函数模型及其应用

课件27张PPT。3.2.1几类不同增长的函数模型
在教科书第三章的章头图中，有一大群喝水、嬉戏的兔子，但是这群兔子曾使澳大利亚伤透了脑筋．1859年，有人从欧洲带进澳洲几只兔子，由于澳洲有茂盛的牧草，而且没有兔子的天敌，兔子数量不断增加，不到100年，兔子们占领了整个澳大利亚，数量达到75亿只．可爱的兔子变得可恶起来，75亿只兔子吃掉了相当于75亿只羊所吃的牧草，草原的载畜率大大降低，而牛羊是澳大利亚的主要牲口．这使澳大利亚头痛不已，他们采用各种方法消灭这些兔子，直至二十世纪五十年代，科学家采用载液瘤病毒杀死了百分之九十的野兔，澳大利亚人才算松了一口气． 材料：澳大利亚兔子数“爆炸”例1 假设你有一笔资金用于投资，现有三种投资方案供你选择，这三种方案的回报如下：方案一：每天回报40元请问，你会选择哪种投资方案？方案一 可以用函数 进行描述方案二 可以用函数 进行描述图-1我们看到，底为2的指数函数模型比线性函数模型增长速度要快得多。从中你对“指数爆炸”的含义有什么新的理解？函数图象是分析问题的好帮手。为了便于观察，我们用虚线连接离散的点。根据以上的分析，是否应作这样的选择：投资5天以下先方案一，投资5~8天先方案二，投资8天以上先方案三？
因此，投资8天以下(不含8天)，应选择第一种投资方案；投资8~10天，应选择第二种投资方案；投资11天(含11 天)以上，刚应选择第三种投资方案。例2 某公司为了实现1000万元利润的目标，准备制定一个激励销售人员的方案 ：在销售利润达到10万元时，按销售利润进行奖励且奖金（单位：万元）随销售利润 （单位：万元）的增加而增加，但奖金总数不超过5万元，同时奖金不超过利润的25%，现有三个奖励模型：
其中哪个模型能符合公司的要求？思考：１．X的取值范围，即函数的定义域．
２．要满足哪些条件？
３．通过图象说明选用哪个函数模型？为什么？（1）奖金总数不超过5万元（2）奖金不超过利润的25%满足的要求：解： 借助计算机作出函数
的图象图象-20120011001000900800700600500400300200100-40-60-80-100-120-140-160-180-200-220-240-260-280-300xyo我们来看函数 的图象:问题:当 时,奖金是否不超过利润的25%呢?从以上两个例子，我们看到对数函数，指数函数和幂函数在第一区间的增长是有差异的，下面用几何画板来观察它们的差异．1、四个变量 随变量 变化的数据如下表：1.0051.01511.04611.14071.42952.310751551301058055305337331758.294.478545053130200511305051305302520151050练习 2、某种计算机病毒是通过电子邮件进行传播的，如果
某台计算机感染上这种病毒，那么它就会在下一轮病毒
发作时传播一次病毒，并感染其他20台未被感染病毒的
计算机。现有10台计算机被第1轮病毒感染，问被第5轮
病毒感染的计算机有多少台？练习小结
确定函数模型利用数据表格、函数体会直线上升、指数作业：
1．课本110页课后练习第2题
2．举出生活实例，并用函数模型进行分析。图象讨论模型爆炸、对数增长等不同类型函数的含义。3.2.1几类不同增长的函数模型1.1491.51622.6393.4824.5956.063810.5560.040.3611.963.244.846.76911.56-2.322-0.73700.4850.8481.1381.3791.5851.766函数作图：yx246810o-2- 4213从更大的范围观察 的增长情况1284163264128256…01491625364964…函数作图：108642124108621161420242226283019573yxo(2,4)(4,16)..110241.05
E+061.07
E+091.10
E+121.13
E+151.15
E+181.18
E+211.21
E+24010040090016002500360049006400………图3.2-61.10E+121.13E+1550100yx
3.4函数的应用（Ⅱ）(1)
教学目标：了解指数函数，对数函数等函数模型的应用
教学重点：了解指数函数，对数函数等函数模型的应用
教学过程：
1、通过例1、例3讲解复利公式的应用，可补充练习：
练习题：某企业现生产的甲种产品使企业1999年盈利a万元，预计从2000年起，20年内甲种产品盈利每年比上一年减少，同时开发乙种产品2000年投放市场，乙种产品第一年盈利b万元，在今后20年内，每年盈利都比上一年增加，若，问该企业今后20年内，哪一年盈利最少是多少万元。
2、通过例4讲解函数图像的应用价值，可补充练习：
练习题：
（1）某企业近几年的年产值如图，则年增长率最高的是（增长率=增长值/原产值）
A）97年 B）98年
C）99年 D）00年
（2）A、B两家电器公司在今年1—5月份的销售量如图所示，则B相对于A其市场份额比例比较大的月份是
A)2 月 B)3月 C)4月 D)5 月
3、建议例2选讲
课堂练习：略
小结：了解指数函数，对数函数等函数模型的应用
课后作业：教材第125页 习题3-4A:3、4、5

3.4函数的应用（Ⅱ）(2)
教学目标：了解指数函数，对数函数等函数模型的应用
教学重点：了解指数函数，对数函数等函数模型的应用
教学过程：
1．某商店卖A、B两种价格不同的商品，由于商品A连续两次提价20%，同时商品B连续两次降价20%，结果都以每件23.04元售出，若商店同时售出这两种商品各一件，则与价格不升、不降的情况相比较，商店盈利的情况是：
A．多赚5.92元 B．少赚5.92元 C．多赚28.92元 D．盈利相同
2.某物体一天中的温度T(°C)是时间t (小时)的函数:.表示12：00，其后t 取值为正，则上午8：00的温度是：
A．112°C B.58°C C.18°C D.8°C
3.某产品的总成本y（万元）与产量x之间的函数关系式是。若每台产品的售价为25万元，则生产者不亏本时的最低产量为：
A．100台 B.120台 C.150台 D.180台
4.甲、乙两店出售同一商品所得利润相同，甲店售价比市场最高限价低10元，获利为售价的10%，而乙店售价比限价低20元，获利为售价的20%，那么商品的最高限价是：
A．30元 B.40元 C.70元 D.100元
5.某厂生产中所需一些配件可以外购,也可以自己生产,如外购,每个价格是1.10元;如果自己生产,则每月的固定成本将增加800元,并且生产每个配件的材料和劳力需0.60元,则决定此配件外购或自产的转折点是____ 件(即生产多少件以上自产合算)
A.1000 B.1200 C.1400 D.1600
6．今有一组实验数据如下：
t
1.99
3.0
4.0
5.1
6.12
v
1.5
4.04
7.5
12
18.01
现准备用下列函数中的一个近似地表示这些数据满足的规律，其中最接近的一个是：
A． B. C. D.
