4.2 解一元一次方程（1）
学习目标:
1．了解方程的解和解方程的概念，了解方程的基本变形在解方程中的作用；
2．理解、掌握等式的基本性质，并能用于解一元一次方程，养成检验反思的好习惯；
3．了解解一元一次方程的目标——将一元一次方程变形成“x=a”的形式。
学习重点：了解等式的两条性质，并能运用这两条性质解方程。
学习难点：等式性质的探索及应用。
一、知识回顾：
1．什么叫做一元一次方程？一元一次方程的一般形式怎样？
2．下列方程中，是一元一次方程的有 （填序号）
3．在学校举行的“向灾区献爱心”的募捐活动中，七年级（1）班与七年级（2）班共募捐492元。已知七年级（1）班平均每人捐款5元，七年级（2）班平均每人捐款6元，七年级（1）班比七年级（2）班多6人。若设七年级（1）班人数为x人，那么可得方程
二、探索新知：
1．填表：（课本P99）
1
2
3
4
5
当x=____________时，方程两边相等。
2．试一试（课本P99）：分别把0、1、2、3、4代入下列方程，哪一个值能使方程两边相等？
（1） （2）
注：规范解题步骤。
归纳：能使方程两边的值相等的未知数的值叫做方程的解。（只含有一个未知数的方程的解也称方程的根）
练习：判断下列括号中哪一个数是方程的解。
(1) x（x-5）+6=0；（3，0，2） （2）。
3．（课本P99）（1）可以用天平图形来示意2x+1=5这个方程吗？
（2）观察2 x+1=5的天平示意图，你可以用天平表示2x=4这个方程吗？怎么做呢？仔细观察你有什么新发现？
（3）通过天平平衡的演示，方程3x=2+2x是怎么变形的？天平与等式有什么共同的地方呢？
（4）由天平的平衡性质，你能类别出等式的性质吗？
归纳：1．等式的性质：
①等式两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式，所得结果仍是等式;
②等式两边都乘（或除以）同一个不等于0的数，所得结果仍是等式。
2．求方程的解的过程叫做解方程。
三、例题精析：
例1．用适当的数或整式填空，使所得结果仍是等式，并说明依据是什么？
(1)如果2=5+x,那么x= ；(2)如果x-y=4,那么x=4+ ；
(3)如果,那么-y=2- ；(4)如果3x=15,那么x= 。
练习：用适当的数或整式填空，使所得结果仍是等式, 并说明依据.
（1）如果2x+7=13， 那么2x=13 － ；（2）如果5x=4x+7， 那么5x － =7；
(3) 如果,那么x=___________，根据是__________；
（4）如果 －3x=12， 那么x= ；（5）如果x+8=a+8， 那么x= 。
例2．如果x=-2是方程3x+4=-1-a的解，求a-的值
例3．解方程：（规范解题，强调检验）
（1） x + 5 = 2； （2） -2x = 4； (3) ；
(4) ； (5) ； (6)。
变形1．如果5 与 －3a是同类项，求x。
变形2．解方程：
（1）；（2）；（3）；（4）。
拓展延伸：
1．
2．解方程：
3．已知4m+2n-5=m+5n,试利用等式的性质比较m和n的大小关系。
四、课堂小结与反思：
1．方程的解和解方程的概念；2．等式的基本性质；3．一元一次方程的解要变形成“x=a”的形式，养成检验的好习惯。
五、课堂反馈：
1．在-1，-2中， 是方程的解。
2．由等式,可得,这是根据___________,在等式两边________.
3．在等式两边都 ，得到，这是根据 。
4．若和互为相反数，则x=
5．若是关于x的方程的一个解，则a=
6．若关于x的方程是一元一次方程，则k=____,方程的解为_____。
7．单项式与是同类项，则x=_________。
8．若x=-3是方程的解，则m=__________。
9．若x=3时，代数式的值为7，则a=( )
A．2 B．－2 C．1 D．－1
10．已知，那么＝（ ）
A．13 B．19 C．25 D．无解
11．方程的解是（ ）
A．3 B．－1 C．3或者-1 D、－2或1
12．方程移项后，正确的是（ ）
A.； B.； C.； D.。
13．下列方程中，解是的方程是（ ）
A.； B.； C.； D.x+3=0
14．在括号里填上适当的形式：
（1）如果，那么（ ）＝－2；（2）如果，那么x+3＝( )；
(3)如果，那么（ ）（a-4）=a+2。
15．已知下列方程后面的括号里有一个数是方程的解,请把它找出来.
