数列的求和专题

重要知识点梳理、自学资料一
数列的求和专题
一、公式法：正确判断给定数列所属类型之后直接代入公式。
二、分组（拆项）求和法：从通项公式入手，把握住与n的多项式的特征，将一个数列的求和转化为两个基本数列（等差数列或等比数列）的求和。
例1．求下列数列的前项和：
（1）5，55，555，5555，…，，…； （2）；
解：（1）
．
（2）∵，
∴ 原式……．
练习1：（1）求数列的前n项和
（2）求数列的前项的和。
（3）求数列1，3＋，32＋，……，3n＋的各项的和。
三、并项求和法：把数列的某些项放在一起先求和，然后再求Sn。
例2 求的和。
解：
由等差数列的求和公式，得
练习2：求数列1，-2，3，-4，…，(-1)n-1，…的前项和
四、裂项相消（减）法：如果一个数列的每一项都可拆为两项之差，且拆后相邻两项（有时隔项）之间消去一部分；
例3．求。
解析：，
( http: / / www. / wxc / )
点评：裂项求和的关键是先将形式复杂的因式转化的简单一些。
例4．求下列数列的前项和：
（1）； （2）。
解： （1）∵，
∴．
（2）∵
∴．
例5 已知，求。
解：因为
所以
练习3：①求和；
②求数列的前项的和。
小结：求数列{}的前项的和，可将通项拆为　　　　　　。
五、错位相差（减）法：如果数列是等差数列，是等比数列，则数列 的前n项和都可用此法求之；
例5．已知，数列是首项为a，公比也为a的等比数列，令，求数列的前项和。
解析：，
①-②得：， ( http: / / www. / wxc / )
例6．求数列的前项和；
解：，
当时，，
当时，…，
当时，… ，
…，
两式相减得 …，∴．
练习4：①求的和；②求的和。
六、用倒序相加法求和：Sn表示从第一项依次到第n项的和，然后又将Sn表示成第n项依次反序到第一项的和，将所得两式相加，由此得到Sn的一种求和方法。
例7．求下列数列的前项和：
．
解：设，
又∵，
由，得 ，．
练习5：已知。
七、其他方法
例8．求数列1，3+5，7+9+11，13+15+17+19，…前n项和。
解析：本题实质是求一个奇数列的和。在该数列的前n项中共有个奇数，故。