北京市第一中学2023-2024学年高一下学期期中考试数学试题
1．（2024高一下·北京市期中）在复平面内，复数对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】A
【知识点】复数在复平面中的表示
【解析】【解答】解：
对应的点为，
点位于第一象限，
故答案为：A.
【分析】化简复数，再根据复数的几何意义，即可得到答案；
2．（2024高一下·北京市期中）已知向量，，若，则（ ）
A．﹣4 B．1 C．2 D．4
【答案】D
【知识点】平面向量共线（平行）的坐标表示
【解析】【解答】因为 向量，， 所以.所以t=4
故答案为：D.
【分析】
根据坐标形式的共线定理其中，， 即可求解.
3．（2024高一下·北京市期中）设，为非零向量，且满足，则与的关系是（ ）
A．既不共线也不垂直 B．垂直
C．同向 D．反向
【答案】D
【知识点】向量的模；共线（平行）向量；平面向量的数量积运算；数量积表示两个向量的夹角
【解析】【解答】解：设 与 的夹角为，
同时平方可得，
即，因为为非零向量，
则，解得，
故与的关系是共线且方向相反.
故答案为：D.
【分析】根据已知条件，将两边同时平方，利用数量积定义再化简，求得，即可求解.
4．（2024高一下·北京市期中）（2015新课标全国Ⅰ文科）已知点，向量，则向量
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】平面向量加法运算；平面向量加、减运算的坐标表示
【解析】【解答】解：，故答案为：A.
【分析】根据向量加法坐标运算代入计算即可.
5．（2024高一下·北京市期中）中，，，，（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】平面向量的数量积运算
【解析】【解答】依题意得，由于，则的夹角是，
则.
故答案为：B
【分析】
根据数量积的定义计算即可.
6．（2024高一下·北京市期中）已知是平面内四个不同的点，则“”是“四边形为平行四边形”的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；共线（平行）向量
【解析】【解答】解：一方面，时，可能共线，此时不构成四边形，充分性不成立；
另一方面，四边形为平行四边形时，则，故，必要性成立.
故“”是“四边形为平行四边形”的必要不充分条件.
故答案为：B
【分析】根据向量平行的意义结合充分必要条件的定义，进行判断即可.
7．（2024高一下·北京市期中）等边的边长为2，则在上的投影向量为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】数量积表示两个向量的夹角；平面向量的投影向量
【解析】【解答】因为是边长为的等边三角形，且，
可得向量在向量上的投影的数量为，
所以向量在向量上的投影向量为.
故答案为：A.
【分析】
根据向量数量积的几何意义和投影向量的公式，即可求解.
8．（2024高一下·北京市期中）为了得到函数的图象，需要把函数的图象（ ）
A．向左平移个单位长度 B．向右平移个单位长度
C．向左平移个单位长度 D．向右平移个单位长度
【答案】C
【知识点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换
【解析】【解答】函数，根据图像左加右减的变换原则，
只需把函数的图象向左平移个单位长度，
即可得到函数的图象，
故答案为：．
【分析】
利用函数的图象左加由减规律进行转换，注意提取再左加右减，即可求解．
9．（2024高一下·北京市期中）据《九章算术》记载，商高是我国西周时期的数学家，曾经和周公讨论过“勾3股4弦5”的问题，比毕达哥拉斯早500年.如图，现有满足“勾3股4弦5”，其中，，点是延长线上的一点，则=（ ）
A．3 B．4 C．9 D．不能确定
【答案】C
【知识点】平面向量加法运算；平面向量的数量积运算；利用数量积判断平面向量的垂直关系
【解析】【解答】因为，所以
所以，所以，所以，
所以.
故答案为：C
【分析】
利用勾股定理、结合平面向量的线性运算，两个垂直向量的数量积为0，计算即可.
10．（2024高一下·北京市期中）在中，，，且，则的最小值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】向量的模；平面向量的数量积运算
【解析】【解答】解：，，且
，
当时，取得最小值为，则取得最小值为.
