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2024年八年级勾股定理
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．现有一楼房发生火灾，消防队员决定用消防车上的云梯救人，如图（1）已知云梯最多只能伸长到15m，消防车高3m．救人时云梯伸长至最长，在完成从12m高处救人后，还要从15m高处救人，这时消防车要从原处再向着火的楼房靠近的距离为（ ）
A．3米 B．5米 C．7米 D．9米
2．如图，动点P从点A出发，沿着圆柱的侧面移动到的中点S，若，底面半径为2，取3，求点P移动的最短距离为（ ）
A．8 B．10 C． D．
3．若一个直角三角形的三边长分别为：6，8，，则的值是（ ）
A．10 B． C．2 D．10或
4．下列各组数中，是勾股数的一组是（ ）
A．，， B．，， C．，， D．，，
5．在中， ，，，则的长为（ ）
A．5 B．1 C．2 D．2
6．在中，，边，则边的长为( )
A． B． C． D．
7．若一个直角三角形的两边长分别为和，则第三条边长的平方为（ ）
A．或 B．或 C．或 D．或
8．如图，点E在正方形内，满足，，，则阴影部分的面积是（ ）
A．119 B．129 C．139 D．149
9．华表柱是一种中国传统建筑形式，天安门前耸立着高大的汉白玉华表，每根华表重约20000公斤，如图，在底面周长约为3米带有层层回环不断的云朵石柱上，有一条雕龙从柱底向柱顶（从点到点）均匀地盘绕3圈，每根华表刻有雕龙部分的柱身高约9米，则雕刻在石柱上的巨龙至少（ ）米．
A． B． C． D．
10．2022年11月4日，深圳某高层住宅发生火灾，消防车立即赶到距大厦7米处（车尾到大厦墙面），升起云梯到火灾窗口，已知云梯长25米，云梯底部距地面2米，则发生火灾的住户窗口距离地面（ ）米
A．7 B．24 C．25 D．26
11．如图，由六个边长为1的小正方形构成一个大长方形，连接小正方形的三个顶点，可得到，则中边上的高是（ ）
A． B． C． D．
12．在下列四组数中，是勾股数的是（ ）
A．2，1， B．6，8， C．，， D．5，，
13．如图，已知，垂足为，，点是射线上的动点，且，则线段的长不可能是（ ）
A． B． C． D．4
14．如图是用4个全等的直角三角形与1个小正方形镶嵌而成的正方形图案，已知大正方形的面积为49，小正方形的面积为4．若用x，y表示直角三角形的两直角边（x＞y），则下列四个说法：①，②，③，④，其中正确的是（ ）
A．①③④ B．②④ C．①②③ D．①②③④
15．在如图所示的图形中，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，若正方形的边长为7，则正方形a，b，c，d的面积之和是（ ）
A．98 B．49 C．28 D．14
16．如图，梯子AB靠在墙上，梯子的顶端A到墙根O的距离为24m，梯子的底端B到墙根O的距离为7m，一不小心梯子顶端A下滑了4米到C，底端B滑动到D，那么BD的长是（ ）
A．2m B．4m C．6m D．8m
17．如图，圆柱形容器高为18cm，底面周长为32cm，在杯内壁离杯底4cm的点B处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好也在杯内壁，离杯上沿2cm与蜂蜜正相对的点A处，则蚂蚁从内壁A处到达内壁B处的最短距离为（ ）
A．13cm B．cm C．2cm D．20cm
18．若一个直角三角形的三边分别为a、b、c，a2＝144，b2＝25，则c2＝（ ）
A．169 B．119 C．169或119 D．13或25
19．如图，长方体的长为20cm，宽为15cm，高为10cm，点B离点C为5cm，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A爬到点B去吃一滴蜜糖，需要爬行的最短距离是（ ）
A．cm B．25cm C．cm D．16cm
20．如图，以的三边为直角边分别向外作等腰直角三角形，若，则图中阴影部分的面积为（ ）
A． B． C． D．3
21．下列说法中，错误的是（ ）
A．在△ABC中，若∠C＝∠B＝∠A，则△ABC是直角三角形
B．在△ABC中，若∠A：∠B：∠C＝3：4：5．则△ABC是直角三角形
C．在△ABC中，若∠A＝∠B﹣∠C，则△ABC是直角三角形
D．在△ABC中，若三边长a，b，c满足a：b：c＝1：2：，则△ABC是直角三角形
22．如图是由4个全等的直角三角形与1个小正方形镶嵌而成的正方形图案，大正方形面积为48，小正方形面积为6，若用x，y表示直角三角形的两直角边长（x>y），则的值为（ ）
A．60 B．79 C．84 D．90
23．如图，在Rt△ABC中，∠BCA＝90°，△PAB中AB边上的高等于AB的长度，△QBC中BC边上的高等于BC的长度，△HAC中AC边上的高等于AC的长度，且△PAB，△QBC的面积分别是10和8，则△ACH的面积是（ ）
A．2 B．4 C．6 D．9
24．在下列四组数中，不是勾股数的一组数是（ ）
A．15，8，17 B．6，8，10 C．3，4，5 D．3，5，7
25．已知一个直角三角形的两条边的长分别为3和4，则它的第三条边是（ ）
A．5或 B． C．5 D．2或5
26．若一直角三角形两边长分别为和，则第三边长为（ ）．
A．或 B．或 C．或 D．
27．如图，分别以的三边，，为边向外侧作正方形，正方形，正方形，连接，，，再过作于，延长交于点．①；②；③；④当，，时，．其中正确的结论共有（ ）个
A．1 B．2 C．3 D．4
28．如图，四边形中，，且，若，则（ ）
A．6 B．9 C．12 D．16
29．如图，四边形是边长为的正方形纸片，将其沿折叠，使点落在边上的处，点对应点为，且，则的长是（ ）
A． B． C． D．
30．如图，把一张长方形纸片按所示方法进行两次折叠，得到．若，则的长度为（ ）
A． B． C． D．2
31．如图，已知在中，，从直角三角形两个锐角顶点所引的中线的长，，则斜边的长为（ ）
A． B． C． D．
32．如图，第1个正方形（设边长为2）的边为第一个等腰直角三角形的斜边，第一个等腰直角三角形的直角边是第2个正方形的边，第2个正方形的边是第2个等腰三角形的斜边…依此不断连接下去．通过观察与研究，写出第个正方形的边长为（ ）
A． B． C． D．
33．如图，圆柱底面半径为，高为18cm，点A、B分别是圆柱两底面圆周上的点，且点B在点A的正上方，用一根棉线从A点顺着圆柱侧面绕3圈到B点，则这根棉线的长度最短为（ ）
A．21cm B．24cm C．30cm D．32cm
34．如图，小蓓要赶上去实践活动基地的校车，她从点A知道校车自点B处沿x轴向原点O方向匀速驶来，她立即从A处搭一辆出租车，去截汽车．若点A的坐标为，点B的坐标为，汽车行驶速度与出租车相同，则小蓓最快截住汽车的坐标为（ ）
A． B． C． D．
35．如图，在长方体透明容器（无盖）内的点B处有一滴糖浆，容器外A点处的蚂蚁想沿容器壁爬到容器内吃糖浆，已知容器长为5cm，宽为3cm，高为4cm，点A距底部1cm，请问蚂蚁需爬行的最短距离是（容器壁厚度不计）（ ）
A． B． C． D．
36．勾股定理是人类数学文化的一颗璀璨明珠，是用代数思想解决几何问题的最重要工具也是数形结合的组带之一，如图，秋千静止时，踏板离地的垂直高度m，将它往前推6m至C处时（即水平距离m），踏板离地的垂直高度m，它的绳索始终拉直，则绳索的长是（ ）
A．m B．m C．6m D．m
37．如图，在△ABC中，∠ABC＝45°，点D在AB上，点E在BC上，连接AE、CD、DE，若AE＝AC＝CD，CE＝4，则BD的长为（ ）
A．2 B． C．4 D．
38．如图，在中，，，是斜边上上两点（不与点、重合），且 ，在外作，连接，下列结论：①；②；③；④，，则，其中正确的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
39．在中，，在线段上有一点D，使，已知，，则线段的长为（ ）．
A．6 B．7 C．8 D．9
40．如图，阴影部分表示以的各边为直径的三个半圆所组成的两个新月形，面积分别记作和．若，，则阴影部分面积是（ ）
A． B． C．14 D．24
41．如图，等腰直角△ABC中，∠C＝90°，点F是AB边的中点，点D、E分别在AC、BC边上运动，且∠DFE＝90°，连接DE、DF、EF，在此运动变化过程中，下列结论：①图中全等的三角形只有两对；②△ABC的面积是四边形CDFE面积的2倍；③CD+CE＝2FA；④AD2+BE2＝DE2．其中错误结论的个数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
42．如图，BH是△ABC的角平分线，BA＝BC＝10，AC＝12，P，D分别是BH和AB上的任意一点，连接PA，PC，PD，CD．给出下列结论：①PA＝PC；②PA+PD≥CD；③PA+PD的最小值是；④若PA平分∠BAC，则△APH的面积为12．其中正确的是（ ）
A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①③④
二、填空题
43．如图，圆柱形容器高为，底面周长为，在杯内壁杯底的点处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯子的上沿，与蜂蜜相对的点处，则蚂蚁从处沿内壁到达处的最短距离为 ．
44．已知在中，，，，则边上的中线 ．
45．有一棵9米高的大树，在距地面4米处折断树梢触地，则树梢触地时，距离大树底端 米．
46．在中，两直角边长满足，且斜边长，则 ．
47．在中，，，，，垂足为H， ．
48．如图，在中，，，分别以为边作正方形，面积分别记为，则 ．
49．如图，一大楼的外墙面与地面垂直，点P在墙面上，已知，，且米，点P到的距离是3米，有一只蚂蚁要从点P离到点B，它的最短行程是 米．
50．“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲，如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形．其中，，则每个直角三角形的面积为 ．
51．如图，点为线段上一点，且，分别以、为边，在的同一侧作等边和等边，连接，，，则的面积为 ．
52．如图，在中，，点为边上一动点，将沿直线对折，其中点的对应点为，连接，当为直角三角形时，线段的长为 ．
53．如图，在长方形中（），点E在边上，且，将沿折叠，若点C的对应点 落在矩形的边上， ，则的长度为 ．
54．已知：如图，将长方形的一边沿折叠，使点落在边上的点处，若，，则 ．
55．如图，在中，，，，D，E分别是边和上的点，把沿着直线折叠，若B恰好落在中点M上，则长为 ．
56．如图，八年级的小明和小亮同学学习了“勾股定理”之后，为了测得如图所示风筝的高度，他们进行了如下操作：
测得米；（注：）
根据手中剩余线的长度计算出风筝线米；
牵线放风筝的小明身高米．
则风筝的高度是 米
57．如图，，点M、N分别在边上，且，点P、Q分别在边上，则的最小值是 ．
58．如图，已知，于点，于点A，点E是的中点，连接并延长交于点F，，，则的长为 ．
59．如图所示，等腰与等腰中，，，，则 .
60．定义：我们把三角形某边上中线的长度与这边中点到高的距离的比值称为三角形某边的“中高偏度值”．如图，在中，，，，则中边的“中高偏度值”为 ．
61．如图，在 中，，分别以、、为边向上作正方形、正方形、正方形，点在上，若则，，图中阴影的面积为 ．
62．如图，在中，，，点在上，，，点是上的动点，则的最小值为 ．
63．如图，由四个边长为的小正方形构成一个大正方形，连接小正方形的三个顶点，可得到，则中边上的高是 ．
64．如图，在中，，，，点D在上，将沿折叠，点A落在点处，与相交于点E，若，则的长为 ．
65．如图，一圆柱高为8cm，底面周长为12cm，蚂蚁在圆柱表面爬行，从点A爬到点B的最短路程是 cm．
66．如图，在中，，，．点在上，且．连接，过点作，且，连接．则的长度为 ．
67．已知：如图长方形中，，，将此长方形折叠，使点B与点D重合，折痕为，则的面积为 ．
68．如图，于点A，于点B，点E是的中点，连按，已知知，，，则 的长为 ．
69．如图，在中，，和的平分线相交于点O，交于D，交于E，，，则周长为 ．
70．如图，在中，，，，为斜边上的一动点（不包含，两端点），以为对称轴将翻折得到，连结．当时，的长为 ．
71．如图，在和中，，点在边的中点上，若，，连结，则的长为 ．
三、解答题
72．在中，已知，求代数式的值.