(1),(1,-1); (2),(3,-2).
16．利用等式的性质，解下列方程
(1)-x+3=0 (2) (3)
(4) (5) (6)
17．已知：，(1)当x取何值时，？（2）当x取何值时，与互为相反数？（3）当x取何值时，与的和为3？
18．若关于x的方程和方程的解相同，求代数式的值
课外练习题：
1．下列方程中，解为 的是 （ ）
A． B． C． D．
2．用适当的数或整式填空，使所得的结果仍为等式。
（1）若，则（ ）； （2）若，则（ ）；
（3）若，则（ ）； （4）若,则（ ）。
3．与方程有相同的解的方程是 （ ）
A． B． C．2x+3=5 D．2x=x+2
4．下列方程变形中，不正确的是 （ ）
A．，得 B．，得
C．由，得 D．由，得
5．下列方程中，由方程变形得到的是 （ ）
A．； B．； C．； D．
6．下列是解方程的几种求解过程，其中正确的是 （ ）
A． B．
C．，即 D．，即
7．检验下列各数是不是方程的解。
（1） （2）
8．利用等式性质，解下列方程：
（1）； （2）； （3）； （4）；
（5）； （6）； （7）； （8）；
（9）2.4x-2= 2x； （10）3x+1 = -2； （11）10x－3＝7x+3； （12）8-5x＝x＋2。
9．根据下列各小题的条件列出方程，并分别求出方程的解。
（1）与的和等于2； （2）的3倍与9的差等于15
10．（1）小王在解关于的方程时，误将看作了，解得方程的解为，求原来方程的解。
（2）2a—3x=12是关于x的方程．在解这个方程时，粗心的小虎误将－3x看做3x，得方程的解为x=3．请你帮助小虎求出原方程的解．
11．在代数式|?（ ）+ 6 | + | 0.2 + 2?（ ）| 的括号中分别填入一个数，使代数式的值等于0.
4.2 解一元一次方程（2）
学习目标：
1．会应用移项、合并同类项法则解一些简单的一元一次方程；
2．通过具体的实例感知、归纳移项法则，进一步探索方程的解法；
3．进一步认识解方程的基本变形，感悟解方程过程中的转化思想。
学习重点：移项法则。
学习难点：移项法则的归纳与应用。
一、知识回顾：
1．方程的解、解方程的概念；如何检验一个数是否是方程的解的方法。
2．等式的基本性质。（若a=b，则b=a）
3．求方程的解的依据是什么？方程的解应写成怎样的形式？
4．用适当的数或整式填空，使所得的结果仍为等式：
(1)如果3x+8 = 11,那么3x = 11－ .
(2)如果2y = 5,那么y = .
5．在①x+3 = 6 ②2x-3 = -3中，解是x = 3的方程是 (填序号)
6．用等式的性质解下列方程：（学生板演）
(1)4x-15 = 9； （2）2x=5x-21； (3)。
3x- =
二、探索新知：
1．问题：（1）在解方程4x-15=9时，能否直接把等号左边的9改变符号移到等号右边？为什么？
（2）在解方程2x=5x-21时，能否直接把等号右边的5x改变符号移到等号左边？为什么？
小结：方程中的某些项改变符号后,可以从方程的一边移到另一边，这样的变形叫做移项。
移项法则：方程中的任何一项都可以在改变符号后，从方程的一边移到另一边。 强调：移项要改变符号。（不移动的项不变号）
注意：1．一个多项式中交换两项的位置（不改变项的符号）与移项法则（改变项的符号）之间的本质区别。2．移项时，常把含有未知数的项移到等号的左边，常数项移到等号的右边；移项时，左右两边先写原来不移动的项，再写移来的项。
2．填空，完成下列各题的移项、合并同类项的步骤。
(1)解方程6x=2+5x. (2)解方程-2x=4-3x
