北京市翔宇中学2023-2024学年高一下学期期中考试数学试卷
1．（2024高一下·北京市期中）已知复数，则在复平面内对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
2．（2024高一下·北京市期中）已知平面向量，则向量（ ）
A． B． C． D．
3．（2024高一下·北京市期中）以下命题中正确的个数是（ ）
①两个相等向量的模相等；
②若和都是单位向量，则；
③相等的两个向量一定是共线向量；
④零向量是唯一没有方向的向量；
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
4．（2024高一下·北京市期中）如图所示的几何体是由下面哪一个平面图形旋转而形成的 ( )
A． B． C． D．
5．（2024高一下·北京市期中）若，则（ ）
A． B． C． D．
6．（2024高一下·北京市期中）已知，则（ ）
A． B． C． D．
7．（2024高一下·北京市期中）要得到函数y＝sin的图象，只需将函数y＝sin 2x的图象( )
A．向左平移个单位 B．向右平移个单位
C．向左平移个单位 D．向右平移个单位
8．（2024高一下·北京市期中）如图、在四棱锥中，底面为矩形，底面，若，，则该四棱锥的体积为（ ）
A．18 B．12 C．9 D．6
9．（2024高一下·北京市期中）在△ABC中，已知a＝1，b＝，A＝30°，则B等于（ ）
A．60° B．60°或120° C．30°或150° D．120°
10．（2024高一下·北京市期中）如图，某四边形的斜二测直观图是上底为2，下底为4，高为1的等腰梯形，则原四边形的面积为
A． B． C． D．
11．（2024高一下·北京市期中）已知向量，，，且，，则
A．3 B． C． D．
12．（2024高一下·北京市期中）如图，在△ABC中，点D在线段BC上，且BD=2DC，若，则（ ）
A． B． C．2 D．
13．（2024高一下·北京市期中）在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若a2+c2-b2=ac，则角B的值为（ ）
A． B． C．或 D．或
14．（2024高一下·北京市期中）在中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且，则的形状为（ ）
A．等腰三角形 B．直角三角形
C．等腰直角三角形 D．等腰三角形或直角三角形
15．（2024高一下·北京市期中）在中，若，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
16．（2024高一下·北京市期中）已知复数，，则
17．（2024高一下·北京市期中）已知向量且则实数 .
18．（2024高一下·北京市期中）在中，若，，，则的面积为 ．
19．（2024高一下·北京市期中）赵爽是我国古代数学家，大约在公元222年，他为《周髀算经》一书作序时，介绍了“赵爽弦图”——由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形，如图1所示.类比“赵爽弦图”，可构造如图2所示的图形，它是由3个全等的三角形与中间一个小等边三角形拼成的一个大等边三角形.在中，若，则 .
20．（2024高一下·北京市期中）在如图所示的几何体中，是棱柱的为 .（填写所有正确的序号）
21．（2024高一下·北京市期中）某组合体的直观图如图所示，它的上部为圆柱体，下部为长方体，试求该组合体的表面积和体积.
22．（2024高一下·北京市期中）已知复数.
(1)若是纯虚数，求的值；
(2)若在复平面上对应的点在第四象限，求的取值范围.
23．（2024高一下·北京市期中）在中，.
（1）求；
（2）若，求的面积.
24．（2024高一下·北京市期中）已知向量.
（1）若，求的值；
（2）若，求实数的值；
（3）若与的夹角是锐角，求实数的取值范围．
25．（2024高一下·北京市期中）在 中， ， ， ．
（Ⅰ）求b的值；
（Ⅱ）求 的值．
26．（2024高一下·北京市期中）已知函数.
（1）求的最小正周期和单调递增区间.
（2）当时，求的最值.
27．（2024高一下·北京市期中）求函数的值域.
28．（2024高一下·北京市期中）如图所示，已知圆锥SO中，底面半径r=1，母线长l=4，M为母线SA上的一个点，且SM=x，从点M拉一根绳子，围绕圆锥侧面转到点A.求：
(1)绳子的最短长度的平方f(x).
(2)绳子最短时，顶点到绳子的距离.
