《19.1变量与函数》学情分析
学生在小学阶段学习过正比例和反比例关系，知道具有正（或反）比例关系的两个量中，一个量随着另一个量的增大而增大（或减小）；在字母表示数中，接触过当字母取值发生变化时代数式的值随之发生变化。学生在生活中也具有对两个变量之间存在依存关系的体验，如气温随时间的变化而变化，单价固定时总价随着数量的变化而变化。尽管这些经验和生活经验可以帮助学生理解函数的含义，但初次接触函数概念，学习中还是会遇到较大困难。其中主要困难在于难以概括出“一个变量的值的确定导致另一个变量取值的唯一确定”这一函数概念的核心，当一个变量的值确定时，另一个变量怎样才算“唯一确定”？学生容易认为，函数关系中的“唯一确定”仅指通过公式求出的唯一的值，对不能用公式求出值的单值对应关系难以理解。因此，本节的难点是对函数概念中的“单值对应”的理解。
从学生能力层面看，通过以前的学习，学生已有一定的分析、推理和概括能力，初步具备了学习函数概念的基本能力。考虑到函数作为数学概念本身的复杂性以及学生的认知思维水平，学生对函数概念的理解是一个不断加深、螺旋式上升的过程，不可能一次到位。
《19.1变量与函数》效果分析
根据本教材的结构和内容分析，以及八年级学生的认知结构和心理特征，在教学过程中，我们要使学生“知其然”还要使学生“知其所以然”。因此，在教学过程中，需要多种教法和学法有机的结合。由于本内容是初中数学教学的重难点，函数概念具有高度的抽象性，我主要采用了采用师生互动探究式教学，借助学生熟悉的生活实例，引领学生经历从具体实例中抽象出常量、变量与函数的过程，初步理解抽象的函数概念。在有针对性的问题中，明确研究方向，进而能够抽象出概念，抓住函数的本质“唯一对应”。引领学生在自主探索、合作交流中去发现、去思考、去质疑、去辨析、去交流、去释疑等直到豁然开朗。
学生开始学习本节时，对于常量与变量比较容易区分，但是对于函数与函数值可能发生混淆。在教学中我注意了引导学生认识到两者的区别，函数是变量，例如y=2x,y随着x的变化而变化的量，变量y是变量x的函数；函数值是变量所取得某个具体数值。一个函数可能有许多不同的函数值，例如y=2x在x=1时的函数值是2，在x=-1时的，函数值是-2.通过类似这样的具体例子可以使学生提高分辨能力，认识到函数与函数值的区别在于：前者是变量，后者是常数。
生活中有很多关于函数的问题情境，教学中我注意了启发学生去发现这样的例子，学生自己列举身边的生活实例，分析其中哪个量是变量，哪个量是函数，它们之间是如何对应的等。这样做既有利于借助具体例子认识抽象的数学概念，又能提高学生把所学数学知识与现实生活相联系的意识和能力。
从整个教学过程和评测结果来看，教学效果显著。基本达到了预期教学目标，不同层次的学生均有收获；学生思维积极活跃，有认知冲突，有精彩观念，有不同的问题解决方法；师生交流对话充分，教学相长，形成民主和谐、相互尊重、合作探究的教学氛围。
《19.1变量与函数》教学设计
教学目标
知识与技能：（1）探索具体问题中的数量关系和变化规律．
（2）从具体的事例了解常量、变量的意义．
（3）结合实例，理解函数的概念以及自变量的意义．
过程与方法：在探究问题的过程中，体会从具体的事例中寻找常量、变量、判断两个变量之间是否满足函数关系的过程．
情感态度价值观：通过学习函数概念，提高学生的分析、综合能力，渗透由特殊到一般、由具体到抽象的思考方法，向学生渗透数形结合的思想，感受现实生活中函数的普遍性，体会事物之间的相互联系与制约．
教学重点 １．认识变量、常量．
２．确定函数解析式，指出自变量及变量间的对应函数关系.
