2024-2025学年九年级上学期北师大版数学期中模拟试卷3（深圳专用第1~5章）（含解析）

九年级数学期中模拟卷3（深圳专用，北师大版九上第1~5章）----2024-2025学年初中上学期期中模拟考试
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
选择题
1．已知是关于x的方程的一个根，则这个方程的另一个根是( )
A． B． C． D．
2．方程的两根为、，下列各式正确的是（ ）
A． B．
C． D．
3．袋子中有42个除颜色外完全相同的小球．在看不到球的条件下，随机地从袋子中摸出一个球，记录颜色后放回，将球摇匀．重复上述过程180次后，共摸到红球30次，由此可以估计口袋中的红球个数是（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
4．关于x的一元二次方程有实数根，则实数m的取值范围是（ ）
A． B．
C．且 D．且
5．如图，是矩形的对角线上一点，过点作，分别交，于点，，，，则阴影部分的面积是（ ）
A．5 B．10 C．12 D．14
6．如图，△ABC中，∠ C＝900，∠CAB＝600，AD平分∠BAC，点D到AB的距离DE＝3cm，则BC等于（ ）
A．3cm B．6cm C．9cm D．12cm
7．如图，菱形ABCD中，，AC与BD交于点O，E为CD延长线上一点，且，连接BE，分别交AC，AD于点F、G，连接OG，则下列结论：
①；②；③由点A、B、D、E构成的四边形是菱形；④，其中正确的结论是（ ）
A．①② B．①②③ C．①③④ D．②③④
8．如图，在中，，．按照如下步骤作图：
①分别以点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点；
②作直线，交点；
③以为圆心，长为半径作弧，交的延长线于点；
④连接．
下列说法错误的是( )
A． B． C． D．
填空题
9．小明和小红两人分别从M，N两个博物馆中选择一个参观，则小明和小红选到同一博物馆的概率为 ．
10．如图，已知等腰，，，为边上的高，将绕点A顺时针旋转90°得到（点D的对应点为点E，点C的对应点为点F）．连接，点M为的中点，点P为直线上一动点，将沿翻折，使点F的对应点G恰好落在直线上，则的长为 ．
11．如图，连结正方形ABCD和正三角形的顶点C、E, 则∠BCE为
12．如图，在矩形中，，点在上，．若平分，则的长为 ．
13．如图， 在正方形中，为上一点，是延长线上一点， 且， 连接， 是的中点， 连接，与和分别相交于点和， 则下列四个结论：； 若， 则 ； ； ；其中正确的是 ．

解答题
14．（1）解一元二次方程：x2﹣3x＝10
（2）解方程：2x2﹣4x﹣1＝0（用配方法）
15．如图，在平面直角坐标系中，▲ABC的三个顶点坐标分别为，，．
(1)画出▲ABC关于x轴对称的，点的坐标为 　　；
(2)以原点O为位似中心，在x轴上方画出▲ABC放大2倍后的，点的坐标为 　　．
16．为响应东方市教育教学研究培训中心关于开展中考英语词汇检测的通知，某校举行“百词竞赛，备战中考”学生英语词汇比赛，每位学生听写单词100个．随机抽取了部分学生的听写结果，绘制成如图的图表．
组别 正确单词数 人数
A 10
B 15
C 25
D
E

根据以上信息完成下列问题：
(1)统计表中的_________，___________；
(2)扇形统计图中“C组”所对应的圆心角的度数是_________；
(3)已知该校九年级共有400名学生，如果听写正确的单词个数少于40个定为不合格，请你估计该校九年级本次听写比赛不合格的学生人数有__________；
(4)甲、乙两同学表现出色，被选中参加全市初中英语学习经验交流会，该活动随机将选送的同学分配到A、B组两个小组，则甲、乙两人恰好分在同一小组的概率是_________．
17．大疆农业无人机在全球多个国家和地区获得政府政策支持和市场认可，2022年，我国S省农业科技综合服务平台计划用47万元购买A、B两款大疆农业无人机共25架，服务于全省农作物洒水、施肥、喷农药等农田与果园工作．每架A款农业无人机为2万元，每架B款农业无人机比A款少2000元．
(1)求2022年S省农业科技综合服务平台计划购买A、B两款大疆农业无人机各多少架？
(2)大疆农业无人机始终保持技术的选代升级．2024年、款农业无人机以更智能、更高效、更安全的方式革新农业生产方式．对比2022年S省计划购买的A、B两款农业无人机，2024年H省购买款农业无人机比S省购买A款农业无人机的单价高，购买数量多m个；H省购买款农业无人机比S省购买B款农业无人机的单价高万元，购买数量少．2024年H省购买款、款农业无人机共花费55.8万元，求m的值．
