4.2 指数函数的概念 教学设计

《指数函数的概念》教学设计
学习目标
依据《标准》及具体内容的分析，《指数函数的概念》的教学目标设置如下：
1、结合游客增长的问题1和碳14衰减的问题2，通过运算发现其中具体的增长或衰减规律，从中体会实际问题中变量间关系；
2、在了解指数函数实际意义的基础上，知道指数函数的含义与表示，清楚其定义域和底数 的范围；
3、理解指数函数增长变化迅速的特点。
重难点：
在了解指数函数实际意义的基础上，知道指数函数的含义与表示，清楚其定义域和底数 的范围。
教学方法与技术支持
结合新课标“以学生为本”的课堂教学原则和实际情况，确定新课教学模式为：问题+探究活动。
采用多媒体（PowerPoint+GeoGebra）辅助教学，增强数学的直观性，激发学生的求知欲。
教学过程设计
创设情境
以河南巩义双槐树遗址出土的牙雕蚕，引出考古学家利用碳14判定年代，激发学生学习兴趣。
问题探究
问题1由于我国经济发展的高速增长,人民生活水平也日益改善,旅游已成为更多家庭的主要生活方式.随着游览人次的日益增多,A,B两个景点从2001年开始采用不同的经营方式,A地增加景点门票价格,而B地则取消景点门票.
师:通过比较两地景区内旅游人数的表格(表略)变化情况,你会看到什么样的变化 能否用数学方法描述这种变化
生:两景区人数规模逐渐上升,景区A增加较慢,而景区B增加较快.
(利用GGB软件作出图象进行观察,然后展示探究成果.从图象中发现景区A呈线性增长)
师:你能进一步用代数解释景区A线性增长状况吗
设计意图 通过由具体例子抽象得到具体函数,左右.再由具体函数抽象为指数函数的建模过程,提高数学抽象与数学建模的核心素养。
师:用“年增加量”并不能刻画景区B人数的变化,能不能换一个定量方法来刻画 我们可以提出不同的运算方式(做除法),所得到的年增长率(从2002年起将景点B全年的游客人次除以上年的游客人次)可以找到哪些规律
生:通过GGB软件工具进行计算,发现景区B的年增长率约为0.11.
师:若表示相对2001年增加人次的倍数,表示年份(1表示2002年,2表示2003年,依此类推),你能进一步用代数式表示景区B的指数增长吗
生: .
设计意图 让学生先通过数据感受A,B景区增长的快慢,再画图直观感受景区A,B的增长的不同.通过问题链,鼓励学生思考,分别用年增长量和年增长率挖掘表格中数据的规律.重点是使学生通过计算得到景区B内游客人数每年与上年游览人数的比率为常数,并抽象总结出“增长率”为常数的变化方式为指数增长,概括出指数增长的基本模型.
问题2 当有机体灭亡时,其机体内原有的碳14含量将按照一定的比率衰减(称为衰减率),大约每过5730年衰减为原来的二分之一,这个时间称为“半衰期”.根据这些规律,生物体内碳14含量与死亡年数之间有怎样的联系呢
师: 假设死亡生命体中碳14含量的年衰减率是,把刚死亡的生命体体内碳14含量看成1个单位,则死亡的生命体中碳14的含量与死亡年份之间有怎样的联系
生: .
师:半衰期如何理解
生: .
师:如何求出生物体内碳14含量随死亡年数而变动的函数解析式
生: .
设计意图 指导学生类比问题1,对给出的现实问题加以分析,通过对现象的解释,指导他们用函数刻画碳14衰减的规律.通过说明碳14衰减的原理,提出用函数描述刻画指数衰减的问题,为引人更抽象的指数函数做好预备.
建立模型
师:观察和什么共同特征
生:都是指数型,底数为常数,指数为自变量
师:总结得很好,这两个都是指数函数,那指数函数的概念应该如何叙述呢
师生活动在总结出共同特征之后,师生一起给出指数函数的定义.
一般地,函数,且叫做指数函数,其中指数是自变量,定义域是.
设计意图 在获得概念的过程中,通过开展小组学习,指导学生在对数字、图象、解析形式等方面进行综合概括,并探索刻画问题1中的指数增长与问题2中的指数衰减的函数的共同特征,由“特殊”到“一般”,数形结合,通过探究活动,学生自己探索并提出关于指数函数的概念,从而形成指数函数模型.
研究模型
例1已知指数函数且,且,求的值.
分析 要求的值,应先求出的解析式,即先求的值.
设计意图 例1进一步明确指数函数的概念,理解指数函数的概念,学会表示指数函数之后设置了教材第115页的练习1,通过选项A,B,D的比对,可以从“形”上帮助学生感知指数函数区别于一次函数、二次函数、幂函数的变化规律.再通过练习2,进一步明确增长率为常数的变化现象为指数增长.学生利用例题1和练习1,2以及函数的三种表现方式,促进了对指数函数定义的认识进而明确定义,学会表示指数函数.
运用模型
例2（1）在问题1中,假设平均每个游客旅行一次能为当地带来1000元门票以外的收入,A地景点的门票价格则是1875元,并比较这15年间A,B两地旅游收入变化情况;
(2)在问题2中,当某生物在死亡10000年后,其体内碳14的含量衰减为原来的百分之几
设计意图 通过采用思维导图的方式,引领学生反思指数函数的探究活动,进一步深化学生对指数函数思想的认识,并体现在数学建模的设计过程即发现问题、建立模型、解析模型、运用模型,培养学生的数学建模、数据分析、数学运算等核心素养.运用已知的知识发现未知的知识,由特殊到一般,由具体到抽象的过程,培养学生的直观想象、数学抽象等核心素养.
学习效果
勤学如春起之苗,不见其增,日有所长;
辍学如磨刀之石,不见其损,日有所亏。
课堂练习
1.函数是指数函数,则
2.已知函数是指数函数，则的取值范围是______.
（八）课后作业
基础作业：
课本115页练习1、2、3
探究作业：
在同一直角坐标系画出， 的图象，并思考：两个函数的图象有什么关系？