数列通项公式的几种常用求法

重要知识点梳理、自学资料二
数列通项公式的几种常用求法
一、累加法（也叫逐差求和法）：利用求通项公式的方法称为累加法。累加法是求型如（可求前项和）的递推数列通项公式的基本方法，也可以连续列出，再对这n－1个式子进行累加。
例1 已知数列满足，求数列的通项公式。
解1：由得则
所以
解2：由得
将这n－1个式子相加得
所以
练习1 （1）已知数列满足，求数列的通项公式。
（2）已知,,求数列通项公式.
二、累乘法（也叫逐商求积法）:利用恒等式求通项公式的方法称为累乘法,累乘法是求型如: （可化为的形式）的递推数列通项公式的基本方法(数列可求前项积).
例2 已知,,求数列通项公式.
【解析】： ,,
，当时，满足，.
练习2：（1）已知，()，求。
（2）已知中，，且，求数列的通项公式.
（3）已知， ，求。
三、构造法: 将所给的数列的已知条件通过变化之后构造成一个新的等差或等比数列。
(1)将递推公式（为常数，，）通过与原递推公式恒等变成的方法叫构造新数列.
例3 已知数列中, ,,求的通项公式.
【解析】:利用,求得,是首项为,公比为2的等比数列,即,。
法2（四、层差法）：
反思:构造新数列的实质是通过来构造一个我们所熟知的等差或等比数列，本方法题型都可以用“层差法”进行求解，不过一般“层差法”过程比较麻烦，大家可以酌情使用。
(2)例4 已知数列满足，，求数列的通项公式。
解：两边除以，得，则，故数列是以为首项，以为公差的等差数列，由等差数列的通项公式，得，所以数列的通项公式为。
评注：本题解题的关键是把递推关系式转化为，说明数列是等差数列，再直接利用等差数列的通项公式求出，进而求出数列的通项公式。
(3)例5 已知数列满足，求数列的通项公式。
解：设 ④
将代入④式，得，等式两边消去，得，两边除以，得代入④式得 ⑤
由及⑤式得，则，则数列是以为首项，以2为公比的等比数列，则，故。
评注：本题解题的关键是把递推关系式转化为，从而可知数列是等比数列，进而求出数列的通项公式，最后再求出数列的通项公式。
练习3:已知数列中, ,,求的通项公式.
五、公式法：利用熟知的的公式求通项公式的方法称为公式法，常用的公式有，等差数列或等比数列的通项公式。
例6 已知无穷数列的前项和为，并且，求的通项公式？
【解析】： ， ， ，又， .
反思：利用相关数列与的关系：,与提设条件，建立递推关系，是本题求解的关键.
六、倒数变换：将递推数列,取倒数变成的形式的方法叫倒数变换.
例7 已知数列中, ,,求数列的通项公式.
【解析】:将取倒数得: ,,
是以为首项,公差为2的等差数列. ,.
反思:倒数变换有两个要点需要注意:一是取倒数.二是一定要注意新数列的首项,公差或公比变化了.
练习4：1)数列{ an }中，an≠0，且满足求an
2)数列{ an }中，求an通项公式。
3)数列{ an }中,求an.
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