故答案为：A.
【分析】根据模的运算法则、数量积定义，结合二次函数求最值即可.
11．（2024高一下·北京市期中）已知向量，，且，则 .
【答案】8
【知识点】平面向量数量积的坐标表示；利用数量积判断平面向量的垂直关系；平面向量加、减运算的坐标表示
【解析】【解答】解：根据题意，向量，，则
由，可得，
解得.
故答案为：8.
【分析】根据题意，由向量坐标的加法运算可得，再利用向量垂直与向量数量积的关系分析可得，即可解得的值．
12．（2024高一下·北京市期中）已知复数满足，那么 ， ．
【答案】；
【知识点】复数代数形式的混合运算；复数的模；共轭复数
【解析】【解答】解：复数，
故，．
【分析】利用复数除法运算得到复数，进而求出其共轭复数与模即可.
13．（2024高一下·北京市期中）已知向量，，与的夹角为，则求 ．
【答案】
【知识点】向量的模；平面向量的数量积运算
【解析】【解答】解：，即.
故答案为：
【分析】先求表达式平方，再结合数量积的运算即可求解.
14．（2024高一下·北京市期中）已知非零平面向量，，，
①若，则；②若，则；
③若，则；④若，则或．
其中正确命题的序号是 ．
【答案】②③
【知识点】向量的模；共线（平行）向量；平面向量的数量积运算；数量积表示两个向量的夹角；利用数量积判断平面向量的垂直关系
【解析】【解答】对于①，例如，时，则，满足题意，但，故错误；
对于②，若，则，
可得，所以，
所以与的夹角为，故正确；
对于③，若，则，
，可得，
因为向量，是非零向量，则，故正确；
对于④，若，则，
所以，可得与的模长相等，但夹角不确定，故错误.
其中正确命题的序号是②③.
故答案为：②③.
【分析】
举反例结合向量垂直条件可判断①错误；对已知等式两边平方可判断②③正确；根据向量相等可判断④错误．
15．（2024高一下·北京市期中）如图，四边形ABCD是正方形，延长CD至E，使DE＝CD，若点P是以点A为圆心，AB为半径的圆弧（不超出正方形）上的任一点，设向量，则的取值范围是 ．
【答案】
【知识点】两角和与差的正弦公式；含三角函数的复合函数的值域与最值；函数y=Asin（ωx+φ）的图象与性质
【解析】【解答】如图，建立平面直角坐标系，设，则，
设，则，
因为，
所以，
所以，解得，
所以，其中，
因为，
所以当时，取得最小值，此时取得最小值1，
当时，取得最大值1，此时取得最大值
所以的取值范围为，
故答案为：
【分析】
如图，建立平面直角坐标系，设，则，设，则，则由已知可得，从而可得，然后利用正弦函数的性质可求得其范围
16．（2024高一下·北京市期中）已知，，与的夹角为．
（1）求；
（2）求；
（3）当k为何值时，？
【答案】（1）解：因为，，与的夹角为．
所以；
（2）解：；
（3）解：因为所以，
即，
所以，解得。
【知识点】平面向量的数量积运算；利用数量积判断平面向量的垂直关系
【解析】【分析】（1）利用数量积公式计算即可求解；
（2）将两边平方再开方，展开转化为向量的模，代入即可求解；
（3）利用向量垂直条件，数量积为零，解方程即可求解.
（1）；
（2）；
（3）由得，
即，
可得，解得
17．（2024高一下·北京市期中）在中，，，，且，与交于点，设，．
（1）用向量，表示，；
（2）求的值．
【答案】（1）解：因为，即，且，所以，
所以，
所以，
；
（2）解：因为，；
所以
，
，
则，
所以
【知识点】平面向量的基本定理；平面向量的数量积运算；数量积表示两个向量的夹角
【解析】【分析】（1）根据共线向量定义得，再由平行线分线段成比例得，利用向量的加法法则、数乘向量运算用 向量，表示， 即可；
（2）利用向量线数量积求出和，然后利用夹角公式求解即可.
