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分课时教学设计
第一课时《4.1正弦和余弦》教学设计
课型 新授课√ 复习课口 试卷讲评课口 其他课口
教学内容分析 《正弦》是湘教版九年级上册第四章《锐角三角函数》的第一节内容。本节主要研究正弦函数，通过讨论直角三角形中锐角与其对边和斜边比值之间的关系，引出正弦函数的概念。教材通过实际问题抽象出数学问题，即当直角三角形的锐角固定时，它的对边与斜边的比值都固定（即正弦值不变）。这种设计有助于学生理解正弦函数的实际意义和应用价值。同时，教材也注重了知识的连贯性和系统性，为正弦函数后续的学习打下了坚实的基础。
学习者分析 九年级学生已经学习了三角形、相似三角形、勾股定理以及函数相关知识，具备了一定的逻辑思维能力和推理能力。他们对数学有了一定的兴趣和热情，同时也具备了一定的自主学习和合作学习的能力。然而，对于首次接触到的以角度为自变量的三角函数，学生可能会感到陌生和困难。因此，在教学过程中，教师需要注重引导学生从特殊到一般地认识正弦函数，帮助他们逐步理解正弦函数的概念和性质。
教学目标 1.初步了解锐角三角函数的意义，理解在直角三角形中一个锐角的对边与斜边的比值就是这个锐角的正弦的定义，并会根据已知直角三角形的边长求一个锐角的正弦值。 2.经历探索直角三角形中边与角的关系的过程，逐步发现一个锐角的对边与斜边的比值不变的规律，培养学生由特殊到一般的演绎推理能力。 3.在解决问题的过程中体验求索的科学精神以及严谨的科学态度，进一步激发学习需求。同时，通过合作学习，培养学生的团队协作精神和交流沟通能力。
教学重点 理解正弦（sinA）概念，能用正弦概念进行简单的计算。
教学难点 比较、分析并得出正弦函数的概念，以及理解直角三角形中一个锐角与其对边及斜边比值的对应关系。
学习活动设计
教师活动学生活动环节一：新知导入教师活动1： 回顾： 直角三角形△ABC有什么性质？ 教师带领回顾：直角三角形的两个锐角互余。 ∠A+∠B=90° 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。 CD=AB 直角三角形两直角边a,b的平方和，等于斜边c的平方。 a2+b2=c2学生活动1： 跟随教师的讲授回顾旧知 举手回答问题，认真听讲活动意图说明：复习导入有利于衔接新旧知识，提高学习效率。通过旧知识引入新的知识有利于活跃课堂教学氛围，激发学生学习动机。环节二：讲授新知教师活动2： 做一做 画一个直角三角形， 其中一个锐角为65°， 量出65°角的对边长度和斜边长度， 计算 = =_______________. 与同桌和邻桌的同学交流， 看看计算出的比值是否相等(精确到0.01). 猜想：在有一个锐角为65°的所有直角三角形中，65°角的对边与斜边的比值是一个常数. 思考：若把65°角换成任意一个锐角α，则这个角的对边与斜边的比值是否也是一个常数呢？ 探究 如图，△ABC 和△DEF都是直角三角形，其中∠A=∠D=α，∠C=∠F =90°， 则=成立吗？为什么？ 解： ∵∠A=∠D=α，∠C=∠F=90°， ∴ Rt△ABC∽Rt△DEF. ∴ = . 即BC·DE=AB·EF， ∴ =. 教师讲授：在有一个锐角等于α的所有直角三角形中，角α的对边与斜边的比值是一个常数， 与直角三角形的大小无关. 在直角三角形中， 我们把锐角α的对边与斜边的比叫作角α的正弦(sine)，记作sinα. sin= 教师讲授：根据“在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半”，容易得到sin30°= . 学生活动2： 动手测量，合作交流 提出猜想 认真思考 认真思考，独立证明 认真听讲，经历角α的对边与斜边的比值是一个常数的证明过程 认真听讲，了解正弦的定义 由旧知求特殊的正弦值活动意图说明：数学是一门严谨的学科，它要求推理过程和结论都必须经过严格的逻辑推理和证明。让学生通过自主证明，感受数学的严谨性，提高学生的逻辑推理能力和自主解题能力。环节三：例题精析教师活动3： 例1如图，在 Rt△ABC中，∠C=90°，BC=3，AB=5． (1)求sinA的值； (2)求sinB的值． 解: (1)∠A的对边BC=3，斜边AB=5 ． 于是sinA==． (2)∠B的对边是AC，根据勾股定理得AC2=AB2-BC2=52-32=16． 于是AC=4． 因此sinB==．