上海市延安中学2024-2025学年高三上学期开学考试数学试卷
1．（2024高三上·上海市开学考）若集合，则 .
【答案】
【知识点】并集及其运算
【解析】【解答】解： 集合， 则.
故答案为：.
【分析】根据集合的并集运算求解即可.
2．（2024高三上·上海市开学考）不等式的解集为 .
【答案】
【知识点】其他不等式的解法
【解析】【解答】解：不等式，转化为，则或，
则不等式的解集为：.
故答案为：.
【分析】根据绝对值不等式的解法求解即可.
3．（2024高三上·上海市开学考）若（为虚数单位），则的共轭复数为 .
【答案】
【知识点】复数代数形式的乘除运算；共轭复数
【解析】【解答】解：复数，则，故的共轭复数为.
故答案为：.
【分析】由题意，根据复数的运算法则求得，结合共轭复数的概念求解即可.
4．（2024高三上·上海市开学考）若角的终边经过点，则 .
【答案】
【知识点】任意角三角函数的定义
【解析】【解答】解：因为角的终边经过点，则，
根据三角函数的定义可得，
则.
故答案为：.
【分析】根据已知条件，利用三角函数定义求解即可.
5．（2024高三上·上海市开学考）某校高一（1）班有学生40人，其中共青团员15人，全班分成4个小组，第一组有学生10人，共青团员4人，从该班任选一个作学生代表.已知选到的是共青团员，求他是第一组学生的概率 .
【答案】
【知识点】贝叶斯公式
【解析】【解答】解：记“选到第一组学生”为事件，“选到共青团员”为事件，
由题意，，，
则“已知选到的是共青团员，则他是第一组学生的概率”为.
故答案为：.
【分析】先记事件，再根据贝叶斯公式求解即可.
6．（2024高三上·上海市开学考）若的展开式中的系数是，则 ．
【答案】1
【知识点】二项式系数的性质；二项展开式的通项
【解析】【解答】解：展开式的的通项为
，
令，解得，
则的展开式中的系数为.
故答案为：1.
【分析】写出二项式的展开式的通项公式，令的指数等于，求得的值，即可求得展开式中的项的系数，再根据的系数是列方程求解即可.
7．（2024高三上·上海市开学考）已知圆，则圆心到直线的最大距离为 .
【答案】
【知识点】恒过定点的直线；平面内两点间的距离公式；直线和圆的方程的应用
【解析】【解答】解：直线，即，令，解得，
则直线恒过定点，当圆心与定点的连线与直线垂直时，
圆心到直线的距离最大，最大距离为.
故答案为：.
【分析】根据题意，求得直线过定点，当定点与圆心的连线与直线垂直时，距离最大，再由两点间距离公式求解即可.
8．（2024高三上·上海市开学考）设当时，函数取得最大值，则 .
【答案】
【知识点】含三角函数的复合函数的值域与最值；运用诱导公式化简求值；辅助角公式
【解析】【解答】解：函数，
当时，解得，
则.
故答案为：.
【分析】由题意，利用辅助角公式求得函数，结合正弦函数的最值可得，代入求解即可.
9．（2024高三上·上海市开学考）已知为函数图象上的任意一点，则的最大值为 .
【答案】
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【解答】解：由题意，可得，
记函数，求导可得，
令，则，解得或；
令，则，解得，
则在单调递增，在单调递减，
且，
由于，则最大值为.
故答案为：.
【分析】构造函数，求导，利用导数判断函数的单调性，即可求解极值点与端点值，再比较即可求解.
10．（2024高三上·上海市开学考）已知两个非零向量满足，则向量在向量方向上的投影向量为 .
【答案】
【知识点】平面向量的数量积运算；平面向量的投影向量
【解析】【解答】解：由，可得，
化简可得，则向量在向量方向上的投影向量为.
故答案为：.
【分析】根据投影向量公式和模的运算公式求解即可.