（1）因为，即，且，
则，
，
；
（2）由（1）得
，
，
则，
所以
18．（2024高一下·北京市期中）如右图，某货轮在A处看灯塔B在货轮的北偏东75°，距离为nmile，在A处看灯塔C在货轮的北偏西30°，距离为n mile，货轮由A处向正北航行到D处时，再看灯塔B在北偏东120°，求：
(1)A处与D处的距离；
(2)灯塔C与D处的距离．
【答案】解：(1) 在△ABD中，由已知得∠ADB=60°，B=45°，
由正弦定理得
(2) 在△ADC中，AD=24，，，
由余弦定理得CD2=AD2+AC2﹣2AD ACcos30°=，
所以CD=．
所以A处与D处之间的距离为24nmile，灯塔C与D处之间的距离为nmile．
【知识点】正弦定理的应用
【解析】【分析】（1）利用已知条件， 在△ABD中，利用正弦定理求得AD的长．
（2）在△ADC中由余弦定理可求得CD，即可求解．
19．（2024高一下·北京市期中） 的内角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ．向量 与 平行．
（Ⅰ）求 ；
（Ⅱ）若 ， 求 的面积．
【答案】解：（Ⅰ）因为向量 与 平行，
所以 ，
由正弦定理得 ，
又 ，从而tanA＝ ，由于0
（Ⅱ）由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bccosA，而a＝ ，b＝2，A＝ ，
得7＝4＋c2－2c，即c2－2c－3＝0，
因为c>0，所以c＝3.
故△ABC的面积为 bcsinA＝ .
【知识点】平面向量共线（平行）的坐标表示；正弦定理；余弦定理；三角形中的几何计算
【解析】【分析】（1）利用向量平行的坐标表示结合正弦定理和同角三角函数关系式，再利用三角形中角A的取值范围，从而求出角A。
（2）利用余弦定理结合已知条件求出c的值，再利用已知条件结合三角形面积公式求出 的面积。
20．（2024高一下·北京市期中）已知函数，其中，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知条件，使存在，并完成下列两个问题．
条件①：为奇函数；条件②：；条件③：
（1）求的值；
（2）若，函数在区间上最小值为，求实数的取值范围．
条件①：对任意的，都有成立；
条件②：；
条件③：．
【答案】（1）解：由，
若选条件①：当时，，因为，即，且对任意，都有恒成立，故选条件①时存在，故可选①；
若选条件②：，解得或，，因为，所以与条件矛盾，故不选②；
若选条件③：，
所以，因为，可得，故条件③能使成立，故可选③；
综上所述：故可选择条件①或③，此时.
（2）解：由（1）知，当时，，
且的最小值为，所以可得，解得，又，
所以，
所以的取值范围为.
【知识点】简单的三角恒等变换；两角和与差的正弦公式；含三角函数的复合函数的值域与最值；函数y=Asin（ωx+φ）的图象与性质
【解析】【分析】（1）根据所选条件分别计算能否使成立，从而可求解.
（2）根据（1）中可得，再利用整体代换法得，从而可求得，再结合，从而可求解.
（1）由，
若选条件①：可知当时，，因为，即，且对任意，都有恒成立，故选条件①时存在，故可选①；
若选条件②：，解得或，，因为，所以与条件矛盾，故不选②；
若选条件③：，
所以，因为，可得，故条件③能使成立，故可选③；
综上所述：故可选择条件①或③，此时.
（2）由（1）知，当时，，
且的最小值为，所以可得，解得，又，
所以，
所以的取值范围为.