(3)f(x)的最大值.
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】复数在复平面中的表示；复数代数形式的乘除运算
【解析】【解答】，
故对应的点为，在第三象限，
故答案为：C.
【分析】根据复数除法运算化简，利用复数在平面内表示的点位置，即可求解.
2．【答案】D
【知识点】平面向量加、减运算的坐标表示；平面向量数乘运算的坐标表示
【解析】【解答】由题意，所以，所以.
故答案为：D.
【分析】由向量的坐标线性运算即可求解.
3．【答案】B
【知识点】向量的模；零向量；单位向量；共线（平行）向量；相等向量
【解析】【解答】对于①，两个相等向量的模相等，且它们的方向也相同，故①正确；
对于②，若和都是单位向量，当它们的方向不同时，则不成立，故②错误；
对于③，相等的两个向量方向相同，所以它们一定是共线向量，故③正确；
对于④，任何向量都有大小以及方向，零向量也是向量，只不过零向量是方向任意的向量，故④错误.
故正确的有①③，共两个.
故答案为：B.
【分析】由相等向量、零向量、单位向量以及共线向量的定义逐一判断各个序号即可求解.
4．【答案】A
【知识点】旋转体（圆柱/圆锥/圆台/球）的结构特征
【解析】【解答】该几体的上部分是圆锥，中间是两个同底的圆台，下部分是圆柱，圆锥的轴截面是直角三角形，圆台的轴截面是直角梯形，圆柱的轴截面是矩形
∴这个几何图形是由一个直角三角形和两个直角梯形以及一个矩形围绕直角边所在的直线为轴旋转一周得到．
故答案为：A．
【分析】根据圆锥、圆台、圆柱的轴截面对应图形，得这个几何图形是由一个直角三角形和两个直角梯形以及一个矩形围绕直角边所在的直线为轴旋转一周得到．判断A正确.
5．【答案】A
【知识点】向量加减混合运算
【解析】【解答】.
故答案为：A.
【分析】
由向量的减法的坐标运算即可求解.
6．【答案】C
【知识点】复数代数形式的混合运算；复数的模；共轭复数
【解析】【解答】解：，
．
故选：．
【分析】把代入，再由复数代数形式的乘除运算求解即可．
7．【答案】D
【知识点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换
【解析】【解答】要得到函数y＝sin，只需将函数y＝sin 2x中的x减去，即得到y＝sin 2＝sin．故答案为：D.
【分析】根据正弦型函数图象转化即可.
8．【答案】D
【知识点】锥体的体积公式及应用
【解析】【解答】由题意可得：该四棱锥的体积为，
故答案为：D.
【分析】由棱锥的体积公式 V=S×H 计算即可求解.
9．【答案】B
【知识点】解三角形；正弦定理
【解析】【解答】因为，
由正弦定理得：，即，
解得，
因为，所以或，
故答案为：B.
【分析】由条件利用正弦定理求得sinB的值，即可求解．
10．【答案】D
【知识点】斜二测画法直观图
【解析】【解答】原图的面积是斜二测图形面积的倍．该四边形的斜二测图形面积为，故原图面积为．
故答案为：D.
【分析】根据题意可求出斜二测图形的面积，再结合原图的面积与斜二测图形面积的关系即可求解.
11．【答案】B
【知识点】向量的模；平面向量共线（平行）的坐标表示；平面向量数量积的坐标表示、模、夹角；平面向量垂直的坐标表示
【解析】【解答】因为向量，且
所以，解得：，即，，
所以，因此.
故答案为：B.
【分析】根据向量的模的坐标表示，向量垂直的坐标表示，以及向量共线的坐标表示，即可求解.
12．【答案】A
【知识点】平面向量的线性运算
【解析】【解答】因为BD=2DC，所以
因为，所以λ，μ，所以
故答案为：A．
【分析】根据向量线性运算得，结合已知条件，即可求解.
13．【答案】A
【知识点】余弦定理
【解析】【解答】由余弦定理和及已知条件得，
所以，又，
所以，故答案为：A.
