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2024年八年级实数
一、单选题
1．（23-24八上·深圳·期中）在，，，，， （相邻两个之间的个数逐次加）这些数中，无理数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
2．（23-24八上·深圳·期中）如图，在数轴上表示实数的点可能是（ ）
A．点 B．点 C．点 D．点
3．（16-17八年级下·河北秦皇岛·期中）如图，点A表示的实数是（ ）
A． B． C． D．
4．（23-24八上·深圳·期末）秦兵马俑的发现被誉为“世界第八大奇迹”，兵马俑的眼睛到下巴的距离与头顶到下巴的距离之比约为，请你估算的值（ ）
A．在0和1之间 B．在1和2之间 C．在2和3之间 D．在3和4之间
5．（23-24八上·深圳·期末）下列运算正确的是（ ）
A． B． C． D．
6．（23-24八上·深圳·期末）有下列实数：，，3.141，，，（每两个1之间依次增加一个0），其中无理数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
7．（23-24八上·深圳·阶段练习）的平方根是（ ）
A． B． C． D．
8．（23-24八上·深圳·阶段练习）下列说法正确的有（ ）个
①9的立方根是3；②算术平方根等于它本身的数一定是1；③无理数与数轴上的点一一对应；④的平方根是．
A．0 B．1 C．2 D．3
9．（23-24八上·深圳·阶段练习）下列式子中，最简二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
10．（23-24八上·深圳·阶段练习）下列根式中不能与合并的是（ ）
A． B． C． D．
11．（23-24八上·深圳·阶段练习）下列各组数中互为相反数的是（ ）
A．与 B．与 C．2与 D．与
12．（23-24八上·深圳·期中）下列说法正确的是（ ）
A．实数和数轴上的点是一一对应的 B．实数可以分为有理数、零和无理数
C．带根号的数都是无理数 D．不带根号的数都是有理数
13．（23-24八上·深圳·期中）下列实数是无理数的是（ ）．
A． B． C．（每相邻两个4之间一个0） D．
14．（23-24八上·深圳·期中）下列运算正确的是（ ）
A． B． C． D．
15．（23-24八上·深圳·阶段练习）下列叙述错误的是（ ）
A．是16的平方根 B．17是的算术平方根
C．的立方根是2 D．0.4的算术平方根为0.2
16．（23-24八上·深圳·期中）下列计算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
17．（23-24八上·深圳·期中）下列各数是无理数的是（ ）
A． B． C． D．
18．（23-24八上·深圳·期中）如图，实数在数轴上的对应点可能是（ ）
A．A点 B．B点 C．C点 D．D点
19．（23-24八上·深圳·期中）下列实数，，，，，，0.1001000100001…（每相邻两个4之间0的个数逐次增加1）中，无理数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
20．（23-24八上·深圳·期中）“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲．如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成一个大正方形，设直角三角形较长直角边长为，较短直角边长为，若，大正方形的面积为．则小正方形的边长为（ ）
A． B． C． D．
21．（23-24八上·深圳·期中）下列运算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
22．（23-24八上·深圳·期中）已知，满足，那么的平方根是（ ）
A．1 B．3 C． D．
23．（23-24八上·深圳·期中）100的算术平方根是（ ）
A． B．50 C．10 D．
24．（22-23八上·辽宁沈阳·阶段练习）下列计算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
25．（23-24八上·深圳·期中）如图，根据图中的标注和作图痕迹可知，在数轴上的点所表示的数为（ ）
A．﹣1﹣ B．﹣1+ C． D．1-
26．（23-24八上·深圳·期末）实数，，，，（相邻两个之间1的个数依次加），其中无理数有（ ）
A．个 B．个 C．个 D．个
27．（22-23八上·广州·期末）若的边a，b满足式子：，则第三边的长可能是（ ）．
A．2 B．5 C．7 D．8
28．（21-22八年级下·广东广州·期末）如图，矩形中，，在数轴上，若以点A为圆心，对角线的长为半径作弧交数轴的正半轴于M，则点M表示的数为（ ）
A． B． C． D．
29．（20-21八上·深圳·期末）下列计算结果，正确的是（ ）
A．＝－3 B．＋＝ C．－＝1 D．＝5
30．（22-23八上·深圳·期中）观察下列二次根式的化简（ ）
；
；
；
则（ ）
A． B． C． D．
31．（22-23八上·深圳·期中）下列运算正确的是（ ）
A． B． C． D．
32．（23-24八年级下·广东深圳·开学考试）下列说法中正确的是（ ）
A．没有立方根 B．的立方根是 C．的立方根是 D．的立方根是
33．（20-21八上·深圳·阶段练习）下列说法错误的是（ ）
A．平方根与立方根都等于本身的数是0和1 B．算术平方根是无理数
C．所有无理数都是无限小数 D．实数与数轴上的点一一对应
34．（22-23八上·深圳·期中）在下列各式中，计算正确的是（ ）
A． B． C． D．
35．（22-23八上·陕西西安·阶段练习）如图，在边长为1的正方形网格中，A、B、C均在正方形格点上，则C点到AB的距离为（ ）
A． B． C． D．
36．（22-23八上·深圳·期末）若，是两个连续的整数且，则（ ）
A． B． C． D．
37．（23-24八上·深圳·期中）已知三角形的三边长分别为a、b、c，求其面积．
对此问题，中外数学家曾经进行过深入研究．
古希腊几何学家海伦（Heron，约公元50年），给出了求其面积的海伦公式：
，其中 ①
我国南宋时期数学家秦九韶（约1202~1261），给出了著名的秦九韶公式：
．②
若一个三角形的三边长依次为，，，请选用适当的公式求出这个三角形的面积为（ ）
A． B． C． D．
38．（23-24八上·深圳·期中）若直角三角形的两边长分别为，且满足，则该直角三角形的第三边长为（ ）
A．5 B．或4 C．5或3 D．5或
39．（23-24八上·深圳·期中）下列计算正确的是（ ）
A． B． C． D．
40．（23-24八上·深圳·阶段练习）下列运算正确的是（ ）
A． B． C． D．
41．（23-24八上·深圳·期中）观察下列二次根式的化简
，
，
，则（ ）．
A． B． C． D．
二、填空题
42．（21-22八上·深圳·期中）估计的值在哪两个整数之间 ．
43．（22-23八上·深圳·期中）比较大小： ．（填＞，＜，＝）
44．（22-23八上·深圳·期中）已知，则 ．
45．（22-23八上·深圳·期中）比较下列两个实数的大小（填）： ．
46．（22-23八上·深圳·期中）的算术平方根是3，的立方根是2，则为 .
47．（22-23八上·深圳·期中）若，则的算术平方根是 ．
48．（22-23八上·深圳·期中）比较大小： ； 1．（填“>”“＜”或“=”）
49．（21-22八上·深圳·期末）如图，长方形的边落在数轴上，A、B两点在数轴上对应的数分别为和1，，连接，以B为圆心，为半径画弧交数轴于点E，则点E在数轴上所表示的数为 ．
50．（22-23八上·深圳·期末）若，为实数，且满足，则的值是 ．
51．（22-23八上·深圳·期末） ．
52．（22-23八上·深圳·期中）通过估算，比较大小：
53．（23-24八上·深圳·期中）如图，以数轴的单位长线段为边作一个长方形，以数轴的原点为圆心，矩形对角线长度为半径画圆弧，交数轴负半轴的点A处，则点A表示的数是 ．
54．（23-24八上·深圳·期中）若实数，满足，则 ．
55．（23-24八上·深圳·期中）若实数，则代数式的值为 ．
56．（23-24八上·深圳·期中）如图，一直角三角形，其直角边长分别为和，以数轴上表示的点为圆心，斜边长为半径画圆弧，交数轴于点，则点在数轴上所表示的数是 ．
57．（23-24八上·深圳·期中）一个正数的平方根是和，那么的值是 ．
58．（23-24八上·深圳·期中）若，则 ．
59．（20-21八年级下·广东深圳·期中）阅读以下材料：如果两个正数a，b，即a＞0，b＞0，则有下面的不等式：，当且仅当a＝b时取到等号．则函数y＝2x＋（x＜0）的最大值为 ．（提示：可以先求－y的最小值）
60．（22-23八上·深圳·期中）观察下列运算过程：
……
请运用上面的运算方法计算：
＝ ．
61．（22-23八上·深圳·期中）如图．按下面的程序计算：若开始输入的x值为1．则最后输出的结果是 ．
62．（22-23八上·深圳·期末）如图，在中，点D是边的中点，E是边上一点，将沿折叠至，点C的对应点为，连接、，若，则的面积最大值为 ．
63．（23-24八上·深圳·期末）如图，在中，，若，则的长为 ．
64．（22-23八上·深圳·期中）对于任意两个不相等的数a，b，定义一种运算※如下：，例如．那么 ．
65．（23-24八上·深圳·期中）如图，点是原点，，，且，，则点在数轴上表示的实数为 ．
三、解答题
66．（23-24八上·深圳·期中）计算：
(1)； (2)．
67．（23-24八上·深圳·期中）计算
(1)； (2)； (3)； (4)．
68．（23-24八上·深圳·期中）计算
(1) (2) (3)
69．（23-24八上·深圳·期中）计算
(1)； (2)； (3)；
70．（23-24八上·深圳·期中）计算
(1) (2)
(3) (4)
71．（23-24八上·深圳·期末）计算：
(1) (2)
72．（23-24八上·深圳·期末）化简：
(1) (2)
73．（23-24八上·深圳·期末）计算：
(1)； (2)．
74．（23-24八上·深圳·期末）计算：
(1) (2)
75．（23-24八上·深圳·期末）计算：．
76．（23-24八上·深圳·期末）计算
(1)； (2)．
（23-24八上·深圳·期末）
（1）化简 （2）解方程组
78．（23-24八上·深圳·期中）已知的一个平方根是，的立方根是3；
(1)求的值；
(2)求的算术平方根．
79．（23-24八上·深圳·期中）阅读下列材料，解答问题：
一个数的整数部分是不大于该数的最大整数，小数部分是一个小于1的非负数．所以，一个数=整数部分+小数部分．如：整数部分是3，小数部分是．对于一个负数如，因为一个数的整数部分是不大于该数的最大整数，所以的整数部分是，小数部分是．而对于无理数，因为，即：，所以的整数部分为2，小数部分为，请解答：
(1)的整数部分是_______，小数部分是_______．
(2)如果表示的小数部分，表示的整数部分，求的立方根．
80．（16-17八年级下·福建莆田·阶段练习）探究过程：观察下列各式及其验证过程.