7.一批货物随17列货车从A市以匀速直达B市,已知两地铁路线长为400,为了安全,两列货车的间距不得小于,那么这批货物全部运到B市最快需要:
A.6h B.8h C.10h D.12h
8.用石板围一个面积为200平方米的矩形场地，一边利用旧墙，则靠旧墙的一边长为___________米时，才能使所有石料的最省。
9．某杂志能以每本1.20的价格发行12万本,设定价每提高0.1元,发行量就减少4万本,要使总销售收入不低于20万元,则杂志的最高定价是__________ 元.
10.某企业生产的新产品必须先靠广告来打开销路.该产品的广告效应应该是产品的销售额与广告费之间的差.如果销售额与广告费的算术平方根成正比,根据对市场进行抽样调查显示:每付出100元的广告费,所得的销售额是1000元.问该企业应该投入多少广告费,才能获得最大的广告效应,是不是广告做得越多越好?
11．某商场购进一批单价为6元的日用品，销售一段时间后，为了获得更多利润，商场决定提高销售价格。经试验发现，若按每件20元的价格销售时，每月能卖360件，若按25元的价格销售时，每月能卖210件，假定每月销售件数y（件）是价格x（元/件）的一次函数。
试求y与x之间的关系式。
在商品不积压，且不考虑其它因素的条件下，问销售价格定为多少时，
才能时每月获得最大利润？每月的最大利润是多少？
12.某种商品定价为每件60元，不加收附加税时，每年销售80万件，若政府征收附加税，每销售100元要征税p元，（即税率为p%）,因此每年销售将减少万件。
（1）将政府每年对该商品征收的总税金y(万元)表成p的函数，并求出定义域
（2）要使政府在此项经营中每年征收税金不少于128万元，税率p%应怎样确定
（3）在所收税金不少于128万元前提下，要让厂家获得最大销售金额，如何确定p值
16．某客运公司购买了每辆价值为20万元的大客车投入运营，根据调查材料得知，每辆大客车每年客运收入约为10万元，且每辆客车第n年的油料费、维修费及其它各种管理费用总和与年数n成正比，又知第三年每辆客车以上费用是每年客运收入的48%
（1）写出每辆客车运营的总利润（客运收入扣除总费用及成本）y（万元）与n(n∈N)的函数关系式；
（2）每辆客车运营多少年可使运营的年平均利润最大？并求出最大值。
17．某轮船在航行使用的燃料费用和轮船的航行速度的立方成正比，经测试，当船速为10公里/小时，燃料费用是每小时20元，其余费用（不论速度如何）都是每小时320元，试问该船以每小时多少公里的速度航行时，航行每公里耗去的总费用最少，大约是多少？
18.某工厂建一座平面图为矩形且面积为200平方米的三级污水处理池（如图）。如果池外围圈周壁建造单价为每米400元，中间两条隔墙建造单价为每米248元，池底建造单价为每平方米80元，池壁厚度不计。
（1）试设计水池的长宽，使总造价最低，并求最低造价；
（2）若受地形限制，水池长宽都不得超过16米，求最低造价。
课堂练习：略
小结：了解指数函数，对数函数等函数模型的应用
课后作业：教材第125页 习题3-4B:3、4、5
课件12张PPT。3.2 函数模型及其应用3.2.1 几类不同增长的函数模型3.2.1 几类不同增长的函数模型观察几个不同类的函数的图象，思考它们有什么特征？不同函数的函数值增长快慢不同.3.2.1 几类不同增长的函数模型【例1】假如你有一笔资金用于投资,现有三种投资方案供你选 择,这 三种方案的回报如下:方案一:每天回报40元;方案二:每天回报10元,以后每天比前一天多回报10元;方案三:第一天回报0.4元,以后每天的回报比前一天翻一翻(即前一天的2倍);作为投资者,你会选择哪种投资方案呢?解: (建立函数模型)
设第x天所得回报是y元,对应的函数模型如下:方案一:方案二:方案三:3.2.1 几类不同增长的函数模型用计算器或计算机计算一下三种方案所得回报增长情况，如下表：增加值 零保持不变成倍增长3.2.1 几类不同增长的函数模型作出三个函数的图象，如下：我们看到：底数为2的指数型函数模型比线性函数模型
增长速度要快得多。各方案对应函数形式：
方案一： 常值函数
方案二： 一次函数
方案三： 指数型函数这便是我们通常所说的指数爆炸3.2.1 几类不同增长的函数模型下面看累计回报数，通过计算器列表如下：因此: 投资1－6天，应选择方案一；
投资7天，应选择方案一或方案二；
投资8－10天，应选择方案二；
投资11天（含11天）以上，则应选择方案三。体会：1.不同的函数增长模型，增长变化存在很大差异;
2.尤其是指数函数模型呈“指数爆炸”增长。3.2.1 几类不同增长的函数模型课堂练习：P110 《练习》1，2。关于x呈指数型函数变化的变量是（ ）.
2.某种计算机病毒是通过电子邮件进行传播的,如果某台计算机感染上这种病毒,那么它就会在下一轮病毒发作时传播一次病毒,并感染其他20台未感染病毒的计算机.现有10台计算机被第一轮病毒感染,问被第5轮病毒感染的计算机有多少台?解: (建立函数模型)
根据题意,设y台计算机在第x轮被感染病毒,则:
3.2.1 几类不同增长的函数模型【例2】某公司为了实现1000万元利润的目标,准备制定一个激励人元的奖励方案:在销售利润达到10万元时,按销售利润进行奖励,且奖金y(单位:万元)随销售利润x(单位:万元)的增加而增加,但奖金总数不超过5万元,同时奖金不超过利润的25%.现有三个奖励模型:﹝ 分析﹞:依题意,某个奖励模型符合公司要求,必须满足两个前提条件:
1.奖金总数不超过5万元;
2.奖金不超过利润的25%
公司总利润一般不会超过总利润目标1000万,则:
只需在[10,1000]上来检验函数模型.解:设y表示x万元利润需发的奖金(万元)
借助计算机画出各函数图像,如右图:观察图像发现,在区间[10,1000]上,函数的图像都有一部分在直线y=5的上方,只有模型的图象始终在y=5的下方故,说明只有按模型 进行奖励才符合公司要求.作为经理,你觉得哪个模型能符合公司的要求?3.2.1 几类不同增长的函数模型通过计算来确认上诉判断,请同学们自己阅读.下面我们在机计算按模型 奖励时,奖金是否不超过利润的25%,即当x∈[10,1000]时,是否有利用计算机作出函数 f(x)图象,如右图,由图象知它是减函数,因此:
f(x) ＜ f(10) ≈-0.3167＜0,
即＜所以,当x∈[10,1000]时, 说明用该模型奖金不会超过利润的25%.