【分析】利用已知条件结合余弦定理得出角B的余弦值，再结合三角形中角B的取值范围，进而得出角B的值。
14．【答案】A
【知识点】正弦定理；三角形的形状判断
【解析】【解答】，由正弦定理，得，
即
∴，可得，
又，∴，
则的形状为等腰三角形.
故答案为：A.
【分析】由正弦定理和三角恒等变换的公式，化简得到，得到，进而得到，即可得到答案.
15．【答案】A
【知识点】含三角函数的复合函数的值域与最值；余弦定理的应用
【解析】【解答】由，故.
故答案为：A.
【分析】由余弦定理及已知条件可得，即可求的取值范围.
16．【答案】
【知识点】复数代数形式的加减运算
【解析】【解答】因为，，
所以.
故答案为：.
【分析】利用复数的加法运算即可得解.
17．【答案】-8
【知识点】平面向量共线（平行）的坐标表示
【解析】【解答】解：且
，
解得：，
故答案为-8.
【分析】根据向量平行的坐标表示列方程求解即可.
18．【答案】
【知识点】三角形中的几何计算
【解析】【解答】解：因为，，，
所以；
故答案为：
【分析】利用面积公式计算即可求解；
19．【答案】
【知识点】解三角形；余弦定理
【解析】【解答】由题意为等边三角形，则，所以
根据条件与全等，所以
在中，
所以
故答案为：.
【分析】由条件可得，，由余弦定理即可求解.
20．【答案】③⑤
【知识点】棱柱的结构特征
【解析】【解答】解：由棱柱的结构特征，即有两个面互相平行，其余的面都是四边形，并且相邻四边形的公共边互相平行，可得图③⑤为棱柱.
故答案为：③⑤.
【分析】由棱柱的结构特征逐一分析五个图形得答案.
21．【答案】解：，
【知识点】组合几何体的面积、表面积、体积问题；棱柱/棱锥/棱台的侧面积、表面积及应用；圆柱/圆锥/圆台的表面积及应用
【解析】【分析】利用长方体、圆柱体积公式，根据和计算即可求解.
22．【答案】解：(1)，
由，
得.
(2)由(1)知，，
因为复数在复平面上对应的点在第四象限，
所以，
解得，
所以的取值范围为.
【知识点】虚数单位i及其性质；复数在复平面中的表示；共轭复数
【解析】【分析】（1）根据复数的基本运算和纯虚数的概念求得m.（2）根据共轭复数定义及复数 在复平面上对应的点 几何意义，即可求解.
23．【答案】（1）解：因为，由正弦定理可得，
，
因为，所以，
且，所以或.
（2）解：由（1）可知或，且，，所以
即，由余弦定理可得，，
即，解得或，
当时，，
当时，，
所以的面积为或.
【知识点】正弦定理；余弦定理；三角形中的几何计算
【解析】【分析】（1）由正弦定理将转化为，即可求解；
（2）由余弦定理可得，分别再由三角形的面积公式即可得到结果.
（1）因为，由正弦定理可得，
，
因为，所以，
且，所以或.
（2）由（1）可知或，且，，所以
即，由余弦定理可得，，
即，解得或，
当时，，
当时，，
所以的面积为或.
24．【答案】解：（1）因为 向量 ，，
所以，所以k=-6.
所以.
（2），
因为，所以.所以
（3）设与的夹角为，为锐角，
所以.所以
【知识点】平面向量共线（平行）的坐标表示；平面向量数量积的坐标表示、模、夹角；平面向量垂直的坐标表示
【解析】【分析】（1）利用向量共线列方程，求得，进而求得坐标、.
（2）利用向量垂直列方程，即可求得.
（3）利用与的夹角是锐角列不等式，由此求得的取值范围.
25．【答案】解：（Ⅰ）由余弦定理，得 ，即 ，
所以 .
（Ⅱ）因为 ，所以 ，
在 中，由正弦定理，得 ，即 ，所以 ，
.
【知识点】运用诱导公式化简求值；正弦定理；余弦定理
【解析】【分析】（Ⅰ）直接利用余弦定理即可得到答案；（Ⅱ）在 中，由正弦定理可得 ，利用 即可得到 .