73．在中，，，边上的高，求另一边的长．
74．如图，在四边形中，，分别以四边形的四条边为边长，向外作四个正方形，面积分别为，，和．若，，，求的值．
75．（1）如图（1），分别以三边为直径向外作三个正方形，其面积分别用，，表示，写出，，之间关系．（不必证明）
（2）如图（2），分别以三边为边向外作三个半圆，其面积分别用，，表示，确定它们的关系证明；
（3）如图（3），分别以三边为边向外作正三角形，其面积分别用，，表示，确定它们的关系并证明．
76．1876年，美国总统加菲尔德利用下图验证了勾股定理．
(1)请用含a、b、c的代数式通过两种不同的方法表示直角梯形的面积（不需要化简）：
方法1：________；方法2：________．
(2)利用“等面积法”，推导a、b、c之间满足的数量关系，完成勾股定理的验证．
77．如图，有一架秋千，当它静止时，踏板离地的垂直高度，将它往前推送（水平距离）时，秋千的踏板离地的垂直高度，秋千的绳索始终拉得很直，求绳索的长度．
78．如图，在中，，，，D，E分别是线段和线段上的点，把沿着直线折叠，若点B恰好与点A重合，求此时线段的长和的面积．
79．如图所示，某两位同学为了测量风筝离地面的高度，测得牵线放风筝同学的头顶与风筝的水平距离为8米． 已知牵线放风筝同学的身高为1.60米，放出的风筝线长度为17米（其中风筝本身的长宽忽略不计）
(1)求此刻风筝离地面的高度；
(2)为了不与空中障碍物相撞，放风筝的同学要使风筝沿方向下降9米，若该同学站在原地收线，请问他应该收回多少米？
80．如图所示，有一个圆柱，它的高等于 厘米，底面半径等于厘米．在圆柱下底面的点处有一只蚂蚁，它想吃到上底面点处的食物，沿圆柱侧面爬行的最短路程是多少？（的值取）．
81．（1）如图，边长为的正方形中有一个边长为的小正方形，若将图1的阴影部分拼成一个长方形，如图3．由图1、图3你能得到的公式是_________；
（2）爱思考的小聪看到三边为，，的直角三角形（如图4），四个这样全等的直角三角形与中间小正方形组成大正方形，他想利用大正方形的两种不同的面积表示方法得到等式．请你代替小聪来表示这个大正方形的面积：
方法一：_______________；（用，，来表示）
方法二：_______________（用，，来表示）
（3）你能得出一个关于，，的等式：________；并写出这个等式的推导过程．
82．如图正方形网格中，每个小正方形的边长均为，在如图的网格格点处取，，三点，使，，．
(1)请你在图中画出满足条件的；
(2)求的面积；
(3)过点作边上的高；求出的长．
83．如下图，某学校计划在校内一道路旁建造超市，将地图简化，如图1所示，宿舍楼与校内道路的距离为50米，教学楼与校内道路的距离为160米，米，现要在校内道路旁建造一超市．
(1)请在图1中画出点（点在道路上，道路宽度忽略不记），使学生从宿舍楼走到超市，再走到教学楼所走路程最短，并求出最短路程．
(2)如图2所示，若宿舍楼和教学楼之间有一面70米长的校园文化墙，文化墙垂直于校内道路，到校内道路的距离为40米，米，米，现在依然要求学生从宿舍楼走到超市，再走到教学楼所走路程最短．
①众所周知，“两点之间，线段最短”，但由于文化墙这个障碍物的存在，需要研究两点之间不同折线长度的大小关系，他认为，并进行了证明，请你将下述证明过程补充完整：
证明：如图4，延长交于点，
，
又，________，
②如图5，延长交校内道路于点，过作于点，是上右侧的一点，利用①中证明的结论，可判断超市的位置应位于________（从以下四个选项中选择）．
A．左侧 B．线段上 C．线段上（不含点） D．右侧
③请在图6中画出超市的位置，并求出最短路程．
84．如图，已知点，为直线外两点，且在异侧，连接，分别过点作于点，过点作于点，点是线段上一点，连接交于点．
(1)下列条件：
①点是的中点；
②点是的中点；
③点是的中点．
请从中选择一个能证明的条件，并写出证明过程；
(2)若，且，，，求的长．
85．如图所示，一艘轮船由A港口沿着北偏东的方向航行到达B港口，然后再沿北偏西方向航行到达C港口．
(1)求A，C两港口之间的距离；（结果保留根号）
(2)C港口在A港口的什么方向．
86．如图，一个无盖长方体小杯子放置在桌面上，，；
(1)一只蚂蚁从A点出发，沿小杯子外表面爬到D点，求蚂蚁怎样走最短，最短路程是多少？
(2)为了怕杯子落入灰尘又方便使用，现在需要给杯子盖上盖子，并把一双筷子放进杯子里，请问，筷子的最大长度是多少？
87．如图1，，是等腰直角三角形，点D在线段上，
(1)求证：；
(2)填空：的度数为_______．
(3)若，，求的长度．
(4)探究：如图2，，是等腰直角三角形，点D在延长线上，，，则的长度为_____________．
88．如图，长方形中，边，．将此长方形沿折叠，使点与点重合，点落在点处．
(1)证明；
(2)求的面积．
89．(1)如图1，四边形的对角线于点．判断与的数量关系，并说明理由．
(2)如图2，分别以的直角边和斜边为边向外作正方形和正方形，连接，，交点为．
①判断，的关系，并说明理由．
②连接．若，，请直接写出的长．
90．美宜佳超市为了让顾客感觉服务很温馨，在超市门口离地面一定高度的墙上处，装有一个由传感器控制的迎宾门铃，人只要移动到该门口2.4米及2.4米以内时，门铃就会自动发出“欢迎光临美宜佳”的语音．如图，一个身高1.6米的学生刚走到处（学生头顶在处），门铃恰好自动响起，此时测得迎宾门铃与地面的距离和到该生头顶的距离相等，请你计算迎宾门铃距离地面多少米？
91．港珠澳大桥是一座连接香港，广东珠海和澳门的跨海大桥，总长，现有一艘游轮即将靠岸，当游轮到达B点后熄灭发动机，在离水面高度为的岸上，工作人员用绳子牵引靠岸，开始时绳子的长为．（假设绳子是直的，结果保留根号）
(1)若工作人员以的速度收绳．后船移动到点D的位置，问此时游轮距离岸边还有多少？
(2)若游轮熄灭发动机后保持的速度匀速靠岸，后船移动到E点，工作人员手中的绳子被收上来多少米？
92．已知：如图，有一块的绿地，量得两直角边，．现在要将这块绿地扩充成等腰，且扩充部分（）是以为直角边长的直角三角形．
(1)在图1中，当时，的周长等于 ．
(2)在图2中，当时，求的长．
(3)在图3中，当时，求的面积．
93．阅读下列一段文字，回答问题．
【材料阅读】平面内两点，则由勾股定理可得，这两点间的距离．
例如．如图1，，则．
【直接应用】
(1)已知 ，求P、Q两点间的距离；
(2)如图2，在平面直角坐标系中的两点，P为x轴上任一点，求的最小值；
(3)利用上述两点间的距离公式，求代数式 的最小值是 ．
94．如图，在中，过点B作交的延长线于点D，过点C作交的延长线于点E，延长相交于点F，．
(1)求证：；
(2)若，求的长．
95．如图，在四边形中，，，点是边上一点，，，．
(1)求证： ；
(2)试利用这个图形证勾股定理．
96．如图所示，在矩形ABCD中，AB=CD=5，BC=AD=3.
(1)如图①，E、F分别为CD、AB边上的点，将矩形ABCD沿EF翻折，使点A与点C重合，设CE=x，则DE= (用含x的代数式表示)，CD′=AD=3，在Rt△CD′E中，利用勾股定理列方程，可求得CE= .
(2)如图②，将△ABD沿BD翻折至△A′BD，若A′B交CD于点E，求此时CE的长；
(3)如图③，P为AD边上的一点，将△ABP沿BP翻折至△A′BP，A′B、A′P分别交CD边于E. F，且DF=A′F，请直接写出此时CE的长.
97．受全球气候变暖影响，今年深圳的雨水特别多．据悉，不止深圳，整个华南地区暴雨形成“列车效应”．雨水增多导致雨伞的需求量大大增加．下图是某型号雨伞的结构图．
根据以下素材，探索完成任务，
探究雨伞中的数学问题
素材1 图1是这个雨伞的示意图．不管是张开还是收拢，是伞柄， 伞骨且，， D点为伞圈． 伞完全张开时，如图1所示．
素材2 伞圈D能沿着伞柄滑动，如图2是完全收拢时伞骨的示意图， 此时伞圈D滑动到的位置， 且三点共线． 测得（参考值：）．
素材3 同学们经过研究发现： 雨往往是斜打的，且都是平行的．如图3，某一天，雨线与地面夹角为， 小田站在伞圈D点的正下方点G处， 记为， 此时发现身上被雨淋湿， 测得．
问题解决
任务1 判断AP位置 求证：是的角平分线．
任务2 探究伞圈移动距离 当伞从完全张开到完全收拢， 求伞圈D移动的距离（精确到）．
任务3 拟定撑伞方案 求伞至少向下移动距离_____，使得人站在G处身上不被雨淋湿，（直接写出答案）
98．我们新定义一种三角形：若一个三角形中存在两边的平方差等于第三边上高的平方，则称这个三角形为勾股高三角形，两边交点为勾股顶点．
●特例感知
①等腰直角三角形 勾股高三角形（请填写“是”或者“不是”）；
②如图1，已知△ABC为勾股高三角形，其中C为勾股顶点，CD是AB边上的高．若，试求线段CD的长度．
●深入探究
如图2，已知△ABC为勾股高三角形，其中C为勾股顶点且CA＞CB，CD是AB边上的高．试探究线段AD与CB的数量关系，并给予证明；
●推广应用
如图3，等腰△ABC为勾股高三角形，其中，CD为AB边上的高，过点D向BC边引平行线与AC边交于点E．若，试求线段DE的长度．
99．已知AOB和△MON都是等腰直角三角形，∠AOB＝∠MON＝90°．
（1）如图1：连AM，BN，求证：AOM≌BON；
（2）若将RtMON绕点O顺时针旋转，当点A，M，N恰好在同一条直线上时，如图2所示，线段OH//BN，OH与AM交点为H，若OB＝4，ON＝3，求出线段AM的长；
（3）若将MON绕点O顺时针旋转，当点N恰好落在AB边上时，如图3所示，MN与AO交点为P，求证：MP2+PN2＝2PO2．
100．已知和都是等腰直角三角形，．
(1)【发现问题】
如图1，若D为内部一点，AE与BD的数量关系是______；
(2)【探索证明】
如图2，若D为AB边上一点，，，求DE的长．
(3)【学于致用】
运用（1）（2）解答中所积累的经验和知识，完成下题：如图3，已知，，，
，求AE的长．
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2024年八年级勾股定理
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．现有一楼房发生火灾，消防队员决定用消防车上的云梯救人，如图（1）已知云梯最多只能伸长到15m，消防车高3m．救人时云梯伸长至最长，在完成从12m高处救人后，还要从15m高处救人，这时消防车要从原处再向着火的楼房靠近的距离为（ ）
A．3米 B．5米 C．7米 D．9米
2．如图，动点P从点A出发，沿着圆柱的侧面移动到的中点S，若，底面半径为2，取3，求点P移动的最短距离为（ ）
A．8 B．10 C． D．
3．若一个直角三角形的三边长分别为：6，8，，则的值是（ ）
A．10 B． C．2 D．10或
4．下列各组数中，是勾股数的一组是（ ）
A．，， B．，， C．，， D．，，
5．在中， ，，，则的长为（ ）
A．5 B．1 C．2 D．2
6．在中，，边，则边的长为( )
A． B． C． D．
7．若一个直角三角形的两边长分别为和，则第三条边长的平方为（ ）
A．或 B．或 C．或 D．或
8．如图，点E在正方形内，满足，，，则阴影部分的面积是（ ）
A．119 B．129 C．139 D．149
