云南省昆明市第一中学2025届高三第三次联考数学试卷（含答案）

云南省昆明市第一中学2025届高三第三次联考数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.下列说法错误的是( )
A. 若随机变量X~N(,),则当较小时,对应的正态曲线“瘦高”,随机变量X的分布比较集中
B. 在做回归分析时,可以用决定系数刻画模型的回归效果,若越大,则说明模型拟合的效果越好
C. 在一元线性回归模型中,如果相关系数r=0.98,表明两个变量的相关程度很强
D. 对于一组数据,,,,若所有数据均变成原来的2倍,则变为原来的2倍
2.若的展开式中第项与第项的系数相等，则展开式中系数最大的项为( )
A. 第项 B. 第项 C. 第项 D. 第项
3.函数的部分图象大致为( )
A. B.
C. D.
4.已知长方体的体积为，且，则长方体外接球体积的最小值为( )
A. B. C. D.
5.在平面内，设是直线的法向量直线的法向量：直线的方向向量为，若向量，则向量叫做直线的法向量，，是平面内的两个定点，，，若动点满足，则动点的轨迹为( )
A. 圆 B. 椭圆 C. 双曲线 D. 抛物线
6.已知，，，是方程的两个根，则( )
A. B. C. D. 或
7.已知曲线的方程为，若经过点的直线与曲线有四个交点，则直线的斜率的取值范围是( )
A. B.
C. D.
8.将，，，，，，这七个数随机地排成一个数列，记第项为，若，，，则这样的数列共有( )
A. 个 B. 个 C. 个 D. 个
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知复数不为，其共轭复数为，下列说法正确的是( )
A.
B. 复平面内，与所对应的点关于实轴对称
C. ，与都是实数
D. 若，则在复平面内所对应的点的轨迹为圆
10.已知的内角，，的对边分别为，，，，若三角形有两解，则边的取值可以是( )
A. B. C. D.
11.已知双曲线，过原点的直线，分别交双曲线于，和，四点四点逆时针排列，且两直线斜率之积为，则的可能值为( )
A. B. C. D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知数列是公差不为的等差数列，现从中随机删除两项，得到一个新的数列这两组数据的极差相同的概率为 ．
13.若函数在处有极小值，则 ．
14.已知函数，为的零点，为图象的对称轴，且在上不单调，则的最小值为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
体育运动是强身健体的重要途径，随着“中国儿童青少年体育健康促进行动方案”的发布，体育运动受到各地中小学的高度重视，众多青少年的体质健康得到很大的改善我们把每周体育锻炼时间超过小时的学生称为“运动达人”，为了了解“运动达人”与性别是否有关系，我们对随机抽取的名学生的性别和每周体育锻炼时间进行了统计，其中女生与男生的人数之比为，男生中“运动达人”占，女生中“运动达人”占．
根据所给数据完成下面的列联表，依据小概率值的独立性检验，能否认为“运动达人”与性别有关系
女生 男生 合计
运动达人
非运动达人
合计
现从抽取的“运动达人”中，按性别采用分层抽样抽取人参加体育知识闯关比赛，已知其中男、女生独立闯关成功的概率分别为与，在恰有两人闯关成功的条件下，求有女生闯关成功的概率．
附：，
16.本小题分
已知数列满足，，数列满足．
求，的值
证明：数列是等差数列
求数列的前项和．
17.本小题分
如图，在四棱锥中，平面平面，是等边三角形，四边形是梯形，且，，，点是的重心，与交于点．
证明：平面
求平面与平面的夹角的余弦值．
18.本小题分
已知为抛物线的焦点，点在抛物线上，为坐标原点，的外接圆与抛物线的准线相切，且该圆面积为．
求抛物线的方程
设，是抛物线上异于的一点，直线与直线交于点，过点作轴的垂线交抛物线于点，求点到直线的距离的取值范围．
19.本小题分
已知函数，
当时，求函数在区间上的最小值
若函数在区间上单调递减，求的取值范围
若函数的图象上存在两点，，且，使得，则称为“拉格朗日中值函数”，并称线段的中点为函数的一个“拉格朗日平均值点”试判断函数是否为“拉格朗日中值函数”，若是，判断函数的“拉格朗日平均值点”的个数若不是，说明理由．
参考答案
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15.解：抽取的人中，女生与男生的人数比为：，则女生有人，男生有人，
男生中“运动达人”占，女生中“运动达人”占，
则得如下列联表：
女生 男生 合计
运动达人
非运动达人
合计
零假设：认为“运动达人”与性别无关，
显然，
依据小概率值的独立性检验，我们推断不成立，即可以认为“运动达人”和性别有关；
由分层抽样，得抽取的男生人数为，女生人数为，
记“恰有两人闯关成功”为事件，“有女生闯关成功”为事件，
则，，
于是，
所以恰有两人闯关成功的条件下，有女生闯关成功的概率为．
16.数列 满足 ， ， ， ， ，，
， ， ，；
，
是等差数列，首项 ，公差 ，
由可得 ，
，
令 ，

．

17.证明：连接并延长，交于点，连接因为为的重心，所以为的中点，且．
在梯形中，因为，可得，又因为，所以，
所以，因此，
又因为平面，平面，所以平面
解：取的中点，连接在中，，所以，且．
又因为平面平面，平面平面，平面，所以平面．
在中，，，所以，所以如图所示，设为坐标原点，分别以直线、为轴，轴，过点且与平行的直线为轴，建立空间直角坐标系，
则，，，，，所以，
设平面的法向量为，则
令，则，，所以易知为平面的一个法向量所以，．
设平面与平面的夹角为，则
18.解：由题意可知：，准线为，
设外接圆的半径为，
由题意可知圆心必在，且圆心到准线的距离，
可得，解得，
所以抛物线的方程为：．
设，且，
则直线的方程：，化简得：，
联立方程，解得，
把代入得：，即，
则直线的方程：，
整理可得，
若与无关，可知当且仅当时，上式恒成立，
所以直线恒过定点．
由可知：，可知点到直线的距离，
所以的取值范围．
19.解：当时，，定义域为，
，
得或，函数单调递增；得，函数单调递减，
又，
函数在上单调递增，
当时函数取得最小值，；
由题，对任意上恒成立，且不恒为，
即对任意上恒成立，
对称轴为，在单调递减，
，
；
，
若函数是“拉格朗日中值函数”，
则存在，，且，使得，
即
，，
当时，对任意的都成立，
为“拉格朗日中值函数”，函数的“拉格朗日平均值点”有无数个，
当，时，有，
设，则方程在区间上有解，
令，，
，
函数在，，
当时，，
即方程在区间上无解，
综上，当时，为“拉格朗日中值函数”，函数的“拉格朗日平均值点”有无数个，
当，不是“拉格朗日中值函数”．
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