18．已知，正方形中，绕点A顺时针旋转，它的两边分别交、（或它们的延长线）于点M、N，当绕点A旋转到时（如图1），求证

(1)下面是小东同学的证明过程，请补充完整．
证明：延长至点P，使，连接，如图1
(2)当旋转到时（如图2），线段、和之间的数量关系 ，若正方形的周长为4，则的周长是 ：
(3)当绕点A旋转到如图3的位置时，，线段、和之间又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并加以证明．
19．如图1，在正方形ABCD中，点P为AD延长线上一点，连接AC、CP，过点C作CF⊥CP交于C，交AB于点F，过点B作BM⊥CF于点N，交AC于点M．
（1）若AP=AC，BC=4，求S△ACP；
（2）若CP﹣BM=2FN，求证：BC=MC；
20．小昆和小明玩摸牌游戏，游戏规则如下：有3张背面完全相同，牌面标有数字1、2、3的纸牌，将纸牌洗匀后背面朝上放在桌面上，随机抽出一张，记下牌面数字，放回后洗匀再随机抽出一张．
（1）请用画树形图或列表的方法（只选其中一种），表示出两次抽出的纸牌数字可能出现的所有结果；
（2）若规定：两次抽出的纸牌数字之和为奇数，则小昆获胜，两次抽出的纸牌数字之和为偶数，则小明获胜，这个游戏公平吗？为什么？
答案解析：
1．A
【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系，设的另一个根为，根据根与系数的关系得出，求出的值是解题的关键．
【详解】解：设方程的另一个根为，
由根与系数的关系得：，
解得：，
故选A．
2．A
【分析】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系：若方程的两根为，，则，．根据根与系数的关系直接求解即可．
【详解】解：∵方程的两根为、，
∴，，
故选：A．
3．B
【分析】根据摸球的情况可以求出摸到红球的频率为，而袋子中有42个小球，从而求出袋子中红球的大约数量；
【详解】 摸了180次后，共摸到红球30次
摸到红球的频率为：
又 袋子中有42个小球
口袋中的红球个数大约为：（个）
故选：B.
【点睛】本题主要考查用频率去估计概率，熟练掌握这一方法是解决本题的关键.
4．B
【分析】本题主要考查一元二次方程根的判别式与方程解的情况的关系，熟练掌握根的判别式的意义是解题的关键．
根据一元二次方程有实数根，即，得出关于m的一元一次不等式，进行求解即可．
【详解】解：∵一元二次方程有实数根，
∴
解得．
故选：B．
5．B
【分析】矩形的性质可证明S△DEM=S△BFM，即可求解．
【详解】解：作PM⊥AB于P，交DC于Q．
则有四边形DEMQ，四边形QMFC，四边形AEMP，四边形MPBF都是矩形，
∴S△DEM=S△DQM，S△QCM=S△MFC，S△AEM=S△APM，S△MPB=S△MFB，S△ABC=S△ADC，
∴S△ABC-S△AMP-S△MCF=S△ADC-S△AEM-S△MQC，
∴S四边形DEMQ=S四边形MPBF，
∴2S△DEM=2S△MFB
∵DE=CF=2，EM=5，
∴S△DEM=S△MFB=×2×5=5，
∴S阴=5+5=10，
故选：B．
【点睛】本题考查矩形的性质、三角形的面积等知识，解题的关键是证明S四边形DEMQ=S四边形MPBF．
6．C
【分析】根据直角三角形两锐角互余求出∠B=30°，再根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半可得BD=2DE，根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得CD=DE，然后根据BC=BD+CD计算即可得解．
【详解】解：∵∠C=90°，∠CAB=60°，
∴∠B=90°-60°=30°，
∵DE⊥AB，
∴BD=2DE=2×3=6cm，
∵AD平分∠BAC，∠C=90°，DE⊥B，
∴CD=DE=3cm，
∴BC=BD+CD=6+3=9cm．
故选C．
【点睛】本题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，直角三角形两锐角互余的性质以及直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半的性质，熟记各性质并准确识图是解题的关键．
7．C
【分析】①由AAS证明△ABG≌△DEG，得出AG=DG，证出OG是△ABD的中位线，得出OG=AB，①正确；