综上所述,模型 确实符合公司要求.体会:对数型函数的函数值增长越来越慢.小结
1.不同的函数增长模型，增长变化存在很大差异;
2.“指数爆炸”，“直线上升”，“对数增长”
作业
教材：第120页，习题3.2 A组 1 ,2
第121页，B组 13.2.1 几类不同增长的函数模型1.在制造纯净水的过程中,如果每增加一次过滤可减少水中杂质20%,那么要使水中杂质减少到原来的5%以下,则至少要过滤的次数为多少?(lg2=0.3010,lg3=0.4771)补充练习谢谢！课题：§3.2.1几类不同增长的函数模型
教学目标：
知识与技能 结合实例体会直线上升、指数爆炸、对数增长等不同增长的函数模型意义，理解它们的增长差异性．
过程与方法 能够借助信息技术，利用函数图象及数据表格，对几种常见增长类型的函数的增长状况进行比较，初步体会它们的增长差异性；收集一些社会生活中普遍使用的函数模型（指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等），了解函数模型的广泛应用．
情感、态度、价值观 体验函数是描述宏观世界变化规律的基本数学模型，体验指数函数、对数函数等函数与现实世界的密切联系及其在刻画现实问题中的作用．
教学重点：
重点 将实际问题转化为函数模型，比较常数函数、一次函数、指数函数、对数函数模型的增长差异，结合实例体会直线上升、指数爆炸、对数增长等不同函数类型增长的含义．
难点 怎样选择数学模型分析解决实际问题．
教学程序与环节设计：
教学过程与操作设计：
环节
教学内容设计
师生双边互动
创
设
情
境
材料：澳大利亚兔子数“爆炸”
在教科书第三章的章头图中，有一大群喝水、嬉戏的兔子，但是这群兔子曾使澳大利亚伤透了脑筋．1859年，有人从欧洲带进澳洲几只兔子，由于澳洲有茂盛的牧草，而且没有兔子的天敌，兔子数量不断增加，不到100年，兔子们占领了整个澳大利亚，数量达到75亿只．可爱的兔子变得可恶起来，75亿只兔子吃掉了相当于75亿只羊所吃的牧草，草原的载畜率大大降低，而牛羊是澳大利亚的主要牲口．这使澳大利亚头痛不已，他们采用各种方法消灭这些兔子，直至二十世纪五十年代，科学家采用载液瘤病毒杀死了百分之九十的野兔，澳大利亚人才算松了一口气．
师：指出：一般而言，在理想条件（食物或养料充足，空间条件充裕，气候适宜，没有敌害等）下，种群在一定时期内的增长大致符合“J”型曲线；在有限环境（空间有限，食物有限，有捕食者存在等）中，种群增长到一定程度后不增长，曲线呈“S”型．可用指数函数描述一个种群的前期增长，用对数函数描述后期增长的
组
织
探
究
例1．假设你有一笔资金用于投资，现有三种投资方案供你选择，这三种方案的回报如下：
方案一：每天回报40元；
方案二：第一天回报10元，以后每天比前一天多回报10元；
方案三：第一天回报0 .4元，以后每天的回报比前一天翻一番．
请问，你会选择哪种投资方案？
探究：
1）在本例中涉及哪些数量关系？如何用函数描述这些数量关系？
2）分析解答（略）
3）根据例1表格中所提供的数据，你对三种方案分别表现出的回报资金的增长差异有什么认识？
师：创设问题情境，以问题引入能激起学生的热情，使课堂里的有效思维增强．
生：阅读题目，理解题意，思考探究问题．
师：引导学生分析本例中的数量关系，并思考应当选择怎样的函数模型来描述．
生：观察表格，获取信息，体会三种函数的增长差异，特别是指数爆炸，说出自己的发现，并进行交流．
师：引导学生观察表格中三种方案的数量变化情况，对于“增加量”进行比较，体会“直线增长”、“指数爆炸”等．
环节
教学内容设计
师生双边互动
组
织
探
究
4）你能借助计算器或计算机作出函数图象，并通过图象描述一下三种方案的特点吗？
5）根据以上分析，你认为就作出如何选择？
师：引导学生利用函数图象分析三种方案的不同变化趋势．
生：对三种方案的不同变化趋势作出描述，并为方案选择提供依据．
师：引导学生分析影响方案选择的因素，使学生认识到要做出正确选择除了考虑每天的收益，还要考虑一段时间内的总收益．
生：通过自主活动，分析整理数据，并根据其中的信息做出推理判断，获得累计收益并给出本全的完整解答，然后全班进行交流．
例2．某公司为了实现1000万元利润的目标，准备制定一个激励销售部门的奖励方案：在销售利润达到10万元时，按销售利润进行奖励，且奖金（单位：万元）随销售利润（单位：万元）的增加而增加但奖金不超过5万元，同时奖金不超过利润的25%．现有三个奖励模型：
．
问：其中哪个模型能符合公司的要求？
探究：
本例涉及了哪几类函数模型？
本例的实质是什么？
2）你能根据问题中的数据，判定所给的奖励模型是否符合公司要求吗？
师：引导学生分析三种函数的不同增长情况对于奖励模型的影响，使学生明确问题的实质就是比较三个函数的增长情况．
生：进一步体会三种基本函数模型在实际中的广泛应用，体会它们的增长差异．
师：引导学生分析问题使学生得出：要对每一个奖励模型的奖金总额是否超出5万元，以及奖励比例是否超过25%进行分析，才能做出正确选择．
环节
呈现教学材料
师生互动设计
组
织
探
究
3）通过对三个函数模型增长差异的比较，写出例2的解答．
生：分析数据特点与作用判定每一个奖励模型是否符合要求．
师：引导学生利用解析式，结合图象，对三个模型的增长情况进行分析比较，写出完整的解答过程．
生：进一步认识三个函数模型的增长差异，对问题作出具体解答．
探
究
与
发
现
幂函数、指数函数、对数函数的增长差异分析：
你能否仿照前面例题使用的方法，探索研究幂函数、指数函数、对数函数在区间上的增长差异，并进行交流、讨论、概括总结，形成较为准确、详尽的结论性报告．
师：引导学生仿照前面例题的探究方法，选用具体函数进行比较分析．
生：仿照例题的探究方法，选用具体函数进行研究、论证，并进行交流总结，形成结论性报告．
师：对学生的结论进行评析，借助信息技术手段进行验证演示．
巩
固
与
反
思
尝试练习：
教材P116练习1、2；
教材P119练习．
小结与反思：