解：移项，得 6x-______=2. 解：移项，得 -2x______=______
合并同类项，得x=_________ 合并同类项，得x=_________
三、例题评析：
例1．解方程：
（1）2x = 5x－21 ； （2）3y－3＝2y－7； （3）0.25t=－t＋3； （4）x－3 = 4－x。
归纳：用移项法解方程的步骤：（1）移项；（2）合并同类项；（3）系数化为1（化成“x=a”的形式）；（4）检验。
练习：1．判断下列移项是否正确：
(1)从6+x = 9得到x = 6+9 ( )；(2)从2x = x—5得到2x—x = —5 ( )；
(3)从4x+1 = 2x+3得到4x+2x = 1+3 ( )；(4)从2x—1 = 3x+3得到2x—3x = 3+1 ( )。
2．解下列方程:
(1)6x—2 = 10 (2) (3)5x+3=4x+7
(4)x = 10- x (5)+ = x-1 (6) 2-x =
例2．已知：，(1)当x取何值时，？（2）当x取何值时，与互为相反数？（3）当x取何值时，与的和为3？
练习：
1． x 为何值时，代数式4x+3与－2的值(1)相等？(2) 互为相反数？
2．如果代数式－2x +6与互为倒数，则x的值是多少？
例3．（1）若方程与方程的解相同，求的值。
（2）若是方程的解，求的值。
四、课堂小结与反思：
1．移项的概念与法则；2．移项的依据、作用和注意事项；3．用移项法解一元一次方程的步骤。
五、课堂反馈：
1．如果，那么
2．如果，那么
3．如果，那么
4．当m= __________时，方程2x+m=x+1的解为x=－4．
5．解下列方程
（1）10x+1=9 （2） 3x－2 =2x + 1 （3）4x-7＝3x+7
（4） 6x-7＝4x-5 （5） 2x-8＝3x （6）6=3x－12
（7）4－3x = 4x－3 （8）2-3x =4-2x （9）2y―=y―3
（10） （11） （12）
6．如果代数式与-的值互为相反数，要求代数式的值。
7．小明买了3块面包和1盒1．8元的牛奶，付出10元，找回4元，求1块面包的价格．
课外练习：
1．方程=x－2的解是（ ）
A．５ B．－５ C．２ D．－２
2．解方程x=,正确的是 ( )
A．x==x=; B．x=, x= C．x=, x=; D．x=, x=
3．下列变形是根据等式的性质的是 （ ）
A．由2x﹣1=3得2x=4； B.由x2=x得 x=1； C．由x2=9得 x=3；D.由2x﹣1=3x 得5x=﹣1
4．下列变形错误的是( )
A.由x + 7= 5得x+7－7 = 5－7 ; B.由3x－2 =2x + 1得x= 3
C.由4－3x = 4x－3得4+3 = 4x+3x D.由－2x= 3得x= －
5．已知方程①3x－1=2x＋1 ② ③④中，解为x=2的是方程 （ ）
A.①、②和③; B.①、③和④ C.②、③和④; D.①、②和④
6．判断：方程6x=4x+5,变形得6x+4x =5（ ）改正：_________________________.
7．方程3y=，两边都除以3，得y=1（ ） 改正：______________________.
8．某数的4倍减去3比这个数的一半大4，则这个数为 __________.
9．当m= __________时,方程2x+m=x+1的解为x=－4.
当a= ____________时，方程3x2a－2=4是一元一次方程.
10．求作一个方程,使它的解为-5,这个方程为__________.