③先证明四边形ABDE是平行四边形，证出△ABD、△BCD是等边三角形，得出AB=BD=AD，因此OD=AG，得出四边形ABDE是菱形，③正确；
②连接FD，由等边三角形的性质和角平分线的性质得F到△ABD三边的距离相等，则S△BDF=S△ABF=2S△BOF=2S△DOF=S四边形ODGF，则S四边形ODGF=S△ABF，②错误；即可得出结论．
④∵连接CG，由O、G分别是AC，AD的中点，得到，则S△ACD＝4S△AOG，再由S△AOG＝S△BOG，得到S△ACD＝4S△BOG，故④正确；
【详解】∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝BC＝CD＝DA，AB∥CD，OA＝OC，OB＝OD，AC⊥BD，
∴∠BAG＝∠EDG，
∵CD＝DE，
∴AB＝DE，
在△ABG和△DEG中，
，
∴△ABG≌△DEG（AAS），
∴AG＝DG，
∴OG是△ABD的中位线，
∴OG＝AB，故①正确；
∵AB∥CE，AB＝DE，
∴四边形ABDE是平行四边形，
∵∠BCD＝∠BAD＝60°，
∴△ABD、△BCD是等边三角形，
∴AB＝BD＝AD，∠ODC＝60°，
∴平行四边形ABDE是菱形，故③正确；
∵连接CG，
∵O、G分别是AC，AD的中点，
∴，
∴S△ACD＝4S△AOG，
∵，
∴S△AOG＝S△BOG，
∴S△ACD＝4S△BOG，故④正确；
连接FD，如图：
∵△ABD是等边三角形，AO平分∠BAD，BG平分∠ABD，
∴F到△ABD三边的距离相等，
∴S△BDF＝S△ABF＝2S△BOF＝2S△DOF＝S四边形ODGF，
∴S四边形ODGF＝S△ABF，故②错误；
正确的是①③④，
故选C．
【点睛】本题考查了菱形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、三角形中位线定理以及三角形面积等知识，综合运用以上知识是解题的关键．
8．D
【分析】根据等腰三角形的性质以及三角形内角和定理可得，再根据题意可得：，是的垂直平分线，从而可得，进而可得，然后利用角的和差关系可得，从而利用三角形的外角性质可得，进而可得，再根据等量代换可得，从而可得，进而可得，即可判断A、B，然后证明，从而利用相似三角形的性质可得，即可判断C，根据等腰三角形的性质相似三角形的性质，可得即可判断D．
【详解】解：，，
，
由题意得：，是的垂直平分线，
，
，
，
，
，
，
，故A正确；
，
，
，
，故B正确；
，，
，
，
，故C正确；
设，则，
解得：(负值舍去)
又∵
∴，故D选项错误，
故选：D．
【点睛】本题考查了相似三角形的性质与判定，等腰的性质，作垂直平分线，线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．
9．
【分析】本题考查了画树状图法或列表法求等可能情形下的概率计算；画树状图法或列表法，利用概率计算公式，即可求解；会用画树状图法或列表法求概率是解题的关键．
【详解】解：列表如下：
小红 小明
共有种等可能结果，其中两人选到同一博物馆的有种结果，
两人选到同一博物馆的概率为：；
故答案：．
10．2
【分析】由旋转的性质可得，，，，由三角形中位线定理可得，，，由折叠的性质可得，由勾股定理求解．
【详解】解：如图，取的中点H，连接，并延长交直线于N，
∵，，，
∴，
∴，
∵将绕点A顺时针旋转90°得到，
∴，，，，
∴，，
∴，
∵点M为的中点，点H为直线的中点，
∴，，，
∴，
∴四边形是矩形，
∴，
∴，
∴，
∵点M为的中点，，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵将沿翻折，
∴，
∴，
当点G在线段上时，，
当点G在线段上时，（不符合题意舍去），
故答案为：2．
【点睛】本题考查了旋转的性质，折叠的性质，矩形的判定和性质，三角形中位线定理，勾股定理等知识，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．
11．15°.
【详解】试题分析：由正方形的性质可得线段相等及∠ABC的度数，由等边三角形的性质可得线段相等及∠ABE的度数，利用三角形内角和及等腰三角形的性质可求得答案．
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC，∠ABC=90°，
∵△AEB是对边三角形，
∴BC=AB，∠ABE=60°，
∴BE=BC，
∴∠BEC=∠BCE，
又∵∠EBC=90°+60°=150°，
∴∠BCE=（180°-150°）=15°.