教学难点 理解函数的概念．
教学过程
一、创设情境，引入课题
出示图片，从图片中你看到了什么？
1、学生回答提出的问题
2、引导：把层层的涟漪抽象成数学问题，圆在变大，而半径的大小又决定圆的面积的大小，半径在变化圆的面积也在变化，我们称这种发生变化了的量为变量，引出课题-----变量与函数。
二、探究具体问题的数量关系，感受变量和常量的含义
1、如果铅笔0.5元/支，设总金额为y(元)，铅笔
为x(支)，(1)填出下表:
x（支）
1
2
3
4
5
…
y（元）
…
由于问题贴近学生生活，学生能够快速思考并回答问题
(2) y与x的关系式：学生回答：y＝5=0.5x
引导分析：当x的取值在发生变化时，y的取值也随着发生了变化，y随着x的变化而变化，在这一个变化过程 哪些量是变量？学生回答：y与x 。接着引导0.5这个量有没有发生变化，学生能够想到0.5作为铅笔的单价不会发生变化，那么像这种不会发生变化的量我们称为常量。板书（一、变量与常量）
思考：每当铅笔支数x取定一个值时，你发现总金额y就会怎样？
学生通过列表可发现当x取定一个值时，总金额y也会跟着确定一个值。
2、一辆汽车以60千米／小时的速度匀速行驶，行驶里程为s千米．行驶时间为t小时．
１．请同学们根据题意填写下表：
t/时
1
2
3
4
5
s/千米
分析：这是一个路程、速度与时间的问题，他们三者之间的关系是
路程＝速度×时间。教师点名学生回答，并解释其答案的来历。
(2) 写出S与t的关系式 学生回答，s＝60t
思考：每当行驶时间x取定一个值时，你发现行驶路程y就会怎样？
学生回答：每当行驶时间x取定一个值，行驶路程y就会随之确定一个值。
３、用10m长的绳子围成一个矩形，当矩形的一边长x分别为3m、3.5m、4m、4.5m时，它的邻边长y分别为多少？写出y与x的关系式。
学生回答，教师评价
x/m
3
3.5
4
4.5
y/m
思考：每当一边长x取定一个值时，你发现邻边长y就会怎样？
学生回答：当一边长x取定一个值，邻边长y就会随之确定一个值。
三、问题引申，探索函数的概念
上面每个问题中的两个变量互相联系，当其中一个变量取定一个值时，另一个变量就
这种变量间的对应关系我们就成为函数。引入函数，教师板书（二、函数）
我们来具体看一下函数概念，幻灯片出示。
函数的概念：在一个变化过程中，如果有两个变量x与y，并且对于x的每一个确定的值，y都有唯 一确定的值与其对应，那么我们就说x是自变量 ，y是x的函数。
分析：y=0.5x s=60t y=5-x这三个关系式中的函数关系，哪个量是自变量，哪个量是自变量的函数，前两个教师引领分析，第三个提问。并且像这种关系式我们称为函数解析式。
出示： 如果当x＝a时y＝b，那么b叫做当自变量x的值为a时y的函数值。教师举例：像y＝0.5x，当x＝1时，y＝0.5，那么0.5叫做当自变量是1时的函数值，怎样去求当x=2时的函数值啊，把x=2代入往函数解析式里边去求函数值y。
问题：现在你认识函数了吗？结合着刚才的3个问题自己仔细体会一下什么是函数。
思考：
（1）如图是滨州春季某一天的气温图象，对于t的每一个确定的值，T都有唯一确定的对应值吗？T是t的函数吗？
2、在下面的我国人口数统计表中，年份与人口数可以记作两个变量x与y，对于表中每一个确定的年份（x），都对应着一个确定的人口数（y）吗？y是x的函数吗？
教师引导分析：是否满足函数关系就看当其中一个变量的值取定时另一个变量是否也有唯一的值与其对应。
学生思考后回答，若有困难可讨论解决。
四、学生举例身边的函数关系。
五、应用提高、拓展创新
你能行：写出函数解析式并指出哪些量是自变量？哪些量是自
变量的函数？
（1）向一水池每分钟注水0.1 m3，注水量 y（单位： m3）随注水时间 x（单位：min）的变化而变化；
（2）改变正方形的边长 x，正方形的面积 S 随之变化；
（3）秀水村的耕地面积是106 m2，这个村人均占有耕地面积 y （单位：m2）随这个村人数 n 的变化而变化；
学生独立完成，3名学生板演函数解析式，完成后共同讲解
相信自己：
一个三角形的底边为5，高h可以任意伸缩，三角形的面积也随之
发生了变化.（1）面积s随高h变化的关系式s = ，其中常量是 ，
变量是 ， 是 函数。
（2）当h=3时，面积s= 。
2.购买一些文具盒，单价4元，总价为y元，文具盒为x个，根据题意填表：
X (个）
1
2
3
…
y（元）
?