9．华表柱是一种中国传统建筑形式，天安门前耸立着高大的汉白玉华表，每根华表重约20000公斤，如图，在底面周长约为3米带有层层回环不断的云朵石柱上，有一条雕龙从柱底向柱顶（从点到点）均匀地盘绕3圈，每根华表刻有雕龙部分的柱身高约9米，则雕刻在石柱上的巨龙至少（ ）米．
A． B． C． D．
10．2022年11月4日，深圳某高层住宅发生火灾，消防车立即赶到距大厦7米处（车尾到大厦墙面），升起云梯到火灾窗口，已知云梯长25米，云梯底部距地面2米，则发生火灾的住户窗口距离地面（ ）米
A．7 B．24 C．25 D．26
11．如图，由六个边长为1的小正方形构成一个大长方形，连接小正方形的三个顶点，可得到，则中边上的高是（ ）
A． B． C． D．
12．在下列四组数中，是勾股数的是（ ）
A．2，1， B．6，8， C．，， D．5，，
13．如图，已知，垂足为，，点是射线上的动点，且，则线段的长不可能是（ ）
A． B． C． D．4
14．如图是用4个全等的直角三角形与1个小正方形镶嵌而成的正方形图案，已知大正方形的面积为49，小正方形的面积为4．若用x，y表示直角三角形的两直角边（x＞y），则下列四个说法：①，②，③，④，其中正确的是（ ）
A．①③④ B．②④ C．①②③ D．①②③④
15．在如图所示的图形中，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，若正方形的边长为7，则正方形a，b，c，d的面积之和是（ ）
A．98 B．49 C．28 D．14
16．如图，梯子AB靠在墙上，梯子的顶端A到墙根O的距离为24m，梯子的底端B到墙根O的距离为7m，一不小心梯子顶端A下滑了4米到C，底端B滑动到D，那么BD的长是（ ）
A．2m B．4m C．6m D．8m
17．如图，圆柱形容器高为18cm，底面周长为32cm，在杯内壁离杯底4cm的点B处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好也在杯内壁，离杯上沿2cm与蜂蜜正相对的点A处，则蚂蚁从内壁A处到达内壁B处的最短距离为（ ）
A．13cm B．cm C．2cm D．20cm
18．若一个直角三角形的三边分别为a、b、c，a2＝144，b2＝25，则c2＝（ ）
A．169 B．119 C．169或119 D．13或25
19．如图，长方体的长为20cm，宽为15cm，高为10cm，点B离点C为5cm，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A爬到点B去吃一滴蜜糖，需要爬行的最短距离是（ ）
A．cm B．25cm C．cm D．16cm
20．如图，以的三边为直角边分别向外作等腰直角三角形，若，则图中阴影部分的面积为（ ）
A． B． C． D．3
21．下列说法中，错误的是（ ）
A．在△ABC中，若∠C＝∠B＝∠A，则△ABC是直角三角形
B．在△ABC中，若∠A：∠B：∠C＝3：4：5．则△ABC是直角三角形
C．在△ABC中，若∠A＝∠B﹣∠C，则△ABC是直角三角形
D．在△ABC中，若三边长a，b，c满足a：b：c＝1：2：，则△ABC是直角三角形
22．如图是由4个全等的直角三角形与1个小正方形镶嵌而成的正方形图案，大正方形面积为48，小正方形面积为6，若用x，y表示直角三角形的两直角边长（x>y），则的值为（ ）
A．60 B．79 C．84 D．90
23．如图，在Rt△ABC中，∠BCA＝90°，△PAB中AB边上的高等于AB的长度，△QBC中BC边上的高等于BC的长度，△HAC中AC边上的高等于AC的长度，且△PAB，△QBC的面积分别是10和8，则△ACH的面积是（ ）
A．2 B．4 C．6 D．9
24．在下列四组数中，不是勾股数的一组数是（ ）
A．15，8，17 B．6，8，10 C．3，4，5 D．3，5，7
25．已知一个直角三角形的两条边的长分别为3和4，则它的第三条边是（ ）
A．5或 B． C．5 D．2或5
26．若一直角三角形两边长分别为和，则第三边长为（ ）．
A．或 B．或 C．或 D．
27．如图，分别以的三边，，为边向外侧作正方形，正方形，正方形，连接，，，再过作于，延长交于点．①；②；③；④当，，时，．其中正确的结论共有（ ）个
A．1 B．2 C．3 D．4
28．如图，四边形中，，且，若，则（ ）
A．6 B．9 C．12 D．16
29．如图，四边形是边长为的正方形纸片，将其沿折叠，使点落在边上的处，点对应点为，且，则的长是（ ）
A． B． C． D．
30．如图，把一张长方形纸片按所示方法进行两次折叠，得到．若，则的长度为（ ）
A． B． C． D．2
31．如图，已知在中，，从直角三角形两个锐角顶点所引的中线的长，，则斜边的长为（ ）
A． B． C． D．
32．如图，第1个正方形（设边长为2）的边为第一个等腰直角三角形的斜边，第一个等腰直角三角形的直角边是第2个正方形的边，第2个正方形的边是第2个等腰三角形的斜边…依此不断连接下去．通过观察与研究，写出第个正方形的边长为（ ）
A． B． C． D．
33．如图，圆柱底面半径为，高为18cm，点A、B分别是圆柱两底面圆周上的点，且点B在点A的正上方，用一根棉线从A点顺着圆柱侧面绕3圈到B点，则这根棉线的长度最短为（ ）
A．21cm B．24cm C．30cm D．32cm
34．如图，小蓓要赶上去实践活动基地的校车，她从点A知道校车自点B处沿x轴向原点O方向匀速驶来，她立即从A处搭一辆出租车，去截汽车．若点A的坐标为，点B的坐标为，汽车行驶速度与出租车相同，则小蓓最快截住汽车的坐标为（ ）
A． B． C． D．
35．如图，在长方体透明容器（无盖）内的点B处有一滴糖浆，容器外A点处的蚂蚁想沿容器壁爬到容器内吃糖浆，已知容器长为5cm，宽为3cm，高为4cm，点A距底部1cm，请问蚂蚁需爬行的最短距离是（容器壁厚度不计）（ ）
A． B． C． D．
36．勾股定理是人类数学文化的一颗璀璨明珠，是用代数思想解决几何问题的最重要工具也是数形结合的组带之一，如图，秋千静止时，踏板离地的垂直高度m，将它往前推6m至C处时（即水平距离m），踏板离地的垂直高度m，它的绳索始终拉直，则绳索的长是（ ）
A．m B．m C．6m D．m
37．如图，在△ABC中，∠ABC＝45°，点D在AB上，点E在BC上，连接AE、CD、DE，若AE＝AC＝CD，CE＝4，则BD的长为（ ）
A．2 B． C．4 D．
38．如图，在中，，，是斜边上上两点（不与点、重合），且 ，在外作，连接，下列结论：①；②；③；④，，则，其中正确的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
39．在中，，在线段上有一点D，使，已知，，则线段的长为（ ）．
A．6 B．7 C．8 D．9
40．如图，阴影部分表示以的各边为直径的三个半圆所组成的两个新月形，面积分别记作和．若，，则阴影部分面积是（ ）
A． B． C．14 D．24
41．如图，等腰直角△ABC中，∠C＝90°，点F是AB边的中点，点D、E分别在AC、BC边上运动，且∠DFE＝90°，连接DE、DF、EF，在此运动变化过程中，下列结论：①图中全等的三角形只有两对；②△ABC的面积是四边形CDFE面积的2倍；③CD+CE＝2FA；④AD2+BE2＝DE2．其中错误结论的个数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
42．如图，BH是△ABC的角平分线，BA＝BC＝10，AC＝12，P，D分别是BH和AB上的任意一点，连接PA，PC，PD，CD．给出下列结论：①PA＝PC；②PA+PD≥CD；③PA+PD的最小值是；④若PA平分∠BAC，则△APH的面积为12．其中正确的是（ ）
A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①③④
二、填空题
43．如图，圆柱形容器高为，底面周长为，在杯内壁杯底的点处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯子的上沿，与蜂蜜相对的点处，则蚂蚁从处沿内壁到达处的最短距离为 ．
44．已知在中，，，，则边上的中线 ．
45．有一棵9米高的大树，在距地面4米处折断树梢触地，则树梢触地时，距离大树底端 米．
46．在中，两直角边长满足，且斜边长，则 ．
47．在中，，，，，垂足为H， ．
48．如图，在中，，，分别以为边作正方形，面积分别记为，则 ．
49．如图，一大楼的外墙面与地面垂直，点P在墙面上，已知，，且米，点P到的距离是3米，有一只蚂蚁要从点P离到点B，它的最短行程是 米．
50．“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲，如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形．其中，，则每个直角三角形的面积为 ．
51．如图，点为线段上一点，且，分别以、为边，在的同一侧作等边和等边，连接，，，则的面积为 ．
52．如图，在中，，点为边上一动点，将沿直线对折，其中点的对应点为，连接，当为直角三角形时，线段的长为 ．
53．如图，在长方形中（），点E在边上，且，将沿折叠，若点C的对应点 落在矩形的边上， ，则的长度为 ．
54．已知：如图，将长方形的一边沿折叠，使点落在边上的点处，若，，则 ．
55．如图，在中，，，，D，E分别是边和上的点，把沿着直线折叠，若B恰好落在中点M上，则长为 ．
56．如图，八年级的小明和小亮同学学习了“勾股定理”之后，为了测得如图所示风筝的高度，他们进行了如下操作：
测得米；（注：）
根据手中剩余线的长度计算出风筝线米；
牵线放风筝的小明身高米．
则风筝的高度是 米
57．如图，，点M、N分别在边上，且，点P、Q分别在边上，则的最小值是 ．
58．如图，已知，于点，于点A，点E是的中点，连接并延长交于点F，，，则的长为 ．
59．如图所示，等腰与等腰中，，，，则 .
60．定义：我们把三角形某边上中线的长度与这边中点到高的距离的比值称为三角形某边的“中高偏度值”．如图，在中，，，，则中边的“中高偏度值”为 ．
61．如图，在 中，，分别以、、为边向上作正方形、正方形、正方形，点在上，若则，，图中阴影的面积为 ．
62．如图，在中，，，点在上，，，点是上的动点，则的最小值为 ．
63．如图，由四个边长为的小正方形构成一个大正方形，连接小正方形的三个顶点，可得到，则中边上的高是 ．
64．如图，在中，，，，点D在上，将沿折叠，点A落在点处，与相交于点E，若，则的长为 ．
65．如图，一圆柱高为8cm，底面周长为12cm，蚂蚁在圆柱表面爬行，从点A爬到点B的最短路程是 cm．
66．如图，在中，，，．点在上，且．连接，过点作，且，连接．则的长度为 ．
67．已知：如图长方形中，，，将此长方形折叠，使点B与点D重合，折痕为，则的面积为 ．
68．如图，于点A，于点B，点E是的中点，连按，已知知，，，则 的长为 ．
69．如图，在中，，和的平分线相交于点O，交于D，交于E，，，则周长为 ．
70．如图，在中，，，，为斜边上的一动点（不包含，两端点），以为对称轴将翻折得到，连结．当时，的长为 ．
71．如图，在和中，，点在边的中点上，若，，连结，则的长为 ．
三、解答题
72．在中，已知，求代数式的值.