11．在等式两边都加3，可得等式 ；
12．在等式两边都减2，可得等式 ；
13．如果，那么（ ）；
14．如果，那么（ ）+6；
15．当时，代数式的值是1。
16．若与是同类项，则
17．解下列方程：
（1）6x=3x－12； （2）2y―=y―3； （3）－2x=－3x+8；
（4）56=3x+32－2x； （5）3x―7+6x=4x―8； （6）7.9x+1.58+x=7.9x－8.42
18．某篮球队参加篮球赛，胜一场得2分，负一场得0分，平一场得１分，该队一共赛12场，未负一场，得20分。问该队胜了几场？
4.2 解一元一次方程（3）
学习目标：
1．会应用去括号、移项、合并同类项、系数化为1的方法解一些简单的一元一次方程；
2．初步掌握解方程的一般步骤，培养学生的概括能力和耐心、细致的学习态度。
学习重点：应用“去括号”等方法解一些简单的一元一次方程；掌握解方程的一般步骤。
学习难点：正确使用去括号法则，把握解一元一次方程基本步骤，有效解方程。
一、知识回顾：
1．什么叫做移项？移项的法则是什么？移项的依据是什么？移项时应注意什么？
2．用移项法解一元一次方程的一般步骤怎样？
3．用移项法解下列一元一次方程：
（1）2y-1=5y+7 (2)x-1=3x+
二、探索新知：
情境：小明用50元钱购买了面值为1元和2元的邮票共30张，他买了多少张面值为1元的邮票？
解：设他买了x张面值为1元的邮票：
x+2(30-x)=50
问题：如何去掉方程中的括号？依据是什么？
根据乘法分配律和去括号法则（括号前面是“+”号，把“+”号和括号去掉，括号内各项都不改变符号；括号前面是“-”号，把“-”号和括号去掉，括号内各项都要改变符号）；去括号时要注意：（1）不要漏乘括号内的任何一项；（2）若括号前面是“－”号，记住去括号后括号内各项都变号。
三、例题评析：
例1．解方程： -3（x+1）=9
解：去括号，得： -3x－3=9 另解：方程两边同除以-3，得： x＋1=－3
移项，得： -3x=9＋3 移项，得：x=-3－1
合并同类项，得： -3x=12 合并同类项，得：x=-4
系数化为1，得： x= -4
问题：1．你还有其他方法去掉方程中的括号吗？（见右上另解）
2．观察上述两种解法，说出它们的区别
归纳：解一元一次方程的步骤：（1）去括号；（2）移项；（2）合并同类项；（4）系数化为1（化成“x=a”的形式）；（5）检验（可在草稿纸上进行）。
解方程：
（1）2(2x+1)=1-5(x-2)； （2） 17（2－3y）－5（12－y）＝8（1－7y）；
(3)-(x-15)= +（7-x）； (4) [(x-)-14]=3x -
练习：解下列方程：
(1) ； （2）； （3）5(x+2)=2(2x+7；
(4)； （5）； （6）5（x+1）=3(3x+1)；
（7）；（8）；（9）6-3(x+)= -x ；
（10）-14)= (x-20)； （11）2[-(x-)]=； （12） [(x-4) -6]=2x+1。
例3．当y取何值时，2（3y+4）的值比5（2y-7）的值大3？
练习：1．当x取何值时，代数式3（2-x）和-2（3+2x）的值相等？
2．当x取何值时，代数式3（2-x）的值与-2（3+2x）的值互为相反数？
拓展提高：
已知a是整数，且a比0大，比10小。请你设法找出a的一些数值，使关于x的方程
1―ax= -5的解是偶数，看看你能找出几个.
四、课堂小结与反思：
1．去括号，一定要注意括号前的符号，特别是括号前是“-”时，括号内的每一项都要变号；
2．用分配律去括号时，不要漏乘括号中的项，并且不要搞错符号；
3．解一元一次方程的步骤。
五、课堂反馈：
1．方程7(2x-1)-3(4x-1)=11去括号后，正确的是（ ）
A．14x-7-12x+1=11 B. 14x-1-12x-3=11
C. 14x-7-12x+3=11 D. 14x-1-12x+3=11
2．如果代数式与的值互为相反数，则的值等于
3．方程12－(2x－4)= －（x－7）去括号得 .
4．若2（4a﹣2）﹣6 = 3（4a﹣2）,则代数式a2﹣3a + 4= .
5．解下列方程：
(1)4-3（x-3）=x+10 (2)7（a+2）= 12-5(a+2)
（3）2-3（m-1)= m+1； （4）3（2x+5）=2（4x+3）－3
（5） 4x + 3（2x–3）=12-（x +4） （6）6（x–4）+ 2x =7-（x–1）
(7) 2(10 - 0.5x)= -(1.5x-2); (8) 2(3-y)=-4(y–5);
（9）2(y-3)-3(2+y)=0； （10）3(2y+1)=2(1+y)-3(y+3)
6．若代数式3（2y-3）－y的值与-7（1-y）互为相反数，求y的值
课外练习：
1．方程3x+6=2x－8移项后，正确的是（ ）
A．3x+2x=6－8 B．3x－2x=－8+6 C．3x－2x=－6－8 D．3x－2x=8－6
2．方程7(2x-1)-3(4x-1)=11去括号后，正确的是（ ）
A．14x-7-12x+1=11 B. 14x-1-12x-3=11 C. 14x-7-12x+3=11 D. 14x-1-12x+3=11
3．如果代数式与的值互为相反数，则的值等于( )
