4.2一次函数与正比例函数 教学设计（表格式）2024-2025学年北师大版数学八年级上册

一次函数
4.2 一次函数与正比例函数
一、课标解读
（一）内容要点：
1.理解一次函数和正比例函数的概念，弄清两者间的区别和联系。
2.能够根据所给条件写出简单的一次函数表达式。
（二）认知提示：
1.能力目标：①基础能力：理解一次函数、正比例函数的定义概念，能够区分一次函数和正比例函数。②高阶能力：能够根据题目已知条件确定简单的一次函数的表达式。
2.思想认识目标：结合具体情境体会一次函数的意义，感受七年级所学变量、常量的应用。发展学生寻找规律、抽象思维能力。
二、教材分析
（一）解析课文标题
课文标题为“一次函数与正比例函数”，本节重点聚焦为探索“一次函数”和“正比例函数”的定义，探索过程即为写出函数的过程，所以重点还有能够写出简单的一次函数表达式。
解析课前导语
本节内容由“弹簧所挂物体质量x增加，随之弹簧长度y增加”的例题探索引入。引导学生思考在物体质量慢慢增加时弹簧长度的变化，并要求学生填表，由表格数据探索出y与x之间的关系式。
核心问题 1.计算所挂物体的质量分别为1、2、3、4、5kg时弹簧长度并填表。 2.你能写出y与x之间的关系式吗？
聚焦回答 1. x/kg012345y/cm33.544.555.5
2. （x≧0）（对于x的取值范围不用特意强调，学生了解即可）
思考课文脉络
本节教材设计由一个与七年级所学变量相关的例子引入，情景设置较为贴近生活，过渡自然。在对导入情景及两道例题的探索后，得到相关概念。又从概念出发进行问题解决，问题设置由简单定义类题目推演到较难的关系式书写。
教学论著：
《教材完全解读》P67，作者：王后雄。从该篇内容中我参考借鉴了本节内容中的重难点知识。
学生分析
在本章的第一节内容里，学生已知了函数的定义及三种表示函数的方法。在七年级的变量的学习中，学生已知了自变量、因变量的定义及因变量、自变量间简单关系式的书写。所以在本节一次函数和正比例函数的表达式书写中，对于自变量和因变量的位置书写问题不大，但对于一次函数表达式y=kx+b中k值和b值的寻找与计算还存在一定问题。只有少部分理解能力强并且基础掌握较好的学生能掌握。所以对于函数表达式中常量的寻找还需加强学生分析题意能力与函数表达式里每个字母概念的理解。对于一次函数及正比例函数的区分也比较容易掌握，是多数学生能掌握、判别的。这一节的学习也为后面一次函数的图像及性质探索打下基础。
四、教学过程
教学 过程 教师活动 学生活动 设计意图及资源准备
导入 提问引入：1.同学们，我们在七年级的时候学过变量之间的关系，请问变量有哪些呢？定义是什么？ 回顾了变量间的关系，那请同学们尝试解决一下下面这道例题。 某弹簧的原长为3cm（不挂重物时）。在弹性限度内，所挂物体的质量x每增加1kg，弹簧长度y增加0.5cm. 解决书上导入例题：(1)计算所挂物体的质量分别1kg，2kg,3kg, 4kg,5kg时弹簧的长度，并填表。 （2）探索出y于x之间的关系式。 提问引入，师生活动由师引导学生回顾旧知，由旧知过渡到新知。让学生自主解决书上导入例题，探索y与x之间的关系。
新课 讲授 一、做一做 例：某辆汽车油箱中原有汽油60L，汽车每行驶50km耗油6L。 要求学生完成下面问题： x/km050100150200300y/L
完成下表： 你能写出耗油量y(L)与汽车行驶路程x(km)之间的关系式吗？ 你能写出油箱剩余油量z(L)与汽车行驶路程x(km)之间的关系式吗？ 提示学生第三问的结果可由第二问推移而来。 学生独立完成书上做一做例题中的第（1）问，小组合作完第（2）（3）问。 学生独立思考第一问，小组合作第二、三问，锻炼学生自主计算能力和小组合作能力。
二、探索异同、总结新知 由做一做所得结果，，提问学生由两个表达式可得到什么异同之处？ 学生自主探索两个表达式的异同，总结出一次函数及正比例函数的概念。 由学生自主观察两式子的异同，总结得到正比例函数及一次函数的概念、区别和联系，能够加强新知的理解与记忆。