11．（2024高三上·上海市开学考）定义为数列的“均值”，已知数列的“均值”，记数列的前项和为，若对任意正整数恒成立，则实数的范围为 ．
【答案】
【知识点】等差数列概念与表示；等差数列的前n项和；数列与不等式的综合
【解析】【解答】解：由题意可得：，即，
当时，，
因此，，而，故，，
所以，所以为常数，
所以数列是等差数列，
又因为数列的前项和为，对任意正整数恒成立，
所以，即，解得.
故答案为：.
【分析】根据题意，得到，求出，得到数列是等差数列，再由数列的前项和为，对任意正整数恒成立，得到，即可求出结果.
12．（2024高三上·上海市开学考）若关于的方程在区间内有两个不同的实数解，那么实数的取值范围是 .
【答案】
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值；函数的零点与方程根的关系
【解析】【解答】解： 关于的方程 ，化简整理可得，
令，定义域为，求导可得，
当时，；当时，，
则函数在上单调递减，在上单调递增，且，
因此原方程等价于，令，
由题意，方程在内有两个不同的实数解，
即直线与函数在上的图象有两个交点，作出函数的图象，如图所示：
函数在上单调递增，在上单调递减，，
又，于是，
则实数的取值范围是.
故答案为：.
【分析】变形给定方程可得，构造函数，数形结合求出的范围即可.
13．（2024高三上·上海市开学考）“”是“”成立的（ ）条件.
A．充分非必要 B．必要非充分
C．充分必要 D．既非充分又非必要
【答案】A
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断
【解析】【解答】解：由能推出，但不能推出，则是成立的充分非必要条件.
故答案为：A.
【分析】由充分条件必要条件的定义判断即可.
14．（2024高三上·上海市开学考）甲、乙两人从4门课程中各选修2门，则甲、乙所选的课程中恰有1门相同的选法有（ ）
A．6种 B．12种 C．24种 D．30种
【答案】C
【知识点】组合及组合数公式
【解析】【解答】解：根据题意，分两步，
①由题意可得，所有两人各选修2门的种数C42C42=36，
②两人所选两门都相同的有为C42=6种，都不同的种数为C42=6，
故只恰好有1门相同的选法有36﹣6﹣6=24种．
故选C.
【分析】根据题意，分两步，①先求所有两人各选修2门的种数，②再求两人所选两门都相同与都不同的种数，进而由事件间的相互关系，分析可得答案．
15．（2024高三上·上海市开学考）如图，正方体的棱线长为1，线段上有两个动点E，F，且，则下列结论中错误的是（ ）
A．
B．平面ABCD
C．三棱锥的体积为定值
D．异面直线AE，BF所成的角为定值
【答案】D
【知识点】异面直线所成的角；直线与平面平行的判定；直线与平面垂直的性质；锥体的体积公式及应用
【解析】【解答】解：A、在正方体中，平面，
平面，所以，即，四边形为正方形，则，
又，平面，平面，所以平面，平面，所以，故A正确；
B、在正方体中， 平面平面，
平面，所以平面ABCD，故B正确；
C、连接交于点，如图所示：
设三棱锥的高为，，平面，平面，所以点B到直线的距离即为，，又因为平面，即平面，
所以AO为三棱锥的高，在中，，
所以，（定值），故C正确；
D、设异面直线AE，BF所成的角为，连接交于点，
当点与重合时，因为，此时点与点重合，连接，
在正方体，且，所以四边形为平行四边形，
所以，即为异面直线AE，BF所成的角，
在中，，，，
因为，所以为直角三角形，
，所以异面直线AE，BF所成的角的正弦值为，
当点与重合时，，此时点与点重合，，即，
即为即为异面直线AE，BF所成的角，
在中，，，，
，所以异面直线AE，BF所成的角的正弦值为，
异面直线AE，BF所成的角不是定值，故D错误.
故答案为：D.
【分析】利用直线与平面垂直的性质可证得，即可判断A；运用两个平面平行的性质，可证明平面ABCD，即可判断B；结合三棱锥的体积公式可求其体积为定值即可判断C；在线段上选取特殊位置，结合异面直线所成的角，即可求得异面直线AE，BF所成的角不是定值即可判断D.