26．【答案】解：（1）函数
；
∴的最小正周期为；
令，；
解得，；
∴单调递增区间为，；
（2）当时，，
∴；
∴时，取得最小值为1，
时，取得最大值为2.
【知识点】简单的三角恒等变换；两角和与差的正弦公式；二倍角的正弦公式；二倍角的余弦公式；函数y=Asin（ωx+φ）的图象与性质
【解析】【分析】（1）根据二倍角公式、两角和差正弦，进行三角恒等变换并化简函数解析式，进而根据正弦型函数图象和性质，即可求解；
（2）根据正弦型函数图象和性质，利用整体代入法即可求函数的最值.
27．【答案】解：，
因为，
所以当时，，
当时，，
所以函数的值域为.
【知识点】正弦函数的性质；含三角函数的复合函数的值域与最值；同角三角函数基本关系的运用
【解析】【分析】利用同角三角函数关系，将函数化简配方，由，利用二次函数的图象与性质，即可得到函数的值域.
28．【答案】解：将圆锥的侧面沿SA展开在平面上，如图，则该展开图为扇形，且弧AA'的长度L就是⊙O的周长，
∴L＝2πr＝2π.∴∠ASA'＝×360°＝×360°＝90°，
(1)由题意知，绳长的最小值为展开图中的AM，其值为AM＝ (0≤x≤4)，
∴f(x)＝x2＋16(0≤x≤4)．
(2)绳子最短时，在展开图中作SR⊥AM，垂足为R，
则SR的长度为顶点S到绳子的最短距离．
在△SAM中，∵S△SAM＝SA·SM＝AM· SR，
∴SR＝＝ (0≤x≤4)．
(3)∵f(x)＝x2＋16(0≤x≤4)是增函数，∴f(x)的最大值为f(4)＝32.
【知识点】多面体和旋转体表面上的最短距离问题；扇形的弧长与面积
【解析】【分析】（1）根据弧长公式求得圆心角为直角，利用勾股定理即可求解.
（2）)绳子最短时，在展开图中作SR⊥AM，垂足为R，得SR的长度为顶点S到绳子的最短距离．利用三角形面积相等，即可求解.
（3）根据函数f(x)＝x2＋16(0≤x≤4)的单调性，即可求解.
1 / 1北京市翔宇中学2023-2024学年高一下学期期中考试数学试卷
1．（2024高一下·北京市期中）已知复数，则在复平面内对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】C
【知识点】复数在复平面中的表示；复数代数形式的乘除运算
【解析】【解答】，
故对应的点为，在第三象限，
故答案为：C.
【分析】根据复数除法运算化简，利用复数在平面内表示的点位置，即可求解.
2．（2024高一下·北京市期中）已知平面向量，则向量（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】平面向量加、减运算的坐标表示；平面向量数乘运算的坐标表示
【解析】【解答】由题意，所以，所以.
故答案为：D.
【分析】由向量的坐标线性运算即可求解.
3．（2024高一下·北京市期中）以下命题中正确的个数是（ ）
①两个相等向量的模相等；
②若和都是单位向量，则；
③相等的两个向量一定是共线向量；
④零向量是唯一没有方向的向量；
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【知识点】向量的模；零向量；单位向量；共线（平行）向量；相等向量
【解析】【解答】对于①，两个相等向量的模相等，且它们的方向也相同，故①正确；
对于②，若和都是单位向量，当它们的方向不同时，则不成立，故②错误；
对于③，相等的两个向量方向相同，所以它们一定是共线向量，故③正确；
对于④，任何向量都有大小以及方向，零向量也是向量，只不过零向量是方向任意的向量，故④错误.
故正确的有①③，共两个.
故答案为：B.
【分析】由相等向量、零向量、单位向量以及共线向量的定义逐一判断各个序号即可求解.