73．在中，，，边上的高，求另一边的长．
74．如图，在四边形中，，分别以四边形的四条边为边长，向外作四个正方形，面积分别为，，和．若，，，求的值．
75．（1）如图（1），分别以三边为直径向外作三个正方形，其面积分别用，，表示，写出，，之间关系．（不必证明）
（2）如图（2），分别以三边为边向外作三个半圆，其面积分别用，，表示，确定它们的关系证明；
（3）如图（3），分别以三边为边向外作正三角形，其面积分别用，，表示，确定它们的关系并证明．
76．1876年，美国总统加菲尔德利用下图验证了勾股定理．
(1)请用含a、b、c的代数式通过两种不同的方法表示直角梯形的面积（不需要化简）：
方法1：________；方法2：________．
(2)利用“等面积法”，推导a、b、c之间满足的数量关系，完成勾股定理的验证．
77．如图，有一架秋千，当它静止时，踏板离地的垂直高度，将它往前推送（水平距离）时，秋千的踏板离地的垂直高度，秋千的绳索始终拉得很直，求绳索的长度．
78．如图，在中，，，，D，E分别是线段和线段上的点，把沿着直线折叠，若点B恰好与点A重合，求此时线段的长和的面积．
79．如图所示，某两位同学为了测量风筝离地面的高度，测得牵线放风筝同学的头顶与风筝的水平距离为8米． 已知牵线放风筝同学的身高为1.60米，放出的风筝线长度为17米（其中风筝本身的长宽忽略不计）
(1)求此刻风筝离地面的高度；
(2)为了不与空中障碍物相撞，放风筝的同学要使风筝沿方向下降9米，若该同学站在原地收线，请问他应该收回多少米？
80．如图所示，有一个圆柱，它的高等于 厘米，底面半径等于厘米．在圆柱下底面的点处有一只蚂蚁，它想吃到上底面点处的食物，沿圆柱侧面爬行的最短路程是多少？（的值取）．
81．（1）如图，边长为的正方形中有一个边长为的小正方形，若将图1的阴影部分拼成一个长方形，如图3．由图1、图3你能得到的公式是_________；
（2）爱思考的小聪看到三边为，，的直角三角形（如图4），四个这样全等的直角三角形与中间小正方形组成大正方形，他想利用大正方形的两种不同的面积表示方法得到等式．请你代替小聪来表示这个大正方形的面积：
方法一：_______________；（用，，来表示）
方法二：_______________（用，，来表示）
（3）你能得出一个关于，，的等式：________；并写出这个等式的推导过程．
82．如图正方形网格中，每个小正方形的边长均为，在如图的网格格点处取，，三点，使，，．
(1)请你在图中画出满足条件的；
(2)求的面积；
(3)过点作边上的高；求出的长．
83．如下图，某学校计划在校内一道路旁建造超市，将地图简化，如图1所示，宿舍楼与校内道路的距离为50米，教学楼与校内道路的距离为160米，米，现要在校内道路旁建造一超市．
(1)请在图1中画出点（点在道路上，道路宽度忽略不记），使学生从宿舍楼走到超市，再走到教学楼所走路程最短，并求出最短路程．
(2)如图2所示，若宿舍楼和教学楼之间有一面70米长的校园文化墙，文化墙垂直于校内道路，到校内道路的距离为40米，米，米，现在依然要求学生从宿舍楼走到超市，再走到教学楼所走路程最短．
①众所周知，“两点之间，线段最短”，但由于文化墙这个障碍物的存在，需要研究两点之间不同折线长度的大小关系，他认为，并进行了证明，请你将下述证明过程补充完整：
证明：如图4，延长交于点，
，
又，________，
②如图5，延长交校内道路于点，过作于点，是上右侧的一点，利用①中证明的结论，可判断超市的位置应位于________（从以下四个选项中选择）．
A．左侧 B．线段上 C．线段上（不含点） D．右侧
③请在图6中画出超市的位置，并求出最短路程．
84．如图，已知点，为直线外两点，且在异侧，连接，分别过点作于点，过点作于点，点是线段上一点，连接交于点．
(1)下列条件：
①点是的中点；
②点是的中点；
③点是的中点．
请从中选择一个能证明的条件，并写出证明过程；
(2)若，且，，，求的长．
85．如图所示，一艘轮船由A港口沿着北偏东的方向航行到达B港口，然后再沿北偏西方向航行到达C港口．
(1)求A，C两港口之间的距离；（结果保留根号）
(2)C港口在A港口的什么方向．
86．如图，一个无盖长方体小杯子放置在桌面上，，；
(1)一只蚂蚁从A点出发，沿小杯子外表面爬到D点，求蚂蚁怎样走最短，最短路程是多少？
(2)为了怕杯子落入灰尘又方便使用，现在需要给杯子盖上盖子，并把一双筷子放进杯子里，请问，筷子的最大长度是多少？
87．如图1，，是等腰直角三角形，点D在线段上，
(1)求证：；
(2)填空：的度数为_______．
(3)若，，求的长度．
(4)探究：如图2，，是等腰直角三角形，点D在延长线上，，，则的长度为_____________．
88．如图，长方形中，边，．将此长方形沿折叠，使点与点重合，点落在点处．
(1)证明；
(2)求的面积．
89．(1)如图1，四边形的对角线于点．判断与的数量关系，并说明理由．
(2)如图2，分别以的直角边和斜边为边向外作正方形和正方形，连接，，交点为．
①判断，的关系，并说明理由．
②连接．若，，请直接写出的长．
90．美宜佳超市为了让顾客感觉服务很温馨，在超市门口离地面一定高度的墙上处，装有一个由传感器控制的迎宾门铃，人只要移动到该门口2.4米及2.4米以内时，门铃就会自动发出“欢迎光临美宜佳”的语音．如图，一个身高1.6米的学生刚走到处（学生头顶在处），门铃恰好自动响起，此时测得迎宾门铃与地面的距离和到该生头顶的距离相等，请你计算迎宾门铃距离地面多少米？
91．港珠澳大桥是一座连接香港，广东珠海和澳门的跨海大桥，总长，现有一艘游轮即将靠岸，当游轮到达B点后熄灭发动机，在离水面高度为的岸上，工作人员用绳子牵引靠岸，开始时绳子的长为．（假设绳子是直的，结果保留根号）
(1)若工作人员以的速度收绳．后船移动到点D的位置，问此时游轮距离岸边还有多少？
(2)若游轮熄灭发动机后保持的速度匀速靠岸，后船移动到E点，工作人员手中的绳子被收上来多少米？
92．已知：如图，有一块的绿地，量得两直角边，．现在要将这块绿地扩充成等腰，且扩充部分（）是以为直角边长的直角三角形．
(1)在图1中，当时，的周长等于 ．
(2)在图2中，当时，求的长．
(3)在图3中，当时，求的面积．
93．阅读下列一段文字，回答问题．
【材料阅读】平面内两点，则由勾股定理可得，这两点间的距离．
例如．如图1，，则．
【直接应用】
(1)已知 ，求P、Q两点间的距离；
(2)如图2，在平面直角坐标系中的两点，P为x轴上任一点，求的最小值；
(3)利用上述两点间的距离公式，求代数式 的最小值是 ．
94．如图，在中，过点B作交的延长线于点D，过点C作交的延长线于点E，延长相交于点F，．
(1)求证：；
(2)若，求的长．
95．如图，在四边形中，，，点是边上一点，，，．
(1)求证： ；
(2)试利用这个图形证勾股定理．
96．如图所示，在矩形ABCD中，AB=CD=5，BC=AD=3.
(1)如图①，E、F分别为CD、AB边上的点，将矩形ABCD沿EF翻折，使点A与点C重合，设CE=x，则DE= (用含x的代数式表示)，CD′=AD=3，在Rt△CD′E中，利用勾股定理列方程，可求得CE= .
(2)如图②，将△ABD沿BD翻折至△A′BD，若A′B交CD于点E，求此时CE的长；
(3)如图③，P为AD边上的一点，将△ABP沿BP翻折至△A′BP，A′B、A′P分别交CD边于E. F，且DF=A′F，请直接写出此时CE的长.
97．受全球气候变暖影响，今年深圳的雨水特别多．据悉，不止深圳，整个华南地区暴雨形成“列车效应”．雨水增多导致雨伞的需求量大大增加．下图是某型号雨伞的结构图．
根据以下素材，探索完成任务，
探究雨伞中的数学问题
素材1 图1是这个雨伞的示意图．不管是张开还是收拢，是伞柄， 伞骨且，， D点为伞圈． 伞完全张开时，如图1所示．
素材2 伞圈D能沿着伞柄滑动，如图2是完全收拢时伞骨的示意图， 此时伞圈D滑动到的位置， 且三点共线． 测得（参考值：）．
素材3 同学们经过研究发现： 雨往往是斜打的，且都是平行的．如图3，某一天，雨线与地面夹角为， 小田站在伞圈D点的正下方点G处， 记为， 此时发现身上被雨淋湿， 测得．
问题解决
任务1 判断AP位置 求证：是的角平分线．
任务2 探究伞圈移动距离 当伞从完全张开到完全收拢， 求伞圈D移动的距离（精确到）．
任务3 拟定撑伞方案 求伞至少向下移动距离_____，使得人站在G处身上不被雨淋湿，（直接写出答案）
98．我们新定义一种三角形：若一个三角形中存在两边的平方差等于第三边上高的平方，则称这个三角形为勾股高三角形，两边交点为勾股顶点．
●特例感知
①等腰直角三角形 勾股高三角形（请填写“是”或者“不是”）；
②如图1，已知△ABC为勾股高三角形，其中C为勾股顶点，CD是AB边上的高．若，试求线段CD的长度．
●深入探究
如图2，已知△ABC为勾股高三角形，其中C为勾股顶点且CA＞CB，CD是AB边上的高．试探究线段AD与CB的数量关系，并给予证明；
●推广应用
如图3，等腰△ABC为勾股高三角形，其中，CD为AB边上的高，过点D向BC边引平行线与AC边交于点E．若，试求线段DE的长度．
99．已知AOB和△MON都是等腰直角三角形，∠AOB＝∠MON＝90°．
（1）如图1：连AM，BN，求证：AOM≌BON；
（2）若将RtMON绕点O顺时针旋转，当点A，M，N恰好在同一条直线上时，如图2所示，线段OH//BN，OH与AM交点为H，若OB＝4，ON＝3，求出线段AM的长；
（3）若将MON绕点O顺时针旋转，当点N恰好落在AB边上时，如图3所示，MN与AO交点为P，求证：MP2+PN2＝2PO2．
100．已知和都是等腰直角三角形，．
(1)【发现问题】
如图1，若D为内部一点，AE与BD的数量关系是______；
(2)【探索证明】
如图2，若D为AB边上一点，，，求DE的长．
(3)【学于致用】
运用（1）（2）解答中所积累的经验和知识，完成下题：如图3，已知，，，
，求AE的长．
参考答案：
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 A C D B B C C C D D
题号 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
答案 A D A C B D D C B D
题号 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30
答案 B D A D A A B D B A
题号 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40
答案 A B C C D A A B C D
题号 41 42
答案 B A
1．A
【分析】根据题意结合图形可得：m，m，m，m，在两个直角三角形和中，分别运用勾股定理求出，，即可得出移动的距离．
【详解】解：如图所示：m，m，m，m，
在中，
m，
在中，
m，
m，
故选：A．
【点睛】题目主要考查勾股定理的应用，理解题意，找出相应的线段运用勾股定理是解题关键．
2．C
【分析】根据圆柱的侧面展开图，利用勾股定理求出点P移动的最短距离的长度即可．
【详解】解：圆柱的侧面展开图如图，点P移动的最短距离为的长度，
∵，的中点S，
∴，
在中，，，，
∴，
即点P移动的最短距离为，
故选：C．
【点睛】本题考查圆柱的侧面展开图、最短路径问题、勾股定理，熟练掌握圆柱的侧面展开图，得出点P移动的最短距离是的长度是解答的关键．
3．D
【分析】利用勾股定理分情况讨论即可．
【详解】解：当8为斜边时，由勾股定理得：，
当8为直角边时，由勾股定理得：，
故选D．
【点睛】本题考查了勾股定理，灵活运用分情况讨论思想，熟练掌握直角三角形斜边平方等于直角边平方和是解题关键，．
4．B
【分析】根据勾股定理代入计算即可得到答案．
【详解】解：A．选项所以A选项不是勾股数，
B．选项所以B选项是勾股数
C．选项但是3个数都不是整数，所以C选项不是勾股数，
D．选项所以D选项不是勾股数，
故选B．
【点睛】本题考查勾股数定义满足的3个正整数，解题的关键是记得勾股数定义及快速运算验证．
5．B
【分析】根据勾股定理直接运算即可得到答案．
【详解】解：∵ ，，，即直角为三角形斜边，
∴
∴ ，
故选B．
【点睛】本题主要考查勾股定理的理解应用，解题关键是认清楚直角边斜边．
6．C
【分析】由三角形三内角的关系可确定它是等腰直角三角形，由勾股定理即可求得斜边长．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
即是等腰直角三角形，
由勾股定理得：，
故选：C．
【点睛】本题考查了直角三角形的判定，三角形内角和，勾股定理等知识，判定三角形是等腰直角三角形是解题的关键．
7．C
【分析】分长为和的两边都是直角边和长是的边是斜边两种情况进行讨论，根据勾股定理即可求得第三边的平方．
【详解】当长为和的两边都是直角边时，斜边的平方为：
当长是的边是斜边时，第三边的平方为：
故选C．
【点睛】本题考查了勾股定理解直角三角形第三边，本题的关键是要分两种情况讨论．
8．C
【分析】根据勾股定理求出，分别求出和正方形的面积，即可求出答案．
【详解】∵在中，，，，
由勾股定理得：，
∴正方形的面积是，
∵的面积是，
∴阴影部分的面积是，
