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圆锥与扇形 题型专练
题型一 弧长与面积
1．如图，正△ABC内接于半径是2的圆，那么阴影部分的面积是 ．
2．一个扇形的弧长是10πcm，面积是75πcm2，则扇形的圆心角是 ．
3．圆心角为75°的扇形的弧长是2.5π，则扇形的半径为 ．
4．如图，圆内接正五边形ABCDE的半径为2，连接AC、BD相交于点F．
（1）求证：AB＝AF；
（2）求的长．
题型二 圆锥与扇形
5．一个圆锥的侧面积是底面积的2倍，则该圆锥的侧面展开图扇形的圆心角度数是 度．
6．已知一个圆锥的侧面展开图是一个圆心角为120°，面积为12πcm2的扇形，则这个圆锥的高是 cm．
7．若圆锥的侧面展开是一个弧长为16π的扇形，则这个圆锥的底面半径是 ．
8．若圆锥的底面半径为2cm，母线长为8cm，则这个圆锥的侧面积是 cm2，侧面展开图的圆心角是 度．
9．已知圆锥的底面半径为1，全面积为4π，则圆锥的母线长为 ．
题型三 圆锥与最短路径
10．已知圆锥的高为AO，母线为AB，且，圆锥的侧面展开图为如图所示的扇形．将扇形沿BE折叠，使A点恰好落在上F点，则弧长CF与圆锥的底面周长的比值为（ ）
A． B． C． D．
11．如图，AB是半圆O的直径，且AB＝8，点C为半圆上的一点．将此半圆沿BC所在的直线折叠，若圆弧BC恰好过圆心O，则图中阴影部分的面积是 ．（结果保留π）
12．如图，将半径为1，圆心角为120°的扇形OAB绕点A逆时针旋转一个角度，使点O的对应点D落在弧AB上，点B的对应点为C，连接BC，则图中CD、BC和弧BD围成的封闭图形面积是 ．中小学教育资源及组卷应用平台
圆锥与扇形 题型专练
题型一 弧长与面积
1．如图，正△ABC内接于半径是2的圆，那么阴影部分的面积是 ．
【思路点拔】利用正三角形的性质，由它的内接圆半径可求出它的高和边，再用圆的面积减去三角形的面积即可．
【解答】解：如图，点O既是它的外心也是其内心，
∴OB＝2，∠1＝30°，
∴ODOB＝1，BD，
∴AD＝3，BC＝2，
∴S△ABC23＝3；
而圆的面积＝π×22＝4π，
所以阴影部分的面积＝4π﹣3，
故答案为4π﹣3．
2．一个扇形的弧长是10πcm，面积是75πcm2，则扇形的圆心角是 ．
【思路点拔】设扇形的半径为r cm，圆心角为n°，根据扇形的面积公式得出75π，求出r，再根据弧长公式得出10π，再求出n即可．
【解答】解：设扇形的半径为r cm，圆心角为n°，
∵扇形的弧长是10πcm，面积是75πcm2，
∴75π，
解得：r＝15，
由弧长公式得：10π，
解得：n＝120，
即扇形的圆心角的度数是120°，
故答案为：120°．
3．圆心角为75°的扇形的弧长是2.5π，则扇形的半径为 ．
【思路点拔】根据弧长公式l来求扇形的半径r的值．
【解答】解：依题意得：2.5π，解得r＝6．
故答案为：6．
4．如图，圆内接正五边形ABCDE的半径为2，连接AC、BD相交于点F．
（1）求证：AB＝AF；
（2）求的长．
【思路点拔】（1）根据正五边形的性质求出∠ABD、∠ACB、∠DBC的度数，借助三角形的外角性质即可解决问题．
（2）根据的长为圆周长的，求出圆的周长，即可解决问题．
【解答】解：（1）∵五边形ABCDE为正五边形，
∴⊙O的周长，
∴∠ABD72°，
∠ACB＝∠DBC36°，
∴∠AFB＝2×36°＝72°，
∴∠ABF＝∠AFB，
∴AB＝AF．
（2）∵⊙O的周长＝2π×2＝4π，
∴的长4π．
题型二 圆锥与扇形
5．一个圆锥的侧面积是底面积的2倍，则该圆锥的侧面展开图扇形的圆心角度数是 度．
【思路点拔】根据圆锥的侧面积是底面积的2倍可得到圆锥底面半径和母线长的关系，利用圆锥侧面展开图的弧长＝底面周长即可得到该圆锥的侧面展开图扇形的圆心角度数．
【解答】解：设母线长为R，底面半径为r，
∴底面周长＝2πr，底面面积＝πr2，侧面面积＝πrR，
∵侧面积是底面积的2倍，
∴2πr2＝πrR，
∴R＝2r，
设圆心角为n，有2πr＝πR，
∴n＝180°．
6．已知一个圆锥的侧面展开图是一个圆心角为120°，面积为12πcm2的扇形，则这个圆锥的高是 cm．