学生活动3： 学生认真思考，独立完成习题 学生认真听讲 活动意图说明：让学生通过具体例题的教学理解和巩固数学基础知识，把数学理论与实践相结合，掌握数学基础知识理论的用途和方法，从而达到提高分析问题解决问题的能力的目标。环节四：课堂总结教师活动4： 教师讲授： 在直角三角形中， 我们把锐角α的对边与斜边的比叫作角α的正弦(sine)，记作sinα. sin= 根据“在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半”，容易得到sin30°= .学生活动4： 学生跟随教师对学习内容进行归纳梳理 活动意图说明：对课堂教学进行归纳梳理，给学生一个整体印象，促进学生掌握知识总结规律。
板书设计
课堂练习 【知识技能类作业】 必做题： 1.如图，△ABC中，∠C＝90°，则∠A的正弦值可以表示为( ) A. B. C. D. 2.在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=13，AC=5，则sinB的值为（ ） A． B． C． D． 3.在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A∶∠B＝1∶2，则sinA=_____． 选做题： 4.如图，已知Rt△ABC中，∠C＝90°，BC=3，AC=4，则sinA的值为（ ）. A． B． C． D． 5.计算：sin30°－|－2|＝ ． 6.如图，在△ABC中，DE∥BC，∠B＝30°，则sin∠ADE的值为 ． 【综合拓展类作业】 如图所示，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，D为垂足，若AC＝4，BC＝3，求sin∠ACD的值．
作业设计 【知识技能类作业】 必做题： 1.已知Rt△ABC∽Rt△A′B′C′，∠C=∠C′=90°，且AB=2A′B′，则sinA与sinA′的关系为 ( ) A．sinA=2sinA′ B．sinA=sinA′ C．2sinA=sinA′ D．不确定 2.填空： (1)sinA＝＝； (2)sinB＝＝. 3.在Rt△ABC中，∠B＝90°.若AC＝2BC，则sinC的值是_______. 【综合拓展类作业】 如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D. (1)求证：△ACD∽△CBD； (2)若AD＝2，AB＝6，求CD的长和sinA的值．
教学反思 1.需要多花时间研究如何调控课堂气氛，使课堂更加活跃，提高教学效果。 2.在新知探究过程中，应该更多地交由学生自主思考分析，将课堂还给学生，体现新课程理念。 3.需要精炼课堂语言，用语言引导本章的知识学习路径和知识框架，激发学生的求知欲望。 4.板书设计需要详略得当，避免非必要和非重点的内容出现和重复。
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学 科 数学 年 级 九 设计者
教材版本 湘教版 册、章 上册第四章
课标要求 1.利用相似的直角三角形，探索并认识锐角三角函数(sinA,cosA，tanA)，知道30°，45°，60°角的三角函数值。 2.会使用计算器由已知锐角求它的三角函数值，由已知三角函数值求它的对应锐角。 3.能用锐角三角函数解直角三角形，能用相关知识解决一些简单的实际问题。
内容分析 本章是湘教版九年级上册第四章《锐角三角函数》，属于《义务教育数学课程标准》中的“图形与几何”领域中的“图形的变化”.在中学数学教育中，三角学内容被分为两部分：一部分在义务教育第三学段（主要研究锐角三角函数和解直角三角形的内容），另一部分在高中阶段（包括解斜三角形、三角函数、反三角函数和简单的三角方程）。锐角三角函数作为三角学的初步内容，为后续学习三角函数和解斜三角形提供了重要的基础。 本章主要内容包括：锐角三角函数（正弦、余弦和正切）以及解直角三角形。锐角三角函数是自变量为锐角时的三角函数，即缩小了定义域的三角函数。解直角三角形在实际应用中有着广泛的应用，而锐角三角函数为解直角三角形提供了有效的工具。相似三角形的知识和勾股定理也是学习锐角三角函数的重要基础。并且研究图形中各个元素之间的关系，并把这种关系进行量化，是分析和解决问题中常用的一种数形结合的方法，这种方法是一种重要的数学思想.因此本章还包含了数形结合的思想.