通过实例和计算机作图体会、认识直线上升、指数爆炸、对数增长等不同函数模型的增长的含义，认识数学的价值，认识数学与现实生活、与其他学科的密切联系，从而体会数学的实用价值，享受数学的应用美．
生：通过尝试练习进一步体会三种不同增长的函数模型的增长差异及其实际应用．
师：培养学生对数学学科的深刻认识，体会数学的应用美．
环节
呈现教学材料
师生互动设计
作
业
与
回
馈
教材P127
习题32（A组）第1~5题；
（B组）第1题
课
外
活
动
收集一些社会生活中普遍使用的递增的一次函数、指数函数、对数函数的实例，对它们的增长速度进行比较，了解函数模型的广泛应用；
有时同一个实际问题可以建立多个函数模型．具体应用函数模型时，你认为应该怎样选用合理的函数模型？
课件40张PPT。函数模型的应用实例高一新教材教学任务分析
1.培养学生阅读图形、表格的能力。
2.引导学生利用题中的数据及其蕴涵的关系建立数学模型，解决
实际问题。
3.强化一次函数、二次函数在实际问题中的应用。
4.让学生充分体会解决实际问题中建立函数模型的过程。教学重点与难点
重点：如何结合题意，利用函数模型解决实际问题
难点：如何才能准确提取题目的数据，建立相应的函数模型教学方法：导学法复习一次函数与二次函数模型学习例1，提高读图、建模能力布置作业设计练习，加强读图、建模能力的培养学习例2，提高读表、建模能力设计练习，加强读表、建模能力的培养小结方法，形成知识系统1.一次函数的解析式为__________________ , 其图像是一条____ 线，
当________时，一次函数在 上为增函数，当_______时，
一次函数在 上为减函数。2.二次函数的解析式为_______________________, 其图像是一条
________线，当______时，函数有最小值为___________，当______
时，函数有最大值为____________。直抛物 (2)根据图形可得：一辆汽车在某段路程中的行驶速度与时间的关系如图所示：
（1）求图中阴影部分的面积，并说明所求面积的实际含义；
2）假设这辆汽车的里程表在汽车行驶这段路程前的读数为2004 km，试建立汽车行驶这段路程时汽车里程表读数s km与时间t h的函数解析式，并作出相应的图象123451.下图中哪几个图像与下述三件事分别吻合得最好？请你为剩下的那个
图像写出一件事。①我离开家不久，发现自己把作业忘在家里，于是返回家里找到作业再上学②我骑车一路匀速行驶，只是在途中遇到一次交通堵塞，耽搁了一些时间③我出发后，心情轻松，缓慢行进，后来为了赶时间开始加速ABCD2.在一定范围内，某种产品的购买量为y t，与单价X元之间满足一次函数关系
如果购买1000t，每吨为800元，如果购买2000t，每吨为700元，一客户购买400t，单价应该为（ ）
A.820 元 B.840元 C.860元 D.880元c 例4：人口问题是当今世界各国普遍关注
的问题。认识人口数量的变化规律，可以
为有效控制人口增长提供依据。早在1798
年，英国经济学家马尔萨斯就提出了自然
状态下的人口增长模型：其中t表示经过的时间， 表示t=0时的人
口数，r表示人口的年平均增长率。下面是1950~1959年我国的人口数据资料： (1)如果以各年人口增长率的平均值作为我国这
一时期的人口增长率(精确到0.0001)，用马尔萨
斯人口增长模型建立我国在这一时期的具体人口
增长模型，并检验所得模型与实际人口数据是否
相符； (2)如果按表中数据的增长趋势，大约在哪一年
我国的人口达到13亿？因为，所以可以得出于是，1951~1959年期间，我国人口的年
平均增长率为： 根据马尔萨斯人口增长模型 ，
，则我国在1951~1959年期间的人
口增长模型为123从该图可以看出，所得模型与
1950~1959年的实际人口
数据基本吻合。（2）将y=130000代入 = 得：大约在1950年后的第39年（1989年）我国人口就已达到13亿===分析：由表中信息可知①销售单价每增加1元，日均销售量就减少40 桶②销售利润怎样计算较好？
解：设在进价基础上增加x元后，日均经营利润为y元，则有日均销售量为 （桶） 而 有最大值 只需将销售单价定为11.5元，就可获得最大的利润。 `1.一家旅社有100间相同的客房，经过一段时间的经营实践，旅社经理发现，每间客房每天的价格与住房率之间有如下关系：要使每天收入达到最高，每间定价应为（ ）A.20元 B.18元 C.16元 D.14元2.将进货单价为80元的商品按90元一个售出时，能卖出400个，已知这种商品每个涨价1元，其销售量就减少20个，为了取得最大利润，每个售价应定为( ) A.95元 B.100元 C.105元 D.110元CA应用函数知识解应用题的方法步骤：
(1)正确地将实际问题转化为函数模型，这是解应用题的关键。转化来源于对已知条件的综合分析，归纳与抽象，并与熟知的函数模型相比较，以确定函数模型的种类。
(2)用相关的函数知识进行合理设计，确定最佳解题方案，进行数学上的计算求解。
(3)把计算获得的结果回到实际问题中去解释实际问题，即对实际问题进行总结做答。2.（选做）甲乙两人连续6年对某县农村甲鱼养殖业的规模（产量）进行调查，
提供了两个方面的信息，如下图：甲调查表明：每个甲鱼池平均产量从第1年1万只甲鱼上升到第6年2万只
乙调查表明：甲鱼池个数由第1年30个减少到第6年10个
请你根据提供的信息说明：
①第2年甲鱼池的个数及全县甲鱼总数
②到第6年这个县的甲鱼养殖业的规模比第1年是扩大了还是缩小了？说明理由。 布置作业1 . (必做)课本第126页 练习1,2某地区不同身高的未成年男性的体重平均值如下表:(1)根据表中提供的数据,能否建立恰当的函数模型,使它能比较近视地反映这个地区未成年男性体重ykg与身高xcm的函数关系?试写出这个函数模型的解析式.(2)若体重超过相同身高男性体重平均的1.2倍为偏胖，低于0.8倍偏瘦,那么这个地区一名身高为175cm,体重为78kg的在校男生的体重是否正常? 分析;这里只给了通过测量得到的统计数据表,要想由这些数据直接发现函数模型是困难的.同学们想想办法. 提示:函数的三种表示方法可以互相转化使用,它们各有优劣,同学们根据这些数据画出散点图,在进行观察和思考,所作的散点图与已知的哪个函数图像最接近,从而选择函数模型. 通过散点图,发现指数型函数y＝a·bx的图像可能与散点