考点：1.正方形的性质；2.等边三角形的性质．
12．
【分析】本题考查了矩形的性质，勾股定理，平行线的性质，等角对等边，由矩形的性质可得，，由角平分线和平行线的性质可证，由勾股定理可求解，熟练掌握知识点的应用是解题的关键．
【详解】解：∵平分，
∴，
∵四边形是矩形，
∴，，
∴，
∴，
∴，
设，则，
在中，，
∴，解得：，
∴，
故答案为：．
13．
【分析】本题考查了正方形的性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质，平行线分线段成比例，直角三角形的性质，三角形的中位线性质；根据证明得到 ，，再证明是等腰直角三角形，可得 ，由是正方形的对角线可得，得 ，又 ，故可得，故正确；连接，过点 作于点，证明是 的中位线，求出，根据直角三角形的性质得到，根据证明，得到 ，得出，故错误；根据三角形内角和定理可得正确；证明可判断正确；熟记各性质与定理并作出辅助线是解题的关键．
【详解】解：∵四边形是正方形中，
∴，，
∴，
又∵，
∴，
∴，，
∴，
即，
又∵，
∴，
∵是正方形的对角线，
∴，
∴，
∵，
∴，故正确；
连接，过点作于点 ，如图，

∵，
∴，
∵是的中点，
∴，
∴，
即，
∴是的中点，
∴是的中位线，
∴，
∵是的中点，
∴，，
∴，
在与中，
，
∴，
∴，
∴，
∴，
由于无法判断，故说法错误；
∵，，
又∵，，
∴，故正确；
∵，，
∴，
∴，
∴，故正确；
综上，正确的是，
故答案为：．
14．（1）x1＝5，x2＝﹣2；（2）x1＝，x2＝
【分析】（1）利用因式分解法求解可得；
（2）利用配方法求解可得．
【详解】（1）∵x2﹣3x﹣10＝0，
∴（x﹣5）（x+2）＝0，
则x﹣5＝0或x+2＝0，
解得：x1＝5，x2＝﹣2；
（2）∵2x2﹣4x＝1，
∴x2﹣2x＝，
则x2﹣2x+1＝+1，即（x﹣1）2＝，
∴x﹣1＝±，
则x1＝，x2＝．
【点睛】此题考查解一元二次方程-因式分解法和配方法，解题关键在于掌握运算法则.
15．(1)见解析；
(2)见解析；．
【分析】（1）分别确定A，B，C关于x轴对称的对称点，，，再顺次连接即可，再根据的位置可得其坐标；
（2）分别确定A，B，C关于原点O的位似对应点，，，再顺次连接即可，再根据的位置可得其坐标；
【详解】（1）解：如图，，即为所求作的三角形，
由图象可得，
（2）如图，，即为所求作，
由图象可得，
【点睛】本题考查的是画关于x轴对称的三角形，画关于原点位似的三角形，以及确定对称与位似的对应点的坐标，掌握“轴对称与位似的性质进行画图”是解本题的关键．
16．(1)30，20
(2)
(3)100
(4)
【分析】（1）先求解总人数为100人，再由D组的百分比乘以100即可得到，再由总人数减去各小组的人数可得的值；
（2）由C组的百分比乘以即可；
（3）由不合格的百分比乘以400即可；
（4）先列表得到所有的情况数与符合条件的情况数，再利用概率公式求解即可.
【详解】（1）解：总人数为：（人），
∴，；
（2）；
∴扇形统计图中“C组”所对应的圆心角的度数是；
（3）；
∴该校九年级本次听写比赛不合格的学生人数有100人；
（4）列表如下：
∴ 所有等可能的结果数有4种，两人分在同一组的情况数有2种，
∴甲、乙两人恰好分在同一小组的概率是.
【点睛】本题考查的是频数分布表，扇形统计图，利用样本估计总体，利用列表法或画树状图求解随机事件的概率，掌握基础的统计知识是解本题的关键.