21．（2024高一下·北京市期中）对于任意实数a，b，c，d，表达式称为二阶行列式，记作．
（1）求下列行列式的值：
①；②
（2）求证：向量与向量共线的充要条件是；
（3）讨论关于，的二元一次方程组（）有唯一解的条件，并求出解．（结果用二阶行列式的记号表示）
【答案】（1）解：因为 任意实数a，b，c，d，表达式称为二阶行列式，记作．
所以①；
②.
（2）证明：若向量与向量共线，则：
当时，有，即，
当时，有，即，所以必要性得证.
反之，若，即，
当c，d不全为0时，即时，
不妨设，则，可得，
因为，则，
所以，所以与共线，
当且时，，则与共线，充分性得证；
综上可得：向量与向量共线的充要条件是.
（3）解：由 得：，③
所以，，
所以当时，关于x，y的二元一次方程组（）有唯一解，且，.
【知识点】平面向量共线（平行）的坐标表示；二阶矩阵与平面向量的乘法；二阶行列式的定义
【解析】【分析】（1）利用行列式的定义 对于任意实数a，b，c，d，表达式称为二阶行列式，记作． 代入即可求出行列式的值；
（2）根据向量共线的坐标运算，当时，有，当时，有，结合充要条件即可证明；
（3）解二元一次方程组 得：，由此能求出当时，关于x，y的二元一次方程组（）有唯一解，即可求出解.
（1）①由题意可得：；
②由题意可得：.
（2）若向量与向量共线，则：
当时，有，即，
当时，有，即，所以必要性得证.
反之，若，即，
当c，d不全为0时，即时，
不妨设，则，可得，
因为，则，
可得，则与共线，
当且时，，则与共线，充分性得证；
综上所述：向量与向量共线的充要条件是.
（3）用和分别乘上面两个方程的两端，然后两个方程相减，消去y得：
，③
同理，消去x，得：，④
当时，即时，由③④得：
，，
所以当时，关于x，y的二元一次方程组（）有唯一解，且，.
1 / 1北京市第一中学2023-2024学年高一下学期期中考试数学试题
1．（2024高一下·北京市期中）在复平面内，复数对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
2．（2024高一下·北京市期中）已知向量，，若，则（ ）
A．﹣4 B．1 C．2 D．4
3．（2024高一下·北京市期中）设，为非零向量，且满足，则与的关系是（ ）
A．既不共线也不垂直 B．垂直
C．同向 D．反向
4．（2024高一下·北京市期中）（2015新课标全国Ⅰ文科）已知点，向量，则向量
A． B． C． D．
5．（2024高一下·北京市期中）中，，，，（ ）
A． B． C． D．
6．（2024高一下·北京市期中）已知是平面内四个不同的点，则“”是“四边形为平行四边形”的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
7．（2024高一下·北京市期中）等边的边长为2，则在上的投影向量为（ ）
A． B． C． D．
8．（2024高一下·北京市期中）为了得到函数的图象，需要把函数的图象（ ）
A．向左平移个单位长度 B．向右平移个单位长度
C．向左平移个单位长度 D．向右平移个单位长度
9．（2024高一下·北京市期中）据《九章算术》记载，商高是我国西周时期的数学家，曾经和周公讨论过“勾3股4弦5”的问题，比毕达哥拉斯早500年.如图，现有满足“勾3股4弦5”，其中，，点是延长线上的一点，则=（ ）
A．3 B．4 C．9 D．不能确定
10．（2024高一下·北京市期中）在中，，，且，则的最小值是（ ）
A． B． C． D．
11．（2024高一下·北京市期中）已知向量，，且，则 .