16．（2024高三上·上海市开学考）我们知道，互相垂直且有公共原点的两条数轴构成平面直角坐标系.如果坐标系中两条坐标轴的原点重合且不互相垂直，那么这样的坐标系称为“斜坐标系”.在斜坐标系中，两条坐标轴的公共原点称为斜坐标系的原点，其坐标记为.在轴（轴）上的点的纵坐标（横坐标）为0，如图，在斜坐标系中，如果轴与轴相交所成的角为，过平面任意一点，分别作坐标轴的平行线，交轴于点，交轴于点，将点在轴上的坐标，点在轴上的坐标称为点在该坐标系中的坐标，记为.若是该坐标系中的任意两点，则点之间的距离为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【知识点】向量的模；平面向量的数量积运算
【解析】【解答】解：设轴方向的单位向量为轴方向的单位向量为，
则，得，
由向量的数量积运算，得，
，
则.
故答案为：B.
【分析】根据向量数量积、模的运算求解即可.
17．（2024高三上·上海市开学考）如图，已知正方体的棱长为.
（1）求直线和平面所成角的大小；
（2）求二面角的大小.
【答案】（1）解：因为平面，所以为直线和平面所成角，
所以，则直线和平面所成角的大小为；
（2）解：因为平面平面，所以平面，
又因为平面，所以二面角的平面角为，
因为，所以.
【知识点】直线与平面所成的角；二面角及二面角的平面角
【解析】【分析】（1）根据正方体的几何特征结合线面角定义得出线面角，再根据边长得出角的正切最后结合反三角求角即可；
（2）根据二面角定义得出二面角，再根据边长得出正切，最后求角即可.
（1）平面直线和平面所成角为，
，
则直线和平面所成角的大小为.
（2）平面平面平面，
平面，
则二面角的平面角为，
.
18．（2024高三上·上海市开学考）已知，曲线在点处的切线斜率为.
（1）求的值；
（2）求不等式的解集.
【答案】（1）解：函数，求导可得，
因为函数在点处的切线斜率为，
所以，解得；
（2）解：由（1）得，，则恒成立，即在上单调递增，
又，即函数为奇函数，
由，可知，即，解得，
即不等式的解集为.
【知识点】函数的奇偶性；导数的几何意义；利用导数研究函数的单调性
【解析】【分析】（1）求导，根据导数的几何意义可得参数值；
（2）根据导数判断函数单调性，再结合函数的奇偶性解不等式即可.
（1）由已知，得，
又函数在点处的切线斜率为，
即，
解得；
（2）由（1）得，，
则恒成立，
即在上单调递增，
又，
即函数为奇函数，
由，可知，
即，解得，
即不等式的解集为.
19．（2024高三上·上海市开学考）2021年8月，义务交于阶段“双减”政策出台，某初中在课后延时服务开设奥数、科技、体育等特色课程，为了进一步了解学生选课的情况，随机选取了400人进行调查问卷，整理后获得如下统计表：
喜欢奥数 不喜欢奥数 总计
已选奥数课（A组） 150 50 200
未选奥数课（B组） 90 110 200
总计 240 160 400
（1）若从样本内喜欢奥数的240人中用分层抽样方法随机抽取32人，则应在A组、B组各抽取多少人？
（2）能否有的把握认为选报奥数延时课与喜欢奥数有关？
附：
参考公式：，其中.
【答案】（1）解：应在A组抽取，应在B组抽取；
（2）解：由题意可得：，
则有的把握认为选报奥数延时课与喜欢奥数有关.
【知识点】分层抽样方法；独立性检验
【解析】【分析】（1）根据分层抽样列式计算即可；
（2）根据表格数据求出的值，然后与临界值比较即可判断.
（1）应在A组抽取，应在B组抽取；
（2）由题意可得，
因此有的把握认为选报奥数延时课与喜欢奥数有关.