4．（2024高一下·北京市期中）如图所示的几何体是由下面哪一个平面图形旋转而形成的 ( )
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】旋转体（圆柱/圆锥/圆台/球）的结构特征
【解析】【解答】该几体的上部分是圆锥，中间是两个同底的圆台，下部分是圆柱，圆锥的轴截面是直角三角形，圆台的轴截面是直角梯形，圆柱的轴截面是矩形
∴这个几何图形是由一个直角三角形和两个直角梯形以及一个矩形围绕直角边所在的直线为轴旋转一周得到．
故答案为：A．
【分析】根据圆锥、圆台、圆柱的轴截面对应图形，得这个几何图形是由一个直角三角形和两个直角梯形以及一个矩形围绕直角边所在的直线为轴旋转一周得到．判断A正确.
5．（2024高一下·北京市期中）若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】向量加减混合运算
【解析】【解答】.
故答案为：A.
【分析】
由向量的减法的坐标运算即可求解.
6．（2024高一下·北京市期中）已知，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】复数代数形式的混合运算；复数的模；共轭复数
【解析】【解答】解：，
．
故选：．
【分析】把代入，再由复数代数形式的乘除运算求解即可．
7．（2024高一下·北京市期中）要得到函数y＝sin的图象，只需将函数y＝sin 2x的图象( )
A．向左平移个单位 B．向右平移个单位
C．向左平移个单位 D．向右平移个单位
【答案】D
【知识点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换
【解析】【解答】要得到函数y＝sin，只需将函数y＝sin 2x中的x减去，即得到y＝sin 2＝sin．故答案为：D.
【分析】根据正弦型函数图象转化即可.
8．（2024高一下·北京市期中）如图、在四棱锥中，底面为矩形，底面，若，，则该四棱锥的体积为（ ）
A．18 B．12 C．9 D．6
【答案】D
【知识点】锥体的体积公式及应用
【解析】【解答】由题意可得：该四棱锥的体积为，
故答案为：D.
【分析】由棱锥的体积公式 V=S×H 计算即可求解.
9．（2024高一下·北京市期中）在△ABC中，已知a＝1，b＝，A＝30°，则B等于（ ）
A．60° B．60°或120° C．30°或150° D．120°
【答案】B
【知识点】解三角形；正弦定理
【解析】【解答】因为，
由正弦定理得：，即，
解得，
因为，所以或，
故答案为：B.
【分析】由条件利用正弦定理求得sinB的值，即可求解．
10．（2024高一下·北京市期中）如图，某四边形的斜二测直观图是上底为2，下底为4，高为1的等腰梯形，则原四边形的面积为
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】斜二测画法直观图
【解析】【解答】原图的面积是斜二测图形面积的倍．该四边形的斜二测图形面积为，故原图面积为．
故答案为：D.
【分析】根据题意可求出斜二测图形的面积，再结合原图的面积与斜二测图形面积的关系即可求解.
11．（2024高一下·北京市期中）已知向量，，，且，，则
A．3 B． C． D．
【答案】B
【知识点】向量的模；平面向量共线（平行）的坐标表示；平面向量数量积的坐标表示、模、夹角；平面向量垂直的坐标表示
【解析】【解答】因为向量，且
所以，解得：，即，，
所以，因此.
故答案为：B.
【分析】根据向量的模的坐标表示，向量垂直的坐标表示，以及向量共线的坐标表示，即可求解.
12．（2024高一下·北京市期中）如图，在△ABC中，点D在线段BC上，且BD=2DC，若，则（ ）
A． B． C．2 D．
【答案】A
【知识点】平面向量的线性运算
【解析】【解答】因为BD=2DC，所以
因为，所以λ，μ，所以
故答案为：A．
【分析】根据向量线性运算得，结合已知条件，即可求解.
13．（2024高一下·北京市期中）在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若a2+c2-b2=ac，则角B的值为（ ）
A． B． C．或 D．或
【答案】A
【知识点】余弦定理
【解析】【解答】由余弦定理和及已知条件得，
所以，又，
所以，故答案为：A.
【分析】利用已知条件结合余弦定理得出角B的余弦值，再结合三角形中角B的取值范围，进而得出角B的值。
14．（2024高一下·北京市期中）在中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且，则的形状为（ ）
A．等腰三角形 B．直角三角形
C．等腰直角三角形 D．等腰三角形或直角三角形
【答案】A
【知识点】正弦定理；三角形的形状判断
【解析】【解答】，由正弦定理，得，
即
∴，可得，
又，∴，
则的形状为等腰三角形.