故选：C．
【点睛】本题考查了三角形的面积，勾股定理的应用，主要考查学生的计算能力和推理能力．
9．D
【分析】本题主要考查了勾股定理的实际应用——最短距离问题，根据题意得到把圆柱体的侧表面展开后是长方形，如图，把大长方形均分为3个小长方形，则雕刻在石柱上的巨龙的最短长度为3个小长方形的对角线的和，再根据勾股定理，即可求解．
【详解】解：根据题意得：把圆柱体的侧表面展开后是长方形，如图，把大长方形均分为3个小长方形，则雕刻在石柱上的巨龙的最短长度为3个小长方形的对角线的和，
∵底面周长约为3米，柱身高约9米，
∴，
∴，
∴雕刻在石柱上的巨龙至少．
故选：D
10．D
【分析】此题考查了勾股定理的实际应用，根据题意得出各条线段长度，掌握“直角三角形两直角边的平方和等于斜边平方”是解题的关键．
【详解】解：根据题意可得：米，米，米，
根据勾股定理可得：（米），
∴（米），
故选：D．
11．A
【分析】本题考查了勾股定理以及三角形的面积，根据题意得出的面积等于正方形面积减去其他3个三角形的面积是解题的关键．根据勾股定理求出的长，再利用三角形的面积求出三角形的高即可．
【详解】解：设中边上的高为h，
由勾股定理，得，
∵，，
∴，
解得
∴中边上的高是．
故选：A．
12．D
【分析】本题考查了勾股数的定义，勾股数是满足勾股定理的一组正整数，据此逐项分析即可作答．
【详解】解：A、不是正整数，故该选项是错误的；
B、，故该选项是错误的；
C、，，不是正整数，故该选项是错误的；
D、，故该选项是正确的；
故选：D
13．A
【分析】根据垂线段最短可得的最小值为3，根据勾股定理可得的最大值为5，进而得出的取值范围，根据的范围判断各选项即可．
【详解】解：当时，此时的长度最长，
由勾股定理可得：，
当点与点重合时，此时的长度最短，为，
，
，
，，，，
，
，
故选：A．
【点睛】本题考查了垂线段最短、勾股定理，根据题意得出的取值范围是解题的关键．
14．C
【分析】利用大正方形面积和勾股定理可判断①，利用小正方形面积可求出小正方形边长，再利用线段和差可判断②，利用大正方形面积等于小正方形面积与四个直角三角形面积之和可判断③，利用①③可判断④．
【详解】解：如图，
∵是直角三角形，
∴根据勾股定理得，故①正确；
由图可知，故②正确；
由图可知，四个直角三角形的面积与小正方形的面积之和为大正方形的面积，可得，即，故③正确；
由可得．
∵，
∴，整理得，
∴，故④错误．
正确的是①②③．
故选：C．
【点睛】本题考查了以弦图为背景的计算题，解题的关键是利用大正方形面积和小正方形面积得出大正方形和小正方形的边长．
15．B
【分析】由题意根据正方形的面积公式，连续运用勾股定理，利用正方形a，b，c，d的面积之和等于最大正方形e的面积，进而求出即可．
【详解】解：如图：
∵所有的三角形都是直角三角形，所有的四边形都是正方形，
∴根据勾股定理可知：正方形a的面积加上正方形b的面积等于正方形m的面积，
正方形c的面积加上正方形d的面积等于正方形n的面积，
正方形m的面积加上正方形n的面积等于正方形e的面积，
∴正方形a，b，c，d的面积之和等于最大正方形e的面积，
∵最大正方形e的边长为7，
∴最大正方形e的面积为：，
∴正方形a，b，c，d的面积之和是49．
故选：B．
【点睛】本题主要考查勾股定理，运用数形结合思维分析得出正方形之间面积关系是解题的关键．
16．D
【分析】由题意可知OB=7m，OA=24m，先利用勾股定理求出AB，梯子移动过程中长短不变，所以AB=DC，又由题意可知OD=15m，进而得出答案．
【详解】解：在直角三角形AOB中，因为AO=24m，OB=7m，
由勾股定理得：AB==25（m），
由题意可知AB=CD，
又OC=24-4=20（m），根据勾股定理得：OD==15（m），
故BD=DO-BO=15-7=8（米）．
故选：D．
【点睛】本题考查了勾股定理的应用，解题时注意勾股定理应用的环境是在直角三角形中．
17．D
【分析】将杯子侧面展开，根据两点之间线段最短可知的长度即为所求．
【详解】解：如图，将杯子侧面展开，连接，则即为最短距离．
在直角中，，，，
．
即蚂蚁从内壁处到达内壁处的最短距离为．
故选：D．
【点睛】本题考查了平面展开最短路径问题，将图形展开，利用勾股定理进行计算是解题的关键．注意蜂蜜和蚂蚁都在杯的内壁．
18．C
【分析】分c是斜边和直角边两种情况讨论求解．
【详解】解：c是斜边时，c2=a2+b2=144+25=169，
c是直角边时，c2=a2-b2=144-25=119，
综上所述，c2=169或119．
故选：C．
【点睛】本题考查了勾股定理，难点在于分情况讨论．
19．B
【分析】分三种情况讨论：把上面展开到左侧面上，连结AB，如图1；把上面展开到正面上，连结AB，如图2；把侧面展开到正面上，连结AB，如图3，然后利用勾股定理分别计算各情况下的AB，再进行大小比较．
【详解】把上面展开到左侧面上，连结AB，如图1，
AB＝（cm）
把上面展开到正面上，连结AB，如图2，
AB＝（cm）；
把侧面展开到正面上，连结AB，如图3，
AB＝（cm）．
∵＞＞25
所以一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A爬到点B，需要爬行的最短距离为25cm．
故选：B．
【点睛】本题考查了平面展开 最短路径问题：先根据题意把立体图形展开成平面图形后，再确定两点之间的最短路径．一般情况是两点之间，线段最短．在平面图形上构造直角三角形解决问题．
20．D
【分析】先用直角三角形的边长表示出阴影部分的面积，再根据勾股定理可得：AB2=AC2+BC2，进而可将阴影部分的面积求出．
【详解】解：阴影部分分别是以的三边为直角边分别向外作等腰直角三角形，
，
又为直角三角形，
，
，
，
，
故选：D．
【点睛】本题考查了勾股定理的知识，要求能够运用勾股定理证明三个等腰直角三角形的面积之间的关系．
21．B
【分析】A、B、C选项先根据三角形内角和定理计算出△ABC中最大角的度数，再依据直角三角形定义进行判断，D选项根据勾股逆定理进行判断即可．
【详解】解：A、在△ABC中，若∠C＝∠B＝∠A，可得∠A＝180°×（1++）＝90°，则△ABC是直角三角形，故此选项不符合题意；
B、在△ABC中，若∠A：∠B：∠C＝3：4：5，可得∠C＝180°×＝75°，则△ABC不是直角三角形，故此选项符合题意；
C、在△ABC中，若∠A＝∠B﹣∠C，则∠B＝90°，则△ABC是直角三角形，故此选项不符合题意；
D、12+（）2＝22，所以△ABC是直角三角形，故此选项不符合题意．
故选：B．
【点睛】此题考查了直角三角形的判定，掌握直角三角形的判定方法是解题的关键．
22．D
【分析】根据勾股定理流出方程，进而利用完全平方公式解答即可．
【详解】解：∵大正方形的边长是直角三角形的斜边长，
∴根据勾股定理可得：，
根据小正方形面积可得，
∴2xy+6=48，
∴2xy=42，
则，
故选：D．
【点睛】本题考查勾股定理、完全平方公式，解题的关键是利用方程的思想解决问题，学会整体恒等变形的思想．
23．A
【分析】根据勾股定理可求AC2+BC2＝AB2，再根据三角形的面积公式即可求解．
【详解】解：在Rt△ABC中，∠BCA＝90°，
∴AC2+BC2＝AB2，
∴AC2+BC2＝AB2，
∵△PAB中AB边上的高等于AB的长度，△QBC中BC边上的高等于BC的长度，△HAC中AC边上的高等于AC的长度，且△PAB，△QBC的面积分别是10和8，
∴△ACH的面积是10﹣8＝2．
故选：A．
【点睛】本题考查勾股定理，熟知勾股定理是解题的关键．
24．D
【分析】利用勾股定理的逆定理，结合平方差公式判断即可．
【详解】∵，
∴A组是勾股数，不符合题意；
∵，
∴B组是勾股数，不符合题意；
∵，
∴C组是勾股数，不符合题意；
∵，
∴D组不是勾股数，符合题意；
故选D．
【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理，平方差公式，熟练掌握定理，灵活变形运用平方差公式简洁判断是解题的关键．
25．A
【分析】根据题意进行分类讨论，然后利用勾股定理进行求解即可．
【详解】解：当3和4为这个直角三角形的两直角边长时，则有第三边长为；
当3为一条直角边长，4为斜边时，则第三边长为．
故选A．
【点睛】本题主要考查勾股定理，灵活运用勾股定理解直角三角形以及分类讨论思想是解答本题的关键．
26．A
【分析】根据题意，两条边中的较长边既可以是直角边，也可以是斜边，所以求第三边的长必须分类讨论，即是斜边或直角边的两种情况，然后利用勾股定理求解．
【详解】解：当是斜边时，第三边是；
当是直角边时，第三边是，
故选：．
【点睛】此题考查了勾股定理，熟练掌握勾股定理及其应用是解题的关键．
27．B
【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，勾股定理和勾股定理的逆定理等等，根据正方形面积公式可得只有满足时，，而不能得到，则不能得到，即不能得到，据此可判断①；如图所示，过点F作于Q，过点E作交延长线于Q，证明，得到，，同理可得，，则，进而证明，得到，，即可判断②；由，得到，即可判断③；由，得到，同理可得，则，同理可得，则，利用勾股定理求出，进而求出的面积即可判断④．
【详解】解：∵，
∴只有满足时，，
又∵并不能得到，
∴不能得到，即不能得到，故①错误；
如图所示，过点F作于Q，过点E作交延长线于Q，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，，
同理可得，，
∴，
又∵，
∴，
∴，，故②正确；
∵，
∴，故③正确；
∵，
∴，
同理可得，
∴，
同理可得，
∴，
∵，，，
∴，
∴，故④错误；
故选B．
28．D
【分析】本题考查了勾股定理，根据勾股定理建立等式，结合，得到的值，利用，即可解题．
【详解】解：记交于点，如图所示：
，
，，
，
，
，
即，
，
，
，
，
即，
．
故选：D．
29．B
【分析】本题考查了折叠的性质，对应边相等，利用了勾股定理建立方程求解．
连接，，由于，则，在和中由勾股定理求得的值．
【详解】解：设，则：，
连接，，
在中，，
在中，，
∵折叠，
，
，
即，
解得，即，
故选：B．
30．A
【分析】本题考查了图形的折叠和勾股定理，搞清楚折叠中线段的数量关系是解本题的关键．
根据折叠的性质，得出，进而得出，由第二次折叠，得出，进而得出，最后利用线段的关系，即可得出结果．
【详解】解：第一次折叠，如图②，
∵，
∴，
∵，
∴，
由折叠的性质，，
∴，
第二次折叠，如图③，，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴．
故选：A．
31．A
【分析】本题考查勾股定理，以及三角形中线的性质，设，，在与中，利用勾股定理建立方程，联立方程得出，即可求得斜边的长．
【详解】解：设，，
由题知，，
，，，
，即①，
且有，即②，
根据①②整理得，，即，
则斜边的长为．
故选：A．
32．B
【分析】根据第一个正方形的边长是2，设第二个的边长是x，则，则，即第二个的边长是：；设第三个的边长是y，则，则，同理可以得到第四个正方形的边长是，则第n个是：．
【详解】解：由题意可得，
第一个正方形的边长是2，设第二个的边长是x，则，则，即第二个的边长是：；设第三个的边长是y，则，则，同理可以得到第四个正方形的边长是，则第n个是：，
∴第个正方形的边长，
故选：B；
【点睛】本题考查勾股定理及规律，解题的关键是根据题意得到规律．
33．C
【分析】要求圆柱体中两点之间的最短路径，常用“化曲面为平面”的思想，将圆柱体的侧面展开，利用勾股定理计算斜边长度．
【详解】解：圆柱体的展开图如图所示：用一棉线从A顺着圆柱侧面绕3圈到B的最短路线是；
即在圆柱体的展开图长方形中，将长方形平均分为3个小长方形，A沿着3个长方形的对角线运动到B的最短路线：；
圆柱体地面半径为cm，
cm
圆柱体的高cm，
cm
在中，
．
故选：C．
【点睛】本题主要考查勾股定理在计算最短路径中的应用，要求学生具有一定空间想象能力，利用化曲面为平面的思想，准确画出侧面展开图并结合勾股定理进行计算是本题的解题关键．
34．C
【分析】如图，假设小蓓与汽车在D点相遇，过点A作，则小蓓的行进路线为，设，则，，在中，利用勾股定理求出，再根据得出关于x的方程，解方程求出x即可得到相遇点的坐标．
【详解】解：如图，假设小蓓与汽车在D点相遇，过点A作，
∵点A的坐标为，点B的坐标为，
∴，，，
设，则，，
在中，，
∴，
∵汽车行驶速度与出租车相同，
∴，
∴，即，
解得：，
∴D点坐标为，
故选：C．
【点睛】本题考查了勾股定理在实际生活中的运用，能够根据题意画出图形，利用勾股定理得出方程是解题的关键．
35．D
【分析】将点沿着它所在的棱向上翻折至点处，分如图（见解析）所示的三种情况讨论，分别利用化曲为直的思想和勾股定理求解即可得．
【详解】解：如图，将点沿着它所在的棱向上翻折至点处，则新长方体的长、宽、高分别为，
将这个新长方体展开为以下三种情况，如图所示：
，
，
，
∵，
∴蚂蚁需爬行的最短距离是，
故选：D．
【点睛】本题考查了勾股定理的应用，正确分三种情况讨论是解题关键．
36．A
【分析】设，则，然后根据勾股定理得到方程，解方程即得答案.
