三上·榕城月考）设，分别是椭圆的左、右焦点，过的直线交椭圆于A，B两点，且，，则椭圆E的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】利用数量积判断平面向量的垂直关系；椭圆的定义；椭圆的简单性质
【解析】【解答】设，因为，则，，
由椭圆的定义可得，，
因为，即，
在中，则，即，
解得，可得，
在△中，可得，整理得，
所以椭圆E的离心率为.
故答案为：B．
【分析】设，根据椭圆定义结合勾股定理，
解得，进而可得，在△中，利用勾股定理列式求解即可.
8．（2024高三上·榕城月考）已知数列满足，前n项和为，，则等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】等比数列概念与表示；等比数列的前n项和；数列的递推公式
【解析】【解答】数列中，，因为，所以，，所以，
所以数列是以1为首项，2为公比的等比数列，
数列是以2为首项，2为公比的等比数列，
所以.
故答案为：D
【分析】根据，得，，得到数列是以1为首项，2为公比的等比数列，数列是以2为首项，2为公比的等比数列，再利用等比数列前n项和公式计算即得.
9．（2024高三上·榕城月考）下列大小关系正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A,B,D
【知识点】指数函数的单调性与特殊点；对数函数的单调性与特殊点
【解析】【解答】作出 和 的图象，如图所示，由图象可得，当 时， ，
当 时， ， ， ，A，B符合题意.
令 ，则 ， 在 上单调递减，所以 ，C不符合题意.
，所以 ，D符合题意.
故答案为：ABD.
【分析】作出 和 的图象，再结合两函数的图象和分类讨论的方法以及指数函数的单调性，得出 ， ，令 ，再结合减函数的定义，从而判断出函数 在 上的单调性，进而得出 ，再利用作差比较大小的方法和均值不等式求最值的方法，进而得出 ，从而找出大小关系正确的选项。
10．（2024高三上·榕城月考）已知函数，则（ ）
A．的最小正周期为
B．函数的图象不可能关于点对称
C．当时，函数在上单调递增
D．若函数在上存在零点，则实数a的取值范围是
【答案】B,C,D
【知识点】函数的周期性；二倍角的余弦公式；正弦函数的性质
11．（2024高三上·榕城月考）已知函数，若不等式对任意恒成立，则实数t的可能取值为（ ）
A．1 B． C．3 D．4
【答案】C,D
【知识点】函数单调性的性质；函数的奇偶性；函数恒成立问题；两角和与差的正弦公式；同角三角函数间的基本关系
12．（2024高三上·榕城月考）定义运算则不等式对任意恒成立，则实数的取值范围是 .
【答案】
【知识点】函数恒成立问题；二次函数与一元二次不等式的对应关系
【解析】【解答】因为 ，所以对任意恒成立，
若，则，符合题意，即成立；
若，则，解得；
综上所述：实数的取值范围是.
故答案为：.
【分析】不等式对任意恒成立 转化为对任意恒成立，分和两种情况，结合一元二次不等式恒成立条件，解不等式（组）即可求解.
13．（2024高三上·榕城月考）已知过原点O的直线与交于A，B两点（A点在B点左侧），过A作x轴的垂线与函数交于C点，过B点作x轴的垂线与函数交于D点，当平行于x轴时，点A的横坐标为 .
【答案】2
【知识点】指数函数的图象与性质；对数的性质与运算法则；斜率的计算公式
【解析】【解答】设，因为 过原点O的直线与交于A，B两点 ，所以，
因为 过A作x轴的垂线与函数交于C点，过B点作x轴的垂线与函数交于D点，
所以，又平行于x轴，得，解得，
所以，整理，即，解得，
所以点A的横坐标为2.
故答案为：2
【分析】设，表示出点的坐标，再由直线过原点及平行于x轴列方程计算即得.