（1）；（2）
验证：（1）
；
（2）
.
(1)按照上面两个等式及其验证过程的基本思路，猜想：=___________； =___________；
(2)通过上述探究你能猜测出： =___________（n>0），并验证你的结论．
81．（22-23八上·深圳·期中）小明在解决问题：已知，求的值．他是这样分析与解的：
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
请你根据小明的分析过程，解决如下问题：
(1)化简
(2)若，
①求的值；
②直接写出代数式的值___________．
82．（22-23八上·深圳·期中）阅读材料：若想化简，只要我们找到两个正数，使，即，那么便有：．
例：化简．
解：首先把化为，这里，由于
即．
．
请你仿照阅读材料的方法解决下列问题：
(1)填空：___________，___________；
(2)化简：写出计算过程
(3)化简：为正整数
83．（23-24八上·深圳·期中）先阅读，再解答．由可以看出，两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，称这两个代数式互为有理化因式，在进行二次根式计算时，利用有理化因式，有时可以化去分母中的根号，例如：，请完成下列问题：
(1)的有理化因式是 ；化简 ；
(2)比较与的大小，并说明理由．
84．（23-24八上·深圳·期中）阅读下列材料，然后解答下列问题：在进行代数式化简时，我们有时会碰上如，这样的式子，其实我们还可以将其进一步化简：
（一）；
（二）；
以上这种化简的方法叫分母有理化．
(1)请化简；
参照（二）化简____________________________．（请写出计算过程）
(2)化简：．
85．（22-23八年级下·广东广州·期中）我们将与称为一对“对偶式”．可以应用“对偶式”求解根式方程．比如小明在解方程时，采用了如下方法：
由于 ，
又因为①，所以②，由①+②可得，
将两边平方解得，代入原方程检验可得是原方程的解．
请根据上述材料回答下面的问题：
(1)若的对偶式为，则________；（直接写出结果）
(2)方程的解是________；（直接写出结果）
(3)解方程：．
86．（19-20八上·深圳·期中）已知的算术平方根是3，的立方根是-2，求的平方根．
87．（20-21八上·深圳·期中）仔细阅读材料，回答问题．
观察：∵，即．
∴的整数部分为2，小数部分为．
请你观察上述式子规律后解决下面问题．
（1）规定用符号表示实数的整数部分，例如：，，
填空：______；______．
（2）如果的小数部分为，的小数部分为，求的值．
88．（21-22八上·深圳·期中）阅读下面的文字，解答问题．例如：，即，的整数部分为，小数部分为．
请解答：
（1）的整数部分是 ；
（2）已知：小数部分是，小数部分是，且，请求出满足条件的的值．
89．（21-22八上·深圳·期中）（1）已知：的算术平方根是3，的立方根是2，求的值．
（2）已知，其中x是整数，且，求的算术平方根．
90．（22-23八上·深圳·期中）已知的平方根是，的算术平方根是4，求的值．
91．（21-22八上·深圳·期中）阅读下面的文字，解答问题．
例如：∵，即，
∴的整数部分为2，小数部分为，
请解答：
(1)的整数部分是______；
(2)已知：小数部分是，小数部分是，且，求的值．
92．（22-23八上·深圳·期中）著名数学教育家G·波利亚，有句名言：“发现问题比解决问题更重要”，这句话启发我们：要想学会数学，就需要观察，发现问题，探索问题的规律性东西，要有一双敏锐的眼睛．请先阅读下列材料，再解决问题：
数学上有一种根号内又带根号的数，它们能通过完全平方公式及二次根式的性质化去里面的一层根号．例如：．
解决问题：
(1)在括号内填上适当的数：
①：______，②：______，③______．
(2)根据上述思路，求出的值．
93．（22-23八上·深圳·期中）我们新定义一种三角形：两边平方和等于第三边平方的倍的三角形叫做常态三角形．例如：某三角形三边长分别是，和，因为，所以这个三角形是常态三角形．
(1)若三边长分别是，和，则此三角形______常态三角形（填“是”或“不是”）；
(2)若是常态三角形，则此三角形的三边长之比为______；
(3)如图，中，，，在上，且，若是常态三角形，求线段的长．
94．（22-23八上·深圳·期中）已知 ， ．
(1)填空： ， ；
(2)求的值．
95．（23-24八上·深圳·期中）我们知道，是一个无理数，将这个数减去整数部分，差就是小数部分．即的整数部分是1，小数部分是，请回答以下问题：
(1)的整数部分是 ，的小数部分是 ．
(2)若是的整数部分，是的小数部分．求．
(3)若，其中是整数，且，求的值．
96．（23-24八上·深圳·期中）细心观察图形，认真分析各式，然后解答下列问题：
，，（是的面积）；
，，（是的面积）；
，，（是的面积）；
…
(1)填空：__________，__________；
(2)请用含有n（n为正整数）的式子填空：___________，___________；
(3)我们已经知道，因此将分子、分母同时乘以，分母就变成了4，请仿照这种方法求的值；
97．（23-24八上·深圳·期中）已知的平方根是，的立方根是1，c是的整数部分．
(1)求a，b，c的值
(2)请直接写出的算术平方根．
98．（23-24八上·深圳·期中）已知正数，正数的两个不同的平方根分别是和，
(1)求，的值；
(2)求的值．
99．（23-24八上·深圳·期中）已知的平方根是，的算术平方根是4，求的值．
100．（20-21八上·深圳·期中）【阅读材料】
嘉嘉在学习二次根式时，发现一些含根号的式子可以化成另一个式子的平方．如：5+2＝（2+3）+2＝+2×＝；8+2＝（1+7）+2＝12++2×1×＝；
【类比归纳】
（1）请你仿照嘉嘉的方法将20+10化成另一个式子的平方；
（2）请运用嘉嘉的方法化简：．
【变式探究】
（3）若a±2＝，且a，m，n均为正整数，则a＝ ．
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2024年八年级实数
一、单选题
1．（23-24八上·深圳·期中）在，，，，， （相邻两个之间的个数逐次加）这些数中，无理数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
2．（23-24八上·深圳·期中）如图，在数轴上表示实数的点可能是（ ）
A．点 B．点 C．点 D．点
3．（16-17八年级下·河北秦皇岛·期中）如图，点A表示的实数是（ ）
A． B． C． D．
4．（23-24八上·深圳·期末）秦兵马俑的发现被誉为“世界第八大奇迹”，兵马俑的眼睛到下巴的距离与头顶到下巴的距离之比约为，请你估算的值（ ）
A．在0和1之间 B．在1和2之间 C．在2和3之间 D．在3和4之间
5．（23-24八上·深圳·期末）下列运算正确的是（ ）
A． B． C． D．
6．（23-24八上·深圳·期末）有下列实数：，，3.141，，，（每两个1之间依次增加一个0），其中无理数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
7．（23-24八上·深圳·阶段练习）的平方根是（ ）
A． B． C． D．
8．（23-24八上·深圳·阶段练习）下列说法正确的有（ ）个
①9的立方根是3；②算术平方根等于它本身的数一定是1；③无理数与数轴上的点一一对应；④的平方根是．
A．0 B．1 C．2 D．3
9．（23-24八上·深圳·阶段练习）下列式子中，最简二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
10．（23-24八上·深圳·阶段练习）下列根式中不能与合并的是（ ）
A． B． C． D．
11．（23-24八上·深圳·阶段练习）下列各组数中互为相反数的是（ ）
A．与 B．与 C．2与 D．与
12．（23-24八上·深圳·期中）下列说法正确的是（ ）
A．实数和数轴上的点是一一对应的 B．实数可以分为有理数、零和无理数
C．带根号的数都是无理数 D．不带根号的数都是有理数
13．（23-24八上·深圳·期中）下列实数是无理数的是（ ）．
A． B． C．（每相邻两个4之间一个0） D．
14．（23-24八上·深圳·期中）下列运算正确的是（ ）
A． B． C． D．
15．（23-24八上·深圳·阶段练习）下列叙述错误的是（ ）
A．是16的平方根 B．17是的算术平方根
C．的立方根是2 D．0.4的算术平方根为0.2