学情分析 《锐角三角函数》通常安排在初中数学课程的后期，学生在此之前已经学习了直角三角形、相似三角形以及勾股定理等相关知识。这些知识为学习锐角三角函数提供了必要的基础。且经过之前的学习，学生已经具备了初步的逻辑思维能力和简单的抽象概括能力，掌握了一些科学的学习方法，学会了独立思考和与人合作交流的能力。大部分学生对数学学习有着浓厚的兴趣，乐于参与到学习活动中去，特别是对一些动手操作、合作学习、实践活动等学习内容尤为感兴趣。 然而，也有部分学生基础较差，上课听到的知识课后不会运用，作业的正确率低，个别学生有拖拉作业的习惯。因此，在本章的数学课上，需要培养学生对数学的学习兴趣，让学生善于思考、乐于思考，不怕错误，具有问题意识，并养成良好的学习习惯。
单元目标 （一）教学目标 1.认识锐角三角函数（sinA,cosB,tanA）。 2.知道30°，45°，60°角的三角函数值。 3.会使用计算器求已知锐角的三角函数值，及由已知锐角的三角函数值求锐角。 4.能用锐角三角函数解决一些简单的实际问题。 （二）教学重点、难点 教学重点： 1.正弦、余弦、正切的概念。 2.解直角三角形的方法。 教学难点： 1.用含有几个字母的符号sinA、cosA、tanA表示正弦、余弦、正切。 2.锐角三角函数的概念反映了角度与数值之间对应的函数关系，这种角与数之间的对应关系是学生过去没有接触过的，因此有一定的难度。
单元知识结构框架及课时安排 （一）单元知识结构框架 （二）课时安排 课时编号单元主要内容课时数4.1正弦和余弦34.2正切14.3解直角三角形14.4解直角三角形的应用2小结与复习单元复习1
达成评价 课题课时目标达成评价评价任务4.1正弦和余弦（1）1.初步了解锐角三角函数的意义，理解在直角三角形中一个锐角的对边与斜边的比值就是这个锐角的正弦的定义，并会根据已知直角三角形的边长求一个锐角的正弦值。 2.经历探索直角三角形中边与角的关系的过程会根据已知直角三角形的边长求一个锐角的正弦值任务一：通过问题要求求锐角的对边与斜边的比值。 任务二：经历探索直角三角形中边与角的关系的过程。 任务三：例题精讲，经历求正弦值的过程。 任务四：习题检测。4.1正弦和余弦（2）1.理解并掌握锐角正弦的定义，能够根据定义求出特殊锐角的正弦值。 2.会用计算器求锐角的正弦值。 3.学会利用正弦函数解决直角三角形中的相关问题。1.能够根据定义求出特殊锐角的正弦值。 2.会用计算器求锐角的正弦值。任务一：复习导入，回顾旧知。 任务二：动手计算，求出特殊锐角的正弦值。 任务三：用计算器求锐角的正弦值。 任务四：习题检测。4.1正弦和余弦（3）1.理解锐角余弦的概念，掌握余弦函数的定义和计算方法，能够运用余弦函数解决相关问题。 2.用计算器求锐角的余弦值。1.会根据已知直角三角形的边长求一个锐角的余弦值。 2.用计算器求锐角的余弦值。任务一：复习导入，回顾旧知。 任务二：理解锐角余弦的概念。 任务三：掌握求余弦值计算方法。 任务四：习题检测。4.2正切1.经历锐角正切的探索过程，理解并掌握锐角正切的概念及其计算方法。 2.掌握正切的符号，会用符号表示一个锐角的正切函数 3.能够运用正切函数解决相关的数学问题。1.会根据已知直角三角形的边长求一个锐角的正切值。 2.用计算器求锐角的正切值。任务一：复习导入，回顾旧知。 任务二：理解锐角正切的概念。 