广西柳州市第六中学2024-2025学年高二上学期开学考试数学试题
1．（2024高二上·柳州开学考）复数的虚部为（ ）
A． B． C． D．2
2．（2024高二上·柳州开学考）已知集合，则是的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．既不充分又不必要条件 D．充要条件
3．（2024高二上·柳州开学考）已知个数的平均数为，方差为，则数据的平均数和方差分别为（ ）
A．， B．， C．， D．，
4．（2024高二上·柳州开学考）已知，则的值为（ ）
A． B．1 C． D．
5．（2024高二上·柳州开学考）某学生参与一种答题游戏，需要从A，B，C三道试题中选出一道进行回答，回答正确即可获得奖品.若该学生选择A，B，C的概率分别为0.3，0.4，0.3，答对A，B，C的概率分别为0.4，0.5，0.6，则其获得奖品的概率为（ ）
A．0.5 B．0.55 C．0.6 D．0.75
6．（2024高二上·柳州开学考）已知，且，则的值为（ ）
A．2 B． C． D．
7．（2024高二上·柳州开学考）已知，，，则的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
8．（2024高二上·柳州开学考）已知函数，令，则下列说法正确的是（ ）
A．函数的增区间为
B．当有3个零点时，
C．当时，的所有零点之和为
D．当时，有1个零点
9．（2024高二上·柳州开学考）已知向量，，则（ ）
A．若，则
B．若，则
C．若，则与的夹角为
D．若，则
10．（2024高二上·柳州开学考）已知直线是函数图象的一条对称轴，则（ ）
A．
B．的图象关于点对称
C．的图象关于直线对称
D．在上单调递减
11．（2024高二上·柳州开学考）已知一个正八面体如图所示，，则（ ）
A．平面
B．点到平面的距离为1
C．异面直线与所成的角为
D．四棱锥外接球的表面积为
12．（2024高二上·柳州开学考）设均为正数，且，则的最小值为 .
13．（2024高二上·柳州开学考）函数的部分图象如图所示，将的图象向右平移个单位后得到函数的图象，则函数的解析式为 .
14．（2024高二上·柳州开学考）18世纪英国数学家辛卜森运用定积分，推导出了现在中学数学教材中柱、锥、球、台等几何体的统一体积公式（其中，，，分别为的上底面面积、下底面面积、中截面面积和高），我们也称为“万能求积公式”.例如，已知球的半径为，可得该球的体积为；已知正四棱锥的底面边长为，高为，可得该正四棱锥的体积为.类似地，运用该公式求解下列问题：如图，已知球的表面积为，若用距离球心都为1cm的两个平行平面去截球，则夹在这两个平行平面之间的几何体的体积为 .
15．（2024高二上·柳州开学考）已知在中，点在线段上，且，延长到，使.设，.
（1）用、表示向量、；
（2）若向量与共线，求的值.
16．（2024高二上·柳州开学考）已知
（1）若角的终边过点，求；
（2）若，求的值.
17．（2024高二上·柳州开学考）某城市交通部门为了对该城市共享单车加强监管，随机选取了100人就该城市共享单车的推行情况进行问卷调查，并将问卷中的这100人根据其满意度评分值（百分制）按照分成5组，制成如图所示频率分直方图.
（1）求图中的值；
（2）求这组数据的平均数和中位数；
（3）已知满意度评分值在内的男生数与女生数的比为3：2，若在满意度评分值为的人中随机抽取2人进行座谈，求2人均为男生的概率.
18．（2024高二上·柳州开学考）已知的角A，B，C的对边分别为a，b，c，，，满足．
（1）求A；
（2）若的面积为，且，点D为边BC的中点，求AD的长．
19．（2024高二上·柳州开学考）如图，已知等腰梯形中，，，是的中点，，将沿着翻折成，使平面平面.
(1)求证：平面；
(2)求与平面所成的角；
(3)在线段上是否存在点，使得平面，若存在，求出的值；若不存在，说明理由.
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】复数代数形式的混合运算
【解析】【解答】解：，故该复数的虚部为2.
故选：D.