图的吻合较好,而函数中只有两个待定参数故只需选取两组
数据就能求出a,b。这里共有12组数据，是否任取两组数据，
得到的a，b的值会相同？请同学分组选取数据操作
第一，二组同学选取（60，⒍13），(70, ⒎90)
第三，四组同学选取 (70, ⒎90)，（160，47.25）
分别用计算器求出a，b选取（60，⒍13），(70, ⒎90)
算出a＝1.338，b＝1.026，
函数模型y＝1.338· 1.026x画出函数图像与散点图，我们发现，
散点图上的许多点偏离函数y＝1.338· 1.026x
的图象，所以函数y＝1.338· 1.026x
不能较好地刻画出该地区未成年人体重与身高的关系。选取 (70, ⒎90)， ，（160，47.25）
算出a＝2，b＝1.02，函数模型y＝2· 1.02x画出函数图像与散点图，我们发现，散点图上的点基本上在或接近函数y＝2· 1.02x的图象，所以函数y＝2· 1.02x能较好地刻画出该地区未成年人体重与身高的关系。因此，当所选的数据不适合实际，还要对函数模型进行修改函数应用的基本过程1、收集数据；2、作出散点图；3、通过观察图象判断问题所适用的函数
模型；4、用计算器或计算机的数据拟合功能得
出具体的函数解析式；5、用得到的函数模型解决相应的问题。问题3、某学生早上起床太晚，为避免迟到，不得不跑步到教室，但由于平时不注意锻炼身体，结果跑了一段就累了，不得不走完余下的路程。如果用纵轴表示家到教室的距离，横轴表示出发后的时间，则下列四个图象比较符合此人走法的是（ ）通过上例的解题过程，体验了利用实际数据拟合函数的过程：收集数据画散点图验 证选择函数模 型 求函数 模型用函数模型解决实际问题检验模型不好好待定系数法练习： 一家报刊推销员从报社买进报纸的价格是每份0.20元，卖出的价格是每份0.30元，卖不完的还可以以每份0.08元的价格退回报社．在一个月（以30天计算）有20天每天可卖出400份，其余10天只能卖250份，但每天从报社买进报纸的份数都相同，问应该从报社买多少份才能使每月所获得的利润最大？并计算每月最多能赚多少钱？解析：本题所给条件较多，数量关系比较复杂，可以列表分析：y在x ［250，400］上是一次函数． 则每月获利润y＝［（6x＋750）＋（0.8x－200）］－6x＝0.8x＋550（250≤x≤400）． ∴x＝400份时，y取得最大值870元． 答：每天从报社买进400份时，每月获的利润最大，最大利润为870元． 一家报刊推销员从报社买进报纸的价格是每份0.20元，卖出的价格是每份0.30元，卖不完的还可以以每份0.08元的价格退回报社．在一个月（以30天计算）有20天每天可卖出400份，其余10天只能卖250份，但每天从报社买进报纸的份数都相同，问应该从报社买多少份才能使每月所获得的利润最大？并计算每月最多能赚多少钱？；（2）、认定市场售价减去种植成本为纯收益，问何时上市的西红柿
纯收益最大？（注：市场售价和种植成本的单位：，时间单位：天） 解(1)由图1可得市场售价与时间的函数关系式为:由图2可得种植成本与时间的函数关系式为:(2)设 时刻的纯收益为 ,则由题意得 即
综上,由 可知, 在 上可以取得最大值
100,此时 =50,即二月一日开始的第50天时,上市的西红柿纯收益
最大.1.一家旅社有100间相同的客房，经过一段时间的经营实践，旅社经理发现，每间客房每天的价格与住房率之间有如下关系：要使每天收入达到最高，每间定价应为（ ）A.20元 B.18元 C.16元 D.14元2.将进货单价为80元的商品按90元一个售出时，能卖出400个，已知这种商品每个涨价1元，其销售量就减少20个，为了取得最大利润，每个售价应定为( ) A.95元 B.100元 C.105元 D.110元CAy=(90+x-80）（400-20x)小结 （1）认真审题，准确理解题意；
（2）抓准数量关系，运用已有的数学知识和方法，建立函数关系式；
（3）根据实际情况确定定义域。 基本步骤：
第一步：阅读理解，认真审题
读懂题中的文字叙述，理解叙述所反映的实际背景，领悟从背景中概括出来的数学实质，尤其是理解叙述中的新名词、新概念，进而把握住新信息。第二步：引进数学符号，建立数学模型
设自变量为x，函数为y，并用x表示各相关量，然后根据问题已知条件，运用已掌握的数学知识、物理知识及其他相关知识建立函数关系式，将实际问题转化为一个数学问题，实现问题的数学化，即所谓建立数学模型。第三步：利用数学的方法将得到的常规数学问题（即数学模型）予以解答，求得结果。
第四步：再转译为具体问题作出解答。
实际问题 数学模型实际问题 的解抽象概括数学模型 的解还原说明推理
演算5.已知函数
(1)当a＝1/2时，求函数f(x)的最小值；
(2)若对任意x∈[1，+∞)，f(x)＞0恒成立，试求实数a的取值范围. 练习高中数学易错、易混、易忘问题备忘录高中数学易错、易混、易忘问题备忘录高中数学易错、易混、易忘问题备忘录课件26张PPT。进入学点一学点二学点三学点四返回目录1.在区间(0,+∞)上，函数y=ax(a>1),y=logax(a>1)和y=xn(n>0)都是 （填“增”或“减”）函数，但它们的 不同，而且不在同一个“档次”上.
2.随着x的增大，y=ax(a>1)的增长速度越来越 ，会超过并远远大于y=xn(n>0)的增长速度，表现为指数爆炸.
3.随着x的增大，y=logax(a>1)的增长速度会越来越 .
4.随着x的增大，y=ax(a>1)的图象逐渐表现为与y轴 ，而y=logax(a>1)的图象逐渐表现为与x轴 .
5.当a>1,n>0时，总会存在一个x0,当x>x0时，有 .