【详解】解：设，则，，
在直角三角形中，根据勾股定理可得：，
即，解得：，
即绳索的长是m；
故选：A.
【点睛】本题考查了勾股定理的应用，正确理解题意、得出是解题的关键.
37．A
【分析】过D作DF⊥BC于F，过A作AG⊥BC于G，通过判定△CAG≌△DCF（AAS），即可得到CG=DF，再根据等腰直角三角形的性质，用勾股定理进行计算即可得到BD的长．
【详解】解：如图所示，过D作DF⊥BC于F，过A作AG⊥BC于G，则∠AGC=∠CFD=90°，
又∵∠B=45°，
∴∠BDF=∠BAG=45°，DF=BF，
∵CA=CD，
∴∠CAD=∠CDA，
∴∠CAD-∠BAG=∠CDA-∠B，
即∠CAG=∠DCF，
又∵CD=CA，
∴△CAG≌△DCF（AAS），
∴CG=DF，
∵CA=EA，AG⊥CE，
∴CG=CE=×4=2，
∴DF=2=BF，
Rt△BDF中，BD=，故A正确．
故选：A．
【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质以及全等三角形的判定与性质，解决问题的关键是作辅助线构造全等三角形，利用全等三角形的对应边相等得出结论．
38．B
【分析】在外作，可得，，由可判断，可证① ；②与不一定全等；中，，即； ，由勾股定理得，，可得：
【详解】解：，
，，，
，
在和中，
，故①正确
，
无法判断，则与是否全等无法确定，故②错误；
中，，
即；故③错误；
在中，，
又，
,即，
在中．
，
勾股定理得，，
可得等腰直角三角形的斜边上的高等于，所以
即④成立．
故正确的有①④．
故选：B．
【点睛】本题考查了全等三角形的性质与判定，勾股定理，熟练掌握全等三角形的性质与判定是解题的关键．
39．C
【分析】由题意可设，则，从而可求出．在和中，根据勾股定理可得出，解出x的值，即得出，再根据勾股定理即可求解．
【详解】解：∵，
∴可设，则，
∴．
在中，，即，
在中，，即，
∴，
解得：（舍去负值），
∴，
∴．
故选C．
【点睛】本题主要考查勾股定理．熟练的利用勾股定理求解直角三角形的边长是解本题的关键．
40．D
【分析】本题考查了勾股定理，以直角三角形三边为图形的面积，正确表示出阴影部分的面积是解题的关键．
由勾股定理求出的长，再根据阴影部分面积代入数据求解即可．
【详解】解：由勾股定理得，，
由图形可知，阴影部分面积
，
故选：D．
41．B
【分析】结论①错误，因为图中全等的三角形有3对；结论②正确，由全等三角形的性质可以判断；结论③错误，利用全等三角形和等腰直角三角形的性质可以判断；结论④正确，利用全等三角形的性质以及直角三角形的勾股定理进行判断．
【详解】连接CF，交DE于点P，如下图所示
结论①错误，理由如下：
图中全等的三角形有3对，分别为△AFC≌△BFC，△AFD≌△CFE，△CFD≌△BFE．
由等腰直角三角形的性质，可知FA=FC=FB，易得△AFC≌△BFC．
∵FC⊥AB，FD⊥FE，
∴∠AFD=∠CFE．
∴△AFD≌△CFE（ASA）．
同理可证：△CFD≌△BFE．
结论②正确，理由如下：
∵△AFD≌△CFE，
∴S△AFD=S△CFE，
∴S四边形CDFE=S△CFD+S△CFE=S△CFD+S△AFD=S△AFC=S△ABC，
即△ABC的面积等于四边形CDFE的面积的2倍．
结论③错误，理由如下：
∵△AFD≌△CFE，
∴CE=AD，
∴CD+CE=CD+AD=AC=FA．
结论④正确，理由如下：
∵△AFD≌△CFE，
∴AD=CE；
∵△CFD≌△BFE，
∴BE=CD．
在Rt△CDE中，由勾股定理得：，
∴ ．
故选B．
【点睛】本题是几何综合题，考查了等腰直角三角形、全等三角形和勾股定理等重要几何知识点，综合性比较强．解决这个问题的关键在于利用全等三角形的性质．
42．A
【分析】根据线段的垂直平分线的性质即可判定①，根据两点之间线段最短即可判断②，当CD⊥AB时，PA+PD的值最小，求出CD的值即可③，如图：过点P作PT⊥AB于T，再说明△PAT≌△PAH可得AT＝AH＝6、PT＝PH，设PT＝PH＝x，然后运用勾股定理求得x，最后求得△APH的面积即可判定④．
【详解】解：∵BA＝BC，BH是角平分线，
∴BH⊥AC，AH＝CH，
∴PA＝PC，故①正确，
∴PA+PD＝PD+PC≥CD，故②正确，
根据垂线段最短可知，当CD⊥AB时，即C，P，D共线时，PA+PD的值最小，最小值为CD，
在Rt△ABH中，AB＝10，AH＝6，BH＝＝＝8，
∵ AB CD＝ AC BH，
∴CD＝＝，
∴PA+PD的最小值为，故③正确，
如图，过点P作PT⊥AB于T．
在△PAT和△PAH中，
，
∴△PAT≌△PAH（AAS），
∴AT＝AH＝6，PT＝PH，
设PT＝PH＝x，
在Rt△PTB中，则有（8﹣x）2＝x2+42，
∴x＝3，
∴S△APH＝×AH×PH＝×3×6＝9，故④错误，
故选A．
【点睛】本题主要考查了轴对称最短问题、等腰三角形的性质、勾股定理、线段的垂直平分线的性质等知识点，证明BH垂直平分线段AC以及灵活参数构建方程解决问题成为解答本题的关键．
43．/厘米
【分析】先将圆柱的侧面展开，再根据勾股定理求解即可．
【详解】解：如图所示，
圆柱形容器，高，底面周长为，
，
，
蚂蚁从处到达处的最短距离为；
故答案为：．
【点睛】本题考查的是平面展开图最短路径问题，将图形展开，利用勾股定理进行计算是解题的关键．
44．
【分析】画出图形，利用勾股定理即可得到结论．
【详解】解：是边上中线，
，
，
，
故答案为：．
【点睛】此题考查了勾股定理的知识，属于基础题，掌握勾股定理的内容是解答本题的关键．
45．3
【分析】根据题意构建直角三角形，利用勾股定理解答．
【详解】解：在中，为斜边，
已知米，米，
则，
即，
解得：．
故大树顶端触地点距大树的距离为3米．
故答案为：3．
【点睛】此题考查了勾股定理的应用，要根据题意画出图形即可解答．
46．9
【分析】设，则，由勾股定理得，，即，计算求解，进而可求的值．
【详解】解：设，则，
由勾股定理得，，即，
解得，，（舍去），
∴，
故答案为：9．
【点睛】本题考查了勾股定理．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用．
47．
【分析】利用勾股定理得出的长，再利用三角形面积求法得出的长．
【详解】解：在中，，
根据勾股定理可得：
∵的面积
∴，
解得
故答案为：
【点睛】本题考查的是勾股定理以及三角形的等面积法，如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么．
48．64
【分析】本题考查了勾股定理，熟练掌握勾股定理是解答本题的关键．在直角三角形中，如果两条直角边分别为a和b，斜边为c，那么．在中，利用勾股定理求出的值，根据，分别表示正方形面积，求出的值即可．
【详解】解∶ 在中，，，
∴，
∴
．
故答案为∶64．
49．
【分析】本题考查了平面展开-最短路径问题，立体图形中的最短距离，通常要转换为平面图形的两点间的线段长来进行解决．可将教室的墙面与地面展开，连接P、B，根据两点之间线段最短，利用勾股定理求解即可．
【详解】解：如图，将教室的墙面与地面展成一个平面，过P作于G，连接，
在中，米，米，
米，
在中，米，米，
（米）．
故这只蚂蚁的最短行程应该是米．
故答案为：．
50．
【分析】本题考查了赵爽弦图，勾股定理，完全平方公式，三角形面积计算，由题意可得，再与已知条件联立，即可求出的值，从而求出每个直角三角形的面积，掌握勾股定理是解题的关键．
【详解】解：由勾股定理，得，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴每个直角三角形的面积为，
故答案为：．
51．
【分析】本题考查了等边三角形的性质，三角形内角和定理，含角直角三角形的性质，三角形面积的计算等知识，由等边三角形的性质得出，，，由平角的定义得出，由三角形内角和定理得出，由含角的直角三角形的性质得出，即，由勾股定理得，又，则，即可得出结果，熟练掌握知识点的应用是解题的关键．
【详解】解：∵和都是等边三角形，
∴，，，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
∴，
∵，
∴，
故答案为：．
52．或
【分析】根据D是AC上的动点，故本题需要分类讨论，当E在AB 上或E在AB外分情况画出图形求解即可．
【详解】解：如图1，E在AB上时，当时
则有
∵折叠可知，
∴
∴在中， ,
故
设，则
∵，
∴，
∴在中，
解得
如图2，E在AB外时，当时
∵折叠可知
∴
∴四边形BCDE是正方形，
∴
【点睛】本题考查了折叠的性质，勾股定理，解题的关键是根据运动的规律画出图形根据勾股定理与正方形的判定与性质．
53．2
【分析】设，由，在中，利用勾股定理列方程可得的长，设，在中，利用勾股定理列方程可得的长．
【详解】解：如图：
设，
由翻折变换可知，CE＝， DE＝CD－CE＝，
在Rt△中，，
∴，
解得，或（舍去），
∴AB＝，
设AD＝BC＝y，则，，
在Rt△中，，
∴，
解得y＝2，
∴BC＝2，
故答案为：2．
【点睛】本题考查折叠问题、勾股定理的应用，根据题意找到目标三角形，根据勾股定理列方程是解题的关键．
54．5
【分析】根据勾股定理求出的长，进而可得的长，设，则，在中，利用勾股定理列方程求出x即可．
【详解】解：∵四边形为长方形，
∴，，；
由折叠得：，，
∴，
∴，
设，则，
在中，由勾股定理得：，
∴
解得：，即，
故答案为：5．
【点睛】此题主要考查了翻折变换的性质、勾股定理；运用勾股定理得出方程是解决问题的关键．
55．
【分析】在中，利用勾股定理求得，结合点M是中点可得，由翻折可知，在中运用勾股定理求解即可．
【详解】解：在中，，，，
，
点M是中点，
，
由翻折可知，
在中，
，
，
解得：，
故答案为：．
【点睛】本题考查了折叠的性质，勾股定理解直角三角形；解题的关键是熟练掌握折叠的性质，并运用勾股定理正确计算．
56．
【分析】
根据勾股定理先求出的长，则．
【详解】
解：，
，
由勾股定理得，
（米），
四边形是矩形，
（米），
（米），
故答案为：．
【点睛】
本题考查了勾股定理的应用，能从实际问题中抽象出勾股定理并应用解决问题是关键．
57．
【分析】本题考查了两个动点的三线段和的最小值，勾股定理，对称的性质；分别作出两个定点关于定直线的对称点，根据三点共线时，和最小计算即可．
【详解】解：作M关于的对称点，作N关于的对称点，如图所示：
连接，其长度即为的最小值．
根据轴对称的定义可知：，
∴，
∴．
故答案为：．
58．
【分析】由“”可证，可得，，由勾股定理可求的长，即可求的长．
【详解】解：∵点E是的中点，
∴，
∵，，
∴，
∴，
在与中，
，
∴（），
∴，，
∴，
∴在中，，
∴.