16．（23-24八上·深圳·期中）下列计算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
17．（23-24八上·深圳·期中）下列各数是无理数的是（ ）
A． B． C． D．
18．（23-24八上·深圳·期中）如图，实数在数轴上的对应点可能是（ ）
A．A点 B．B点 C．C点 D．D点
19．（23-24八上·深圳·期中）下列实数，，，，，，0.1001000100001…（每相邻两个4之间0的个数逐次增加1）中，无理数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
20．（23-24八上·深圳·期中）“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲．如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成一个大正方形，设直角三角形较长直角边长为，较短直角边长为，若，大正方形的面积为．则小正方形的边长为（ ）
A． B． C． D．
21．（23-24八上·深圳·期中）下列运算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
22．（23-24八上·深圳·期中）已知，满足，那么的平方根是（ ）
A．1 B．3 C． D．
23．（23-24八上·深圳·期中）100的算术平方根是（ ）
A． B．50 C．10 D．
24．（22-23八上·辽宁沈阳·阶段练习）下列计算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
25．（23-24八上·深圳·期中）如图，根据图中的标注和作图痕迹可知，在数轴上的点所表示的数为（ ）
A．﹣1﹣ B．﹣1+ C． D．1-
26．（23-24八上·深圳·期末）实数，，，，（相邻两个之间1的个数依次加），其中无理数有（ ）
A．个 B．个 C．个 D．个
27．（22-23八上·广州·期末）若的边a，b满足式子：，则第三边的长可能是（ ）．
A．2 B．5 C．7 D．8
28．（21-22八年级下·广东广州·期末）如图，矩形中，，在数轴上，若以点A为圆心，对角线的长为半径作弧交数轴的正半轴于M，则点M表示的数为（ ）
A． B． C． D．
29．（20-21八上·深圳·期末）下列计算结果，正确的是（ ）
A．＝－3 B．＋＝ C．－＝1 D．＝5
30．（22-23八上·深圳·期中）观察下列二次根式的化简（ ）
；
；
；
则（ ）
A． B． C． D．
31．（22-23八上·深圳·期中）下列运算正确的是（ ）
A． B． C． D．
32．（23-24八年级下·广东深圳·开学考试）下列说法中正确的是（ ）
A．没有立方根 B．的立方根是 C．的立方根是 D．的立方根是
33．（20-21八上·深圳·阶段练习）下列说法错误的是（ ）
A．平方根与立方根都等于本身的数是0和1 B．算术平方根是无理数
C．所有无理数都是无限小数 D．实数与数轴上的点一一对应
34．（22-23八上·深圳·期中）在下列各式中，计算正确的是（ ）
A． B． C． D．
35．（22-23八上·陕西西安·阶段练习）如图，在边长为1的正方形网格中，A、B、C均在正方形格点上，则C点到AB的距离为（ ）
A． B． C． D．
36．（22-23八上·深圳·期末）若，是两个连续的整数且，则（ ）
A． B． C． D．
37．（23-24八上·深圳·期中）已知三角形的三边长分别为a、b、c，求其面积．
对此问题，中外数学家曾经进行过深入研究．
古希腊几何学家海伦（Heron，约公元50年），给出了求其面积的海伦公式：
，其中 ①
我国南宋时期数学家秦九韶（约1202~1261），给出了著名的秦九韶公式：
．②
若一个三角形的三边长依次为，，，请选用适当的公式求出这个三角形的面积为（ ）
A． B． C． D．
38．（23-24八上·深圳·期中）若直角三角形的两边长分别为，且满足，则该直角三角形的第三边长为（ ）
A．5 B．或4 C．5或3 D．5或
39．（23-24八上·深圳·期中）下列计算正确的是（ ）
A． B． C． D．
40．（23-24八上·深圳·阶段练习）下列运算正确的是（ ）
A． B． C． D．
41．（23-24八上·深圳·期中）观察下列二次根式的化简
，
，
，则（ ）．
A． B． C． D．
二、填空题
42．（21-22八上·深圳·期中）估计的值在哪两个整数之间 ．
43．（22-23八上·深圳·期中）比较大小： ．（填＞，＜，＝）
44．（22-23八上·深圳·期中）已知，则 ．
45．（22-23八上·深圳·期中）比较下列两个实数的大小（填）： ．
46．（22-23八上·深圳·期中）的算术平方根是3，的立方根是2，则为 .
47．（22-23八上·深圳·期中）若，则的算术平方根是 ．
48．（22-23八上·深圳·期中）比较大小： ； 1．（填“>”“＜”或“=”）
49．（21-22八上·深圳·期末）如图，长方形的边落在数轴上，A、B两点在数轴上对应的数分别为和1，，连接，以B为圆心，为半径画弧交数轴于点E，则点E在数轴上所表示的数为 ．
50．（22-23八上·深圳·期末）若，为实数，且满足，则的值是 ．
51．（22-23八上·深圳·期末） ．
52．（22-23八上·深圳·期中）通过估算，比较大小：
53．（23-24八上·深圳·期中）如图，以数轴的单位长线段为边作一个长方形，以数轴的原点为圆心，矩形对角线长度为半径画圆弧，交数轴负半轴的点A处，则点A表示的数是 ．
54．（23-24八上·深圳·期中）若实数，满足，则 ．
55．（23-24八上·深圳·期中）若实数，则代数式的值为 ．
56．（23-24八上·深圳·期中）如图，一直角三角形，其直角边长分别为和，以数轴上表示的点为圆心，斜边长为半径画圆弧，交数轴于点，则点在数轴上所表示的数是 ．
57．（23-24八上·深圳·期中）一个正数的平方根是和，那么的值是 ．
58．（23-24八上·深圳·期中）若，则 ．
59．（20-21八年级下·广东深圳·期中）阅读以下材料：如果两个正数a，b，即a＞0，b＞0，则有下面的不等式：，当且仅当a＝b时取到等号．则函数y＝2x＋（x＜0）的最大值为 ．（提示：可以先求－y的最小值）
60．（22-23八上·深圳·期中）观察下列运算过程：
……
请运用上面的运算方法计算：
＝ ．
61．（22-23八上·深圳·期中）如图．按下面的程序计算：若开始输入的x值为1．则最后输出的结果是 ．
62．（22-23八上·深圳·期末）如图，在中，点D是边的中点，E是边上一点，将沿折叠至，点C的对应点为，连接、，若，则的面积最大值为 ．
63．（23-24八上·深圳·期末）如图，在中，，若，则的长为 ．
64．（22-23八上·深圳·期中）对于任意两个不相等的数a，b，定义一种运算※如下：，例如．那么 ．
65．（23-24八上·深圳·期中）如图，点是原点，，，且，，则点在数轴上表示的实数为 ．
三、解答题
66．（23-24八上·深圳·期中）计算：
(1)； (2)．
67．（23-24八上·深圳·期中）计算
(1)； (2)； (3)； (4)．
68．（23-24八上·深圳·期中）计算
(1) (2) (3)
69．（23-24八上·深圳·期中）计算
(1)； (2)； (3)；
70．（23-24八上·深圳·期中）计算
(1) (2)
(3) (4)
71．（23-24八上·深圳·期末）计算：
(1) (2)
72．（23-24八上·深圳·期末）化简：
(1) (2)
73．（23-24八上·深圳·期末）计算：
(1)； (2)．
74．（23-24八上·深圳·期末）计算：
(1) (2)
75．（23-24八上·深圳·期末）计算：．
76．（23-24八上·深圳·期末）计算
(1)； (2)．
（23-24八上·深圳·期末）
（1）化简 （2）解方程组
78．（23-24八上·深圳·期中）已知的一个平方根是，的立方根是3；
(1)求的值；
(2)求的算术平方根．
79．（23-24八上·深圳·期中）阅读下列材料，解答问题：
一个数的整数部分是不大于该数的最大整数，小数部分是一个小于1的非负数．所以，一个数=整数部分+小数部分．如：整数部分是3，小数部分是．对于一个负数如，因为一个数的整数部分是不大于该数的最大整数，所以的整数部分是，小数部分是．而对于无理数，因为，即：，所以的整数部分为2，小数部分为，请解答：
(1)的整数部分是_______，小数部分是_______．
(2)如果表示的小数部分，表示的整数部分，求的立方根．
80．（16-17八年级下·福建莆田·阶段练习）探究过程：观察下列各式及其验证过程.