?
?
…
（1）y随x变化的关系式y= ， 是自变量， 是 的函数；（2）当购买8个文具盒时，总价为 元.
学生独立思考，必要时进行适当的讨论，然后进行交流．
六、小结收获：
通过本节课的学习，你有哪些收获？
学生讨论交流，互相分享
板书设计
19.1变量与函数
一、变量与常量
二、函数
课件14张PPT。精诚合作，演绎精彩19.1变量与函数1、如果一支铅笔0.5元，设购买铅笔x支，所需金额为y元，
?
0.522.511.5(2) y与x的关系式 .
y=0.5x探究(1)填出下表: 2、一辆汽车以60千米/小时的速度匀速行驶，行驶路程为S千米，行驶时间为t小时.(1)填写下表：60120180240300t（小时）S=60t (2) 写出S与t的关系式 .
探究S（千米） 3、用10m长的绳子围成一个长方形，当长方形的一边
长x分别为3m、3.5m、4m、4.5m时，它的邻边长y分别
为多少？写出y与x的关系式。y与x的关系式: y=5-x每当一边长x取定一个值时，你发现邻边长y
就会怎样？
探究21.510.5上面每个问题中的两个变量互相联系，当其中一个变量取
定一个值时，另一个变量就 . 在一个变化过程中，如果有两个变量x与y，并且对于x的每一个确定的值，y都有唯 一确定的值与其对应，那么我们就说x是自变量 ，y是x的函数。
如果当x=a时y=b，那么b叫做当自变量x的值为a时y的函数值。函数的概念：有唯 一确定的值与其对应归纳（1）如图是滨州春季某一天的气温图象，对于t的每一个确定的值，T都有唯一确定的对应值吗？T是t的函数吗？
判断温度T时间t（2）在下面的我国人口数统计表中，年份与人口数可以记作两个变量x与y，对于表中每一个确定的年份（x），都对应着一个确定的人口数（y）吗？y是x的函数吗？判断 函数是刻画变量之间对应关系
的数学模型，许多问题中变量之
间的关系都可以用函数来表示。
请列举一个函数的实例 写出函数解析式并指出哪些量是自变量？哪些量是自
变量的函数？
（1）向一水池每分钟注水0.1 m3，注水量 y（单位：
m3）随注水时间 x（单位：min）的变化而变化；
（2）改变正方形的边长 x，正方形的面积 S 随之变化；
（3）秀水村的耕地面积是106 m2，这个村人均占有耕
地面积 y （单位：m2）随这个村人数 n 的变化而变化；
你能行！1.一个三角形的底边为5，高h可以任意伸缩，三角形的面积也
随之发生了变化.