14．（2024高三上·榕城月考）已知是定义在上的单调函数，对恒成立，则的值为 ．
【答案】9
【知识点】函数单调性的性质；函数恒成立问题
【解析】【解答】因为函数是定义在上的单调函数，且对，恒成立，
所以存在常数，使得，
则，即，
又因为，则，
因为在上单调递增，且，所以，
所以，即.
故答案为：9.
【分析】先根据函数的单调性与恒成立，求出函数的解析式，根据在上单调递增，确定c，即可求解．
15．（2024高三上·榕城月考）在中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知，．
（1）求角B的大小；
（2）若的面积，设D是BC的中点，求的值．
【答案】（1）解：∵，∴由正弦定理得，，
所以，
所以，
所以，
所以，
，，，
，；
（2）解： 因为的面积
所以，
所以.
在中，由正弦定理得，，
在中，由正弦定理得，，
，，
∴.
【知识点】两角和与差的正弦公式；正弦定理的应用；余弦定理的应用；三角形中的几何计算
【解析】【分析】(1)利用正弦定理边化角将转化为，将角A转化为角B、C，根据两角和差公式，即可求出B；
(2)根据三角形面积公式求出a，根据余弦定理求出b.在和分别由正弦定理表示出和，根据，即可得.
（1）∵，
∴由正弦定理得，，
即，
即，
即，
即，
，，，
，；
（2），
.
在中，由正弦定理得，，
在中，由正弦定理得，，
，，
∴.
16．（2024高三上·榕城月考）如图，在四棱台中，底面是菱形，，，平面.
（1）证明：BDCC1；
（2）棱上是否存在一点，使得二面角的余弦值为若存在，求线段的长；若不存在，请说明理由.
【答案】（1）证明：如图所示，连接，
因为为棱台，所以四点共面，
又因为四边形为菱形，所以，
因为平面，平面，所以，
又因为且平面，所以平面，
因为平面，所以.
（2）解：取中点，连接，
因为底面是菱形，且，所以是正三角形，所以，即，
由于平面，以为原点，分别以为轴、轴和轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则
假设点存在，设点的坐标为，其中，
可得
设平面的法向量，则，
取，可得，所以.
又由平面的法向量为，
所以，解得
由于二面角为锐角，则点在线段上，所以，即
故上存在点，当时，二面角的余弦值为.
【知识点】直线与平面垂直的判定；直线与平面垂直的性质；用空间向量研究二面角
【解析】【分析】（1）连接，根据菱形性质得，线面垂直性质得，利用线面垂直的判定定理，证得平面，进而由线面垂直性质证得；
（2）取中点，连接，以为原点，以为原点，分别以为轴、轴和轴，建立空间直角坐标系，求得所需点坐标，假设点存在，设点，求得平面和的一个法向量和，结合向量的夹角公式，列出方程，求得，即可求解.
（1）证明：如图所示，连接，
因为为棱台，所以四点共面，
又因为四边形为菱形，所以，
因为平面，平面，所以，
又因为且平面，所以平面，
因为平面，所以.
（2）解：取中点，连接，
因为底面是菱形，且，所以是正三角形，所以，即，
由于平面，以为原点，分别以为轴、轴和轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则
假设点存在，设点的坐标为，其中，
可得
设平面的法向量，则，
取，可得，所以.
又由平面的法向量为，
所以，解得
由于二面角为锐角，则点在线段上，所以，即
故上存在点，当时，二面角的余弦值为.
17．（2024高三上·榕城月考）设函数，满足：①；②对任意，恒成立．
（1）求函数的解析式．
（2）设矩形的一边在轴上，顶点，在函数的图象上．设矩形的面积为，求证：．
【答案】（1）解：因为，
所以，则；
因为，所以，恒成立，
即恒成立，所以，所以，
所以；
（2）证明：因为，
令，得；令，得；
所以在单调递增，单调递减．
不妨设，，由知，
那么，；
故，
因为，所以．
【知识点】函数恒成立问题；函数的值；利用导数研究函数的单调性
【解析】【分析】（1）利用待定系数法，利用 、恒成立 ，联立方程，即可得解；
（2）先求导，利用导数判断的单调性，从而利用矩形面积公式得到关于的表达式，从而得证.