【分析】根据复数的除法运算（复数除法，将分母实数化，也就是把除法换算成乘法做，在分子分母同时乘上分母的共轭）和复数的虚部概念即可.
2．【答案】A
【知识点】集合间关系的判断；充分条件
【解析】【解答】解：若，则且，
所以或，故当时有，
而时，不一定是，
故是的充分而不必要条件.
故选：A.
【分析】首先根据已知条件求出的取值，当时判断是否正确，判断时，是否可能为，最后根据充分而不必要条件的定义进行求解.
3．【答案】D
【知识点】众数、中位数、平均数；极差、方差与标准差
【解析】【解答】解：因为的平均数为，方差为，
所以数据的平均数为，方差为.
故答案为：D.
【分析】利用平均数与方差的性质求解即可.
4．【答案】C
【知识点】同角三角函数间的基本关系
【解析】【解答】解：因为，
所以.
故选：C.
【分析】将分式的分子和分母同时除以，然后利用三角函数的同角三角函数关系式进行弦化切，从而代入即可得解.
5．【答案】A
【知识点】互斥事件与对立事件；相互独立事件
【解析】【解答】解：该学生获得奖品的概率为.
故选：A
【分析】利用互斥事件和独立事件的概率（如果事件A和B相互独立， 则它们的概率乘积等于它们同时发生的概率）求解.
6．【答案】C
【知识点】空间向量垂直的坐标表示
【解析】【解答】解：由题意，，
又，
故，解得.
故选：C.
【分析】转化，由空间向量数量积的坐标表示（对应分量相乘再相加）即可得解.
7．【答案】D
【知识点】函数单调性的性质；对数函数的图象与性质
【解析】【解答】解：因为在上单调递减，所以，即，
因为在上单调递增，所以，即，
因为在上单调递增，所以，即，
综上，.
故选：D
【分析】利用对数函数的单调性（若，则对数函数在上单调递减）求得的范围，根据指数函数的单调性（若，则指数函数在上单调递增）得的范围，即可比较大小.
8．【答案】D
【知识点】函数的零点与方程根的关系
【解析】【解答】解：函数，结合二次函数和对数函数的图象和性质，作函数的图象如图所示，
对于选项A，由图象可知，函数的增区间为和，故A错误；
的零点，是函数和图象交点的横坐标，
对于选项B，由图象可知，当有3个零点时，，故B错误；
对于选项C，解方程可知，当时，有两个零点，和，所有零点之和为，故C错误；
对于选项D，当时，函数和的图象有1个交点，即有1个零点，故D正确.
故选：D
【分析】作出函数图象，数形结合判断函数单调区间和零点个数.
9．【答案】A,D
【知识点】平面向量共线（平行）的坐标表示；平面向量数量积的坐标表示、模、夹角；平面向量数量积的坐标表示；平面向量垂直的坐标表示
【解析】【解答】解：对于A，，，即，所以，故选项A正确；
对于B，，，，故选项B错；
对于C，，，，故选项C错；
对于D，，，，故选项D正确．
故选：AD．
【分析】根据向量的坐标运算求解判断各选项．
10．【答案】B,C,D
【知识点】正弦函数的性质
【解析】【解答】解：因为直线是函数图象的一条对称轴，所以，即，又因为，所以，故A错误；当时，函数，所以函数的图象关于点对称，故B正确；因为，所以函数
故答案为：.的图象关于直线对称，故C正确；时，，函数单调递减，故D正确.
故答案为：BCD.
【分析】根据已知条件求出，从而求得函数的解析式，再根据选项逐项判断即可.
11．【答案】A,B,D
【知识点】棱柱/棱锥/棱台的侧面积、表面积及应用；异面直线所成的角；球内接多面体；直线与平面平行的判定
【解析】【解答】解：将正八面体置于一个正方体中，如图所示，该正八面体的顶点为正方体六个面的中心，，则正方体的边长为2，
由图可知，，
因为平面平面，所以平面，A正确．
连接，由图可知，点到平面的距离为，B正确．
由图可知，，则直线与所成角即与所成角，
因为为正三角形，所以，C错误．
四棱锥外接球的球心为正方形的中心，所以外接球的半径为1，
故四棱锥外接球的表面积为，D正确．
故选：ABD.
