第1-3章阶段检测卷（含解析）2024-2025学年苏科版数学八年级上册

第1-3章阶段检测卷-2024-2025学年数学八年级上册苏科版
一、单选题
1．2024年暑假期间，国家高度重视预防溺水安全工作，要求各级各类学校积极落实防溺水安全教育．以下与防溺水相关的标志中是轴对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
2．如图，某同学把一块三角形的玻璃打碎成了四块，现在要到玻璃店去配一块完全一样的玻璃，那么，最省事的方法是（ ）
A．带①去 B．带②去 C．带③去 D．带④去
3．如图，在中，，是角平分线，，，则的面积为（ ）
A．6 B． C． D．
4．如图，点E在上，与相交于点F，，，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
5．已知△中，、、分别是、、的对边，下列条件中不能判断△是直角三角形的是（ ）
A． B．
C． D．
6．要测量河两岸相对的两点A，B间的距离，先在的垂线上取两点C，D，使，再定出的垂线，使A，C，E在一条直线上，如图，可以证明，得到，因此测得的长就是的长．判定的理由是( )
A． B． C． D．
7．如图所示，将一根长为的筷子，置于底面直径为，高的圆柱形水杯中， 设筷子露在杯子外面的长度为h，则h的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
8．如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，若正方形A、B、C、D的边长分别是3、5、2、3，则最大的正方形E的面积是（ ）．
A．90 B．15 C．47 D．26
二、填空题
9．如图，直角中，平分，且点D在的垂直平分线上，则 °
10．如图，平分，是上一点，过点作于，，是上任意一点，连接，则的最小值为 ．
11．如图，点在同一直线上，，要使，则只需添加一个适当的条件是 （添加一个即可）．
12．如图，，，，点P在线段上以的速度由点A向点B运动，同时，点Q在线段上由点B向点D运动．设运动时间为，则当点Q的运动速度为 时，.
13．如图，是的角平分线，，垂足为F，若，，则的度数为 ．
14．如图，在中，，，，根据尺规作图痕迹，线段的长为 ．
15．如图，轮船甲从港口O出发沿北偏西的方向航行6海里，同时轮船乙从港口O出发沿南偏西的方向航行8海里，这时两轮船相距 海里．
16．如图，有一架秋千，当它静止时，踏板离地的垂直高度，将它往前推送（水平距离）时，秋千的踏板离地的垂直高度，秋千的绳索始终拉得很直，则绳索的长度是 ．
三、解答题
17．如图，在中，为边上一点，，连接．
(1)求证：是等腰三角形；
(2)若，求的度数．
18． 两个城镇A、B 与两条公路的位置如图所示，其中是东西走向的公路．现电信部门需在E处修建一座信号发射塔，要求发射塔在 内部，到两个城镇A、B的距离必须相等，且到两条公路的距离也必须相等，那么点 E 应选在何处？ 请在图中用尺规作图找出符合条件的点E．
19．如图，于点，于点，，．
(1)求证：；
(2)已知，，求的长．
20．如图，在中，，，，垂足分别为，为中点，与，分别交于点，．
(1)线段与相等吗？若相等给予证明，若不相等请说明理由；
(2)求证：；
(3)如果，，是上一动点，求周长最小值．
21．已知三点均在直线上，且．
(1)如图①，若，则线段的长为_________；
(2)如图②，判断之间的数量关系，并说明理由；
(3)如图③，若将题中的“”变为“”，其他条件不变，且，请直接写出的长．
22．【问题解决】
【背景】消防云梯的作用主要是用于高层建筑火灾等救援任务，大幅提高消防救援的效率，缩短救援时间．已知云梯最多只能伸长到，即，消防车高，救人时云梯伸长至最长．
【任务】在演练中消防员接到命令：必须完成处、处两处个求救点的救援．
【前期工作】勘察处与处离地面M的高度分别为，．
【解决问题】消防车到达A处后，已经完成处的救援，问：消防车需要向着火楼房靠近的距离为多少米才能把完成处救援任务？
23．阅读材料：
如图1，“智慧小组”在探究“将军饮马问题”时抽象出数学模型：直线同旁有两个定点，，在直线上存在点，使得的值最小．
“智慧小组”的作法是：如图2，作点关于直线的对称点，连接，则与直线的交点即为点，且的最小值为的长．
如图3，为了证明点的位置即为所求，“智慧小组”经探究发现，在直线上另外取点，连接，，，证明即可．
(1)请完成图3中的证明；
(2)如图4，在等边中，是中点，是的平分线，是上的动点．若，则的最小值是________；
(3)如图5，在中，，，，，平分，分别在，上取点，，连接，，则的最小值是________．
参考答案：
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 D B A A B A D C
1．D
【分析】本题主要考查了轴对称图形的识别，根据轴对称图形的定义进行逐一判断即可：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，这条直线就叫做对称轴．