A. B. C. D.
4．如果与是同类项，则是( )
A.2 B.1 C. D.0
5．已知矩形周长为20cm，设长为cm，则宽为 ( )
A. B. C. D.
6．方程2x-0.3=1.2+3x移项得 .
7．若︱a﹣1︱+(b+2)2=0,则ab= .
8．若3x+2与﹣2x+1互为相反数，则x-2的值是 .
9．方程的解为 ；方程的解为 。
10．当=_______时，代数式与的值相等；
11．若与互为相反数，则=________；
12．当=_______时，代数式比的值大3.
13．若与是同类项，则=_________，=__________.
14．在公式中，已知，，=21，则=________.
15．若x=4是关于的方程的解，则=_________.
16．解下列方程
(1) (2)
（3）3（2x+5）=2（4x+3）－3 （4）5X+2(3X-3)=11-(X+5)
（5）4y﹣3(20﹣y)=6y﹣7(9﹣y) （6）7(2x-1)-3(4x-1)=4(3x+2)-1
（9） （8）
17．若与是同类项，求的值。
18．．在梯形面积公式中，已知，，，求.
19．．根据下图所示的程序计算代数式的值，输出的结果为17，列方程求的值.
输入 +5 输出17
20．已知，.
当取何值时，？ （2）当取何值时，比大5？
21．．已知方程的解与关于的方程的解相同，求的值.
22．将连续的偶数2，4，6，8，10，…，排成如下的数表．
回答下列问题:
（1）十字框中的五个数的和与中间的数16有什么关系？
（2）设中间的数为a，用代数式表示十字框中的五个数之和．
（3）若将十字框上下左右平移，可框住另外五个数，试问这
五个数还有这种规律吗？
（4）十字框的五个数之和能等于510吗？若能，写出这五个
数；若不能，说明理由．
23．有一张正方形纸片,第一次将它撕成4小片,第2次将其中的一小张又撕成4小片,以后每一次都将其中的一小张撕成4小片.那么:
(1)撕了5次后,一共有几张纸片?
(2)撕了n次后, 一共有几张纸片?
(3)能否撕成2007张纸片? 能否撕成2008张纸片?
4.2 解一元一次方程（4）
学习目标：
会应用“去分母”法解一元一次方程；
2．利用分数基本性质，将方程化成整系数方程；
3．掌握解一元一次方程的步骤，并能灵活应用。
学习重点: 用“去分母”法解一元一次方程，并能灵活应用。
学习难点：认识去分母的依据，找到最简公分母，准确去分母。
一、知识链接：
1．3和4的最小公倍数是_______，2、3、5的最小公倍数是___________。
2．解一元一次方程的依据、步骤。
3．解下列方程：（1）； （2）；
（3） （4）
二、新知探索：
问题情境：甲乙两城市间的铁路经过技术改造，列车在两城市间的运行速度从120km/h提高到了200km/h，运行时间缩短了4h。甲乙两城市间的铁路路程是多少？
思考：方程与前面解过的方程有何不同？怎样用更好的方法解这样的方程？
方法：依据等式的性质2，只要在方程两边都乘以120、200的最小公倍数，就可去掉方程中的分母，转化到我们前面学过的方程。
三、例题评析：
例1．（P102例7、8）解一元一次方程：
（1）； （2）； （3）。
总结：
1．解一元一次方程的一般步骤:（1）去分母；（2）去括号；（3）移项；（4）合并同类项；（5）系数化为1（化成“x=a”的形式）；（6）检验（不要求写出）。在实际解方程的过程中，要灵活运用解题步骤。
2．去分母时，方程两边都乘以各分母的最小公倍数，不能漏乘某一项（尤其是常数项），故可写成“去分母，方程两边都乘以××，得：”；
3．分数线有“除号”和“括号”的双重作用，当分子是多项式时，去分母时要添加括号，分数线有时也可替代“比号：”。
练习：解方程：（1）； （2）； （3）；
（4）
例2．解方程：（1）；
练习：解方程：（1）； （2）
例3．解方程
练习：解方程：① ②
拓展提高：
1．已知是方程的解，求的值。
2．若m、x都为正整数，且的倒数与的值相等.你能求出m、x的值吗？
四、课堂小结与反思：
1．去分母，一定要注意 (1)方程两边各项都要乘以各分母的最小公倍数，不能漏乘常数项；(2)去分母后如分子中含有两项（多项式）,应将该分子添上括号。
2．一元一次方程解法的一般步骤，并能灵活应用。
五、课堂反馈：
1．解方程时，去分母正确的是 （ ）
A. 3x-3-x-2=2x-1 B. x-1-x-2=x-1 C. 3x-3-x-2=2x-6 D. 3x-3-x+2=2x-6
2．将方程 分母中的小数转化成整数后的方程为
3．方程的解是 （ ）
A． B. C. D.