故答案为：
【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，勾股定理，证明全等三角形是本题的关键．
59．10
【分析】连接，，证明从而得到，根据勾股定理，即可求解．
【详解】解：如图，连接，，
，
，
在和中，
，
；
，
，
，
，，
，，
，，
，
故答案为：10．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定及性质，勾股定理的运用，证明是解题的关键．
60．
【分析】根据题意和题目中的数据，可以计算出中边上的高和该边上的中点到的距离,再求它们的比值即可．
【详解】解 ： 作于点D，为的中线，
∴，
∵，
∴，
解得，
∴，
∵为斜边上的中线，，
∴，
∴，
即点到的距离为，
∴中边的“中偏度值”为：，
故答案为：．
【点睛】本题考察了勾股定理，解答本题的关键是明确题意，求出边上的高和该边上的中点到高的距离．
61．
【分析】根据条件证明，利用全等三角形的性质即可得到，即可求解．
【详解】解：如图所示，
∵，，，
∴，
∴，
∵是正方形，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，即，
∵，
∴阴影面积，
故答案为：．
【点睛】本题考查求阴影部分的面积，利用面积分割法是关键．
62．
【分析】过点作于，延长到，使 ，连接 ，交于，连接．此时 的值最小．进而勾股定理，即可求解．
【详解】解：过点作于，延长到，使 ，连接 ，交于，连接．此时 的值最小．
，，，连接，由对称性可知，
，
，
，根据勾股定理可得： ．
故答案为．
【点睛】本题考查了轴对称线路最短的问题，确定动点何位置时，使的值最小是解题的关键．
63．
【分析】作于，根据勾股定理求出的长，再利用三角形的面积求出三角形的高即可．
【详解】作于,如图所示：
∵小正方形的边长为，
∴，
∵，
∴，
解得：，
故答案为：．
【点睛】此题考查了勾股定理以及三角形的面积，根据题意得出的面积等于正方形面积减去其他个三角形的面积是解题的关键．
64．8
【分析】利用平行线的性质以及折叠的性质，即可得到，即，再根据勾股定理可得，最后利用面积法得出，可得，进而依据，即可得到的值．
【详解】解：∵，
∴，
由折叠可得，，
又∵，
∴，
∴，
∵，，，
∴，
∵
∴，
又∵，
∴，
故答案为：8
【点睛】本题主要考查了折叠问题以及勾股定理的运用，折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．解决问题的关键是得到以及面积法的运用．
65．10
【分析】本题考查了平面展开 最短路线问题和勾股定理的应用，关键是知道求出的长就是蚂蚁在圆柱表面从A点爬到B点的最短路程．过A点和过B点的母线剪开，展成平面，连接，则的长是蚂蚁在圆柱表面从A点爬到B点的最短路程，求出和的长，根据勾股定理求出斜边即可．
【详解】解：如图所示：
沿过A点和过B点的母线剪开，展成平面，连接，
则的长是蚂蚁在圆柱表面从A点爬到B点的最短路程，
，，，
由勾股定理得：．
故答案为：10．
66．
【分析】本题考查勾股定理，全等三角形的判定和性质，根据，求出的长，证明，得到，，再用勾股定理进行求解即可．解题的关键是证明．
【详解】解：∵，，，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∴，
∴．
故答案为：．
67．
【分析】本题考查了翻折变换、三角形的面积、长方形的性质，解决本题的关键是利用翻折的性质．根据翻折变换可得，，即可利用勾股定理求得的长，进而求出的面积．
【详解】解：长方形中，，，，
根据翻折可知：
，，，
设，则，
在中，根据勾股定理，得，
解得，
∴，
∴，
故答案为：．
68．
【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，勾股定理，证明全等三角形是本题的关键．
延长交于F，由“”可证，可得 ，由勾股定理可求的长，即可求的长．
【详解】解：延长交于F，如图，
∵点E是的中点
∴，
∵，，
∴
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∴，
∴在中，，
∴，
故答案为：．
69．4
【分析】先求解，如图，延长，交于，延长交于，依次证明，，，可得从而可得答案．
【详解】解：∵，，，
∴，
如图，延长，交于，延长交于，
∵和的平分线相交于点O，交于E，
∴，
∵，
∴，
∴，
同理可得：，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴
．
∴的周长为．
故答案为：4．
【点睛】本题考查的是角平分线的定义，勾股定理的应用，全等三角形的判定与性质，作出辅助线构建全等三角形是解本题的关键．
70．/
【分析】当时，过点作于，可知，，得出为等腰直角三角形，得到，求出和的长，利用勾股定理即可求出的长．
【详解】过点作于，
在中，，，，
∴
∵，
，
在中，
∴，
当时，如图
由折叠性质可知，，
又
，
又，
，
，
，
又，
，
又，
，
又，
，
在中，，
，
，
，
故答案为：．
【点睛】本题考查了勾股定理的应用，折叠问题，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
71．
【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理，由“”可证，可得，，由“”可证，可得，，由勾股定理可求解．
【详解】延长到，使得，连接，，如图所示，
，，
，，
，
，，
，，
，
，，
，
，，
，
点为的中点，
，
，
，
故答案为：．
72．9或7
【分析】分两种情况讨论①当是斜边时，②当是斜边时，即可求解．
【详解】解：由题意得：，
①当是斜边时，
则，
即，
解得：，
∴，
②当是斜边时，
则，
即，
解得：，
∴，
综上所述：代数式的值为9或7．
【点睛】本题考查了求代数式的值，核心是考查勾股定理，掌握分类讨论思想是解题关键．
73．10或6
【分析】分两种情况讨论：锐角三角形和钝角三角形，根据勾股定理求得，，再由图形求出，在锐角三角形中，，在钝角三角形中，．
【详解】解：如图，锐角中，，，边上高，
在中，，，
由勾股定理得：，
则，
在中，，，
由勾股定理得：，
则，
故的长为；
（2）钝角中，，，边上高，
在中，，
由勾股定理得：，
则，
在中，，
由勾股定理得：，
则，
故的长为．
综上可得的长为10或6．
【点睛】本题考查了勾股定理，把三角形斜边转化到直角三角形中用勾股定理解答，注意分类讨论，不要漏解，难度一般．
74．8
【分析】连接，构造和，然后在中利用勾股定理求出，在中求出，进而求得的值．
【详解】如图，连接，
∵在中，，
∴．
∵在中，，
∴，
解得：．
【点睛】本题考查勾股定理，解决本题的关键是将面积转化为勾股定理求边长的平方即可．
75．（1）；（2）；（3）
【分析】（1）运用勾股定理，正方形的面积计算方法即可求解；
（2）运用勾股定理，圆面积的计算方法即可求解；
（3）运用勾股定理，等边三角形的面积的计算方法即可求解．
【详解】解：（1）根据题意，是直角三角形，
∴，
∵，，，
∴；
（2）根据题意可得，，
∵，，，
∴；
（3）根据题意可得，，
∵以三边为边向外作正三角形，
∴如图所示，过点作于点，
∴，在中，，
∴，
∴，
同理，，，
∴．
【点睛】本题主要考查勾股定理的运用，掌握勾股定理，几何图形面积的计算方法是解题的关键．
76．(1)；
(2)见解析
【分析】（1）因为梯形的上底为a，下底为b，高为，则它的面积可表示为；此梯形的面积还可以看成是三个直角三角形的面积和，即；
（2）由（1）可得，即可．
【详解】（1）解：由题得：梯形面积为；
此梯形的面积还可以看成是三个直角三角形的面积和，即；
故答案为：；
（2）解：由（1）得：，
即．
【点睛】本题主要查了勾股定理的证明，熟练掌握梯形的面积公式和三角形的面积公式是解题的关键．
77．绳索AD的长度是
【分析】设秋千的绳索长为，，根据题意可得，利用勾股定理可得，即可作答．
【详解】解：设秋千的绳索长为，则，
依题意，因为
所以四边形是矩形，
则，
那么，
在中，，
故，
即
解得：，
所以绳索AD的长度是．
【点睛】此题主要考查了勾股定理的应用，关键是正确理解题意，表示出、的长，掌握直角三角形中两直角边的平方和等于斜边的平方．
78．的长为，的面积为．
【分析】本题考查了折叠的性质和勾股定理，熟练掌握性质定理是解题的关键．
根据折叠的性质得出，，，再根据勾股定理可求出的值，设，则，利用勾股定理得出 ，最后根据勾股定理即可得出答案．
【详解】解：由折叠的性质可得：，，
在中，，，，
设，则
在中，根据勾股定理得
，
即，
在中，根据勾股定理得
（负值已舍去）
．
79．(1)此刻风筝离地面的高度为16.6米
(2)该同学应该收回7米
【分析】（1）利用勾股定理求出的长，再加上的长度，即可求出的高度；
（2）根据勾股定理即可得到结论．
【详解】（1）解：在中，
由勾股定理得，，
所以，（负值舍去），
所以，（米），
答：风筝的高度为16.6米；
（2）解：如图，设风筝沿方向下降9m至点，则 ，
在中，由勾股定理可知，
，
答：该同学应该收回7米．
【点睛】本题考查了勾股定理的应用，熟悉勾股定理，能从实际问题中抽象出勾股定理是解题的关键．
80．厘米
【分析】将圆柱的侧面展开，根据勾股定理求解即可；
【详解】解：如图，将圆柱的侧面展开，作；
则 （厘米）
（厘米）
根据勾股定理：
（厘米）
答：沿圆柱侧面爬行的最短路程是厘米
【点睛】本题考查了勾股定理；将圆柱的侧面展开构造直角三角形是解题的关键．
81．（1）；（2），；（3）．推导过程见解析
【分析】（1）根据阴影部分的面积等于大正方形的面积减去小正方形的面积和长方形的面积两种方法列式即可；
（2）根据大正方形的面积等于小正方形的面积加上四个直角三角形的面积和正方形的面积公式列式即可；
（3）根据两种方法表示出的大正方形的面积相等整理即可得解．
【详解】解：（1）得到公式是：；
故答案为：；
（2）方法一：，
方法二：；
故答案为：，；
（3）关于，，的等式为：，
由（2）得，，
即，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题考查了勾股定理的证明，平方差公式的几何背景，此类题目，根据同一个图形的面积的两种表示方法列式是解题的关键．
82．(1)见解析（答案不唯一）
(2)的面积为
(3)作图见解析，
【分析】（1）利用网格、结合勾股定理，取格点，，三点，使，，，作出即可；
（2）利用网格、用梯形面积减去两个小直角三角形的面积，求出的面积即可；
（3）取格点，连接交延长线于，利用三角形面积公式，求解即可．
【详解】（1）如图，即为所求（答案不唯一）；
（2）的面积为：；
（3）如图，取格点，连接交延长线于，即为所求．
∵，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了网格作图，涉及了勾股定理、三角形面积公式、等积法等知识，利用网格正确作出图形是解题的关键．
83．(1)画图见解析，最短路程为
(2)①；②B；③画图见解析，最短路程为300米
【分析】此题考查了轴对称 最短路径问题，勾股定理，三角形三边的关系等知识，解题的关键是正确画出图形．
（1）作点A关于l的对称点，然后连接交l于点P，即为所求，得到的长度即为的最小值，过点A作交的延长线于点C，求出，，然后利用勾股定理求解即可；
（2）①根据三角形两边之和大于第三边求解即可；
②作点A关于l的对称点，然后根据①中证明的结论求解即可；
③首先根据题意画出图形，然后表示出相应线段的长度，然后利用勾股定理求解即可．
【详解】（1）如图所示，
∴，
∴的长度即为的最小值，
∵，，，
∴，，
∴，
∴；
（2）①证明：如图4，延长交于点，
，，
，
又，，
，
；
②如图所示，作点A关于l的对称点，
∴，，
由①中证明的结论可得，
，
∴超市的位置应位于线段上，
故选：B；
③如图所示，过点A作，过点B作，作点A关于l的对称点，连接交l于点P，过点作交延长线于点E，过点D作，
∵，，，
∴，，
∴，
∴，
∵，，
∴，，
∴，
∴，
∴．
∴最短路程为300米．
84．(1)选择②或③，证明见解析
(2)
【分析】本题考查了三角形全等的判定与性质，勾股定理，平行线的判定与性质．
（1）根据三角形全等的判定定理，由已知添加合适的条件，证明即可得出结论；
（2）由（1）知，推出，，利用勾股定理求解即可．
【详解】（1）解：选择②或③，
选择②时：，
，
，
点是的中点，
，
在与中，
，
，
；
选择③时，，
，
，
点是的中点，
，
在与中，
，
，
；
（2）解： ，，，，
，
，，
，
在中，
．
85．(1)
(2)C港口在A港口的北偏东的方向上
【分析】（1）由题意得，由勾股定理，从而得出的长；
（2）由（1）可得，求出即可．
【详解】（1）∵，
∴．
∵，
∴．
∵，
∴．
∴．
根据勾股定理，知．
答：A、C两港之间的距离是；
（2）由（1）知，是等腰直角三角形，且，
∴
∴,
∴C港口在A港口的北偏东的方向上
【点睛】本题考查了勾股定理的应用和方向角，解决本题的关键是根据题意得到．
86．(1)最短路程是20cm
(2)筷子的最大长度是cm
【分析】（1）利用勾股定理求解即可；
（2）求得长方体盒子的体对角线即可求解。
【详解】（1）解：如图1所示：
图1
由题意得：，，
∴，
在中，由勾股定理得；
∴最短路程是20cm；
（2）将筷子斜着放，
∵，，
∴
∴，
即筷子的最大长度是cm．
【点睛】此题考查了勾股定理的应用，解题的关键是理解题意，灵活利用勾股定理进行求解。
87．(1)见解析；
(2)；
(3)；
(4)．
【分析】（1）通过“边角边”即可求证；
（2）由（1）中的全等三角形的性质可得：；
（3）由题意可得：，，再根据勾股定理求解即可；
（4）由题意可得：，得到，，从而得到，即可求解．
【详解】（1）证明：∵，是等腰直角三角形，
∴，，
∴
∴；
（2）解：∵时等腰直角三角形
∴
由可得：；
（3）∵
∴
由可得：
由勾股定理可得：；
（4）∵，是等腰直角三角形，
∴，，，
∴
∴；
∴，
∴
由勾股定理可得：．
【点睛】此题考查了全等三角形的判定与性质，勾股定理，等腰直角三角形的性质，解题的关键是熟练掌握相关基础性质．
88．(1)见解析
(2)10
【分析】（1）根据同角的余角相等，可得，通过即可证明，可得结论；
（2）设，则，在中，利用勾股定理列出方程，即可解决问题．
【详解】（1）解：证明：四边形是长方形，
，，
将此长方形沿折叠，使点与点重合，点落在点处，
，，，
，，
，
，
在和中，
，
，
；
（2）设，则，
在中，由勾股定理得，
，
解得，
，
，
的面积为．
【点睛】本题主要考查了矩形的性质，翻折的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理等知识，运用勾股定理列方程是解题的关键．
89．(1)，理由见解析；(2)①，，理由见解析；②
【分析】（1）根据勾股定理得到 ，同理求出即可求解；
（2）①证明即可得到；进而得到，②在四边形中，根据（1）求得的结论即可求出的长．
【详解】解：（1）∵，∴，
∴在中，，
在中，，
在中，，
在中，，
∴，
即；
（2）①∵四边形和四边形为正方形，
∴，，，
∴，
即，
∴ ，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
综上，，；
②
解析：在四边形中，，由（1）知
∵，，
∴
∴，
∴，
∴．
图2
【点睛】本题考查勾股定理，三角形全等的判定与性质，熟练掌握勾股定理，三角形全等的判定与性质是解题关键．
90．迎宾门铃距离地面2.6米
【分析】本题考查了勾股定理的应用．熟练掌握勾股定理求直角三角形的边长是解题的关键．
如图，作于点，则，，设迎宾门铃距离地面x米，则，，在中，由勾股定理得：，然后代值，计算求解即可．
【详解】解：由题意知，，，，，
如图，作于点，则，，
设迎宾门铃距离地面米，则，，
在中，由勾股定理得：，即，
解得：.