6.当0x0时，有 .增增长速度快慢平行一样平行一样ax>xn>logaxlogax由图象知y1呈指数型增长
趋势;y2呈对数型增长趋
势;y3呈二次函数型增长
趋势;y4呈直线型增长趋势.【评析】根据表格或图象辨别函数增长模型，一要注意所给的数据变换速度，二要注意各类增长函数模型特征，对号入座.返回目录如下表，y随x变化关系如下：则y随x呈 增长.呈指数型（根据表格作出函数的大致图象，可知y随x呈指数型增长趋势.）返回目录学点二 递境率问题按复利计算利息的一种储蓄，本金为a元，每期利率为r，设本利和为y，存期为x，写出本利和y 随存期x 变化的函数关系式.如果存入本金1 000元，每期利率为2.25%，试计算6期后本利和是多少？【分析】复利是一种计算利息的方法，即把前一期的利息和本金加在一起算做本金,再计算下一期的利息.【解析】1期后的本利和为y1=a+a×r=a×(1+r);
2期后的本利和为y2=a(1+r)+a(1+r)·r=a(1+r)2;
3期后的本利和为y3=a(1+r)2+a(1+r)2·r=a(1+r)3；
… …返回目录x期后的本利和为y=a(1+r)x.
将a=1 000，r=2.25%，x=6代入上式，得
y=1 000×(1+2.25%)6=1 000×1.02256,
由计算器算得y≈1142.83（元）.
答：本利和y随存期x变化的函数关系式为y=a(1+r)x，6期后的本利和为1142.83元.【评析】此题模型为指数函数模型,在实际问题中,常常遇到有关平均增长率的问题,如果原来产值的基础数为N,平均增长率为P,那么对于时间x的总产值y=N×(1+P)x,解决平均增长率的问题,要用到这个函数关系式,它可以作为公式用.返回目录银行的定期存款中，存期为1年、2年、3年、5年的年利率分别为2.25%,2.43%,2.70%,2.88%，现将1 000元人民币存入银行，求:应怎样存取以使5年后得到的本金和利息总和最大？存5年共有6种存款方式：
（1）一次性存入5年，本金和利息的总和为1 000+5×1 000×2.88%=1 144（元）；
（2）存一个三年，再存一个两年(1 000+3×1 000×2.70%)(1+2×2.43%)=1 133.54(元)；
（3）存一个三年，再存两个一年1 000(1+3×2.70%)(1+2.25%)2=1 130.19(元)；（4）存两个两年，再存一个一年
1 000(1+2×2.43%)2(1+2.25%)=1 124.30（元）；
（5）存一个两年，再存三个一年
1 000(1+2×2.43%)(1+2.25%)3=1 120.99（元）；
（6）存五个一年1 000(1+2.25%)5=1 117.68（元）.
答：一次性存入5年本金和利息的总和最大.返回目录【分析】本题是通过数据验证，确定系数，然后分析确定后的函数变化情况，最终找出与实际最接近的函数模型.返回目录学点三 产量产值问题某皮鞋厂从今年1月份开始投产，并且前4个月的产量分别为1万双、1.2万双、1.3万双、1.37万双，由于产品质量好，款式新颖，前几个月的销售情况良好.为了推销员在推销产品时，接受订单不至于过多或过少，需要估计以后几个月的产量.厂里分析，产量的增加是由于工人生产熟练和理顺了生产流程.厂里也暂时不准备增加设备和工人，假如你是厂长，就月份x，产量y给出四种函数模型：
y=ax+b,y=ax2+bx+c,y=a +b ,y=abx+c,你将利用哪一种模型去估算以后几个月的产量？返回目录【解析】由题知A(1,1),B(2,1.2),C(3,1.3),D(4,1.37).
（1）设模拟函数为y=ax+b，将B，C两点的坐标代入函数式，有 3a+b=1.3 a=0.1
2a+b=1.2, b=1,
此法的结论是在不增加工人和设备的条件下，产量会每月上升1 000双，这是不太可能的.
（2）设y=ax2+bx+c,将A，B，C三点代入，有
a+b+c=1 a=-0.05
4a+2b+c=1.2 b=0.35
9a+3b+c=1.3 c=0.7.
解得所以y=-0.05x2+0.35x+0.7.返回目录由此法计算4月的产量为1.3万双，比实际产量少700双，而且，由二次函数性质可知，产量自4月份开始将每月下降（图象开口向下，对称轴x=3.5）,不合实际.
（3）设y=a +b.将A，B两点的坐标代入，有
a+b=1 a=0.48
2a+b=1.2， b=0.52.
∴y=0.48 +0.52.
以x=3和4代入，分别得到y=1.35和1.48，与实际产量差距较大.（4）设y=abx+c,将A，B，C三点的坐标代入，有
ab+c=1 a=-0.8
ab2+c=1.2 b=0.5
ab3+c=1.3, c=1.4,
∴y=-0.8×(0.5)x+1.4.
以x=4代入得 y=-0.8×0.54+1.4=1.35.
比较上述四个模拟函数的优劣，既要考虑到误差最小，又要考虑生产的实际，比如增产的趋势和可能性.经过筛选，以指数函数模拟为最佳.一是误差小，二是由于新建厂，开始返回目录随工人技术、管理效益逐渐提高，一段时间内产量会明显上升，但过一段时间之后，如果不更新设备，产量必然趋于稳定，而指数函数模拟恰好反映了这种趋势.因此，选用y=-0.8·0.5x+1.4模拟比较接近客观实际.【评析】本大题是对数据进行函数模拟，选择最符合的模拟函数.一般思路要画出散点图，然后作出模拟函数的图象，选择适合的几种函数类型后，再加以验证.函数模型的建立是最大的难点，另外运算量较大，必须借助计算机进行数据处理，函数模型的可靠性与合理性既需要数据检验，又必须与具体实际结合起来.返回目录返回目录某工厂1998年生产某种产品2万件,计划从1999年开始,每年的产量比上一年增长20%,求:从哪一年开始,这家工厂生产这种产品的年产量超过12万件?(已知lg2≈0.301 0,lg3≈0.477 1)设过x年后，产量超过12万件，
依题意得年产量y=2(1+20%)x,
则有2(1+20%)x>12，解得x>9.84.
答：从2008年开始年产量可超过12万件.学点四 分段函数模型某家庭今年一月份、二月份和三月份煤气用量和支付费用见表：该市煤气收费的方法：
煤气费=基本费+超额费+保险费.
若每月用量不超过最低限度Am3，只付基本费3元和每户每月的定额保险C元；若用气量超过Am3，超过部分每立方米付B元.又知保险费C不超过5元，求A，B，C的值.返回目录【分析】本题实质上是给出函数解析式的结构以及自变量的值和相应的函数值求解析式的问题,可将已知数据代入解析式构造方程解决.由于函数为分段形式，故需对函数值对应的自变量所在的区间作出判断.【解析】设煤气用量为x(m3)，支付费用为y（元），根据题设条件得y与x的函数关系式为
y= 3+C， 0≤x≤A ①
3+B(x-A)+C， x>A ②
由0从表格中看出此家庭第二、第三月份的费用均大于8元，故用气量25 m3,35 m3均大于最低限度A m3，将x=25,x=35分别代入②，得
3+B(25-A)+C=14 ③
3+B(35-A)+C=19 ④
返回目录④-③得B=0.5，代入③得
A=2C+3 ⑤
再分析一月份的用气量是否超过最低限度，不妨设A<4，将x=4代入②，得
3+0.5［4-(3+2C)］+C=4,
3.5-C+C=4,3.5=4矛盾.