任务三：掌握求正切值计算方法。 任务四：习题检测。4.3解直角三角形1.理解直角三角形中五个元素的关系，会运用勾股定理、直角三角形的两个锐角互余及锐角三角函数解直角三角形。 2.探索发现解直角三角形所需的最简条件。 1.会运用勾股定理、直角三角形的两个锐角互余及锐角三角函数解直角三角形。 2.运用数学知识解决一些简单的实际问题任务一：回顾正弦、余弦和正切。 任务二：经历解直角三角形的过程。 任务三：探索发现解直角三角形所需的最简条件。 任务四：习题检测。4.4解直角三角形的应用（1）1.学生能够理解仰角和俯角的概念。 2.学生能够掌握解直角三角形的基本方法。3.学生能够经历从实际问题抽象出数学模型的过程，学会将实际问题转化为解直角三角形的问题。1.会根据直角三角形的知识解决与仰角、俯角有关的实际问题。 2.利用三角函数求解边长和角度等。 3.会将实际问题转化为解直角三角形的问题并解决。任务一：回顾解直角三角形。 任务二：探究解直角三角形的应用。 任务三：将实际问题转化为解直角三角形的问题并解决。 任务四：习题检测。4.4解直角三角形的应用（2）运用勾股定理、直角三角形的两个锐角互余及锐角三角函数解直角三角形，使学生能够运用解直角三角形的知识解决有关方向角、坡度等实际问题。能够运用解直角三角形的知识解决有关方向角、坡度等实际问题。任务一：新知导入，问题驱动。 任务二：探究解直角三角形的应用。 任务三：将实际问题转化为解直角三角形的问题并解决。 任务四：习题检测。小结与复习1.回顾锐角三角函数（sinA,cosB,tanA）。 2.巩固30°，45°，60°角的三角函数值。 3.巩固由已知锐角的三角函数值求锐角。 4.能用锐角三角函数解决一些简单的实际问题。1.会求锐角三角函数。 2.能由已知锐角的三角函数值求锐角 3.能用锐角三角函数解决一些简单的实际问题。任务一：回顾旧知，进行单元复习。 任务二：习题检测，查漏补缺。
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（湘教版）九年级
上
4.1.1 正弦与余弦
锐角三角函数
第四章
“—”
教学目标
01
新知导入
02
新知讲解
03
课堂练习
04
课堂总结
05
作业布置
06
目录
内容总览
教学目标
1.初步了解锐角三角函数的意义，理解在直角三角形中一个锐角的对边与斜边的比值就是这个锐角的正弦的定义，并会根据已知直角三角形的边长求一个锐角的正弦值。
2.经历探索直角三角形中边与角的关系的过程，逐步发现一个锐角的对边与斜边的比值不变的规律，培养学生由特殊到一般的演绎推理能力。
新知导入
直角三角形△ABC有什么性质？
回顾
直角三角形的两个锐角互余。
∠A+∠B=90°
直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。
CD=AB
直角三角形两直角边a,b的平方和，等于斜边c的平方。
a2+b2=c2
新知讲解
做一做
画一个直角三角形， 其中一个锐角为65°， 量出65°角的对边长度和斜边长度， 计算
= =_______________.
与同桌和邻桌的同学交流， 看看计算出的比值是否相等(精确到0.01).
新知讲解
猜想：在有一个锐角为65°的所有直角三角形中，65°角的对边与斜边的比值是一个常数.