【详解】解：A、不是轴对称图形，故此选项不符合题意；
B、不是轴对称图形，故此选项不符合题意；
C、不是轴对称图形，故此选项不符合题意；
D、是轴对称图形，故此选项符合题意；
故选：D．
2．B
【分析】本题考查全等三角形的判定，根据全等三角形的判定方法进行判断即可．
【详解】解：第②块不仅保留了原来三角形的两个角还保留了一边，则可以根据来配一块一样的玻璃．
故选：B．
3．A
【分析】本题主要考查了角平分线的性质，三角形面积计算，过点F作于D，根据角平分线上的点到这个角两边的距离相等得到，再根据三角形面积计算公式求解即可．
【详解】解：如图所示，过点F作于D，
∵在中，是角平分线，，，
∴，
∵，
∴，
故选：A．
4．A
【分析】本题考查了全等三角形的性质、三角形外角的性质和三角形内角和定理，利用全等三角形的性质可得，然后利用三角形内角和定理可得的度数，再利用三角形外角和内角的关系可得答案．
【详解】解：，，，
，
在中，，
，
，
在中，，
故选：A．
5．B
【分析】本题考查三角形内角和定理及勾股定理的逆定理的应用．由三角形内角和定理及勾股定理的逆定理求解，只要验证两小边的平方和等于最长边的平方或最大角是否是即可．
【详解】解：A、，
，
是直角三角形，故选项A不符合题意；
B、，
最大角，
不是直角三角形，故选项B符合题意；
C、，
，
，
，
是直角三角形，故选项C不符合题意；
D、设，，，
，
，
是直角三角形，故选项D不符合题意；
故选：B．
6．A
【分析】本题考查了全等三角形的应用，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．结合图形根据三角形全等的判定方法解答．
【详解】解：，，
，
在和中，
，
，
∴，
故选：A．
7．D
【分析】本题考查了勾股定理的应用，能够读懂题意和求出的值最大值与最小值是解题关键．
当筷子的底端在点时，筷子露在杯子外面的长度最短；当筷子的底端在点时，筷子露在杯子外面的长度最长．然后分别利用已知条件以及根据勾股定理即可求出的取值范围．
【详解】解：如图1所示，当筷子的底端在点时，筷子露在杯子外面的长度最长，
，
如图2所示，当筷子的底端在点时，筷子露在杯子外面的长度最短，
在中，，，
，
此时，
的取值范围是．
故选：D．
8．C
【分析】本题考查勾股定理，根据勾股定理进行求解即可．
【详解】解：由勾股定理，得：正方形A、B下面的正方形的面积为：，正方形C、D下面的正方形的面积为：，
∴最大的正方形E的面积为；
故选C．
9．30
【分析】本题考查了角平分线的定义，线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，熟记性质是解题的关键．根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得，再根据等边对等角的性质求出，然后根据角平分线的定义与直角三角形两锐角互余求出．
【详解】解：点在的垂直平分线上，
，
，
是角平分线，
，
，
，
，
故答案为：30．
10．4
【分析】本题考查了垂线段最短、角平分线的性质，熟练掌握角平分线的性质是解题关键．先根据垂线段最短可得当时，的值最小，再根据角平分线的性质求解即可得．
【详解】解：由垂线段最短可知，当时，的值最小，
∵平分，，，
∴的最小值为4，
故答案为：4．
11．
【分析】此题考查了全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定方法是解本题的关键．根据，推出，结合，则添加利用即可证明；或利用即可证明；或利用即可证明；选择一种即可．
【详解】解：添加，
，
，
，，
，
故答案为：（答案不唯一）．
12．1
【分析】本题考查全等三角形的判定的应用．设点Q的运动速度是，由，则，列出方程，然后求出方程的解即可．
【详解】解：设点Q的运动速度是，
∵点P的运动速度为，点Q的运动速度为，它们运动的时间为，
又∵，，
∴，
∵，
∴，
则：，
解得：；
故答案为：1．
13．/50度
【分析】本题主要考查角平分线的定义，全等三角形的判定和性质，三角形的内角和等知识，根据三角形的内角和求出相应各个角的度数是解决问题的关键； 根据三角形的内角和求出，利用三角形全等，求出，再利用外角求出答案．
【详解】解：，，
，
，
，
是的角平分线，
，
，
，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
故答案为：．
14．
【分析】本题考查的是尺规作图-作垂线，勾股定理逆定理的运用，如果三角形的三条，，，满足．则三角形为直角三角形，先判定为直角三角形，根据作图得到，根据三角形面积公式计算得到答案．
【详解】解：，，，
，
，即，
为直角三角形，且，
由作图得到，
，
，
．
故答案为：．
15．10
【分析】本题考查了解直角三角形的应用-方向角问题，解决本题的关键是掌握方向角定义．根据题意可得，，再根据勾股定理可得的长，即可得两轮船的距离．