（1）面积s随高h变化的关系式
s = ，其中常量是 ，
变量是 ， 是自变量，
是 的函数；
（2）当h=3时，面积s= 。2.购买一些文具盒，单价4元，总价为y元，文具盒为x个，
根据题意填表：
（1）y随x变化的关系式y= ， 是
自变量， 是 的函数；
（2）当购买8个文具盒时，总价为 元.相信自己！小结通过本节课的学习，你有哪些收获？生活中处处有数学，
只要你有一双
善于发现的眼睛，
有一颗勤于探索的心，
相信你的学习和生活会无限精彩！作业：习题14.1第1、2题 生活寄语《19.1变量与函数》教材分析
一、教学内容解析
《19．1变量与函数》是人教版八年级下册第十九章第一节的内容，它是整个初中阶段函数知识学习的基础。函数是描述运动变化规律的重要数学模型，它刻画了变化过程中变量之间的对应关系。它是由常量数学转变成变量数学的一个基础概念课，学生对它的“变化与对应”思想的理解程度将直接影响到一次函数、二次函数、反比例函数等后续知识的学习。
本章内容包括函数的概念和表示法、正比例函数和一次函数。一次函数是函数值变化量与自变量变化量的比值固定不变的简单函数模型。研究一次函数可以获得初中函数研究的一般步骤（下定义---画图像---观察图像---概括性质）和基本思想（模型思想、数形结合思想、方程思想），发展数学观察、表征、抽象概括和推理能力。函数概念学习过程中蕴含的核心数学认知活动是数学抽象概括活动。
变量y要成为变量x的函数，需满足两个条件：（1）在同一个变化过程中，有两个变量x和y；（2）对于变量x的每一个确定的值，变量y都有唯一确定的值与之对应。“单值对应”是函数概念的关键词，是函数概念的核心所在。
本节内容是从学生熟悉的实际问题出发开始讨论，从具体到抽象的认识变量间的单值对应关系，问题呈现形式有填表、求值等，让学生通过观察、比较和分析，找到问题之间的共同特点，当一个变量取定一个值时，另一个变量也就随之确定对应值。通过对多个问题的分析，归纳出各问题中都有相关的两个变量，这两个变量都具有一个变量随另一个变量而变，而且是单值对应关系。在具体经验积累到一定程度的基础上，再给出函数的定义，并说明这个定义是对各种具体对象所具有的关系抽象概括后的描述，是对两个相关变量的地位分别命名。其中在变化过程中居于主动地位的变量叫做自变量，随之变化且对应值有唯一确定性的另一个变量叫做自变量的函数。有了定义的文字后，还需要适当的再用具体例子对定义中的文字加以解释。这个认识过程需要一个较长的时间，教学中需安排活动，反复加深对函数概念的理解。教材有意识的让学生运用已有经验，经历观察概括过程，使学生在合作交流中对变量与函数认识由感性逐步发展到理性，合理的建构知识。
二、教学重难点
本节课的教学重点：
１．认识变量、常量．
２．确定函数解析式，指出自变量及变量间的对应函数关系.
本节课的教学难点：理解函数的概念．
三、本节教材编写的特点
1．借助实际问题情境，引导学生由具体到抽象的认识函数。本教材在处理函数的概念的引入时采取了传统方法，通过变量引入函数，通过大量的现实生活中一个量随另一个量变化而变化的实例，让学生体会这种变化过程中两个变量之间的关系。让学生通过大量的直观认识积累经验，逐步上升到对函数概念较高层次的形式概括和理论把握。
2. 教材注重数学思想方法的渗透与融合。在探索两个变量之间关系的过程中，教材特别注重引导学生运用观察—猜想—验证—归纳总结等方法解决问题，使学生在掌握知识的同时，体验数学思想方法。
《19.1变量与函数》观评记录
张立强：董老师在学生已有的知识经验的基础上，一起来研究具体的实际问题，寻找它们的共同点，从而引出两个变量之间的对应关系。在一开始设计了3个问题，让学生在一个宽松愉悦的环境中，走进生活，开始学习函数。这样所设的起点较低，学生比较容易接受。教师不再仅仅去教，而且也通过对话被教，学生在被教的同时，也同时在教。师生双方相互交流、相互沟通、相互启发、相互补充，在这个过程中教师与学生分享彼此的思考、经验和知识，交流彼此的情感、体验与观念，丰富教学内容，求得新的发现，从而达到共识、共享、共进，实现教学相长和共同发展。