12．（2024高一下·北京市期中）已知复数满足，那么 ， ．
13．（2024高一下·北京市期中）已知向量，，与的夹角为，则求 ．
14．（2024高一下·北京市期中）已知非零平面向量，，，
①若，则；②若，则；
③若，则；④若，则或．
其中正确命题的序号是 ．
15．（2024高一下·北京市期中）如图，四边形ABCD是正方形，延长CD至E，使DE＝CD，若点P是以点A为圆心，AB为半径的圆弧（不超出正方形）上的任一点，设向量，则的取值范围是 ．
16．（2024高一下·北京市期中）已知，，与的夹角为．
（1）求；
（2）求；
（3）当k为何值时，？
17．（2024高一下·北京市期中）在中，，，，且，与交于点，设，．
（1）用向量，表示，；
（2）求的值．
18．（2024高一下·北京市期中）如右图，某货轮在A处看灯塔B在货轮的北偏东75°，距离为nmile，在A处看灯塔C在货轮的北偏西30°，距离为n mile，货轮由A处向正北航行到D处时，再看灯塔B在北偏东120°，求：
(1)A处与D处的距离；
(2)灯塔C与D处的距离．
19．（2024高一下·北京市期中） 的内角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ．向量 与 平行．
（Ⅰ）求 ；
（Ⅱ）若 ， 求 的面积．
20．（2024高一下·北京市期中）已知函数，其中，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知条件，使存在，并完成下列两个问题．
条件①：为奇函数；条件②：；条件③：
（1）求的值；
（2）若，函数在区间上最小值为，求实数的取值范围．
条件①：对任意的，都有成立；
条件②：；
条件③：．
21．（2024高一下·北京市期中）对于任意实数a，b，c，d，表达式称为二阶行列式，记作．
（1）求下列行列式的值：
①；②
（2）求证：向量与向量共线的充要条件是；
（3）讨论关于，的二元一次方程组（）有唯一解的条件，并求出解．（结果用二阶行列式的记号表示）
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】复数在复平面中的表示
【解析】【解答】解：
对应的点为，
点位于第一象限，
故答案为：A.
【分析】化简复数，再根据复数的几何意义，即可得到答案；
2．【答案】D
【知识点】平面向量共线（平行）的坐标表示
【解析】【解答】因为 向量，， 所以.所以t=4
故答案为：D.
【分析】
根据坐标形式的共线定理其中，， 即可求解.
3．【答案】D
【知识点】向量的模；共线（平行）向量；平面向量的数量积运算；数量积表示两个向量的夹角
【解析】【解答】解：设 与 的夹角为，
同时平方可得，
即，因为为非零向量，
则，解得，
故与的关系是共线且方向相反.
故答案为：D.
【分析】根据已知条件，将两边同时平方，利用数量积定义再化简，求得，即可求解.
4．【答案】A
【知识点】平面向量加法运算；平面向量加、减运算的坐标表示
【解析】【解答】解：，故答案为：A.
【分析】根据向量加法坐标运算代入计算即可.
5．【答案】B
【知识点】平面向量的数量积运算
【解析】【解答】依题意得，由于，则的夹角是，
则.
故答案为：B
【分析】
根据数量积的定义计算即可.
6．【答案】B
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；共线（平行）向量
【解析】【解答】解：一方面，时，可能共线，此时不构成四边形，充分性不成立；
另一方面，四边形为平行四边形时，则，故，必要性成立.
故“”是“四边形为平行四边形”的必要不充分条件.
故答案为：B
【分析】根据向量平行的意义结合充分必要条件的定义，进行判断即可.
7．【答案】A
【知识点】数量积表示两个向量的夹角；平面向量的投影向量
【解析】【解答】因为是边长为的等边三角形，且，
可得向量在向量上的投影的数量为，
所以向量在向量上的投影向量为.
故答案为：A.
【分析】
根据向量数量积的几何意义和投影向量的公式，即可求解.
8．【答案】C
【知识点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换
【解析】【解答】函数，根据图像左加右减的变换原则，
只需把函数的图象向左平移个单位长度，
即可得到函数的图象，
故答案为：．
【分析】
利用函数的图象左加由减规律进行转换，注意提取再左加右减，即可求解．
9．【答案】C
【知识点】平面向量加法运算；平面向量的数量积运算；利用数量积判断平面向量的垂直关系
【解析】【解答】因为，所以
所以，所以，所以，
所以.