4．解方程
（1） （2）
5．如果代数式比的值多1， 求a-2的值
课后练习：
1.若代数式的值是1,则k=_________.
2.当x=5时，代数式的值是__________；已知代数式的值是5，则x=______。
3．当x= 时，代数式的值是4；当x=________时，代数式的值是。
4．当x=________时,代数式与的值相等.
5.如果代数式与x-1的和的值为0，那么x的值等于_____________。
6. 已知方程的解也是方程的解，则b=____________.
7.若与互为相反数，则 =
8．解方程时，去分母后可化为__________________________。
9.x=-2是方程( )的解
A．5x+3=4x-1 B. 2(x-2)=5x+2 C. D.
10.下列根据等式的性质正确的是（ ）
A. 由，得 B. 由，得
C. 由，得 D. 由，得
11.下列解方程去分母正确的是( )
A.由,得2x-1=3-3x; B.由,得2(x-2)-3x-2=-4
C.由,得3y+3=2y-3y+1-6y; D.由,得12x-1=5y+20
12．方程２－＝－去分母得 （ ）
A．2－2 (2x－4)= －（x－7） B．12－2 (2x－4)= －x－7
C．12－2 (2x－4)= －（x－7） D．12－(2x－4)= －（x－7）
13．方程可变形为 （ ）
A. B.
C. D.
14．.把方程中的分母化为整数，正确的是（ ）
A． B． C． D．
15. 方程的“解”的步骤如下，错在哪一步（ ）
A． 2(x－1)－(x+2)=3(4－x) B．2x－2－x+2=12－3x C． 4 x=12 D．x=3
16.解下列一元一次方程
（1）；（2） ；（3） ； （4）；
（5）； （6） ； （7）；
（8）； （6）； （9）
（10） （11）
（12） （13） 6x―（x―4）=x―（2x+1）
（14） （15）
（16） [（x－4）－6]=2x+1 ； （17）
17．若x、y互为相反数，且(x+y-3)(x-y-2)=9，
则（1）x+y=__________，x-y=__________；
（2）x=_______，y=_________。
18．代数式－2y的值与1互为相反数，试求y的值.
19．已知2ax=(a+1)x+6，求当a为何整数时，方程的解是正整数.
总结
步骤
具体做法
依据
注意事项
去分母
在方程的两边都乘各分母的最小公倍数
等式性质2
不要漏乘不含分母的项
去括号
先去小括号，再去中括号，最后去大括号
乘法分配律
去括号法则
括号前是“－”时，去掉括号时
括号内各项均要变号
移项
将含未知数的项移到方程的一边，常数项移到方程的另一边
移项法则
移项要变号
合并同类项
把方程变形成 的形式
合并同类项法则
系数相加，字母及字母的指数均不变
系数化为1
把方程的两边都除以未知数的系数（不为0）
等式性质2
分子、分母不要颠倒
注：(1)解方程的过程就是通过去分母、去括号、移项、合并同类项、（未知数）系数化为1等步骤，把一个一元一次方程逐步转化为x=a的形式.这是一个等量变形的过程，也是一个化归的过程.
（2）具体解方程时，可根据具体情况，有些步骤可能用不上；有些步骤可以前后顺序颠倒；有时还可以省略一些步骤，以使运算简化.