20．（2024高三上·上海市开学考）在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线．
（1）过的左顶点引的一条渐近线的平行线，求该直线与另一条渐近线及x轴围成的三角形的面积；
（2）设斜率为1的直线l交于P，Q两点，若l与圆相切，求证：；
（3）设椭圆，若M，N分别是，上的动点，且，求证：O到直线MN的距离是定值．
【答案】解：（1）根据题意可得的左顶点为，设直线方程为，
与另一条渐近线联立求得交点坐标为，所以对应三角形的面积为；
（2）设直线的方程是，因直线与已知圆相切，故，即，
由，消元整理可得，
设，，则，，
则，
故；
（3）当直线ON垂直于x轴时，，，则O到直线MN的距离为，
当直线不垂直于轴时，
设直线的方程为（显然），则直线的方程为，
由与椭圆方程联立，得，，所以，
同理，
设O到直线MN的距离为d，则由，得，
综上，O到直线MN的距离是定值.
【知识点】平面内点到直线的距离公式；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（1）根据题意，写出双曲线的左顶点，求出直线的方程，联立求得三角形顶点坐标，再利用三角形的面积公式求解即可；
（2）设直线的方程为，通过直线与已知圆相切，得到，
通过求解；证明；
（3）当直线垂直轴时，直接求出到直线的距离为.当直线不垂直轴时，设直线的方程为：，（显然），推出直线的方程为，求出，，设到直线的距离为，通过，求出，推出到直线的距离是定值.
21．（2024高三上·上海市开学考）已知数列中的相邻两项是关于的方程的两个根，且．
（1）求，，，；
（2）求数列的前项和；
（3）记，，求证：．
【答案】（1）解：方程的两个根为，，
当时，，所以；
当时，，，所以；
当时，，，所以；
当时，，，所以；
（2）解：；
（3）证明：，所以，．
当时，
，
同时，
．
综上，当时，．
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系；等差数列的前n项和；等比数列的前n项和；数列与不等式的综合
【解析】【分析】（1）由方程求得，，讨论参数k的值，求相应的；
（2）利用等差等比前n项和公式及分组求和求即可；
（3）根据已知求出、，再应用放缩及等比前n项和公式证明即可.
（1）方程的两个根为，，
当时，，所以；
当时，，，所以；
当时，，，所以；
当时，，，所以．
（2）．
（3），所以，．
当时，
，
同时，
．
综上，当时，．
1 / 1上海市延安中学2024-2025学年高三上学期开学考试数学试卷
1．（2024高三上·上海市开学考）若集合，则 .
2．（2024高三上·上海市开学考）不等式的解集为 .
3．（2024高三上·上海市开学考）若（为虚数单位），则的共轭复数为 .
4．（2024高三上·上海市开学考）若角的终边经过点，则 .
5．（2024高三上·上海市开学考）某校高一（1）班有学生40人，其中共青团员15人，全班分成4个小组，第一组有学生10人，共青团员4人，从该班任选一个作学生代表.已知选到的是共青团员，求他是第一组学生的概率 .
6．（2024高三上·上海市开学考）若的展开式中的系数是，则 ．
7．（2024高三上·上海市开学考）已知圆，则圆心到直线的最大距离为 .
8．（2024高三上·上海市开学考）设当时，函数取得最大值，则 .
9．（2024高三上·上海市开学考）已知为函数图象上的任意一点，则的最大值为 .
10．（2024高三上·上海市开学考）已知两个非零向量满足，则向量在向量方向上的投影向量为 .
11．（2024高三上·上海市开学考）定义为数列的“均值”，已知数列的“均值”，记数列的前项和为，若对任意正整数恒成立，则实数的范围为 ．
12．（2024高三上·上海市开学考）若关于的方程在区间内有两个不同的实数解，那么实数的取值范围是 .
13．（2024高三上·上海市开学考）“”是“”成立的（ ）条件.