（1）；（2）
验证：（1）
；
（2）
.
(1)按照上面两个等式及其验证过程的基本思路，猜想：=___________； =___________；
(2)通过上述探究你能猜测出： =___________（n>0），并验证你的结论．
81．（22-23八上·深圳·期中）小明在解决问题：已知，求的值．他是这样分析与解的：
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
请你根据小明的分析过程，解决如下问题：
(1)化简
(2)若，
①求的值；
②直接写出代数式的值___________．
82．（22-23八上·深圳·期中）阅读材料：若想化简，只要我们找到两个正数，使，即，那么便有：．
例：化简．
解：首先把化为，这里，由于
即．
．
请你仿照阅读材料的方法解决下列问题：
(1)填空：___________，___________；
(2)化简：写出计算过程
(3)化简：为正整数
83．（23-24八上·深圳·期中）先阅读，再解答．由可以看出，两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，称这两个代数式互为有理化因式，在进行二次根式计算时，利用有理化因式，有时可以化去分母中的根号，例如：，请完成下列问题：
(1)的有理化因式是 ；化简 ；
(2)比较与的大小，并说明理由．
84．（23-24八上·深圳·期中）阅读下列材料，然后解答下列问题：在进行代数式化简时，我们有时会碰上如，这样的式子，其实我们还可以将其进一步化简：
（一）；
（二）；
以上这种化简的方法叫分母有理化．
(1)请化简；
参照（二）化简____________________________．（请写出计算过程）
(2)化简：．
85．（22-23八年级下·广东广州·期中）我们将与称为一对“对偶式”．可以应用“对偶式”求解根式方程．比如小明在解方程时，采用了如下方法：
由于 ，
又因为①，所以②，由①+②可得，
将两边平方解得，代入原方程检验可得是原方程的解．
请根据上述材料回答下面的问题：
(1)若的对偶式为，则________；（直接写出结果）
(2)方程的解是________；（直接写出结果）
(3)解方程：．
86．（19-20八上·深圳·期中）已知的算术平方根是3，的立方根是-2，求的平方根．
87．（20-21八上·深圳·期中）仔细阅读材料，回答问题．
观察：∵，即．
∴的整数部分为2，小数部分为．
请你观察上述式子规律后解决下面问题．
（1）规定用符号表示实数的整数部分，例如：，，
填空：______；______．
（2）如果的小数部分为，的小数部分为，求的值．
88．（21-22八上·深圳·期中）阅读下面的文字，解答问题．例如：，即，的整数部分为，小数部分为．
请解答：
（1）的整数部分是 ；
（2）已知：小数部分是，小数部分是，且，请求出满足条件的的值．
89．（21-22八上·深圳·期中）（1）已知：的算术平方根是3，的立方根是2，求的值．
（2）已知，其中x是整数，且，求的算术平方根．
90．（22-23八上·深圳·期中）已知的平方根是，的算术平方根是4，求的值．
91．（21-22八上·深圳·期中）阅读下面的文字，解答问题．
例如：∵，即，
∴的整数部分为2，小数部分为，
请解答：
(1)的整数部分是______；
(2)已知：小数部分是，小数部分是，且，求的值．
92．（22-23八上·深圳·期中）著名数学教育家G·波利亚，有句名言：“发现问题比解决问题更重要”，这句话启发我们：要想学会数学，就需要观察，发现问题，探索问题的规律性东西，要有一双敏锐的眼睛．请先阅读下列材料，再解决问题：
数学上有一种根号内又带根号的数，它们能通过完全平方公式及二次根式的性质化去里面的一层根号．例如：．
解决问题：
(1)在括号内填上适当的数：
①：______，②：______，③______．
(2)根据上述思路，求出的值．
93．（22-23八上·深圳·期中）我们新定义一种三角形：两边平方和等于第三边平方的倍的三角形叫做常态三角形．例如：某三角形三边长分别是，和，因为，所以这个三角形是常态三角形．
(1)若三边长分别是，和，则此三角形______常态三角形（填“是”或“不是”）；
(2)若是常态三角形，则此三角形的三边长之比为______；
(3)如图，中，，，在上，且，若是常态三角形，求线段的长．
94．（22-23八上·深圳·期中）已知 ， ．
(1)填空： ， ；
(2)求的值．
95．（23-24八上·深圳·期中）我们知道，是一个无理数，将这个数减去整数部分，差就是小数部分．即的整数部分是1，小数部分是，请回答以下问题：
(1)的整数部分是 ，的小数部分是 ．
(2)若是的整数部分，是的小数部分．求．
(3)若，其中是整数，且，求的值．
96．（23-24八上·深圳·期中）细心观察图形，认真分析各式，然后解答下列问题：
，，（是的面积）；
，，（是的面积）；
，，（是的面积）；
…
(1)填空：__________，__________；
(2)请用含有n（n为正整数）的式子填空：___________，___________；
(3)我们已经知道，因此将分子、分母同时乘以，分母就变成了4，请仿照这种方法求的值；
97．（23-24八上·深圳·期中）已知的平方根是，的立方根是1，c是的整数部分．
(1)求a，b，c的值
(2)请直接写出的算术平方根．
98．（23-24八上·深圳·期中）已知正数，正数的两个不同的平方根分别是和，
(1)求，的值；
(2)求的值．
99．（23-24八上·深圳·期中）已知的平方根是，的算术平方根是4，求的值．
100．（20-21八上·深圳·期中）【阅读材料】
嘉嘉在学习二次根式时，发现一些含根号的式子可以化成另一个式子的平方．如：5+2＝（2+3）+2＝+2×＝；8+2＝（1+7）+2＝12++2×1×＝；
【类比归纳】
（1）请你仿照嘉嘉的方法将20+10化成另一个式子的平方；
（2）请运用嘉嘉的方法化简：．
【变式探究】
（3）若a±2＝，且a，m，n均为正整数，则a＝ ．
参考答案：
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 B C C B B C D A C D
题号 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
答案 A A D D D C D C C B
题号 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30
答案 C C C D A B B C D B
题号 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40
答案 D D A D D C B D C C
题号 41
答案 D
1．B
【分析】本题考查了无理数的定义，掌握无理数的定义是解答本题的关键．
根据无理数的定义，即无限不循环小数，，（相邻两个之间的个数逐次加）是无限不循环小数，由此选出答案．
【详解】解：由题意，
，，，，， （相邻两个之间的个数逐次加）中，
，（相邻两个之间的个数逐次加）是无限不循环小数，
因此无理数有个，
故选．
2．C
【分析】本题考查了实数与数轴，正确估算的取值范围是解答本题的关键．
先估算的值，即，然后确定的取值范围，得到答案．
【详解】解：根据题意，
，
，
，
观察数轴可知实数的点可能是点．
故选：．
3．C
【分析】本题考查了实数和数轴，以及勾股定理，注意原点左边的数是负数．根据勾股定理可求得的长为，再根据点A在原点的左侧，从而得出点A所表示的数．
【详解】解：如图，
∵，，
∴，
∵点A在原点的左侧，
∴点A在数轴上表示的实数是，故C正确．
故选：C．
4．B
【分析】本题考查了无理数的大小估算，根据，进而可求解，熟练掌握基础知识是解题的关键．
【详解】解：，
，
故选B．
5．B
【分析】本题考查了二次根式的运算和性质；
根据二次根式的运算法则和性质逐项判断即可．
【详解】解：A.不能继续运算，错误；
B.，正确；
C.，错误；
D.，错误；
故选：B．
6．C
【分析】本题主要考查了无理数的知识，理解并掌握无理数的定义是解题关键．无理数是指无限不循环小数，无理数的常见形式有：开方开不尽的数、无限不循环小数、含有的数等，据此找出无理数的个数即可．
【详解】解：在实数，，3.141，，，（每两个1之间依次增加一个0）中，无理数有，，，共计3个．
故选：C．
7．D
【分析】首先根据算术平方根的定义求出的值，再根据平方根的定义求2的平方根．
此题主要考查了平方根的定义，知道一个正数有两个平方根，它们互为相反数是解题的关键．