尹艳芬：整节课充分发挥了教师的主导作用和学生的主体作用，重视学生自主学习、合作探究能力的培养。把具体的实例进行抽象，形式化为数学知识是本课的关键．这里提出的问题是一个关键的“脚手架”，通过“脚手架”引领学生经历数学概念的形成过程，引导学生认识为什么要引进变量、常量、函数的概念，逐步了解如何给数学概念下定义。以教师为主导、学生为主体的教学原则，引导学生探究新知，引导学生在观察、分析后归纳，然后提出注意问题，帮助学生把握概念的本质特征，并在概念的形成过程中培养学生的观察、分析概括和抽象等的能力
李绍刚：教学目标明确，能有效突破重点和难点，各个教学环节环环相扣。经历了有针对性的探究，将问题的分析进行归纳与整理，得出概念。调动了学生的学习积极性。降低了学习难度，提高了学习效率。
不足之处：个别学生的自主学习能力较差，灵活解决问题能力差，不能按时完成学习任务。
改进措施：备课时要更多的关注学生的学习实际，尽量做到因材施教。培养学生良好的学习数学的习惯。培养学生的分析，归纳总结的能力，提高解决问题的能力。
《19.1变量与函数》测评练习
本节课在测评练习方面共涉及四次：
第一次：在学生初步体会实际问题中的变化过程中的两个变量之间的对应关系，经历从具体到抽象的认识过程时，安排了3个问题可作为第一次测评练习。
问题：1、如果铅笔0.5元/支，设总金额为y(元)，铅笔
为x(支)，(1)填出下表:
x（支）
1
2
3
4
5
…
y（元）
…
(2) y与x的关系式：
2、一辆汽车以60千米／小时的速度匀速行驶，行驶里程为s千米．行驶时间为t小时．
(１)请同学们根据题意填写下表：
t/时
1
2
3
4
5
s/千米
(2) 写出S与t的关系式
３、用10m长的绳子围成一个矩形，当矩形的一边长x分别为3m、3.5m、4m、4.5m时，它的邻边长y分别为多少？写出y与x的关系式。
x/m
3
3.5
4
4.5
y/m
思考：每当一边x取定一个值时，你发现邻边长y就会怎样？
本次练习采取了：学生独立观察思考，小组合作、教师指导三种形式。通过本次练习的设计把学生由常量数学引入变量数学，是学生数学认识上的一个飞跃.3个实际问题使学生从中感知到变量函数的存在和意义，体会变量之间的相互依存关系和变化规律.遵循从具体到抽象、感性到理性的渐进认识规律。
第二次：在认识了函数概念之后去判断在一个变化过程中的两个变量是否存在函数关系。安排了2个练习题目。
通过判断，学生更能加深对函数概念的理解。
第三次：学生自己举例身边的函数关系，使学生更能掌握函数关系，更能激发学生对学习函数概念的积极性。
第四次： 课堂练习，巩固新知。
通过此次练习，学生对变量与函数关系的理解有了一个整体的把握。
《19.1变量与函数》的课后反思
教参建议安排19.1函数分六课时完成，出于考虑变量之间的相互依存关系和变化规律反映了函数的特征，是一个有机的整体，所以我将引导学生从生活实例中抽象出常量、变量与函数等概念的学习安排在了同一节中，至于函数自变量的范围及图象安排在了后几节中，其中函数的概念是本节核心内容。
本节内容是从学生熟悉的实际问题出发开始讨论，从具体到抽象的认识变量间的单值对应关系，问题呈现形式有填表、求值等，让学生通过观察、比较和分析，找到问题之间的共同特点，当一个变量取定一个值时，另一个变量也就随之确定对应值。通过对多个问题的分析，归纳出各问题中都有相关的两个变量，这两个变量都具有一个变量随另一个变量而变，而且是单值对应关系。在具体经验积累到一定程度的基础上，再给出函数的定义，并说明这个定义是对各种具体对象所具有的关系抽象概括后的描述，是对两个相关变量的地位分别命名。其中在变化过程中居于主动地位的变量叫做自变量，随之变化且对应值有唯一确定性的另一个变量叫做自变量的函数。有了定义的文字后，还需要适当的再用具体例子对定义中的文字加以解释。这个认识过程需要一个较长的时间，教学中需安排活动，反复加深对函数概念的理解。教材有意识的让学生运用已有经验，经历观察概括过程，使学生在合作交流中对变量与函数认识由感性逐步发展到理性，合理的建构知识。
结合自己所教案例，对本节课教学策略进行以下几点简要分析：
1.总体上我的教学思路是由具体——抽象——具体
在学生已有的知识经验的基础上，一起来研究具体的实际问题，寻找它们的共同点，从而引出两个变量之间的对应关系。