思考：若把65°角换成任意一个锐角α， 则这个角的对边与斜边的比值是否也是一个常数呢？
新知讲解
探究
如图，△ABC 和△DEF都是直角三角形，其中∠A=∠D=α ，∠C=∠F =90°， 则=成立吗？ 为什么？
解：∵∠A=∠D=α，∠C=∠F=90°，
∴ Rt△ABC∽Rt△DEF.
∴ = .
即BC·DE=AB·EF，
∴ =.
新知讲解
在有一个锐角等于 α 的所有直角三角形中， 角 α 的对边与斜边的比值是一个常数， 与直角三角形的大小无关.
在直角三角形中， 我们把锐角α的对边与斜边的比叫作角α的正弦(sine)，记作sinα.
sin =
新知讲解
根据 “在直角三角形中， 30°角所对的直角边等于斜边的一半”， 容易得到sin30°= .
典例精析
例1
如图，在 Rt△ABC中，∠C=90°，BC=3，AB=5．
(1)求sinA的值；
(2)求sinB的值．
解:(1)∠A的对边BC=3，斜边AB=5 ．
于是sinA==．
典例精析
例1
如图，在 Rt△ABC中，∠C=90°，BC=3，AB=5．
(1)求sinA的值；
(2)求sinB的值．
解:(2)∠B的对边是AC， 根据勾股定理， 得AC2=AB2-BC2=52-32=16．
于是AC=4．
因此sinB==．
1.如图，△ABC中，∠C＝90°，则∠A的正弦值可以表示为( )
A.
B.
C.
D.
【知识技能类作业】必做题：
课堂练习
C
2.在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=13，AC=5，则sinB的值为（ ）
A． B． C． D．
3.在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A∶∠B＝1∶2，则sinA=______．
【知识技能类作业】必做题：
课堂练习
B
【知识技能类作业】必做题：
课堂练习
4.如图，已知Rt△ABC中，∠C＝90°，BC=3，AC=4， 则sinA的值为（ ）.
A．
B．
C．
D．
C
【知识技能类作业】必做题：
课堂练习
5.计算：sin30°－|－2|＝ ．
6.如图，在△ABC中，DE∥BC，∠B＝30°，则sin∠ADE的值为 ．
-
【综合拓展类作业】
课堂练习
如图所示，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，D为垂足，若AC＝4，BC＝3，求sin∠ACD的值．
解：∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，AC＝4，BC＝3，
∴AB==5.
根据同角的余角相等，得∠ACD＝∠B.
∴sin∠ACD＝sinB＝＝.
课堂总结
在直角三角形中， 我们把锐角α的对边与斜边的比叫作角α的正弦(sine)，记作sinα.
sin =
sin30°=
板书设计
正弦：
sin =
sin30°:
4.1正弦（1）
习题讲解书写部分
【知识技能类作业】必做题：
作业布置
1.已知Rt△ABC∽Rt△A′B′C′，∠C=∠C′=90°，且AB=2A′B′，则sinA与sinA′的关系为 ( )
A．sinA=2sinA′
B．sinA=sinA′
C．2sinA=sinA′
D．不确定
B
【知识技能类作业】必做题：
作业布置
2.填空：
(1)sinA==；
(2)sinB==.
CD
AB
BC
AC
【知识技能类作业】必做题：
作业布置
3.在Rt△ABC中，∠B＝90°.若AC＝2BC，则sinC的值是_______.
【综合拓展类作业】
作业布置
如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D.
(1)求证：△ACD∽△CBD；
(2)若AD＝2，AB＝6，求CD的长和sinA的值．
(1)证明：∵∠A＋∠ACD＝90°，∠A＋∠B＝90°，
∴∠ACD＝∠B.
又∵∠ADC＝∠CDB＝90°，
∴△ACD∽△CBD.
【综合拓展类作业】
作业布置
如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D.
(1)求证：△ACD∽△CBD；
(2)若AD＝2，AB＝6，求CD的长和sinA的值．
(2)解∵△ACD∽△CBD，
∴=，
∴CD2＝AD·BD＝2×(6-2)＝8，
∴CD＝2.
在Rt△ACD中，由勾股定理得AC＝2，
∴sinA＝.
Thanks!
2
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