A．充分非必要 B．必要非充分
C．充分必要 D．既非充分又非必要
14．（2024高三上·上海市开学考）甲、乙两人从4门课程中各选修2门，则甲、乙所选的课程中恰有1门相同的选法有（ ）
A．6种 B．12种 C．24种 D．30种
15．（2024高三上·上海市开学考）如图，正方体的棱线长为1，线段上有两个动点E，F，且，则下列结论中错误的是（ ）
A．
B．平面ABCD
C．三棱锥的体积为定值
D．异面直线AE，BF所成的角为定值
16．（2024高三上·上海市开学考）我们知道，互相垂直且有公共原点的两条数轴构成平面直角坐标系.如果坐标系中两条坐标轴的原点重合且不互相垂直，那么这样的坐标系称为“斜坐标系”.在斜坐标系中，两条坐标轴的公共原点称为斜坐标系的原点，其坐标记为.在轴（轴）上的点的纵坐标（横坐标）为0，如图，在斜坐标系中，如果轴与轴相交所成的角为，过平面任意一点，分别作坐标轴的平行线，交轴于点，交轴于点，将点在轴上的坐标，点在轴上的坐标称为点在该坐标系中的坐标，记为.若是该坐标系中的任意两点，则点之间的距离为（ ）
A．
B．
C．
D．
17．（2024高三上·上海市开学考）如图，已知正方体的棱长为.
（1）求直线和平面所成角的大小；
（2）求二面角的大小.
18．（2024高三上·上海市开学考）已知，曲线在点处的切线斜率为.
（1）求的值；
（2）求不等式的解集.
19．（2024高三上·上海市开学考）2021年8月，义务交于阶段“双减”政策出台，某初中在课后延时服务开设奥数、科技、体育等特色课程，为了进一步了解学生选课的情况，随机选取了400人进行调查问卷，整理后获得如下统计表：
喜欢奥数 不喜欢奥数 总计
已选奥数课（A组） 150 50 200
未选奥数课（B组） 90 110 200
总计 240 160 400
（1）若从样本内喜欢奥数的240人中用分层抽样方法随机抽取32人，则应在A组、B组各抽取多少人？
（2）能否有的把握认为选报奥数延时课与喜欢奥数有关？
附：
参考公式：，其中.
20．（2024高三上·上海市开学考）在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线．
（1）过的左顶点引的一条渐近线的平行线，求该直线与另一条渐近线及x轴围成的三角形的面积；
（2）设斜率为1的直线l交于P，Q两点，若l与圆相切，求证：；
（3）设椭圆，若M，N分别是，上的动点，且，求证：O到直线MN的距离是定值．
21．（2024高三上·上海市开学考）已知数列中的相邻两项是关于的方程的两个根，且．
（1）求，，，；
（2）求数列的前项和；
（3）记，，求证：．
答案解析部分
1．【答案】
【知识点】并集及其运算
【解析】【解答】解： 集合， 则.
故答案为：.
【分析】根据集合的并集运算求解即可.
2．【答案】
【知识点】其他不等式的解法
【解析】【解答】解：不等式，转化为，则或，
则不等式的解集为：.
故答案为：.
【分析】根据绝对值不等式的解法求解即可.
3．【答案】
【知识点】复数代数形式的乘除运算；共轭复数
【解析】【解答】解：复数，则，故的共轭复数为.
故答案为：.
【分析】由题意，根据复数的运算法则求得，结合共轭复数的概念求解即可.
4．【答案】
【知识点】任意角三角函数的定义
【解析】【解答】解：因为角的终边经过点，则，
根据三角函数的定义可得，
则.
故答案为：.
【分析】根据已知条件，利用三角函数定义求解即可.
5．【答案】
【知识点】贝叶斯公式
【解析】【解答】解：记“选到第一组学生”为事件，“选到共青团员”为事件，
由题意，，，
则“已知选到的是共青团员，则他是第一组学生的概率”为.
故答案为：.
【分析】先记事件，再根据贝叶斯公式求解即可.
6．【答案】1
【知识点】二项式系数的性质；二项展开式的通项
【解析】【解答】解：展开式的的通项为
，
令，解得，
则的展开式中的系数为.
故答案为：1.
【分析】写出二项式的展开式的通项公式，令的指数等于，求得的值，即可求得展开式中的项的系数，再根据的系数是列方程求解即可.
7．【答案】
【知识点】恒过定点的直线；平面内两点间的距离公式；直线和圆的方程的应用
【解析】【解答】解：直线，即，令，解得，
则直线恒过定点，当圆心与定点的连线与直线垂直时，
圆心到直线的距离最大，最大距离为.
故答案为：.
【分析】根据题意，求得直线过定点，当定点与圆心的连线与直线垂直时，距离最大，再由两点间距离公式求解即可.