17．(1)2022年S省农业科技综合服务平台计划购买A款大疆农业无人机10架，B款大疆农业无人机15架；
(2)的值为1．
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元二次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）找准等量关系，正确列出一元二次方程．
（1）设2022年省农业科技综合服务平台计划购买款大疆农业无人机架，款大疆农业无人机架，利用总价单价数量，结合我国省农业科技综合服务平台计划用47万元购买、两款大疆农业无人机共25架，可列出关于，的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）利用总价单价数量，可列出关于的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论．
【详解】（1）解：设2022年省农业科技综合服务平台计划购买款大疆农业无人机架，款大疆农业无人机架，
根据题意得：，
解得：．
答：2022年省农业科技综合服务平台计划购买款大疆农业无人机10架，款大疆农业无人机15架；
（2）解：根据题意得：，
整理得：，
解得：，（不符合题意，舍去）．
答：的值为1．
18．(1)证明见解析
(2)，2
(3)，证明见解析
【分析】（1）先证明，可得，，再证明，可得，再利用线段的和差可得结论；
（2）如图所示，延长至P，使得，连接，再仿照（1）的思路可得结论，再利用结论求解的周长即可；
（3）在上截取，连接，由（1）知，则，，则，根据得，根据可证明，则，即．
【详解】（1）证明：延长至点P，使，连接，如图1，

∵四边形是正方形，
∴，，
在和中，
∵，
∴，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∵在和中
，
∴，
∴，
∵，
∴，
（2）如图2所示，延长至P，使得，连接，

∵四边形是正方形，
∴，，
在和中，
∵，
∴，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∵在和中
，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵正方形的周长为4，
∴，
∴
；
（3），理由如下：
解：如图3，在上截取，连接，

由（1）知，
∴，，
∴，
∵，
∴．
在和中
，
∴，
∴，
即，
∴．
【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，线段的和差关系，解题的关键是掌握这些知识点，添加适当的辅助线．
19．（1）S△ACP=7；（2）证明见解析.
【详解】试题分析：（1）由正方形的性质得出AB=BC=CD=4，∠ADC=∠CDP=∠ABC=∠BCD=90°，由勾股定理求出AC，得出AP，即可求出S△ACP；（2）在CF上截取NG=FN，连接BG，则CF-CG=2FN，证出∠BCF=∠DCP，由ASA证明△BCF≌△DCP，得出CF=CP，证出CG=BM，由SAS证明△ABM≌△BCG，得出∠AMB=∠BGC，因此∠BMC=∠BGF，由线段垂直平分线的性质得出BF=BG，得出∠BFG=∠BGF，因此∠BMC=∠CBM，即可得出结论
试题解析：（1）∵四边形ABC是正方形，
∴AD∥BC，AB=BC=CD=4，∠ADC=∠CDP=∠ABC=∠BCD=90°，
∴AC=，
∴AP=AC=×=，
∴S△ACP=AP×CD=××4=7；
（2）证明：在CF上截取NG=FN，连接BG，如图1所示：
则CF﹣CG=2FN，
∵CF⊥CP，
∴∠PCF=90°，
∴∠BCF=∠DCP，
在△BCF和△DCP中， ，
∴△BCF≌△DCP（ASA），
∴CF=CP，
∵CP﹣BM=2FN，
∴CG=BM，
∵∠ABC=90°，BM⊥CF，
∴∠ABM=∠BCG，∠BFG=∠CBM，
在△ABM和△BCG中，，
∴△ABM≌△BCG（SAS），
∴∠AMB=∠BGC，
∴∠BMC=∠BGF，
∵GN=FN，BM⊥CF，
∴BF=BG，
∴∠BFG=∠BGF，
∴∠BMC=∠CBM，
∴BC=MC.
点睛：本题是四边形综合题目，考查了正方形的性质、勾股定理、全等三角形的判定、线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质，综合性较强，由一定的难度，特别是（2）中，需要通过作辅助线两次证明三角形全等才能得出结论.
20．（1）结果见解析；（2）不公平，理由见解析．
【分析】（1）根据题意直接列出树形图或列表即可；
（2）游戏是否公平，关键要看是否游戏双方各有50%赢的机会，本题中即两纸牌上的数字之和为偶数或奇数时的概率是否相等，求出概率比较，即可得出结论．
【详解】解：（1）列表法如下：
1 2 3
1 （1，1） （1，2） （1，3）
2 （2，1） （2，2） （2，3）
3 （3，1） （3，2） （3，3）
树形图如下：
（2）不公平．
理由：因为两纸牌上的数字之和有以下几种情况：
1+1=2；2+1=3；3+1=4；1+2=3；2+2=4；3+2=5；1+3=4；2+3=5；3+3=6共9种情况，
其中5个偶数，4个奇数．
即小昆获胜的概率为，而小明的概率为
∴此游戏不公平．
【点睛】本题考查的是游戏公平性的判断．判断游戏公平性就要计算每个事件的概率，概率相等就公平，否则就不公平．