【分析】根据线面平行的判定（平面外一条直线与此平面内一条直线平行，则该直线与此平面平行）、异面直线的夹角、外接球等知识点逐项判断即可；
12．【答案】
【知识点】基本不等式；基本不等式在最值问题中的应用
【解析】【解答】解：由均为正数，且，可得，
当且仅当时取等号，所以的最小值为.
故答案为：.
【分析】根据基本不等式（两个正数的算数平均数大于或等于它们的几何平均数），即可求解.
13．【答案】
【知识点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换
【解析】【解答】解：由函数的图象，可得，解得，
又由，可得，解得，
因为，则，所以，
又因为将的图象向右平移 个单位后得到函数 的图象，
所以.
故答案为：.
【分析】根据题意，由函数的图象可得三角函数的周期，利用三角函数的周期计算公式可得，求得函数的解析式，结合三角函数的图象变换，即可求解.
14．【答案】
【知识点】组合几何体的面积、表面积、体积问题；旋转体（圆柱/圆锥/圆台/球）的结构特征；球的表面积与体积公式及应用
【解析】【解答】解：如图：
设上下截面小圆圆心分别为E，F，上底面截面小圆上一点A，连接OA，
因为球的表面积为，所以球的半径，所以，
又，，所以截面小圆半径，
根据“万能求积公式”可得所求几何体的体积为：.
故答案为：
【分析】先由球的表面积可得球的半径，再由勾股定理（直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方）求出截面小圆的半径，最后代入“万能求积公式”计算即可求解.
15．【答案】（1）解：因为，结合图形可知为的中点，
所以，，
因为，则，
所以，.
（2）解：因为，
因为向量与共线，则存在，使得，
即，所以，，解得.
【知识点】平面向量的共线定理；平面向量的基本定理
【解析】【分析】（1）分析可知为的中点，利用平面向量的线性运算法则（三角形法则）可得出关于、的表达式，结合平面向量的减法可得出关于、的表达式；三角形加法法则：，简记为首尾相连，起点指向终点.
（2）分析可知，存在，使得，根据平面向量的基本定理可得出关于、的方程组，即可解得实数的值.
（1）解：因为，结合图形可知为的中点，
所以，，
因为，则，
所以，.
（2）解：因为，
因为向量与共线，则存在，使得，
即，所以，，解得.
16．【答案】（1）解：，
∵角的终边经过点，
∴，
（2）解：
【知识点】任意角三角函数的定义；同角三角函数间的基本关系；同角三角函数基本关系的运用；运用诱导公式化简求值
【解析】【分析】（1）根据三角函数诱导公式与同角三角函数关系式化简即可，根据三角函数的定义求得的值，即可得得值；
（2）先根据三角函数诱导公式求出，再根据同角三角函数关系式化简求值即可.
（1），
∵角的终边经过点，
∴，
（2）
17．【答案】（1）由，解得.
（2）这组数据的平均数为.
中位数设为，则，解得.
（3）满意度评分值在内有人，其中男生3人，女生2人.记为，
记“满意度评分值为的人中随机抽取2人进行座谈，恰有1名女生”为事件，
从5人中抽取2人有：，，，，， ，，，，
所以总基本事件个数为10个，包含的基本事件个数为3个，
所以.
【知识点】频率分布直方图；古典概型及其概率计算公式
【解析】【解答】(1)根据频率直方图的性质进行求解；
(2)根据平均数和中位数的定义进行求解；
（3）根据古典概型的计算公式进行求解.
18．【答案】（1）解：，，
即
即，
所以由正弦定理可得，即，
由余弦定理可得，
又，所以．
（2）解：因为，
所以，
即，
又，则，所以，
所以，，
所以，
所以，故，，
故在中，由余弦定理可得，
则．
【知识点】解三角形；三角形中的几何计算；辅助角公式；平面向量垂直的坐标表示
【解析】【分析】（1）由正弦定理得到，再利用余弦定理求出；
（2）在第一问的基础上，结合，利用三角恒等变换求出，进而由三角形面积公式得到，由余弦定理求出答案.