【详解】解：∵，的平方根是，
∴的平方根是，
故选：D．
8．A
【分析】立方根，算术平方根，平方根，实数与数轴的关系，对各说法进行判断，然后作答即可．
【详解】解：由题意知，9的立方根是，①错误，故不符合要求；
算术平方根等于它本身的数是1或0，②错误，故不符合要求；
实数与数轴上的点一一对应，③错误，故不符合要求；
∵，
∴的平方根是，④错误，故不符合要求；
故选：A．
【点睛】本题考查了立方根，算术平方根，平方根，实数与数轴．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用．
9．C
【分析】根据最简二次根式的定义，逐个进行判断即可．
【详解】解：A、，故A不是最简二次根式，不符合题意；
B、，故B不是最简二次根式，不符合题意；
C、是最简二次根式，符合题意；
D、，故D不是最简二次根式，不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题主要考查了最简二次根式，解题的关键是掌握最简二次根式的特征：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．我们把满足上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式．
10．D
【分析】先将各项化成最简二次根式，然后判断同类二次根式即可．
【详解】解：∵，，，，
∴不能与合并，
故选：D．
【点睛】本题考查了最简二次根式的化简，同类二次根式．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用．
11．A
【分析】先将各数化简，再根据相反数的定义进行判断即可．
【详解】解：A、∵，∴与互为相反数，符合题意；
B、∵，∴与不互为相反数，不符合题意；
C、∵，∴2与不互为相反数，不符合题意；
D、∵，∴与不互为相反数，不符合题意；
故选：A．
【点睛】本题主要考查了二次根式的化简，相反数的定义，解题的关键是掌握二次根式的化简方法，以及只有符号不同的数是相反数．
12．A
【分析】根据实数与数轴，实数的分类逐项判断即可．
【详解】解：A.实数和数轴上的点是一一对应的，说法正确；
B.实数可以分为有理数和无理数，原说法错误；
C.带根号的数不一定是无理数，例如，原说法错误；
D.不带根号的数不一定是有理数，例如，原说法错误；
故选：A．
【点睛】本题考查了实数与数轴，实数的分类，正确理解无理数的概念是解题的关键．
13．D
【分析】无理数包括三方面的数：①含的，②一些开方开不尽的根式，③一些有规律的数，根据以上内容判断即可．
【详解】解：A、是分数，是有理数，故不合题意；
B、，是有理数，故不合题意；
C、（每相邻两个4之间一个0）是无线循环小数，是有理数，故不合题意；
D、是无理数，故符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查了对无理数的定义的理解和运用，注意：无理数是指无限不循环小数，包括三方面的数：①含的，②一些开方开不尽的根式，③一些有规律的无限不循环小数．
14．D
【分析】先化简为最简二次根式，再根据二次根式的加法和减法法则逐项分析，即可作答．
【详解】解：A、，故该选项是错误的；
B、，故该选项是错误的；
C、与不是同类二次根式，故不能进行加减运算，故该选项是错误的；
D、，故该选项是正确的．
故选：D．
【点睛】本题考查了二次根式的加法和减法法则，涉及最简二次根式和同类二次根式等知识内容，难度较小，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
15．D
【分析】本题考查平方根，算术平方根及立方根，二次根式的化简，熟练掌握它们的定义是解题的关键．
根据平方根，算术平方根及立方根的定义逐项判断即可．
【详解】解：A、是16的平方根，正确，故本选项不符合题意；
B、17是的算术平方根，正确，故本选项不符合题意；
C、，其立方根是2，正确．故本选项不符合题意；
D、的算术平方根为，错误，应是，故本选项符合题意；
故选：D．
16．C
【分析】根据二次根式的性质，二次根式的加法，二次根式的除法和立方根的定义计算即可得出答案．
【详解】解：A、，错误，该选项不符合题意；
B、与不能合并，错误，该选项不符合题意；
C、，正确，该选项符合题意；
D、，错误，该选项不符合题意．
故选：C．
【点睛】本题考查二次根式的性质，二次根式的加法，二次根式的除法和立方根的定义，正确计算是解题的关键．
17．D
【分析】本题主要考查了无理数．根据“无限不循环小数是无理数”，即可求解．
【详解】解：A、不是无理数，故本选项不符合题意；
B、不是无理数，故本选项不符合题意；
C、不是无理数，故本选项不符合题意；
D、是无理数，故本选项符合题意；
故选：D
18．C
【分析】本题考查的是实数与数轴，无理数的估算，本题由，可得，从而可得答案，掌握无理数的估算的方法是解本题的关键．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∴实数在数轴上的对应点可能是点C，
故选C
19．C
【分析】本题主要考查了无理数的定义“无限不循环小数为无理数”．根据无理数是无限不循环小数，可得答案．
【详解】解：是分数，属于有理数；，是小数，属于有理数； ，，，是整数，属于有理数；
无理数有，，0.1001000100001…（每相邻两个4之间0的个数逐次增加1）共3个．
故选：C．
20．B
【分析】本题考查了弦图的计算，熟练掌握图形的面积分割法计算，会求算术平方根是解题的关键.根据小正方形的面积=大正方形的面积一个直角三角形的面积，求得小正方形的面积，再计算其算术平方根即可.
【详解】解：因为小正方形的面积，
所以小正方形的边长为：.
故选：.
21．C
【分析】本题考查的是二次根式的加减运算，求解算术平方根，二次根式的乘法运算，二次根式的乘除运算，本题分别根据运算法则逐一分析判断即可，掌握二次根式的加减乘除运算的运算法则是解本题的关键．
【详解】解：，故A不符合题意；
，故B不符合题意；
，故C符合题意；
，故D不符合题意；
故选C
22．C
【分析】本题考查二次根式的有意义，以及一个数的平方的非负性，据此得出，，即可作答．
【详解】解：∵，
∴，
则，
那么，
即的平方根是，
所以的平方根是，
故选：C．
23．C
【分析】本题考查了算术平方根的定义， 注意熟记定义是解此题的关键．根据算术平方根的定义求解即可．
【详解】解：∵，
∴100的算术平方根是10．
故选：C．
24．D
【分析】此题考查了二次根式的加减，直接利用二次根式的性质以及二次根式的加减运算法则分别计算，进而得出答案，正确化简二次根式是解题的关键．
【详解】解：．，故该选项错误；
．，故该选项错误；
．无法合并，故该选项错误；
．，故该选项正确；
故选：．
25．A
【分析】根据勾股定理可求出圆的半径，进而求出点到的距离，再根据点的位置确定点所表示的数．
本题主要考查数轴表示数，勾股定理等知识，采用数形结合的方法并理解一个实数是由符号和绝对值组成的是解题的关键．
【详解】解：根据勾股定理可求出圆的半径为：
，
即点到表示的点的距离为，
那么点到原点的距离为个单位，
∵点在原点的左侧，
∴点所表示的数为：．
故选：A．
26．B
【分析】本题考查了无理数的定义，根据无理数的三种形式：开方开不尽的数，无限不循环小数，含有的数，结合所给数据进行判断即可，解题的关键是掌握无理数的几种形式．
【详解】是有理数，不符合题意；
是分数，属于有理数，不符合题意；
是无理数，符合题意；
是无理数，符合题意；
（相邻两个之间1的个数依次加）是无理数，符合题意；
∴无理数有个，
故选：．
27．B
【分析】根据得到，确定a，b的值，根据三角形三边关系定理计算判断即可．
【详解】∵，
∴，
∴，
∴第三边x的取值范围是，
故选B．
【点睛】本题考查了完全平方公式，实数的非负性，三角形的三边关系定理，熟练掌握实数的非负性，完全平方公式是解题的关键．
28．C
【分析】首先根据勾股定理计算出的长，进而得到的长，再根据A点表示，可得M点表示的数．
【详解】解：∵矩形中，，
∴，，
∴，
∴，
∵A点表示，
∴M点表示的数为：．
故选：C．
【点睛】此题主要考查了勾股定理、实数与数轴，矩形的性质，关键是掌握勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方．
29．D
【分析】利用二次根式的性质对A、D进行判断；根据二次根式的加减法对B、C进行判断．
【详解】解：A、原式=3，所以A选项错误；
B、与不能合并，所以B选项错误；
C、原式=，所以C选项错误；
D、原式=5，所以D选项正确．
