垂直于弦的直径及其推论
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课件14张PPT。垂直于弦的直径及其推论山东省嘉祥县第四中学 曾庆坤 13153723886从特殊到一般想一想：将一个圆沿着任一条直径对折，两侧半圆会有什么关系？
性质：圆是轴对称图形，任何一条直径所在的直线都是它的对称轴。观察右图，有什么等量关系？垂直于弦的直径AO=BO=CO=DO，弧AD＝弧BC，弧AC＝弧BD。AO=BO=CO=DO，弧AD＝弧BC=弧AC＝弧BD。AO=BO=CO=DO，弧AD＝弧BD，弧AC＝弧BC, AE＝BE 。证明猜想已知：在⊙O中，CD是直径，AB是弦，CD⊥AB，垂足为E。
求证：AE＝BE，弧AC＝弧BC，弧AD＝弧BD。垂径定理垂径定理 垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧。判断下列图形，能否使用垂径定理？注意：定理中的两个条件（直径，垂直于弦）缺一不可！定理辨析练习例1、已知：在⊙O中，弦AB的长为8cm,圆心O到AB的距离为3cm,求： ⊙O的半径。若OA=10cm,OE=6cm,求弦AB的长。
若圆心到弦的距离用d表示，半径用r表示，弦长用a表示，这三者之间有怎样的关系？OE为O到弦AB的垂线段
变式1：AC、BD有什么关系？变式2：AC＝BD依然成立吗？变式3：EA＝____, EC=_____。OA=OBOC=OD变式练习如图，P为⊙O的弦BA延长线上一点，PA＝AB＝2，PO＝5，求⊙O的半径。辅助线关于弦的问题，常常需要过圆心作弦的垂线段，这是一条非常重要的辅助线。
圆心到弦的距离、半径、弦长构成直角三角形，便将问题转化为直角三角形的问题。综合运用练习已知等腰△ABC的底边BC的长为10cm，顶角为60°，求它的外接圆的直径。
如图，⊙O中CD是弦，AB是直径，AE⊥CD于E，BF⊥CD于F，求证：CE＝DF。温故而知新画图叙述垂径定理，并说出定理的题设和结论。想一想：如果将题设和结论中的5个条件适当互换，情况会怎样？ （1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；
（2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；
（3）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦并且平分弦所对的另一条弧。推论1如图，CD为⊙O的直径，AB⊥CD，EF⊥CD，你能得到什么结论？推论2弧AE＝弧BF圆的两条平行弦所夹的弧相等。1、填空：如图，在⊙O中
（1）若MN⊥AB，MN为直径；则
（ ），（ ），（ ）；
（2）若AC＝BC，MN为直径；AB不是直径，则
（ ），（ ），（ ）；
（3）若MN⊥AB，AC＝BC，则
（ ），（ ），（ ）；
（4）若弧AM＝弧BM，MN为直径，则
（ ），（ ），（ ）。练习练习2、平分已知弧。
3、四等分已知弧。4、已知： ⊙O的半径为6厘米，弦AB与半径OA的夹角为30°。
求：弦AB的长。6、在直径为650毫米的圆柱形油槽内装入一些油后，截面如图所示。若油面宽AB＝600毫米，求油的最大深度。5、1300多年前，我国隋代建造的赵州石拱桥的桥拱是圆弧形，它的跨度（弧所对的弦的长）为37.4米，拱高（弧的中点到弦的距离，也叫弓形高）为7.2米，求桥拱的半径。（精确到0.1米）。实际问题
性质：圆是轴对称图形，任何一条直径所在的直线都是它的对称轴。观察右图，有什么等量关系？垂直于弦的直径AO=BO=CO=DO，弧AD＝弧BC，弧AC＝弧BD。AO=BO=CO=DO，弧AD＝弧BC=弧AC＝弧BD。AO=BO=CO=DO，弧AD＝弧BD，弧AC＝弧BC, AE＝BE 。证明猜想已知：在⊙O中，CD是直径，AB是弦，CD⊥AB，垂足为E。
求证：AE＝BE，弧AC＝弧BC，弧AD＝弧BD。垂径定理垂径定理 垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧。判断下列图形，能否使用垂径定理？注意：定理中的两个条件（直径，垂直于弦）缺一不可！定理辨析练习例1、已知：在⊙O中，弦AB的长为8cm,圆心O到AB的距离为3cm,求： ⊙O的半径。若OA=10cm,OE=6cm,求弦AB的长。
若圆心到弦的距离用d表示，半径用r表示，弦长用a表示，这三者之间有怎样的关系？OE为O到弦AB的垂线段
变式1：AC、BD有什么关系？变式2：AC＝BD依然成立吗？变式3：EA＝____, EC=_____。OA=OBOC=OD变式练习如图，P为⊙O的弦BA延长线上一点，PA＝AB＝2，PO＝5，求⊙O的半径。辅助线关于弦的问题，常常需要过圆心作弦的垂线段，这是一条非常重要的辅助线。
圆心到弦的距离、半径、弦长构成直角三角形，便将问题转化为直角三角形的问题。综合运用练习已知等腰△ABC的底边BC的长为10cm，顶角为60°，求它的外接圆的直径。
如图，⊙O中CD是弦，AB是直径，AE⊥CD于E，BF⊥CD于F，求证：CE＝DF。温故而知新画图叙述垂径定理，并说出定理的题设和结论。想一想：如果将题设和结论中的5个条件适当互换，情况会怎样？ （1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；
（2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；
（3）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦并且平分弦所对的另一条弧。推论1如图，CD为⊙O的直径，AB⊥CD，EF⊥CD，你能得到什么结论？推论2弧AE＝弧BF圆的两条平行弦所夹的弧相等。1、填空：如图，在⊙O中
（1）若MN⊥AB，MN为直径；则
（ ），（ ），（ ）；
（2）若AC＝BC，MN为直径；AB不是直径，则
（ ），（ ），（ ）；
（3）若MN⊥AB，AC＝BC，则
（ ），（ ），（ ）；
（4）若弧AM＝弧BM，MN为直径，则
（ ），（ ），（ ）。练习练习2、平分已知弧。
3、四等分已知弧。4、已知： ⊙O的半径为6厘米，弦AB与半径OA的夹角为30°。
求：弦AB的长。6、在直径为650毫米的圆柱形油槽内装入一些油后，截面如图所示。若油面宽AB＝600毫米，求油的最大深度。5、1300多年前，我国隋代建造的赵州石拱桥的桥拱是圆弧形，它的跨度（弧所对的弦的长）为37.4米，拱高（弧的中点到弦的距离，也叫弓形高）为7.2米，求桥拱的半径。（精确到0.1米）。实际问题
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