四川省绵阳市2025届高三第一次诊断性考试数学试题(含答案）

四川省绵阳市2025届高三第一次诊断性考试数学试题
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合 ，则( )
A. B. C. D.
2.“”是“”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
3.已知 ，且满足，则的最小值为( )
A. B. C. D.
4.某公司根据近几年经营经验得到广告支出与获得利润数据如下：
广告支出万元
利润万元
根据表中数据可得利润关于广告支出的经验回归方程为据此经验回归方程，若计划利润达到万元，估计需要支出广告费( )
A. 万元 B. 万元 C. 万元 D. 万元
5.下列选项中，既是增函数，也是奇函数的是( )
A. B. C. D.
6.已知为第一象限角，且 ，则( )
A. B. C. D.
7.某工厂产生的废气经过滤后排放，过滤过程中废气的污染物含量单位：与时间单位：间的关系为是自然对数的底数，为正的常数如果前消除了的污染物，那么消除的污染物需要的时间约为 参考数据：
A. B. C. D.
8.已知函数，若关于的不等式的整数解有且仅有个，则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知数列的前项和为，且，则( )
A. B.
C. 是等比数列 D. 存在大于的整数，使得
10.已知函数在上有且仅有个零点，则( )
A.
B. 令，存在，使得为偶函数
C. 函数在上可能有个或个极值点
D. 函数在上单调递增
11.已知函数的定义域为，不恒为，且，则( )
A. 可以等于零 B. 的解析式可以为：
C. 曲线为轴对称图形 D. 若，则
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.记内角，，的对边分别为，，已知，， ，则________．
13.已知函数，为正的常数，则的零点之和为________
14.若是函数的极大值点，则实数的取值范围为________
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
近年来，解放军强军兴军的深刻变化，感召了越来越多的高中优秀青年学子献身国防，投身军营年高考，很多高考毕业学生报考了军事类院校．从某地区内学校的高三年级中随机抽取了名学生，其中男生人，女生人，通过调查，有报考军事类院校意向的男生、女生各名．
完成给出的列联表，并分别估计该地区高三男、女学生有报考军事类院校意向的概率；
有报考意向 无报考意向 合计
男学生
女学生
合计
根据小概率值的独立性检验，能否认为学生有报考军事类院校的意愿与性别有关．
参考公式及数据：．
16.本小题分
记内角的对边分别为已知，且．
求的面积；
若，求．
17.本小题分
已知数列，满足，且是与的等比中项．
若，求的值；
若，设数列，的前项和分别为，．
(ⅰ)求数列，的通项公式
(ⅱ)求．
18.本小题分
已知函数．
当时，则过点的曲线的切线有几条？并写出其中一条切线方程；
讨论的单调性；
若有唯一零点，求实数的取值范围．
19.本小题分
已知函数，在上的最大值为．
求实数的值；
若数列满足，且．
(ⅰ)当时，比较与的大小，并说明理由；
(ⅱ)求证：．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.解：根据已知条件，填写列联表如下：
有报考意向 无报考意向 合计
男学生
女学生
合计
男生有报考军事类院校意向的概率为，
女生有报考军事类院校意向的概率为．
．，
所以根据小概率值的独立性检验，能认为学生有报考军事类院校的意愿与性别有关．
16.解：因为，，
所以
，
所以．
由可知，
又，故，从而，，
于是，又，
，整理化简得，
又，或，解得或．
17.解：因为
是与的等比中项
，，得，
得：

得：
由累乘法得：，
由，得

作差得：
又
根据等差数列求和公式得：

18.解：当时，．．
设切点为，因为切线过点，所以切线斜率存在，
故可设切线方程为，
则，
化简可得，即，
由的判别式知方程有个不等实根且不为，
故有个不等的实根，
所以切线有条，其中一条切点横坐标为，
故．
所以切线方程为．
所以切点为时，切线方程为
由题，
故当时，恒成立，在上单调递增
当时，在，上单调递增，在上单调递减
当时，在，上单调递增，在上单调递减
结合中单调性，易知当时，在上单调递增，
且仅有，故符合题意
当时，时，有极大值，时，有极小值，
故要使有唯一零点，则，即，解得符合题意
当时，时，有极小值，时，有极大值，
故要使有唯一零点，则，即，解得符合题意
综上所述，的取值范围为．
19.解：，，
当时，，，
，则在上单调递增，
当时，，，
，则在上单调递减，
，解得．
实数的值为．
由知，，
，即，
，
，
下面用数学归纳法证明，，
当时，，，
假设时，命题成立，则，当时，有成立，
上述命题对，，均有成立．
当时，成立，当时，，则，
当时，，当时，，
在上单调递增，在上单调递减，则，
，即，
又由知，则，
，
，
，
，
即，得证．
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