故选：D．
【点睛】本题考查了二次根式的混合运算：先把二次根式化为最简二次根式，然后进行二次根式的乘除运算，再合并即可．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．
30．B
【分析】根据题目中给定的计算方法求出，再进行求解即可．
【详解】解：∵，，，…∴，
∴，
，
，
…
∴
，
∴则．
故选B．
【点睛】本题考查二次根式化简中的简便运算．熟练掌握题目中给定的计算方法是解题的关键．
31．D
【分析】根据二次根式的性质及相关运算法则逐项验证即可得到答案．
【详解】解：A、，故A不符合题意；
B、，故B不符合题意；
C、与不是同类二次根式，不能合并，故C不符合题意；
D、，故D符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查二次根式的性质及二次根式混合运算，熟练掌握相关运算法则是解决问题的关键．
32．D
【分析】此题主要考查了立方根的定义，正确得出各数的立方根是解题关键．
利用立方根的定义分别分析得出正确答案即可．
【详解】解：A、的立方根是，故此选项错误；
B、的立方根是，故此选项错误；
C、的立方根是，故此选项错误；
D、的立方根是，故此选项正确；
故选：D．
33．A
【分析】根据平方根、立方根、算术平方根、无理数的定义以及实数和数轴上点的关系进行解答即可．
【详解】解：A.1的平方根是±1，故A选项错误，符合题意；
B.算术平方根是，是无理数，故B选项正确，不符合题意；
C.所有无理数都是无限小数，故C选项正确，不符合题意；
D. 实数与数轴上的点一一对应, 故D选项正确，不符合题意．
故选A．
【点睛】本题主要考查了根据平方根、立方根、算术平方根、无理数的定义以及实数和数轴上点的关系，灵活运用相关概念成为解答本题的关键．
34．D
【分析】根据立方根，算术平方根，二次根式的性质计算判断即可．
【详解】解：∵，
∴A不符合题意；
∵，
∴B不符合题意；
∵，
∴C不符合题意；
∵，
∴D符合题意；
故选D．
【点睛】本题考查了求立方根，算术平方根，二次根式的性质，熟练掌握求立方根的方法和二次根式的性质是解题的关键．
35．D
【分析】连接、，利用割补法求出，根据勾股定理求出，设C点到的距离为h，根据，即可求出h的值．
【详解】解：如图，连接、，
，
，
设C点到的距离为h，
∵，
∴．
故选：D．
【点睛】本题考查了勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方．也考查了三角形的面积和二次根式的运算．
36．C
【分析】先估算出的值的范围，从而求出，的值，然后代入式子中，进行计算即可解答．
【详解】解：∵，
∴，
∵，是两个连续的整数且，
∴，，
∴．
故选：C．
【点睛】本题考查了估算无理数的大小以及代数式求值，熟练掌握估算无理数的大小的方法是解题的关键．
37．B
【分析】由分析可得，代入公式②中比较容易计算，把分别代入进行计算解答．
【详解】解：∵，，不是同类二次根式，无法合并，代入公式①中计算不方便，
∴可代入公式②进行计算，
∵，
∴；
故选：B．
【点睛】本题主要考查了二次根式的混合运算，解题的关键是掌握二次根式的运算法则．
38．D
【分析】根据算术平方根和绝对值的非负性求出的值，再分情况讨论，利用勾股定理进行求值即可．
【详解】解：∵，
∴，即，，
∴，，
当长度为4的边为直角边时，第三边长为：；
当长度为4的边为斜边时，第三边长为：．
综上所述，该直角三角形的第三边长为5或．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了算术平方根和绝对值非负性的应用、完全平方公式和勾股定理等知识，解题关键是正确求出的值并运用分类讨论的思想分析问题．
39．C
【分析】根据二次根式的运算法则分别进行计算，即可求解．
【详解】解：A. 不能合并，故不符合题意；
B. ，故不符合题意；
C. ，故符合题意；
D. ，故不符合题意；
故选：C．
40．C
【分析】根据二次根式相关运算法则逐项判断即可．
本题考查二次根式混合运算，解题的关键是掌握二次根式相关运算的法则．
【详解】解：A、与不是同类项，不能合并，故选项不符合题意；
B、，故选项不符合题意；
C、，计算正确，故选项符合题意；
D、与不能合并，故选项不符合题意；
故选：C．
41．D
【分析】根据题目中给定的计算方法求出，再进行求解即可．
【详解】解：由题意可知：，
，
，
由此可知：，
∴，
∴，
故选：．
【点睛】此题考查了数字类规律探究、二次根式化简中的简便运算．熟练掌握题目中给定的计算方法是解题的关键．
42．
【分析】根据无理数的估值进行解答即可．
【详解】解：∵，
∴，
故答案为：
【点睛】本题考查无理数的估值，理解无理数的估值计算方法是正确解答的关键．
43．
【分析】根据实数比较大小的方法求解即可．
【详解】解：∵，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了实数比较大小，熟知实数比较大小的方法是解题的关键．
44．4
【分析】根据非负数的性质列式求出、的值，然后代入代数式进行计算即可求解．
【详解】根据题意得，，
解得，
∴，
故答案为：4．
【点睛】本题考查了绝对值非负数，算术平方根非负数的性质，根据几个非负数的和等于0，则每一个算式都等于0列式是解题的关键．
45．<
【分析】先把化作，再比较与的大小，即可得到结果．
【详解】解：∵，，
∴
故答案为：<．
【点睛】本题主要考查了实数大小比较，解决问题的关键是熟练掌握开方法（方法不唯一，合理即可）比较实数的大小．
46．16
【分析】根据算术平方根和立方根的定义求出、的值，代入计算即可．
【详解】解：的的算术平方根是3，
，
，
，
的立方根是2，
，
，
，
，
故答案为：16．
【点睛】本题考查了算术平方根和立方根，熟练掌握算术平方根和立方根的定义是解题关键．
47．1
【分析】根据算术平方根的非负性，绝对值的非负性求得的值，继而求得答案．
【详解】解：，，，
，，
解得，，
，
的算术平方根是．
故答案为：．
【点睛】本题考查了算术平方根的非负性，绝对值的非负性，求一个数的算术平方根，求得的值是解题的关键．
48． > ＜
【分析】平方后比较大小或做差比较大小即可．
【详解】解：∵，，，
∴，
∵，，
∴，
∴，
故答案为：>，<．
【点睛】本题主要考查二次根式比较大小，能够熟练运用公式计算二次根式的平方是解题关键．
49．/
【分析】根据勾股定理求得，进而根据数轴上的两点距离即可求得点E在数轴上所表示的数．
【详解】解：四边形是长方形，A、B两点在数轴上对应的数分别为和1，，
依题意.
设点E在数轴上所表示的数为，则
解得
故答案为：
【点睛】本题考查了勾股定理，实数与数轴，掌握勾股定理求得是解题的关键．
50．
【分析】根据绝对值以及算术平方根的非负性得出的值，代入计算即可，
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查了绝对值以及算术平方根的非负性，有理数的乘方等知识点，根据绝对值以及算术平方根的非负性得出的值是解本题的关键．
51．
【分析】本题考查了二次根式的混合运算，掌握二次根式的运算法则是解题的关键．将分母有理化即可求解．
【详解】解：．
故答案为：．
52．
【分析】由，得，根据不等式的性质得，那么，可得结论．
【详解】解：，
，即
，即
，即
故答案为：．
【点睛】本题主要考查算术平方根的性质以及不等式的性质，熟练掌握算术平方根的性质以及不等式性质是解题关键．
53．
【分析】利用勾股定理求出的长，进而得到的长即可得到答案．
【详解】解：由题意得，，
∴点A表示的数是，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了实数与数轴，勾股定理，正确求出的长是解题的关键．
54．9
【分析】分别用平方的非负性和算术平方根的非负性求出，的值，再代入求值即可．
【详解】解：∵，且，
∴，
∴，
∴，
故答案为：9
【点睛】本题考查代数式求值、平方的非负性和算术平方根的非负性，根据非负数的性质得到，的值是解题的关键．
55．3
【分析】本题主要考查了代数式求值，完全平方公式，算术平方根的性质，将变形为是解题的关键．完全平方公式：，算术平方根的性质：．
【详解】∵，
∴
．
故答案为：3．
56．/
【分析】本题考查实数与数轴，勾股定理．解题的关键是熟练掌握勾股定理和数轴上的点的特征，据此解答即可．
【详解】解：根据题意，设直角三角形为，其中，数轴上对应的点为，
∴，，点对应的数是，
∴，
∵以数轴上表示的点为圆心，斜边长为半径画圆弧，交数轴于点，