8．【答案】
【知识点】含三角函数的复合函数的值域与最值；运用诱导公式化简求值；辅助角公式
【解析】【解答】解：函数，
当时，解得，
则.
故答案为：.
【分析】由题意，利用辅助角公式求得函数，结合正弦函数的最值可得，代入求解即可.
9．【答案】
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【解答】解：由题意，可得，
记函数，求导可得，
令，则，解得或；
令，则，解得，
则在单调递增，在单调递减，
且，
由于，则最大值为.
故答案为：.
【分析】构造函数，求导，利用导数判断函数的单调性，即可求解极值点与端点值，再比较即可求解.
10．【答案】
【知识点】平面向量的数量积运算；平面向量的投影向量
【解析】【解答】解：由，可得，
化简可得，则向量在向量方向上的投影向量为.
故答案为：.
【分析】根据投影向量公式和模的运算公式求解即可.
11．【答案】
【知识点】等差数列概念与表示；等差数列的前n项和；数列与不等式的综合
【解析】【解答】解：由题意可得：，即，
当时，，
因此，，而，故，，
所以，所以为常数，
所以数列是等差数列，
又因为数列的前项和为，对任意正整数恒成立，
所以，即，解得.
故答案为：.
【分析】根据题意，得到，求出，得到数列是等差数列，再由数列的前项和为，对任意正整数恒成立，得到，即可求出结果.
12．【答案】
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值；函数的零点与方程根的关系
【解析】【解答】解： 关于的方程 ，化简整理可得，
令，定义域为，求导可得，
当时，；当时，，
则函数在上单调递减，在上单调递增，且，
因此原方程等价于，令，
由题意，方程在内有两个不同的实数解，
即直线与函数在上的图象有两个交点，作出函数的图象，如图所示：
函数在上单调递增，在上单调递减，，
又，于是，
则实数的取值范围是.
故答案为：.
【分析】变形给定方程可得，构造函数，数形结合求出的范围即可.
13．【答案】A
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断
【解析】【解答】解：由能推出，但不能推出，则是成立的充分非必要条件.
故答案为：A.
【分析】由充分条件必要条件的定义判断即可.
14．【答案】C
【知识点】组合及组合数公式
【解析】【解答】解：根据题意，分两步，
①由题意可得，所有两人各选修2门的种数C42C42=36，
②两人所选两门都相同的有为C42=6种，都不同的种数为C42=6，
故只恰好有1门相同的选法有36﹣6﹣6=24种．
故选C.
【分析】根据题意，分两步，①先求所有两人各选修2门的种数，②再求两人所选两门都相同与都不同的种数，进而由事件间的相互关系，分析可得答案．
15．【答案】D
【知识点】异面直线所成的角；直线与平面平行的判定；直线与平面垂直的性质；锥体的体积公式及应用
【解析】【解答】解：A、在正方体中，平面，
平面，所以，即，四边形为正方形，则，
又，平面，平面，所以平面，平面，所以，故A正确；
B、在正方体中， 平面平面，
平面，所以平面ABCD，故B正确；
C、连接交于点，如图所示：
设三棱锥的高为，，平面，平面，所以点B到直线的距离即为，，又因为平面，即平面，
所以AO为三棱锥的高，在中，，
所以，（定值），故C正确；
D、设异面直线AE，BF所成的角为，连接交于点，
当点与重合时，因为，此时点与点重合，连接，
在正方体，且，所以四边形为平行四边形，
所以，即为异面直线AE，BF所成的角，
在中，，，，
因为，所以为直角三角形，
，所以异面直线AE，BF所成的角的正弦值为，
当点与重合时，，此时点与点重合，，即，
即为即为异面直线AE，BF所成的角，
在中，，，，
，所以异面直线AE，BF所成的角的正弦值为，
异面直线AE，BF所成的角不是定值，故D错误.
故答案为：D.
【分析】利用直线与平面垂直的性质可证得，即可判断A；运用两个平面平行的性质，可证明平面ABCD，即可判断B；结合三棱锥的体积公式可求其体积为定值即可判断C；在线段上选取特殊位置，结合异面直线所成的角，即可求得异面直线AE，BF所成的角不是定值即可判断D.