故答案为：A.
【分析】由正弦定理和三角恒等变换的公式，化简得到，得到，进而得到，即可得到答案.
15．（2024高一下·北京市期中）在中，若，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】含三角函数的复合函数的值域与最值；余弦定理的应用
【解析】【解答】由，故.
故答案为：A.
【分析】由余弦定理及已知条件可得，即可求的取值范围.
16．（2024高一下·北京市期中）已知复数，，则
【答案】
【知识点】复数代数形式的加减运算
【解析】【解答】因为，，
所以.
故答案为：.
【分析】利用复数的加法运算即可得解.
17．（2024高一下·北京市期中）已知向量且则实数 .
【答案】-8
【知识点】平面向量共线（平行）的坐标表示
【解析】【解答】解：且
，
解得：，
故答案为-8.
【分析】根据向量平行的坐标表示列方程求解即可.
18．（2024高一下·北京市期中）在中，若，，，则的面积为 ．
【答案】
【知识点】三角形中的几何计算
【解析】【解答】解：因为，，，
所以；
故答案为：
【分析】利用面积公式计算即可求解；
19．（2024高一下·北京市期中）赵爽是我国古代数学家，大约在公元222年，他为《周髀算经》一书作序时，介绍了“赵爽弦图”——由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形，如图1所示.类比“赵爽弦图”，可构造如图2所示的图形，它是由3个全等的三角形与中间一个小等边三角形拼成的一个大等边三角形.在中，若，则 .
【答案】
【知识点】解三角形；余弦定理
【解析】【解答】由题意为等边三角形，则，所以
根据条件与全等，所以
在中，
所以
故答案为：.
【分析】由条件可得，，由余弦定理即可求解.
20．（2024高一下·北京市期中）在如图所示的几何体中，是棱柱的为 .（填写所有正确的序号）
【答案】③⑤
【知识点】棱柱的结构特征
【解析】【解答】解：由棱柱的结构特征，即有两个面互相平行，其余的面都是四边形，并且相邻四边形的公共边互相平行，可得图③⑤为棱柱.
故答案为：③⑤.
【分析】由棱柱的结构特征逐一分析五个图形得答案.
21．（2024高一下·北京市期中）某组合体的直观图如图所示，它的上部为圆柱体，下部为长方体，试求该组合体的表面积和体积.
【答案】解：，
【知识点】组合几何体的面积、表面积、体积问题；棱柱/棱锥/棱台的侧面积、表面积及应用；圆柱/圆锥/圆台的表面积及应用
【解析】【分析】利用长方体、圆柱体积公式，根据和计算即可求解.
22．（2024高一下·北京市期中）已知复数.
(1)若是纯虚数，求的值；
(2)若在复平面上对应的点在第四象限，求的取值范围.
【答案】解：(1)，
由，
得.
(2)由(1)知，，
因为复数在复平面上对应的点在第四象限，
所以，
解得，
所以的取值范围为.
【知识点】虚数单位i及其性质；复数在复平面中的表示；共轭复数
【解析】【分析】（1）根据复数的基本运算和纯虚数的概念求得m.（2）根据共轭复数定义及复数 在复平面上对应的点 几何意义，即可求解.
23．（2024高一下·北京市期中）在中，.
（1）求；
（2）若，求的面积.
【答案】（1）解：因为，由正弦定理可得，
，
因为，所以，
且，所以或.
（2）解：由（1）可知或，且，，所以
即，由余弦定理可得，，
即，解得或，
当时，，
当时，，
所以的面积为或.
【知识点】正弦定理；余弦定理；三角形中的几何计算
【解析】【分析】（1）由正弦定理将转化为，即可求解；
（2）由余弦定理可得，分别再由三角形的面积公式即可得到结果.
（1）因为，由正弦定理可得，
，
因为，所以，
且，所以或.
（2）由（1）可知或，且，，所以
即，由余弦定理可得，，
即，解得或，
当时，，
当时，，
所以的面积为或.