∴A≥4，一月份付款方式选①.
∴3+C=4,即C=1代入⑤得A=5.
∴A=5，B=0.5,C=1.【评析】分段函数的计算，需对自变量与区间的关系作出判断.返回目录返回目录某人开汽车以60 km/h的速度从A地到距A为150 km的B地，在B地停留1 h后，再以50 km/h的速度返回A地.把汽车离开A地的距离x(km)表示为时间t(h)（从A地出发时开始）的函数，并画出函数的图象；再把车速v（km/h）表示为时间t(h)的函数，并画出函数的图象.汽车离开A地的距离x km与时间t h之间的关系式是
60t,t∈［0,2.5］,
150,t∈(2.5,3.5］,
150-50(t-3.5),
t∈(3.5,6.5］.它的图象如右图所示.速度v km/h与时间t h
的函数关系式是
60,t∈［0,2.5),
x= 0,t∈［2.5,3.5),
-50,t∈［3.5,6.5).
它的图象如下图所示.返回目录返回目录1.数学建模的常见形式有哪几种？数学建模中常见的形式有两种：机理模型、拟合模型.
（1）机理模型
对于一个实际问题，如果在建模过程中我们的注意力集中在使用数学语言描述问题中的主要因素之间的相互联系制约的关系，这样构建出来的模型称之为机理模型.这一类模型描述的是实际问题中主要因素间相互作用的机理，通过对模型进行数学分析，使人们比较容易加深对所研究的实际问题的认识.因此，机理模型是相当广泛的一类数学模型.
（2）拟合模型我们知道，数据是从实际问题中直接观测得到的，它包含有与问题相关的大量信息，如果我们面临的问题比较复杂，不能通过适当的假设来发现问题中的主要因素及其相互作用的机理时，数据资料往往能够为我们寻找所讨论的问题中有关变量的关系给出很好的提示.我们称直接从拟合数据资料出发组建的数学模型为拟合模型.由于组建模型缺乏有关因素之间作用机制的细致讨论，模型的使用和分析的深度受到了限制.一般来说，这类模型会告诉我们可能会发生什么情况，但无法说清楚为什么会是这样.
2.常见的机理模型有哪些？（1）平均增长率问题：如果原来产值的基础数为N，平均增长率为p，则对于时间x的产值或产量为y=N(1+p)x.
（2）储蓄中的复利问题：如果本金为a元，每期利率为r，本利和为y，存期为x，则y=a(1+r)x.
（3）根据几何、物理概念建立的函数关系，如位移、速度、时间的函数关系，灌溉渠的横截面面积A和水深h的函数关系.
（4）通过观察、实验建立的函数关系，如自由落体的距离公式等.返回目录3.正确地建立数学模型需把握的环节有哪些？正确地建立数学模型，需把握好以下几个环节：
第一个环节：阅读理解、认真审题
读懂题意是关键，要像阅读语文一样，弄清楚整个题目有几层意思，每层意思是什么，要解决什么问题，要做到由表及里，去粗取精，从字里行间中收集有用信息，明确题目中所展现的数量关系、位置关系、对应关系等.
第二个环节：建立数学模型
在第一个环节的基础上，运用已学的数学知识、物理知识及其他知识建立函数关系式，将实际问题数学化（注意定义域）.
第三个环节：利用所学的函数知识，结合题目要求，讨论数学模型的性质，获得数学模型的解.
第四个环节：根据数学模型的解，结合实际问题的实际意义，给出实际问题的解.返回目录返回目录认真读懂题目中的文字叙述.一般的实际问题的叙述都比较长，需要逐字逐句地看懂，理解叙述所包含的实际背景，领悟从背景中概括出来的数学实质，分析出已知什么，求什么，都涉及哪些知识，确立自变量与函数值的关系，尝试问题的函数化，要勇于尝试、探索，善于发现、归纳、联想，将实际问题概括为数学问题，并加以解决.祝同学们学习上天天有进步！课件22张PPT。进入学点一学点二学点三学点四2.用已知函数模型解决实际问题的基本步骤：第一步， ， ；第二步，根据所给模型，列出函数关系式；第三步， ；第四步，再将所得结论转译成具体问题的解答.返回目录1.我们目前已学习了以下几种函数：一次函数 ，二次函数 ，指数函数 ，对数函数 ，幂函数 . （试在横线上依次填出其解析式.）y=kx+b（k≠0）y=ax2+bx+c(a≠0)y=ax(a>0,且a≠1)y=logax(a>0,且a≠1)y=xα(α为常数)审清题意设立变量利用函数关系求解3.在处理曲线拟合与预测的问题时，通常需要以下几个步骤：
（1）能够根据原始数据、表格、绘出散点图；
（2）通过考查散点图，画出“最贴近”的曲线， 即 ;
（3）根据所学函数知识，求出拟合曲线的 ;
（4）利用函数关系，根据条件对所给问题进行预测和控制，以便为决策和管理提供依据. 返回目录拟合曲线函数解析式返回目录学点一 函数图象的应用向高为H的水瓶中注水，注满为止，如果注水量V与水深h的函数关系的图象如图所示，那么水瓶的形状是（ ）【分析】由函数图象可知函数的性质，如单调性等.考查图象常用特殊点验证. B返回目录【解析】解法一：由图知注水量V随着高度的增加，增加的越来越慢，
∴瓶子应越来越细.
故应选B.
解法二：（中点判断法）取h= ，如图所示三点A，
B，C，显然VB>VC= ，即水高度达到瓶子一半时，水的体积超过瓶子的一半，显然应下粗上细.
故应选B.【评析】抓住函数图象的变化趋势，定性地研究两个变量之间的关系，是近年来常见应用题的一种题型，其出发点是函数的图象，处理问题的基本方法就是数形结合.返回目录一天，亮亮发烧了，早晨他烧得很厉
害，吃过药后感觉好多了，中午时亮
亮的体温基本正常，但是下午他的体
温又开始上升，直到半夜亮亮才感觉
身上不那么发烫了.图中能基本上反映
出亮亮这一天（0时~24时）体温的变
化情况的是 （ ）（设T=f(x)，显然在t∈［0,6］,［6,12］,［12,18］,［18,24］时，f(t)依次为增、减、增、减函数.
