黑龙江省哈尔滨市双城区兆麟中学2024-2025学年高三上学期期中考试数学试卷(含答案)

2024-2025学年黑龙江省哈尔滨市兆麟中学高三（上）期中数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，，则( )
A. B.
C. D.
2.已知为虚数单位，复数满足，则的共轭复数( )
A. B. C. D.
3.平行四边形中，为的中点，点满足，若，则的值是( )
A. B. C. D.
4.已知各项均为正数的等比数列的前项和为，，，，，则数列的公比为( )
A. B. C. D.
5.已知，则( )
A. B. C. D.
6.设函数定义域为，为奇函数，为偶函数，当时，，则下列结论错误的是( )
A. B. 为奇函数
C. 在上是减函数 D. 方程仅有个实数解
7.在中，内角，，的对边分别为，，，已知，则面积的最大值为( )
A. B. C. D.
8.设函数，下列判断正确的是( )
A. 函数的一个周期为
B. 函数的值域是
C. 函数的图象上存在点，使得其到点的距离为
D. 当时，函数的图象与直线有且仅有一个公共点
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列说法正确的是( )
A. 若，，则 B. 若，，则
C. 若，则 D. 函数的最小值为
10.下列命题正确的有( )
A. 若等差数列的前项的和为，则，，也成等差数列
B. 若为等比数列，且，则
C. 若等差数列的前项和为，已知，且，，则可知数列前项的和最大
D. 若，则数列的前项和为
11.函数的部分图象如图所示，则下列说法中正确的是( )
A. 的表达式可以写成
B. 的图象向右平移个单位长度后得到的新函数是奇函数
C. 的对称中心
D. 若方程在上有且只有个根，则
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知是虚数单位，复数满足，则 ______．
13.已知边长为的菱形中，，点为线段含端点上一动点，点满足，则的取值范围为______．
14.若，则的最小值为______．
四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知向量，．
求向量与的夹角的大小；
若向量，求实数的值；
若向量满足，求的值．
16.本小题分
已知向量，，函数，相邻对称轴之间的距离为．
求的单调递减区间；
将函数图象上所有点的横坐标缩短为原来的，再向左平移个单位得的图象，若关于的方程在上只有一个解，求实数的取值范围．
17.本小题分
已知函数．
求的极值；
若对于任意不同的，，都有，求实数的取值范围．
18.本小题分
在中，内角，，所对的边分别为，，，且．
若，，求边上的角平分线长；
若为锐角三角形，点为的垂心，，求的取值范围．
19.本小题分
一般地，元有序实数组称为维向量如用一个实数可表示一维向量，用二元有序实数对可表示二维向量，类似我们熟悉的二维向量和三维向量，对于维向量，也可以定义两个向量的加法运算、减法运算、数乘运算、两个向量的数量积、向量的长度模等，如，则若存在不全为零的个实数，，，，使得，则称向量组，，，是线性相关的，否则，称向量组，，，是线性无关的．
判断向量组，，是否线性相关．
已知函数，，且恒成立．
求的值；
设，其中，若，，数列的前项和为；证明：当时，．
参考答案
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15.解：因为向量，，
所以，
所以，
又，
所以向量与的夹角；
，，
因为，所以，
解得；
向量满足，
即，
所以，解得，
所以，
所以．
16.解：，
因为相邻对称轴之间的距离为，
所以最小正周期，
而，所以，
所以，
令，，则，，
故的单调递减区间为，．
，
令，因为，所以，
因为关于的方程在上只有一个解，即在上只有一个解，
作出的图象如下所示，
由图知，或，
故实数的取值范围为．
17.解：因为，所以
令，解得或舍去．
当变化时，，的变化情况如表所示．
单调递减 单调递增
因此，当时，有极小值，且极小值为，无极大值
不妨令，则等价于，
即，
令函数，
可知在上单调递减，
．
若，即，则在上恒成立，
故在上恒成立，
则在上单调递减，符合题意，
若，即，则在上不恒成立，
故在上不恒成立，
则在上不可能单调递减，不符合题意．
综上所述，实数的取值范围为．
18.解：因为，因为，，
所以，
由正弦定理得，即，
由余弦定理得，
可得，
又因为因为，
所以；
又因为，，
由余弦定理的：，
即，解得，
设边上的角平分线，
，
即，
可得，
解得，
即边上的角平分线长为；
延长交于，延长交于，，
设，所以，
在中，
在中，，，所以，
在中，，
同理可得在中，
所以
，
因为，所以，
所以，
所以，
即的取值范围为．
19.解：假设，，线性相关，则存在不全为零的个实数，，，使得，
因为，，，
则，
可得，解得，
故假设不成立，即，，是线性无关的．
令，依题意，对任意恒成立，
，
注意，可得，解得；
若，则，，
令，解得，在内单调递增；
令，解得，在内单调递减；
则，符合题意；
综上所述：；
证明：由可知：，则，，
则，
可得，
又因为，
则，
即，，则，
可得，
因为，且为递增数列，则，
可得为递增数列，则，
综上所述：．
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