故答案为：C
【分析】
利用勾股定理、结合平面向量的线性运算，两个垂直向量的数量积为0，计算即可.
10．【答案】A
【知识点】向量的模；平面向量的数量积运算
【解析】【解答】解：，，且
，
当时，取得最小值为，则取得最小值为.
故答案为：A.
【分析】根据模的运算法则、数量积定义，结合二次函数求最值即可.
11．【答案】8
【知识点】平面向量数量积的坐标表示；利用数量积判断平面向量的垂直关系；平面向量加、减运算的坐标表示
【解析】【解答】解：根据题意，向量，，则
由，可得，
解得.
故答案为：8.
【分析】根据题意，由向量坐标的加法运算可得，再利用向量垂直与向量数量积的关系分析可得，即可解得的值．
12．【答案】；
【知识点】复数代数形式的混合运算；复数的模；共轭复数
【解析】【解答】解：复数，
故，．
【分析】利用复数除法运算得到复数，进而求出其共轭复数与模即可.
13．【答案】
【知识点】向量的模；平面向量的数量积运算
【解析】【解答】解：，即.
故答案为：
【分析】先求表达式平方，再结合数量积的运算即可求解.
14．【答案】②③
【知识点】向量的模；共线（平行）向量；平面向量的数量积运算；数量积表示两个向量的夹角；利用数量积判断平面向量的垂直关系
【解析】【解答】对于①，例如，时，则，满足题意，但，故错误；
对于②，若，则，
可得，所以，
所以与的夹角为，故正确；
对于③，若，则，
，可得，
因为向量，是非零向量，则，故正确；
对于④，若，则，
所以，可得与的模长相等，但夹角不确定，故错误.
其中正确命题的序号是②③.
故答案为：②③.
【分析】
举反例结合向量垂直条件可判断①错误；对已知等式两边平方可判断②③正确；根据向量相等可判断④错误．
15．【答案】
【知识点】两角和与差的正弦公式；含三角函数的复合函数的值域与最值；函数y=Asin（ωx+φ）的图象与性质
【解析】【解答】如图，建立平面直角坐标系，设，则，
设，则，
因为，
所以，
所以，解得，
所以，其中，
因为，
所以当时，取得最小值，此时取得最小值1，
当时，取得最大值1，此时取得最大值
所以的取值范围为，
故答案为：
【分析】
如图，建立平面直角坐标系，设，则，设，则，则由已知可得，从而可得，然后利用正弦函数的性质可求得其范围
16．【答案】（1）解：因为，，与的夹角为．
所以；
（2）解：；
（3）解：因为所以，
即，
所以，解得。
【知识点】平面向量的数量积运算；利用数量积判断平面向量的垂直关系
【解析】【分析】（1）利用数量积公式计算即可求解；
（2）将两边平方再开方，展开转化为向量的模，代入即可求解；
（3）利用向量垂直条件，数量积为零，解方程即可求解.
（1）；
（2）；
（3）由得，
即，
可得，解得
17．【答案】（1）解：因为，即，且，所以，
所以，
所以，
；
（2）解：因为，；
所以
，
，
则，
所以
【知识点】平面向量的基本定理；平面向量的数量积运算；数量积表示两个向量的夹角
【解析】【分析】（1）根据共线向量定义得，再由平行线分线段成比例得，利用向量的加法法则、数乘向量运算用 向量，表示， 即可；
（2）利用向量线数量积求出和，然后利用夹角公式求解即可.