三、新知应用 将书上例题1和例题2分给几个小组，由学生小组派代表进行例题的讲解。例1：写出下列各题中y与x之间的关系式，并判断y是否为x的一次函数？是否为正比例函数？ 汽车以56km/h的速度匀速行驶，行驶距离y与行驶的时间X之间的关系； 圆的周长y与它的半径x之间的关系； 某水池有水25m ，现打开进水管进水，进水速度为5m /h，x h后这个水池内有水y m 。 例2：我国居民个人劳务报酬所得税预扣计算方法：……每次收入超过800元而不足4000元的，预扣预缴税款=（每次收入-800）×20%。（1）每次收入超过800但不超过4000元时，写出y与x之间的关系式。（2）某人某次取得劳务报酬3500元，他这笔所得应预扣预缴税款多少元？（3）如果某人某次预扣预缴劳务报酬所得税600元，那么此人这次取得的劳务报酬是多少元？ 由学生小组内推选代表进行例题讲解，欠缺之处由师补充。 将所学新知进行应用，学生自主讲解与教师补充一起进行师生互动，让学生了解到自己思考时所欠缺的地方在哪里。
四、随堂练习 1.判断下列式子哪些是一次函数？哪些是正比例函数？ . 2.某种大米的单价是2.2元/kg，当购买x kg大米时，花费为y元。y是x的一次函数吗？是正比例函数吗？ 3.如图，甲乙两地相距120 km,现有一列火车从乙地出发，以80km/h的速度向丙地行驶。 设x(h)表示火车行驶时间，y(km)表示火车与甲地的距离。 写出y与x之间的关系式，并判断y是否为x的一次函数； 当x=0.6时，求y的值. 由学生独立思考完成，并请学生将自己答案进行展示，由其余学生进行评价及纠错。 第一题的设计巩固学生对一次函数及正比例函数的概念理解。会区分一次函数及正比例函数，但同时也要掌握两者间的从属关系。第二、三问的设计在于巩固练习学生对一次函数表达式的书写能力，学生肯定有不同的答案写出，对于典型的错误可进行展示并向全班学生说明。
巩固小结 一次函数概念：若两个变量x,y之间的对应关系可以表示成y=kx+b（k,b为常数，k≠0）的形式，则称y是x的一次函数。特别地，当b=0时，称y是x的正比例函数。 提问学生：k、b两常数的取值范围。 请学生谈谈自己本节课的收获，对于知识的理解。 鼓励学生进行自我总结，再一次巩固本节课所学新知。
课后作业 根据下表写出y与x之间的一个关系式 x-10123y30-3-6-9
写出下列各题中y与x间的关系式，并判断：y是否为x的一次函数？是否为正比例函数？ 一个在斜坡上由静止开始向下滚动的小球，其速度每秒增加2.5m，小球的速度y（m/s）与时间x（s）之间的关系； 周长为12cm的长方形的一边长为x cm，其面积y（㎝ ）与x(cm)之间的关系. 某电信公司手机的A类收费标准如下：不管通话时间多长，每部手机每月须缴月租费28元，另外，通话费按0.3元/min计。 写出y与x之间的关系式； 某用户本月通话160min，应缴费多少元？ 某用户本月预缴了120元话费，那么该用户本月可通话多长时间？ 4.某电信公司手机的B类收费如下：没有月租，但通话费按照0.5元/min计。按此类标准收费完成第3题中的三个问题。 由四道大题，巩固学生本节课所学：一次函数、正比例函数的定义、区别。一次函数表达式的书写。学生在课后做这几道题中，可能会出现函数表达式不会书写，对于关系式中求自变量或因变量的方法不明确等问题。在批改过程中应注意学生的过程错误之处，将典型错误进行归纳汇总，在下节课中进行讲评。
（板书） 4.2 一次函数与正比例函数 一、变量 1.因变量 2.自变量 二、函数 定义：…… 三、一次函数 定义：…… 正比例函数 定义：…… 先提问，后板书，将概念知识写在黑板上，作为一个提示，帮助学生解决问题。将概念等容易理解明白的内容和相关判别的例子进行板书，让学生可以由定义进行判断、巩固所学。
教学反思
函数是学生初中数学中较为重要且难理解的一个内容，并且一次函数作为学生所接触的第一个函数，充分考虑到学生的接受程度，从七年级所学变量相关例子进行导入，比较自然过渡。在对情景例子进行充分探索之后，利用小结的新授知识进行巩固训练，同时为后面所学一次函数的性质、图像等知识进行铺垫。不足之处在于，学生在进行小组讨论时，可能会偏离预期，或者总结不出教师预设结果，此时应给与学生适当引导与点拨。