2024-2025学年江西省上饶市婺源天佑中学高三（上）月考数学试卷（10月份）（含答案）

2024-2025学年江西省上饶市婺源天佑中学高三（上）月考
数学试卷（10月份）
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知，且，则下列正确的是( )
A. B. C. D.
2.已知函数将函数向左平移一个单位，再向上平移一个单位后得函数，若，则实数的取值范围是( )
A. B.
C. D.
3.设是锐角，，则( )
A. B. C. D.
4.已知函数均为正的常数的最小正周期为，当时，函数取得最小值，则下列结论正确的是( )
A. B.
C. D.
5.如图，空间四边形中，，，，点在上，且，点为中点，则等于( )
A.
B.
C.
D.
6.暑期将至，甲、乙、丙等六名学生准备各自从，，，四个景点中选一个景点去旅游已知每个景点都有人选，且甲没有选景点，则所有不同的选法种数为( )
A. B. C. D.
7.记等差数列的前项和为，若，，成等差数列，，，成等比数列，则( )
A. B. C. D.
8.设定义在上的函数的导函数为，且，，则( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.某高中举行的纪念红军长征出发周年的知识答题比赛，对参赛的名考生的成绩进行统计，可得到如图所示的频率分布直方图，若同一组中数据用该组区间中间值作为代表值，则下列说法中正确的是( )
A. 参赛成绩的众数约为分
B. 用分层抽样从该校学生中抽取容量为的样本，则应在内的成绩抽取人
C. 参赛成绩的第百分位数约为分
D. 参赛成绩的平均分约为分
10.已知函数的图象在上有且仅有两条对称轴，则下列结论正确的有( )
A. 的取值范围是
B. 若的图象关于点对称，则在上单调递增
C. 在上的最小值不可能为
D. 若的图象关于直线对称，函数是常数，有奇数个零点，，，，，则
11.已知抛物线：的焦点为，过点且斜率为的直线与交于，两点，其中点在第一象限若动点在的准线上，则( )
A. 的最小值为
B. 当为等腰三角形时，点的纵坐标的最大值为
C. 当的重心在轴上时，的面积为
D. 当为钝角三角形时，点的纵坐标的取值范围为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.在正三棱柱中，，点为的中点是棱上一点，且平面，则 ______．
13.若的展开式中，项的系数为，则的最大值为______．
14.已知函数在上单调递减，则的最大值为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知命题：对任意实数，不等式恒成立；命题：关于的方程无实数根．
若为真命题，求实数的取值范围，
若的题，有且只有一个是真命题，求实数的取值范围．
16.本小题分
为了改善学校办公环境，某校计划购买，两种型号的笔记本电脑共台，已知型笔记本电脑每台元，型笔记本电脑每台元，设购买型笔记本电脑台，购买两种型号的笔记本电脑共需要费用元．
求出关于的函数解析式．
若因为经费有限，学校预算不超过万元，且购买型笔记本电脑的数量不得比型笔记本电脑数量的倍还要多，请问：学校共有几种购买方案？哪种方案费用最少？求出费用最少的方案所需费用．
17.本小题分
如图所示，在四棱锥中，底面为平行四边形，平面，点为的三等分点，满足．
设平面与直线相交于点，求证：；
若，求直线与平面所成角的大小．
18.本小题分
古希腊数学家阿波罗尼斯证明过这样一个命题：平面内到两定点距离之比为常数且的点的轨迹是圆后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆在平面直角坐标系中，，，动点满足，设动点的轨迹为曲线．
求曲线的轨迹方程；
若直线与曲线交于，两点，求；
若曲线与轴的交点为，，直线：与曲线交于，两点，直线与直线交于点，证明：点在定直线上．
19.本小题分
已知数列满足，
求数列的通项公式；
设为数列的前项和，求．
证明：
参考答案
1.
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9.
10.
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13.
14.
15.解：对任意实数，不等式都成立，
当时，不等式化为，即，不符合题意；
当时，要使对任意实数，不等式恒成立，
则，解得．
所以命题真时，实数的取值范围是；
若真，即方程无实数根，则，解得，
即命题真时，，由知，命题真时，，
由命题、中有且仅有一个是真命题，
得当真假时，，且或，因此；
当假真时，，且，因此，
所以实数的取值范围为．
16.解：因为购买型笔记本电脑台，购买型笔记本电脑台，
又购买两种型号的笔记本电脑共需要费用元，
则，
所以关于的函数解析式为，．
因为学校预算不超过万元，购买型笔记本电脑的数量不得比型笔记本电脑数量的倍还要多，
所以，
解得，
而为整数，
故可取，，，，，，
即学校共有种购买方案．
由，
已知函数单调递减，
又且为整数，
所以当时，有最小值，且最小值，
此时，
故学校共有种购买方案，购买型电脑台、型电脑台时费用最少，该方案所需费用为元．
17.解：证明：在四棱锥中，底面为平行四边形，平面，
点为的三等分点，满足，
平面与直线相交于点，
平面平面，
四边形为平行四边形，，
平面，平面，平面，
平面，平面平面，，
，，
过点作于点，
平面，平面，
平面平面，
平面平面，且，
平面，
连接，是直线与平面所成的角，
点为的三等分点，，，
在中，，
在中，由余弦定理可得：
，，
在中，，
在中，，可得，
直线与平面所成的角等于．
18.解：在平面直角坐标系中，，，动点满足，设动点的轨迹为曲线，
设，因为，所以，
即，整理得，
所以曲线的轨迹方程为；
直线与曲线交于，两点，
曲线的圆心到直线的距离，
所以；
证明：曲线与轴的交点为，，直线：与曲线交于，两点，直线与直线交于点，
设，，，
联立得，
，
设，，所以直线的方程为，直线的方程为，
因为直线与直线交于点，所以
则
，即，解得，
所以点在直线上．
19.解：，
．
又，
故数列是首项为，公比为的等比数列．
，
；
解：，
，
，
以上两式相减，得
．
；
证明：，
设，
则，
．
当时的最小值为．

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