∴迎宾门铃距离地面2.6米．
91．(1)游轮距离岸边还有
(2)绳子被收上来
【分析】此题主要考查了勾股定理的应用，关键是掌握从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图，领会数形结合的思想的应用；
（1）在中，运用勾股定理算出，根据题意得出，再在中运用勾股定理即可求解；
（2）根据勾股定理算出即可求解；
【详解】（1）解：∵在中，，，，
∴，
∵此人以的速度收绳，后船移动到点的位置，
∴，
∴中，，
∴游轮距离岸边还有．
（2）解：由题知，，
∴，
∴绳子被收上来．
92．(1)的周长等于
(2)
(3)的面积为
【分析】（1）利用勾股定理得出的长，进而求出的周长；
（2）先求出的长，利用勾股定理得出的长；
（3）设，，首先利用勾股定理得出的长，进而求出的面积．
【详解】（1）解：因为在中，，，
所以
因为
所以
则的周长等于；
（2）解：因为在中，，，
所以
因为
所以，
故；
（3）解：依题意，，，
则，
即
整理得
解得
则，
那么的面积为．
【点睛】此题是三角形综合题，主要考查了勾股定理的应用，根据题意熟练应用勾股定理是解题关键．
93．(1)
(2)的最小值为
(3)
【分析】本题三角形综合题，考查了最短路径，两点间的距离公式，熟练掌握两点间的距离公式是解题的关键．
（1）由两点间的距离公式可求出答案；
（2）利用轴对称求最短路线方法得出P点位置，进而求出的最小值．
（3）把看成点到两点和的距离之和，求出两点和的距离便是的最小值．
【详解】（1）解：∵，
∴；
（2）如图，作点B关于x轴对称的点，直线与x轴的交点即为所求的点P．
∵，
∴，
∴，
即为的最小值为；
（3）∵把看成点到两点和的距离之和，
∴两点和的距离便是的最小值，
∴最小值为：，
故答案为：．
94．(1)见解析
(2)
【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，勾股定理等知识，解题的关键是利用勾股定理列方程解决问题．
（1）由，证明，根据即可证明；
（2）由，得，利用勾股定理求出的长，然后利用列方程即可解得答案．
【详解】（1）∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，即，
在和中，
，
∴；
（2）由（1）知，
∴，
∴，，
∴；
∵，
∴，
∴，
解得．
∴的长为．
95．(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题主要考查全等三角形的判定与性质和勾股定理的证明：
（1）直接根据证明即可；
（2）先证明，再根据梯形的面积计算可得结论
【详解】（1）∵，，
∴，
∴
在和中，
，
∴；
（2）由（1）知，
∴，
∵，
∴．
∵，
∴，
∵梯形的面积直角三角形的面积两个直角三角形的面积，
∴
∴．
96．（1），;（2）;（3）
【分析】（1）可得表达式，由折叠可得，然后用勾股定理列方程求解；
（2）首先证明DE=EB，设DE=EB=y，在Rt△BEC中，利用勾股定理构建方程即可解决问题；
（3）如图③中，设．首先证明△DFP≌△A′FE，推出，，由，推出，，，在Rt△ECB中，可得，解方程即可.
【详解】解：（1），由折叠可得，
在中，
即，解得
（2）如图②中，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AB∥CD，
∴∠1=∠3，
∵∠1=∠2，
∴∠2=∠3，
∴DE=EB，设CE =y，则DE=EB=5 y，
在Rt△BEC中,，
解得，所以CE=
(3)如图③中,设PA=PA′=m.
在△DFP和△A′FE中，
∴，
∴，，
∵，
∴，，，
在Rt△ECB中,，
解得，
∴
【点睛】本题考查勾股定理中的折叠问题，利用折叠的性质，找出线段关系，在直角三角形中利用勾股定理建立方程，是此类问题的通用解法.
97．任务1：见解析；任务2：；任务3：72
【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质、勾股定理、直角三角形的性质等知识点，弄清题意、将实际问题转化为数学问题是解题的关键．
（1）利用证明即可得到答案；
（2）过点E作于点P，求出的长，即可利用据此解答即可；
（3）设与交于点O，与交于点Q，先求出，可得，再求出，进而可求出即可解答．
【详解】解：任务1:∵且，，
∴，
在和中， ，，
∴，
∴，
∴是的角平分线．
任务2：如图：过点E作于点Q，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
由勾股定理，得，
在图2中，
∵,
∴,
∴在中,,
∴,
∴,
∴伞圈D移动的距离为.
任务3:如图：设与交于点O，与交于点Q，
在中，，
∴，
∴
∴，
∴，
在中，，
∴，
∴
∵,
∴,解得：，
∴，
在中，，则，
由勾股定理得：．
故答案为：72．
98．●特例感知:①是；②；●深入探究：，理由见解析；●推广应用：2a．
【分析】●特例感知①根据勾股高三角形的定义进行判断即可；
②设根据勾股定理可得：，根据勾股高三角形的定义列出方程，解方程即可；
●深入探究：根据勾股高三角形的定义结合勾股定理即可得出它们之间的关系；
●推广应用：运用探究的结果进行运算即可
【详解】解：●特例感知①等腰直角三角形是勾股高三角形，
故答案为：是；
②设
根据勾股定理可得：，
于是，
∴；
●深入探究：由可得：，而，
∴，即；
●推广应用
过点A向ED引垂线，垂足为G，
∵“勾股高三角形”△ABC为等腰三角形，且，
∴只能是，由上问可知．
又ED∥BC，∴．
而，
∴△AGD≌△CDB（AAS），
∴．
∵△ADE与△ABC均为等腰三角形，
根据三线合一原理可知．
又
∴，
∴．
99．（1）见解析；（2）或；（3）见解析
【分析】（1）根据角的和差关系可得∠AOM＝∠BON，利用SAS即可得结论．
（2）当MN在OA左侧时，根据全等三角形的性质及三角形内角和定理可得∠ANJ＝∠JOB＝90°，根据平行线的性质可得∠OHN=∠ANJ=90°，利用等腰直角三角形的性质可求出MN、HM、OH的长，利用勾股定理可求出AH的长，即可得出AM的长；同理可得出MN在OA右侧时AM的长，即可得答案；
（3）如图，在OB上取一点T，使得OT＝OP，连接PT，NT．利用SAS可证明△POM≌△TON，即可证明∠M=∠ONM=45°，可得∠PNT＝∠ONM+∠ONT＝90°，可得PT2＝PN2+NT2＝PN2+PM2，即可得出结论．
【详解】（1）∵△AOB和△MON都是等腰直角三角形，
∴OM=ON，AO=BO，
∵∠AOB＝∠MON＝90°，
∴∠AOB+∠AON=∠MON+∠AON，
∴∠AOM＝∠BON，
在△AOM和△BON中，
∴△AOM≌△BON（SAS）．
（2）如图，当MN在OA左侧时，设OA交BN于J，
∵△AOM≌△BON，
∴∠OAM＝∠OBN，
∵∠AJN＝∠BJO，
∴∠ANJ＝∠JOB＝90°，
∵OH//BN，
∴∠OHN=∠ANJ=90°，
∵OM＝ON＝3，∠MON＝90°，OH⊥MN，
∴MN＝=3，MH＝HN＝OH＝，
∵OA=OB=4，
∴AH＝＝＝，
∴AM＝MH+AH＝．
如图，当MN在OA右侧时，
同理可得：MN＝，MH＝HN＝OH＝，AH＝，
∴AM＝AH-MH＝．
综上所述，BN的长为或．
（3）如图，在OB上取一点T，使得OT＝OP，连接PT，NT．
∵∠MON＝∠POT＝90°，
∴∠MON-∠PON=∠POT-∠PON，
∴∠MOP＝∠NOT，
在△POM和△TON中
∴△POM≌△TON（SAS），
∴PM＝TN，∠M＝∠ONT＝45°，
∵∠M=∠ONM=45°，
∴∠ONM＝∠ONT＝45°，
∴∠PNT＝∠ONM+∠ONT＝90°，
∴PT2＝PN2+NT2＝PN2+PM2
∵△POT是等腰直角三角形，
∴PT2＝2OP2，
∴PM2+NP2＝2OP2．
【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质及勾股定理，熟练掌握相关性质及判定定理并运用分类讨论的思想是解题关键．
100．(1)；理由见解析
(2)
(3)
【分析】（1）证明即可得；
（2）方法同（1）证明，从而 ，最后由勾股定理即可求得；
（3）根据（1）（2）的方法作点关于对称点，连接，，，证明=，通过证明 得，在中用勾股定理求得的长．
【详解】（1）如图
和都是等腰直角三角形，
．
（2）如图
和都是等腰直角三角形，
,
，
在中，
．
（3）如图：作点关于对称点，连接，，，
则,，
又
在与中
在中
=，
．
【点睛】本题考查了轴对称图形的性质，三角形全等的判定与性质，等腰三角形的性质，勾股定理，找到三角形全等的条件或通过辅助线构造三角形全等的条件是解题的关键．
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