故应选C.）C返回目录学点二 已知函数模型解实际问题物体在常温下的温度变化可以用牛顿冷却规律来描述，设物体的初始温度是T0，经过一定时间t后的温度是T，则
T-Ta=(T0-Ta)× .
其中Ta表示环境温度，h称为半衰期，现有一杯用88 ℃热水冲的速溶咖啡，放在24 ℃的房间中，如果咖啡降温到40 ℃需要20 min，那么降温到35 ℃时，需要多长时间？【分析】待定系数法求函数解析式是一种求函数解析式的基本题型.返回目录【解析】设半衰期为h，由题意知
40-24=(88-24)× ,
即 ,
解之得h=10,故原式可化简为
T-24=(88-24)× ,
当T=35时，代入上式，得
35-24=（88-24）× ,
即 = ,
两边取对数，用计算器求得t≈25.
因此，约需要25 min可降温到35 ℃.【评析】这类题目主要有两类：一是已知函数解析式形式，只需求待定系数，较容易；二是根据题目所给条件，能够列出两个变量x,y之间的关系式，从而得出函数解析式，这类题目的关键是审清题意，弄清常量、变量等诸元素之间的关系，在前几年的高考题目中，占有较大比例.返回目录返回目录某医药研究所开发一种新药，据监测，如果成人按规定的剂量服用，服药后每毫升血液中的含药量y(微克)与服药后的时间t(小时)之间近似满足如图所示的曲线，其中OA是线段，曲线ABC是函数y=k·at(t≥1,a>0，且k,a是常数)的图象.
（1）写出服药后y关于t
的函数关系式；返回目录（2）据测定：每毫升血液中含药量不少于2微克时治疗疾病有效.假若某病人第一次服药为早上6：00，为了保持疗效，第二次服药最迟应该在当天几点钟？
（3）若按（2）中的最迟时间第二次服药，则服药后再过3小时，该病人每毫升血液中含药量为多少微克？（精确到0.1微克）（2）设第一次服药后最迟过t小时服第二次药，依题
意得t≥1, =2,解得t=5,因此，第二次服药最迟应在第一次服药5小时后，即上午11时服药.
（3）第二次服药后3小时，每毫升血液中含第一次所
服的药的药量为y1= = 微克，含第二次所
服的药的药量为y2= =4微克，y1+y2= +4=4.7微克.
答：该病人每毫升血液中含药约为4.7微克.返回目录返回目录学点三 拟合函数某工厂今年1月、2月、3月生产某种产品的数量分别为1万件、1.2万件、1.3万件，为了估计以后每个月的产量，以这三个月的产品数量为依据，用一个函数模拟该产品的月产量y与月份x的关系，模拟函数可以选用二次函数或函数y=a·bx+c(其中a,b,c为常数).已知4月份该产品的产量为1.37万件，问：用以上哪个函数作为模拟函数较好，并说明理由.【分析】此题想判断哪个函数最好，可以先通过前三个月给出的条件，确定两种模拟函数中参数的值，再由4月份的产量，比较哪个函数值更接近1.37万.返回目录【解析】设y1=f(x)=px2+qx+r(p≠0)，则
f(1)=p+q+r=1
f(2)=4p+2q+r=1.2
f(3)=9p+3q+r=1.3, 解得p=-0.05,q=0.35,r=0.7.
∴f(4)=-0.05×42+0.35×4+0.7=1.3,
再设y2=g(x)=abx+c(a≠0,b>0,b≠1)，则
g(1)=ab+c=1
g(2)=ab2+c=1.2
g(3)=ab3+c=1.3. 解得a=-0.8,b=0.5,c=1.4.
∴g(4)=-0.8×0.54+1.4=1.35.
经比较可知用y=-0.8×(0.5)x+1.4作为模拟函数较好.返回目录【评析】问题中给出函数关系式,且关系式中带有需确定的参数,这些参数需要根据问题的内容或性质来确定,然后再通过运用函数使问题本身获解.返回目录今有一组试验数据如下：
现准备用下列函数中的一个近似地表示这些数据所满足的规律，其中最接近的一个是下面这些函数：
中的哪一个？将表中的数据描点可知最接近的是v= ，或将表中各t的值代入上述各函数式检验，与表中v的值最接近的应是v= .返回目录1.怎样理解“数学建模”和实际问题的关系？一般来说，对问题进行修改和简化，形成一种比较精确和简洁的表述，这时可称之为“实际模型”，它和“实际原形”不同，因为它被简化了，不是实际问题所有方面都得到了体现.而是在得到一个“实际模型”之后，再用数学符号和表达式来代替实际问题中的变量和关系，得到的结果是一个“数学模型”. 在“数学建模”中要把握好下列几个问题：
（1）理解问题：阅读理解，读懂文字叙述，认真审题，理解实际背景.弄清楚问题的实际背景和意义，设法用数学语言来描述问题.
（2）数学建模：把握新信息，勇于探索，善于联想，灵活化归，根据题意建立变量或参数间的数学关系，实现实际问题数学化，引进数学符号，构建数学模型，常用的数学模型有方程、不等式、函数.2.怎样才能搞好“数学建模”？（3）求解模型：以所学的数学性质为工具对建立的数学模型进行求解.
（4）检验模型：将所求的结果代回模型中检验，对模拟的结果与实际情形比较，以确定模型的有效性，如果不满意，要考虑重新建模.
（5）评价与应用：如果模型与实际情形比较吻合，要对计算的结果作出解释并给出其实际意义，最后对所建立的模型给出运用范围.如果模型与实际问题有较大出入，则要对模型改进，并重复上述步骤.返回目录3.“数学建模”中要注意什么问题？（1）有的应用题文字叙述冗长，或者选择的知识背景较为陌生，处理时，要注意认真、耐心地阅读和理解题意.
（2）解决函数应用题时要注意用变化的观点分析和探求具体问题中的数量关系，寻找已知量与未知量之间的内在联系，然后将这些内在联系与数学知识联想，建立函数关系式或列出方程，利用函数性质或方程观点来求解，则可使应用题化生为熟，尽快得到解决.返回目录1.如果实际问题中的规律很难用一个统一的关系式表示，可考虑用分段函数来表示它.另外，在实际问题的计算中应注意统一单位.
2.分类讨论建立函数模型在实际问题中较为常见，应引起充分注意.
3.建立“数学模型”常用的分析方法：
（1）关系分析法：即通过寻找关键词和关键量之间的数量关系的方法来建立问题的数学模型的方法.
（2）列表分析法：即通过列表的方式探索问题的数学模型的方法.返回目录祝同学们学习上天天有进步！