（1）因为，
由，得，则；
由，得，恒成立，
即恒成立，所以，所以，
所以；
（2）因为，
令，得；令，得；
所以在单调递增，单调递减．
不妨设，，由知，
那么，；
故，
因为，所以．
18．（2024高三上·榕城月考）已知函数是奇函数.（e是自然对数的底）
（1）求实数k的值；
（2）若时，关于x的不等式恒成立，求实数m的取值范围；
（3）设，对任意实数，若以a，b，c为长度的线段可以构成三角形时，均有以，，为长度的线段也能构成三角形，求实数n的最大值.
【答案】（1）解： 因为是奇函数，且定义域为R，所以，
即，解得.经检验，此时是奇函数，所以.
（2）解： 由（1）知，
由时，恒成立，得，
因为，所以，
设，
因为，当且仅当时，等号成立，又，所以，
故，所以
（3）解： 由题意得：.
不妨设，
以a，b，c为长度的线段可以构成三角形，即，且，
以，，为长度的线段也能构成三角形，则恒成立，得恒成立，
因为，仅当a=b时前一个等号成立，
所以，即，于是n的最大值为
【知识点】函数单调性的性质；奇函数与偶函数的性质；函数恒成立问题；基本不等式
【解析】【分析】（1）根据奇函数性质求出，再检验的奇偶性；
（2）若，将关于x的不等式恒成立，转化为恒成立，利用基本不等式得，从而可得；
（3）化简，设，得，且，根据题意得恒成立，根据基本不等式得，由求出的最大值即为的最大值.
19．（2024高三上·榕城月考）已知函数．
（1）讨论的单调性；
（2）若不等式恒成立，求的取值范围；
（3）当时，试判断函数的零点个数，并给出证明．
【答案】（1）解：因为，
所以，
当时，恒成立，
所以；
当时，令，
解得（舍负），
令，得；
令，得．
综上所述，
当时，在上单调递减；
当时，在上单调递减，在上单调递增．
（2）解：由恒成立，得在上恒成立，
所以在上恒成立．
令，
则．
令，
易知在上单调递减．
又，
所以当时，，
当时，，
所以在上单调递增，在上单调递减，
所以在处取得极大值，也是最大值，
即，
所以，即的取值范围为．
（3）解：当时，，
则，
令，
则，
当时，，所以在上单调递减．
又，
所以在上存在唯一的零点．
设在上的零点为，
可得当时，单调递增；
当时，单调递减，
解法一：，
因为，所以，
故．
又，所以．
又，
所以在上有一个零点．
又
所以在上有一个零点．
当时，，
所以在上没有零点．
当时，
令，
则，
所以在上单调递减，
所以，所以，
所以，
而，所以，
故在上没有零点．
综上所述，在定义域上保且仅有2个零点．
解法二：因为，，
所以在上有一个零点．
又，
所以在上有一个零点，
当时，，
易证，
所以，
从而在上恒成立，
故在上没有零点．
当时，，
设，
则，
所以在上单调递减．
又，
则在上恒成立，
所以在上恒成立，
故在上没有零点．
综上所述，在定义域上有且仅有2个零点．
【知识点】函数恒成立问题；利用导数研究函数的单调性；导数在最大值、最小值问题中的应用；函数零点存在定理
【解析】【分析】（1）先求导，讨论a的范围确定、，从而确定单调性及单调区间.
(2)将转化为在上恒成立．通过导函数研究单调性，从而得最值.
(3)构造函数，利用导数研究单调性，结合零点存在定理即可求解.
解法一：讨论在、上各有一个零点．在、上都没有零点．
解法二：讨论在、上各有一个零点，在、上没有零点.
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