∴，
∴，
∴点在数轴上所表示的数是：．
故答案为：．
57．
【分析】本题考查了平方根，根据一个正数有两个平方根，它们互为相反数列式求解即可，熟练掌握正数的两个平方根互为相反数和相反数的定义是解题的关键．
【详解】∵一个正数的平方根是和，
∴，
∴，
故答案为：．
58．16
【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，熟练掌握二次根式中被开方数的取值范围，二次根式中的被开方数是非负数．先根据二次根式有意义的条件求出x和y的值，再计算即可．
【详解】解：∵，
∴且，
∴，
∴，
∴．
故答案为：16
59．
【分析】根据阅读材料，求出-y的最小值，即可求出y的最大值．
【详解】解：∵x＜0，则2x＜0，＜0，
∴－y＝－(2x＋)≥－2＝，
∴，
当且仅当2x＝，即x＝时，函数有最大值为．
故答案为：．
【点睛】本题是阅读型问题，解题的关键是读懂题目中给出的信息，理解阅读材料介绍的知识，主要培养自学能力．
60．
【分析】根据运算方法可得到，然后按照规律计算即可．
【详解】解：∵
∴
=
=
=
故答案为：
【点睛】本题考查了计算规律探究、分母有理化、平方差公式，发现计算规律并正确运用是解题关键．
61．
【分析】把代入计算算术平方根，再判断即可．
【详解】解：当时，不能输出，
当时，可以输出，
故答案为：．
【点睛】本题考查算术平方根、代数式求值，正确运用公式是解题的关键．
62．3
【分析】过点作于，由轴对称性质得，从而有，进而即可求解．
【详解】解：过点作于H，
∵点是边的中点，，
∴ ，，
∵将沿折叠至，点的对应点为，
∴，，即
∴，
∴，
当，即点与点重合时，的面积最大，最大面积为，
故答案为：3．
【点睛】本题考查了轴对称的性质，二次根式的乘法以及与中点有关的计算，熟练掌握轴对称的性质是解题的关键．
63．
【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定，勾股定理，构造全等三角形是解题的关键．
过D作交的延长线于E，证明，得出，，勾股定理即可求解．
【详解】解：过D作交的延长线于E，
∵，
∴，
∴，
∴，
在与中，
，
∴，
，
，
，
故答案为：．
64．/
【分析】根据新定义运算进行运算，即可求得．
【详解】解：，
故答案为：．
【点睛】本题考查了新定义运算，二次根式的性质，理解题意，正确进行运算是解决本题的关键．
65．
【分析】本题主要考查了勾股定理以及实数与数轴的关系，任意一个实数都可以用数轴上的点表示；反之，数轴上的任意一个点都表示一个实数．依据勾股定理求得的长，即可得到的长，进而得出点表示的数．
【详解】解：∵，
又∵，
又∵点在原点的左边，
∴点表示的数为，
故答案为：．
66．(1)
(2)
【分析】（1）本题考查的是乘方运算，负整数指数幂的含义，求解一个数的算术平方根，本题先计算乘方，负整数指数幂，算术平方根，再计算乘法，最后计算加减运算，熟记运算顺序是解本题的关键；
（2）本题考查的是二次根式的混合运算，本题先利用乘法公式进行二次根式的乘法运算，再合并即可，熟记乘法公式与二次根式的乘法法则是解本题的关键．
【详解】（1）解：
；
（2）
67．(1)3
(2)1
(3)
(4)
【分析】本题主要考查了实数混合运算，解题的关键是熟练掌握立方根定义，乘方运算法则，二次根式的乘除法则等，准确计算．
（1）先化简各式，然后计算乘法即可；
（2）先化简各式，然后合并同类二次根式，最后计算除法即可；
（3）利用平方差公式、二次根式的性质计算即可；
（4）先计算乘法、立方根、绝对值，然后计算加减即可．
【详解】（1）解：
；
（2）解：
；
（3）解：
；
（4）解：
．
68．(1)5
(2)
(3)4
【分析】（1）先化简成最简二次根式，再合并同类二次根式，再运算二次根式的除法，即可作答；
（2）先化简成最简二次根式，再合并同类二次根式，即可作答；
（3）先化简成最简二次根式以及运用完全平方公式去括号，再合并同类二次根式，即可作答．
【详解】（1）解：；
（2）解：；
（3）解：．
【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，涉及最简二次根式、合并同类二次根式等知识内容，难度较小，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
69．(1)
(2)
(3)
【分析】本题主要考查了二次根式的混合运算，
（1）先把二次根式化为最简二次根式，然后再进行二次根加减运算即可；
（2）先利用二次根式的乘法去括号，再进行二次根加减运算即可；
（3）先把二次根式化为最简二次根式，然后再进行二次根混合运算即可；
【详解】（1）解：
，
．
（2）．
．
．
（3）．
．
．
．
70．(1)
(2)
(3)
(4)
【分析】本题考查了二次根式的混合运算．
（1）先把各二次根式化为最简二次根式，然后合并即可；
（2）先根据二次根式的除法法则运算，然后化简后进行有理数的加减运算；
（3）先根据乘方的意义、零指数幂的意义和二次根式的乘法法则运算，然后进行有理数的加减运算；
（4）先利用完全平方公式和平方差公式计算，然后合并即可．
【详解】（1）解：原式
；
（2）解：原式
；
（3）解：原式
；
（4）解：原式
．
71．(1)1
(2)
【分析】本题主要考查了二次根式的混合运算，
（1）按照分式的运算法则计算即可．
（2）利用平方差公式化简即可．
【详解】（1）解：
（2）
72．(1)
(2)5
【分析】此题主要考查了二次根式的混合运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．
（1）先利用二次根式的性质分别化简，再计算加减即可求解；
（2）先利用平方差公式将括号展开，再计算除法，进一步计算即可求解．
【详解】（1）解：
；
（2）解：
．
73．(1)0
(2)
【分析】本题考查了二次根式的混合运算、绝对值、分母有理化、求一个数的立方根：
（1）利用二次根式的混合运算及分母有理化的运算法则即可求解；
（2）利用求一个数的立方根、化简绝对值及二次根式的混合运算法则即可求解；
熟练掌握其运算法则是解题的关键．
【详解】（1）解：原式
．
（2）原式
．
74．(1)
(2)
【分析】本题考查了二次根式的混合运算，实数运算，
（1）先利用二次根式运算法则进行化简计算即可；
（2）直接利用二次根式的性质、零指数幂的性质，绝对值的性质分别化简，进而得出答案即可．
【详解】（1）解：
；
（2）
．
75．
【分析】本题主要考查了二次根式的乘法计算，实数的运算，先计算二次根式乘法，再根据实数的运算法则求解即可．
【详解】解：原式
．
76．(1)
(2)
【分析】本题主要考查了二次根式的混合计算，熟知相关计算法则是解题的关键．
（1））先化简各二次根式，然后再根据二次根式加减法法则进行计算即可．
（2）根据二次根式的混合计算法则求解即可．
【详解】（1）
；
（2）
．
77．（1）（2）
【分析】本题主要考查了二次根式的混合计算，解二元一次方程组：
（1）根据二次根式的混合计算法则求解即可；
（2）利用代入消元法解方程组即可．
【详解】（1）解：
．
（2）解：
由可得，
将代入可得，
解得，
将代入可得，
∴原方程组的解为．
78．(1)
(2)2
【分析】本题考查平方根，算术平方根和立方根．
（1）根据平方根和立方根的定义，求出的值即可；
（2）将的值代入，化简后，再求算术平方根即可．
熟练掌握相关知识点，是解题的关键．
【详解】（1）解：由题意，得：，
∴，
解得：；
（2）∵，
∴，
∴的算术平方根为．
79．(1)4；
(2)的立方根为2
【分析】（1）根据，得出，即可估算出的整数部分和小数部分；
（2）根据无理数的估算方法得出，，根据二次根式加减运算法则求出，根据立方根定义求出结果即可．
【详解】（1）解：∵，
∴，
∴的整数部分是4，小数部分是．
故答案为：4；．
（2）解：，即：，
的整数部分是，小数部分是，
，
又，即：，
的整数部分是5，即：，
，而，
的立方根为2．
【点睛】本题主要考查了无理数的估算，立方根的定义，二次根式混合运算，解题的关键是熟练掌握立方根定义，二次根式混合运算法则，准确计算．
80．(1)，
(2)，验证过程见解析
【分析】（1）按照题干中两个等式及其验证过程的基本思路，猜想即可；
（2）先猜测出结果，再按照原题写出验证过程即可.
【详解】（1）解：按照上面两个等式及其验证过程的基本思路，猜想，，验证如下：
，
；
故答案为：，
（2）通过上述探究你能猜测出，
验证如下：
.
故答案为：；
【点睛】此题是二次根式运算的规律性题目，熟练掌握二次根式的性质是解题的关键.