（1）因为，即，且，
则，
，
；
（2）由（1）得
，
，
则，
所以
18．【答案】解：(1) 在△ABD中，由已知得∠ADB=60°，B=45°，
由正弦定理得
(2) 在△ADC中，AD=24，，，
由余弦定理得CD2=AD2+AC2﹣2AD ACcos30°=，
所以CD=．
所以A处与D处之间的距离为24nmile，灯塔C与D处之间的距离为nmile．
【知识点】正弦定理的应用
【解析】【分析】（1）利用已知条件， 在△ABD中，利用正弦定理求得AD的长．
（2）在△ADC中由余弦定理可求得CD，即可求解．
19．【答案】解：（Ⅰ）因为向量 与 平行，
所以 ，
由正弦定理得 ，
又 ，从而tanA＝ ，由于0（Ⅱ）由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bccosA，而a＝ ，b＝2，A＝ ，
得7＝4＋c2－2c，即c2－2c－3＝0，
因为c>0，所以c＝3.
故△ABC的面积为 bcsinA＝ .
【知识点】平面向量共线（平行）的坐标表示；正弦定理；余弦定理；三角形中的几何计算
【解析】【分析】（1）利用向量平行的坐标表示结合正弦定理和同角三角函数关系式，再利用三角形中角A的取值范围，从而求出角A。
（2）利用余弦定理结合已知条件求出c的值，再利用已知条件结合三角形面积公式求出 的面积。
20．【答案】（1）解：由，
若选条件①：当时，，因为，即，且对任意，都有恒成立，故选条件①时存在，故可选①；
若选条件②：，解得或，，因为，所以与条件矛盾，故不选②；
若选条件③：，
所以，因为，可得，故条件③能使成立，故可选③；
综上所述：故可选择条件①或③，此时.
（2）解：由（1）知，当时，，
且的最小值为，所以可得，解得，又，
所以，
所以的取值范围为.
【知识点】简单的三角恒等变换；两角和与差的正弦公式；含三角函数的复合函数的值域与最值；函数y=Asin（ωx+φ）的图象与性质
【解析】【分析】（1）根据所选条件分别计算能否使成立，从而可求解.
（2）根据（1）中可得，再利用整体代换法得，从而可求得，再结合，从而可求解.
（1）由，
若选条件①：可知当时，，因为，即，且对任意，都有恒成立，故选条件①时存在，故可选①；
若选条件②：，解得或，，因为，所以与条件矛盾，故不选②；
若选条件③：，
所以，因为，可得，故条件③能使成立，故可选③；
综上所述：故可选择条件①或③，此时.
（2）由（1）知，当时，，
且的最小值为，所以可得，解得，又，
所以，
所以的取值范围为.
21．【答案】（1）解：因为 任意实数a，b，c，d，表达式称为二阶行列式，记作．
所以①；
②.
（2）证明：若向量与向量共线，则：
当时，有，即，
当时，有，即，所以必要性得证.
反之，若，即，
当c，d不全为0时，即时，
不妨设，则，可得，
因为，则，
所以，所以与共线，
当且时，，则与共线，充分性得证；
综上可得：向量与向量共线的充要条件是.
（3）解：由 得：，③
所以，，
所以当时，关于x，y的二元一次方程组（）有唯一解，且，.
【知识点】平面向量共线（平行）的坐标表示；二阶矩阵与平面向量的乘法；二阶行列式的定义
【解析】【分析】（1）利用行列式的定义 对于任意实数a，b，c，d，表达式称为二阶行列式，记作． 代入即可求出行列式的值；
（2）根据向量共线的坐标运算，当时，有，当时，有，结合充要条件即可证明；
（3）解二元一次方程组 得：，由此能求出当时，关于x，y的二元一次方程组（）有唯一解，即可求出解.
（1）①由题意可得：；
②由题意可得：.
（2）若向量与向量共线，则：
当时，有，即，
当时，有，即，所以必要性得证.
反之，若，即，
当c，d不全为0时，即时，
不妨设，则，可得，
因为，则，
可得，则与共线，
当且时，，则与共线，充分性得证；
综上所述：向量与向量共线的充要条件是.
（3）用和分别乘上面两个方程的两端，然后两个方程相减，消去y得：
，③
同理，消去x，得：，④
当时，即时，由③④得：
，，
所以当时，关于x，y的二元一次方程组（）有唯一解，且，.
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