2.从学生已有知识出发
教师要深入了解各层次学生思维实际，提供充分的信息，为各层次学生参与探索学习活动创造条件，没有学生主体的主动参与，不会有学生主体的主动发展，教师若不了解学生实际，一下子把学习目标定得很高，势必会造成部分学生高不可攀而坐等观望，失去信心浪费宝贵的学习时间。因此，我在一开始设计了3个问题，让学生在一个宽松愉悦的环境中，走进生活，开始学习函数。这样所设的起点较低，学生比较容易接受。
3.鼓励学生大胆猜想
猜想是科学发现的前奏。学生的学习活动中同样不能没有猜想，否则，主体性探究 活动便缺少了内在的动力，自主学习的过程也成了失去目标的无意义操作。
4.师生平等交流
教学过程是师生共创共生的过程，新课程确定的培养目标和所倡导的学习方式要求 教师必须转换角色。改变已有的教学行为，教师必须从“师道尊严”的架子中走出来，与学生平等地参与教学，成为共同建构学习的参与者。在以上教学片断中，教师让学生充分经历学习过程，调动学生学习的热情：观察——猜想——举例验证——得出结论，在 欣赏学生的“闪光”处给学生“点拨”。教师没有过多的讲授，也没有花大量的时间去刻意的创设教学情境，只是做唤醒学生主体意识的工作，引导学生大胆猜想，大胆表达。
教学中的不足和改进之处：
在教学过程中，也有不尽人意的地方，如虽然本节课在引入函数概念上下了不少工夫，但在理解上还不够，另外还有部分学困生对函数没有明确的认识，没有照顾到全体学生；再就是本节课时间分配还不够合理，讲授新知时间太长，练习时间较短。今后的工作中，要多向以下几个方面努力：
1.多听课，多学习。尤其是优秀教师的课，学习他们的新思想、新方法，改善课堂教学，提高课堂教学艺术和课堂效率。
2．加强同科组教师之间的沟通和交流，相互学习，取长补短，共同进步。
3．认真钻研教材，把握好教材的重点、难点、关键点、易混点，上课时才能做到心中有数，游刃有余。
《19.1变量与函数》课标分析
一、函数概念的实质理解
函数是研究量与量之间关系的，而这是一种相互制约的关系。函数概念：“在一个变化过程中，有两个变量x与y，并且对于x的每一个确定的值，y都有唯一的值与其对应，那么我们就说，x是自变量，y是x的函数。如果当x=a时y=b，那么b叫做当自变量的值为a时的函数值。”通俗地讲，函数“处处有值且唯一”，它是对大量的材料概括所形成的。函数的实质性内容比较抽象，不利于学生直接理解，需要具体材料做铺垫。这就是说，理解这一概念，需要理解下个层次的函数具体的表征（表达式、图像或表格等），还需理解下下个层次的变量和常量，甚至这些层次的多次循环进行。
二、函数概念的背景理解
教材中罗列了匀速运动、售电影票、弹簧称重、圆面积、长方形面积等有关函数表达式的具体例子。这些例子都是学生熟悉的，为的是便于学生从中提取共同的东西-----变量和常量、变量间的关系。进一步理解，发现这些表达式都是“处处有值且唯一”的。还有图标和表格，利于学生更直观地了解这种“处处有值且唯一”的关系，而图标和表格在生活和科学中处处可见。教师要了解这些例子的实际意义，还得把握其线索，体会“例子到定义”的形成。
三、函数概念的形成活动
对于这些活动材料，如何让学生从中观察、猜想、分析和概括抽象出函数概念呢？需要激发学生学习积极性，将材料化解为学生探究活动的素材，促使学生思考材料。教师一方面布局材料，另一方面根据材料性质和学生水平，对照教学目标，设计有启发性的过渡语言，甚至问题串，来帮助学生思考内在的共性问题。材料操作不是重点，材料提炼才是关键，丰富而具体的材料利于学生构建函数概念。教师可以增加一些其他材料，如贴近学生生活的例子，此外，用多媒体插入一些社会生活等图像和表格的函数例子，等等，教师分析例子，引导学生踢会儿函数的实质-----“处处有值且唯一”。
四、函数概念的认知结构
函数概念明确后，要及时的纳入到学生已有的认知结构中，使得学生理解内化。比如，启发学生思考：函数概念跟以前学过的哪些内容有联系，又有哪些区别？并促使学生反思概念的形成过程。教师引导学生认识到，以前学过的代数式、方程、不等式都是函数的特例，等等，这些关联还需教师挖掘。通过“具体背景材料----函数定义----函数特例”等的线索发展，函数概念的认知地图将扎根于学生头脑中。