16．【答案】B
【知识点】向量的模；平面向量的数量积运算
【解析】【解答】解：设轴方向的单位向量为轴方向的单位向量为，
则，得，
由向量的数量积运算，得，
，
则.
故答案为：B.
【分析】根据向量数量积、模的运算求解即可.
17．【答案】（1）解：因为平面，所以为直线和平面所成角，
所以，则直线和平面所成角的大小为；
（2）解：因为平面平面，所以平面，
又因为平面，所以二面角的平面角为，
因为，所以.
【知识点】直线与平面所成的角；二面角及二面角的平面角
【解析】【分析】（1）根据正方体的几何特征结合线面角定义得出线面角，再根据边长得出角的正切最后结合反三角求角即可；
（2）根据二面角定义得出二面角，再根据边长得出正切，最后求角即可.
（1）平面直线和平面所成角为，
，
则直线和平面所成角的大小为.
（2）平面平面平面，
平面，
则二面角的平面角为，
.
18．【答案】（1）解：函数，求导可得，
因为函数在点处的切线斜率为，
所以，解得；
（2）解：由（1）得，，则恒成立，即在上单调递增，
又，即函数为奇函数，
由，可知，即，解得，
即不等式的解集为.
【知识点】函数的奇偶性；导数的几何意义；利用导数研究函数的单调性
【解析】【分析】（1）求导，根据导数的几何意义可得参数值；
（2）根据导数判断函数单调性，再结合函数的奇偶性解不等式即可.
（1）由已知，得，
又函数在点处的切线斜率为，
即，
解得；
（2）由（1）得，，
则恒成立，
即在上单调递增，
又，
即函数为奇函数，
由，可知，
即，解得，
即不等式的解集为.
19．【答案】（1）解：应在A组抽取，应在B组抽取；
（2）解：由题意可得：，
则有的把握认为选报奥数延时课与喜欢奥数有关.
【知识点】分层抽样方法；独立性检验
【解析】【分析】（1）根据分层抽样列式计算即可；
（2）根据表格数据求出的值，然后与临界值比较即可判断.
（1）应在A组抽取，应在B组抽取；
（2）由题意可得，
因此有的把握认为选报奥数延时课与喜欢奥数有关.
20．【答案】解：（1）根据题意可得的左顶点为，设直线方程为，
与另一条渐近线联立求得交点坐标为，所以对应三角形的面积为；
（2）设直线的方程是，因直线与已知圆相切，故，即，
由，消元整理可得，
设，，则，，
则，
故；
（3）当直线ON垂直于x轴时，，，则O到直线MN的距离为，
当直线不垂直于轴时，
设直线的方程为（显然），则直线的方程为，
由与椭圆方程联立，得，，所以，
同理，
设O到直线MN的距离为d，则由，得，
综上，O到直线MN的距离是定值.
【知识点】平面内点到直线的距离公式；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（1）根据题意，写出双曲线的左顶点，求出直线的方程，联立求得三角形顶点坐标，再利用三角形的面积公式求解即可；
（2）设直线的方程为，通过直线与已知圆相切，得到，
通过求解；证明；
（3）当直线垂直轴时，直接求出到直线的距离为.当直线不垂直轴时，设直线的方程为：，（显然），推出直线的方程为，求出，，设到直线的距离为，通过，求出，推出到直线的距离是定值.
21．【答案】（1）解：方程的两个根为，，
当时，，所以；
当时，，，所以；
当时，，，所以；
当时，，，所以；
（2）解：；
（3）证明：，所以，．
当时，
，
同时，
．
综上，当时，．
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系；等差数列的前n项和；等比数列的前n项和；数列与不等式的综合
【解析】【分析】（1）由方程求得，，讨论参数k的值，求相应的；
（2）利用等差等比前n项和公式及分组求和求即可；
（3）根据已知求出、，再应用放缩及等比前n项和公式证明即可.
（1）方程的两个根为，，
当时，，所以；
当时，，，所以；
当时，，，所以；
当时，，，所以．
（2）．
（3），所以，．
当时，
，
同时，
．
综上，当时，．
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