【详解】解：如图，

根据题意可知：，，
∴（海里）．
∴两轮船相距10海里．
故答案为：10．
16．
【分析】本题考查了勾股定理的应用；设绳索，则，在中，由勾股定理建立方程即可求解．
【详解】解：设绳索，则，
依题意得：，
∴；
在中，，
即，
解得：；
答：绳索的长度是．
17．(1)见解析
(2)
【分析】本题考查了三角形内角和和等腰三角形的性质，解题关键是熟练运用三角形内角和定理和等边对等角性质进行计算．
（1）首先根据得到，由，进而得到，即可证明出是等腰三角形；
（2）先根据等腰三角形的性质结合三角形内角和定理求出，，由即可解答．
【详解】（1）证明：∵，
∴，
∵，
∴，
∴是等腰三角形；
（2）解：由（1）知是等腰三角形，
∵，
∴，
，
∴，
∴．
18．见解析
【分析】本题考查了作图——尺规作图，根据垂直平分线的性质和角平分线的性质可得，点E在的角平分线与线段的垂直平分线的交点处，由此利用尺规作图即可求解，熟练掌握角平分线的作法与垂直平分线的作法是解题的关键．
【详解】解：如图所示，点E为所求．
19．(1)见解析
(2)
【分析】本题考查了全等三角形的性质和判定的应用，
（1）由题所给条件可得，即得；
（2）证明，结合（1）可得，则．
【详解】（1）证明：∵，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
（2）解：在和中，
，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴．
20．(1)
(2)见详解
(3)17
【分析】（1）根据三角形的内角和定理求出，推出，根据证出即可；
（2）根据和为中点，得出垂直平分，推出，根据和得出，在中，由勾股定理即可推出答案；
（3）根据垂直平分，点是上一动点，得出，得出当点三点共线时，最小，最小值为，此时的周长最小，最小值为，求出即可解答．
【详解】（1）解：，理由如下：
，
，
，
，
，
，
，
，
在和中
，
，
．
（2）证明：连接，
由（1）知，，
∵为的中点，
∴垂直平分，
，
，
∴，
，
，，
在中，由勾股定理得：，
，
．
（3）解：∵垂直平分，点是上一动点，
∴，
∴，
故当点三点共线时，最小，最小值为，
此时的周长最小，最小值为，
∵，，，
∴，
∴，
∴的周长最小为．
【点睛】本题考查了勾股定理，等腰三角形性质，全等三角形的性质和判定，线段的垂直平分线的性质的应用，注意：线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等，等腰三角形具有三线合一的性质，主要考查学生运用定理进行推理的能力．
21．(1)5
(2)），理由见解析
(3)3
【分析】本题是三角形综合题，主要考查了全等三角形的判定与性质．
（1）利用平角的定义和三角形内角和定理得，再利用证明，得，据此即可求解；
（2）利用平角的定义和三角形内角和定理得，再利用证明，得，可得答案；
（3）利用邻补角的定义得，再利用三角形的外角性质可得到，再利用证明，得，可得答案．
【详解】（1）解：∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴；
（2）解：，理由如下：
∵，，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴；
（3）解：∵，
∴，，
又∵，
∴，
∴，
∴．
22．消防车需要向着火楼房靠近的距离为才能把完成处救援任务
【分析】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键．由勾股定理求出、的长，即可解决问题．
【详解】解：过点作，
由题意，得， A，B，D三点在同一直线上．
，，
．
在中，由勾股定理，得．
在中，由勾股定理，得
．
答：消防车需要向着火楼房靠近的距离为才能把完成处救援任务．
23．(1)见解析
(2)4
(3)
【分析】（1）由轴对称的性质可知，，，则，，可得，进而结论得证；
（2）由题意知，是等边的对称轴，如图1，作关于的对称点，连接，，则的最小值是，然后求解作答即可；
（3）由题意知，是的对称轴，如图2，作关于的对称点，连接，作于，由题意知，当三点共线时，，当重合时，的值最小，为，根据，即，计算求解，然后作答即可．
【详解】（1）证明：由轴对称的性质可知，，，
∴，，
∴，，
∴当三点共线时，值最小，
∴点的位置即为所求；
（2）解：∵等边，是的平分线，
∴是等边的对称轴，
如图1，作关于的对称点，连接，，
∴为的中点，为的平分线，
∴，
由题意知，的最小值是，
故答案为：4；
（3）解：∵平分，
∴是的对称轴，
如图2，作关于的对称点，连接，作于，
由题意知，当三点共线时，，
当重合时，的值最小，为，
∵，
∴，
解得，，
故答案为：．
【点睛】本题考查了轴对称的性质，三角形三边关系，角平分线的性质，等边三角形的性质，垂线段最短等知识．熟练掌握轴对称的性质，三角形三边关系，角平分线的性质，等边三角形的性质，垂线段最短是解题的关键．