【思路点拔】首先利用扇形面积公式求出扇形的半径，进而求出底面圆的半径，再利用勾股定理求出圆锥的高即可．
【解答】解：设母线长为r cm，底面圆的半径为R cm，
S扇形12π，
解得：r＝6，
底面圆的周长为：2πR，
解得：R＝2，
∴这个圆锥的高是：4（cm）．
故答案为：．
7．若圆锥的侧面展开是一个弧长为16π的扇形，则这个圆锥的底面半径是 ．
【思路点拔】利用底面周长＝展开图的弧长可得．
【解答】解：16π＝2πr，解得r＝8．
故答案为：8．
8．若圆锥的底面半径为2cm，母线长为8cm，则这个圆锥的侧面积是 cm2，侧面展开图的圆心角是 度．
【思路点拔】圆锥的侧面积＝π×底面半径×母线长；易得圆锥的底面周长，就是圆锥的侧面展开图的弧长，利用弧长公式可得圆锥侧面展开图的角度，把相关数值代入即可求解．
【解答】解：圆锥侧面积＝π×2×8＝16πcm2；
∵圆锥底面半径是2cm，
∴圆锥的底面周长为4πcm，
设圆锥的侧面展开的扇形圆心角为n°，
4π，
解得n＝90°，
故答案为：16π，90．
9．已知圆锥的底面半径为1，全面积为4π，则圆锥的母线长为 ．
【思路点拔】首先根据圆锥的底面半径求得底面积，然后利用全面积减去底面积求得侧面积，然后利用侧面积的计算方法求得母线长即可．
解：∵底面半径为1，全面积为4π，
∴侧面积为3π，
设母线长为x，底面半径是1，则底面周长＝2π，
∵圆锥侧面展开图的面积是3π，
∴2π×x＝3π，解得x＝3．
故答案为3．
题型三 圆锥与最短路径
10．已知圆锥的高为AO，母线为AB，且，圆锥的侧面展开图为如图所示的扇形．将扇形沿BE折叠，使A点恰好落在上F点，则弧长CF与圆锥的底面周长的比值为（ ）
A． B． C． D．
【思路点拔】连接AF，如图，设OB＝5a，AB＝18a，∠BAC＝n°，利用圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长得到2π×5a，解得n得到∠BAC＝100°，再根据折叠的性质得到BA＝BF，则可判断△ABF为等边三角形，于是可计算出∠FAC＝40°，然后根据弧长公式计算弧长CF与圆锥的底面周长的比值．
【解答】解：连接AF，如图，
设OB＝5a，AB＝18a，∠BAC＝n°，
∴2π×5a，解得n＝100，
即∠BAC＝100°，
∵将扇形沿BE折叠，使A点恰好落在上F点，
∴BA＝BF，
而AB＝AF，
∴△ABF为等边三角形，
∴∠BAF＝60°，
∴∠FAC＝40°，
∴的长度4πa，
∴弧长CF与圆锥的底面周长的比值．
故选：B．
11．如图，AB是半圆O的直径，且AB＝8，点C为半圆上的一点．将此半圆沿BC所在的直线折叠，若圆弧BC恰好过圆心O，则图中阴影部分的面积是 ．（结果保留π）
【思路点拔】过点O作OD⊥BC于点D，交于点E，则可判断点O是的中点，由折叠的性质可得ODOER＝2，在Rt△OBD中求出∠OBD＝30°，继而得出∠AOC，求出扇形AOC的面积即可得出阴影部分的面积．
【解答】解：过点O作OD⊥BC于点D，交于点E，连接OC，
则点E是的中点，由折叠的性质可得点O为的中点，
∴S弓形BO＝S弓形CO，
在Rt△BOD中，OD＝DER＝2，OB＝R＝4，
∴∠OBD＝30°，
∴∠AOC＝60°，
∴S阴影＝S扇形AOC．
故答案为：．
12．如图，将半径为1，圆心角为120°的扇形OAB绕点A逆时针旋转一个角度，使点O的对应点D落在弧AB上，点B的对应点为C，连接BC，则图中CD、BC和弧BD围成的封闭图形面积是 ．
【思路点拔】如图，连接OD，BD．首先证明O，D，C共线，可得图中CD、BC和弧BD围成的封闭图形面积＝S△OBC﹣S扇形ODB，由此计算即可．
【解答】解：如图，连接OD，BD．
由题意：OA＝OD＝AD，
∴△AOD是等边三角形，
∴∠ADO＝∠AOD＝60°，
∵∠ADC＝∠AOB＝120°，
∴∠ADO+∠ADC＝180°，
∴O，D，C共线，
∵∠AOD＝∠DOB＝60°，OD＝OB，
∴△OBD是等边三角形，
∴∠BDO＝60°，
∵DC＝DB，
∴∠DCB＝∠DBC＝30°，
∴∠OBC＝90°，
∴图中CD、BC和弧BD围成的封闭图形面积＝S△OBC﹣S扇形ODB1.