24．（2024高一下·北京市期中）已知向量.
（1）若，求的值；
（2）若，求实数的值；
（3）若与的夹角是锐角，求实数的取值范围．
【答案】解：（1）因为 向量 ，，
所以，所以k=-6.
所以.
（2），
因为，所以.所以
（3）设与的夹角为，为锐角，
所以.所以
【知识点】平面向量共线（平行）的坐标表示；平面向量数量积的坐标表示、模、夹角；平面向量垂直的坐标表示
【解析】【分析】（1）利用向量共线列方程，求得，进而求得坐标、.
（2）利用向量垂直列方程，即可求得.
（3）利用与的夹角是锐角列不等式，由此求得的取值范围.
25．（2024高一下·北京市期中）在 中， ， ， ．
（Ⅰ）求b的值；
（Ⅱ）求 的值．
【答案】解：（Ⅰ）由余弦定理，得 ，即 ，
所以 .
（Ⅱ）因为 ，所以 ，
在 中，由正弦定理，得 ，即 ，所以 ，
.
【知识点】运用诱导公式化简求值；正弦定理；余弦定理
【解析】【分析】（Ⅰ）直接利用余弦定理即可得到答案；（Ⅱ）在 中，由正弦定理可得 ，利用 即可得到 .
26．（2024高一下·北京市期中）已知函数.
（1）求的最小正周期和单调递增区间.
（2）当时，求的最值.
【答案】解：（1）函数
；
∴的最小正周期为；
令，；
解得，；
∴单调递增区间为，；
（2）当时，，
∴；
∴时，取得最小值为1，
时，取得最大值为2.
【知识点】简单的三角恒等变换；两角和与差的正弦公式；二倍角的正弦公式；二倍角的余弦公式；函数y=Asin（ωx+φ）的图象与性质
【解析】【分析】（1）根据二倍角公式、两角和差正弦，进行三角恒等变换并化简函数解析式，进而根据正弦型函数图象和性质，即可求解；
（2）根据正弦型函数图象和性质，利用整体代入法即可求函数的最值.
27．（2024高一下·北京市期中）求函数的值域.
【答案】解：，
因为，
所以当时，，
当时，，
所以函数的值域为.
【知识点】正弦函数的性质；含三角函数的复合函数的值域与最值；同角三角函数基本关系的运用
【解析】【分析】利用同角三角函数关系，将函数化简配方，由，利用二次函数的图象与性质，即可得到函数的值域.
28．（2024高一下·北京市期中）如图所示，已知圆锥SO中，底面半径r=1，母线长l=4，M为母线SA上的一个点，且SM=x，从点M拉一根绳子，围绕圆锥侧面转到点A.求：
(1)绳子的最短长度的平方f(x).
(2)绳子最短时，顶点到绳子的距离.
(3)f(x)的最大值.
【答案】解：将圆锥的侧面沿SA展开在平面上，如图，则该展开图为扇形，且弧AA'的长度L就是⊙O的周长，
∴L＝2πr＝2π.∴∠ASA'＝×360°＝×360°＝90°，
(1)由题意知，绳长的最小值为展开图中的AM，其值为AM＝ (0≤x≤4)，
∴f(x)＝x2＋16(0≤x≤4)．
(2)绳子最短时，在展开图中作SR⊥AM，垂足为R，
则SR的长度为顶点S到绳子的最短距离．
在△SAM中，∵S△SAM＝SA·SM＝AM· SR，
∴SR＝＝ (0≤x≤4)．
(3)∵f(x)＝x2＋16(0≤x≤4)是增函数，∴f(x)的最大值为f(4)＝32.
【知识点】多面体和旋转体表面上的最短距离问题；扇形的弧长与面积
【解析】【分析】（1）根据弧长公式求得圆心角为直角，利用勾股定理即可求解.
（2）)绳子最短时，在展开图中作SR⊥AM，垂足为R，得SR的长度为顶点S到绳子的最短距离．利用三角形面积相等，即可求解.
（3）根据函数f(x)＝x2＋16(0≤x≤4)的单调性，即可求解.
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