81．(1)5
(2)①5，②0
【分析】（1）原式各项分母有理化，计算即可求出值；
（2）①先把a分母有理化可得到，从而得到，再把式子进行整理，将代入计算即可求出值；②将式子整理成，再代入，即可求解．
【详解】（1）解：
；
（2）解：①∵，
∴，
∴，
∴，
∴；
②∵，
∴
．
故答案为：0
【点睛】本题考查了分母有理化，二次根式的化简求值，正确读懂例题，对二次根式进行化简是关键．
82．(1)
(2)，见解析
(3)
【分析】（）利用题干中的方法解答即可；
（）利用题干中的方法解答即可；
（）利用题干中的方法将每个二次根式转化成两个二次根式的差后，利用加法的运算律解答即可．
【详解】（1）这里，
，
即：，
这里，
，
即：，
故答案为：；
（2）
这里，
，
即：，
（3）
．．．．．．，
原式．．．
【点睛】本题主要考查了二次根式的化简与性质，数字变化的规律，本题是阅读型题目，理解题干中的解题方法并熟练应用是解题的关键．
83．(1)，
(2)，理由见解析
【分析】本题主要考查了有理化因式，平方差公式，理解定义，利用平方差公式找式子的有理化因式，第（2）问中把分母都看成1，然后第一个式子的分子分母同时乘以，第二个式子分子分母同时乘以，是解决问题的关键．
【详解】（1）解：，
的有理化因式是；
；
故答案为：，；
（2），
理由如下：
，
，
，
，
所以．
84．(1)
(2)
【分析】本题考查的是二次根式的混合运算．
（1）根据二次根式的分母有理化知识和除法法则计算；
（2）根据二次根式的加减法法则计算．
【详解】（1）解：；
故答案为：；
（2）解：
．
85．(1)1
(2)
(3)
【分析】（1）由定义直接可得答案；
（2）求出，根据已知得到，两式相加可得，再求解即可；
（3）同（2）的方法求解即可．
【详解】（1）解：的对偶式为，
∴；
（2），
∴，
∴，
得：，
∴；
（3），
∴，
∴，
得：，
∴，
∴．
【点睛】本题考查二次根式，平方差公式，涉及新定义，无理方程等知识，解题的关键是掌握二次根式运算的相关法则．
86．±
【分析】利用算术平方根，以及立方根定义求出a与b的值，即可求出所求．
【详解】由题意得：2a-1=9，3a+b-1=8，
解得：a=5，b=-6，
则a-2b=5+12=17，17的平方根是±
【点睛】此题考查了立方根，以及平方根，熟练掌握各自的性质是解本题的关键．
87．（1）1，1；（2）
【分析】（1）根据题目中所给规律即可得结果；
（2）把无理数的整数部分和小数部分分别表示出来，再代入计算即可．
【详解】解：（1），
；，
故答案为：1，1．
（2）由（1）知：，，
，，
．
【点睛】本题考查了无理数的大小的估算，解决本题的关键是根据无理数的整数部分确定小数部分．
88．（1）4；（2）0或2
【分析】（1）先估算出的大小，然后确定整数部分；
（2）根据的整数部分可求出9-和9+的整数部分，进而表示出小数部分m、n，最后代入（x-1）2=m+n求x的值即可．
【详解】解：（1）∵
∴＜＜，即4＜＜5，
∴的整数部分为4，
故答案为：4．
（2）∵4＜＜5
∴-5＜-＜-4
∴4＜9-＜5，13＜9+＜14
∴9-的整数部分为4，9+的整数部分为13，
∴9-的小数部分m=（9-）-4=5-，9+的小数部分n=（9+）-13=-4，
∴（x-1）2=5-+-4=1，
∴x-1=±1，
解得x=2或x=0．
∴满足条件的的值是0或2
【点睛】本题主要考查的是估算无理数的大小，解题的关键是能够正确得到m、n的值．
89．（1）4；（2）
【分析】（1）利用算术平方根，立方根定义求出a与b的值，代入原式计算即可求出值；
（2）根据题意，利用无理数估算的方法求出x与y的值，即可求出x y＋的算术平方根的值．
【详解】解：（1）∵2a＋1的算术平方根是3，3a b 1的立方根是2，
∴2a＋1＝9，3a b 1＝8，
解得：a＝4，b＝3，
则原式＝＝4；
（2）解：∵10＋＝x＋y，其中x是整数，且0＜y＜1，1＜＜2，
∴x＝11，y＝10＋ 11＝ 1，
则x y＋＝11 ＋1＋＝12，
∴x y＋的算术平方根是2．
【点睛】此题考查了实数的运算、无理数的估算和算术平方根、立方根的定义，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
90．7
【分析】根据平方根，算术平方根的定义，列式确定a，b的值，代入计算即可．
【详解】∵，
∴，
解得，
∴．
故答案为：7．
【点睛】本题考查了平方根即，称x是a的平方根，算术平方根即正的平方根，熟练掌握定义是解题的关键．
91．(1)3
(2)或．
【分析】（1）估算无理数的大小即可；
（2）估算、的大小确定m、n的值，代入方程求解即可．
【详解】（1）解：∵，
∴，
∴的整数部分为3；
故答案为：3；
（2）解：∵，
∴，
∴，
∴的小数部分，
∴，
∴的小数部分，
∵，
∴，
∴，
解得或．
【点睛】本题考查估算无理数的大小，掌握算术平方根的意义是正确解答的前提，确定m、n的值是正确解答的关键．
92．(1)5；；
(2)7
【分析】（1）根据题意即可作答；
（2）根据题意分别将两个式子算出，进而即可求解．
【详解】（1）根据题意可得
，
故答案为：5；；；
（2）解：原式
．
【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，解决本题的关键是掌握完全平方公式．
93．(1)是
(2)
(3)的长为或
【分析】（1）直接利用常态三角形的定义判断即可；
（2）利用勾股定理以及结合常态三角形的定义得出两直角边的关系，进而得出答案；
（3）分两种情况利用直角三角形的性质结合常态三角形的定义得出的长，再根据勾股定理求得的长．
【详解】（1）解：，
此三角形是常态三角形，
故答案为：是；
（2）是常态三角形，
设两直角边长为，，斜边长为，
，，
，
，
设，，
则，
此三角形的三边长之比为，
故答案为：；
（3）是常态三角形，
，
，，
，
（负值已舍），
，
，
在中，由勾股定理得，．
当时，
∵，
∴，
在中根据勾股定理得：，
∴的长为或．
【点睛】此题主要考查了勾股定理以及新定义．正确应用勾股定理以及直角三角形的性质是解题关键．
94．(1)，
(2)
【分析】（1）根据二次根式的加法法则、乘法法则计算即可；
（2）根据完全平方公式、多项式乘多项式的运算法则把原式变形，代入计算，得到答案．
【详解】（1）解：，；
故答案为：，；
（2）解：原式
；
∵，，
∴原式
．
【点睛】本题考查二次根式的加减运算，乘除运算，同时考查了完全平方公式，平方差公式，熟练掌握相关运算法则，是解题的关键．
95．(1)3，
(2)
(3)
【分析】（1）根据算术平方根的性质可确定的整数部分，再确定的小数部分；
（2）确定的整数部分，即知的值，同理可确定的整数部分，从而求得它的小数部分，即的值，则可以求得代数式的值；
（3）由得，从而得，，将、的值代入原式即可求解．
【详解】（1） ，
的整数部分为3，的小数部分为，
故答案为：3，；
（2），是的整数部分，
，
，
的整数部分为1，
是的小数部分，
，
；
（3），
，
即，
，其中是整数，且，
，，
．
【点睛】本题考查了无理数的估算、求代数式的值，关键是掌握二次根式的大小估算方法．
96．(1)10，
(2)，
(3)18
【分析】本题考查了数学中的阅读能力，规律问题，还有二次根式的化简，分母有理化，关键是理解新定义和有关二次根式的化简运算．
【详解】（1）根据题意可得，
，；
（2）根据题意可得，
，；
（3）
．
97．(1)
(2)
【分析】（1）本题考查的是平方根与立方根的综合题，无理数的整数部分的含义，本题由平方根与立方根的含义再建立方程即可得到a，b的值，再估算出，从而可得答案；
（2）本题考查的是求解一个数的算术平方根，把a，b，c的值代入，再求解算术平方根即可，熟练的求解非负数的算术平方根是解本题的关键．
【详解】（1）解：根据题意得，
解得，
∵c是的整数部分
而
则 ，
∴
∴；
（2）解：∵
∴
的算术平方根为： 3．
98．(1)，
(2)
【分析】本题考查了算术平方根，平方根的意义，以及二次根式的性质．
（1）根据算术平方根，平方根的定义求解即可；
（2）把a，b的值代入，然后根据二次根式的性质化简即可．
【详解】（1）∵，
∴，
∴．
∵正数的两个不同的平方根分别是和，
∴，
∴，
∴，
∴．
（2）∵，，
∴．
99．16
【分析】本题主要考查了算术平方根和平方根，熟练掌握算术平方根和平方根的定义是解题的关键．注意：一个正数有两个平方根，它们互为相反数．根据平方根和算术平方根的定义即可求出和的值，进而求出a和b的值，将a和b的值代入即可求解．
【详解】解∶∵的平方根是，的算术平方根是4，
∴，，
∴，，
∴．
100．（1）；（2）；（3）10或22
【分析】（1）将20看成是15+5，则，由此求解即可；
（2）将11看成是9+2，则，由此求解即可；
（3）根据，，可以得到，，
再根据a，m，n均为正整数，则，由此求解即可．
【详解】解：（1）；
（2）；
（3）∵，，
∴，，
∵a，m，n均为正整数，
∴，
∴或．
【点睛】本题主要考查了二次根式的性质和完全平方公式的使用，解题的关键在于能够准确读懂题意．
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