（1），，
即
即，
所以由正弦定理可得，即，
由余弦定理可得，
又，所以．
（2）因为，
所以，
即，
又，则，所以，
所以，，
所以，
所以，故，，
故在中，由余弦定理可得，
则．
19．【答案】解：(1)证明：因为，是的中点，所以，
故四边形是菱形，从而，
所以沿着翻折成后，，，
又因为，
所以平面，
由题意，易知，，
所以四边形是平行四边形，故，
所以平面；
(2) 因为平面，
所以与平面所成的角为，
由已知条件，可知，，
所以是正三角形，所以，
所以与平面所成的角为30°；
(3) 假设线段上是存在点，使得平面，
过点作交于，连结，，如下图：
所以，所以，，， 四点共面，
又因为平面，所以，
所以四边形为平行四边形，故，
所以为中点，
故在线段上存在点，使得平面，且.
【知识点】直线与平面平行的判定；直线与平面垂直的判定；直线与平面所成的角
【解析】【分析】本题考查直线与平面垂直的判定，直线与平面平行的判定，直线与平面所成的角.(1)根据题意可证明四边形是菱形，利用菱形的性质可得，利用折叠的性质可得，，利用直线与平面垂直的判定定理可得平面，根据题意可证明四边形是平行四边形，根据平行四边形的性质可得：，据此可证明结论；
(2)根据平面，利用直线与平面所成角的定义可得：与平面所成的角为， 根据题意可推出是正三角形，利用正三角形的性质可求出与平面所成的角；
(3)假设线段上是存在点，使得平面，过点作交于，连结，，根据平面共线定理可得，，， 四点共面， 利用直线与平面平行的性质可得， 据此推出四边形为平行四边形，利用平行四边形的性质可推出为中点，进而可推出的值.
1 / 1广西柳州市第六中学2024-2025学年高二上学期开学考试数学试题
1．（2024高二上·柳州开学考）复数的虚部为（ ）
A． B． C． D．2
【答案】D
【知识点】复数代数形式的混合运算
【解析】【解答】解：，故该复数的虚部为2.
故选：D.
【分析】根据复数的除法运算（复数除法，将分母实数化，也就是把除法换算成乘法做，在分子分母同时乘上分母的共轭）和复数的虚部概念即可.
2．（2024高二上·柳州开学考）已知集合，则是的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．既不充分又不必要条件 D．充要条件
【答案】A
【知识点】集合间关系的判断；充分条件
【解析】【解答】解：若，则且，
所以或，故当时有，
而时，不一定是，
故是的充分而不必要条件.
故选：A.
【分析】首先根据已知条件求出的取值，当时判断是否正确，判断时，是否可能为，最后根据充分而不必要条件的定义进行求解.
3．（2024高二上·柳州开学考）已知个数的平均数为，方差为，则数据的平均数和方差分别为（ ）
A．， B．， C．， D．，
【答案】D
【知识点】众数、中位数、平均数；极差、方差与标准差
【解析】【解答】解：因为的平均数为，方差为，
所以数据的平均数为，方差为.
故答案为：D.
【分析】利用平均数与方差的性质求解即可.
4．（2024高二上·柳州开学考）已知，则的值为（ ）
A． B．1 C． D．
【答案】C
【知识点】同角三角函数间的基本关系
【解析】【解答】解：因为，
所以.
故选：C.
【分析】将分式的分子和分母同时除以，然后利用三角函数的同角三角函数关系式进行弦化切，从而代入即可得解.
5．（2024高二上·柳州开学考）某学生参与一种答题游戏，需要从A，B，C三道试题中选出一道进行回答，回答正确即可获得奖品.若该学生选择A，B，C的概率分别为0.3，0.4，0.3，答对A，B，C的概率分别为0.4，0.5，0.6，则其获得奖品的概率为（ ）
A．0.5 B．0.55 C．0.6 D．0.75
【答案】A
【知识点】互斥事件与对立事件；相互独立事件
【解析】【解答】解：该学生获得奖品的概率为.
故选：A
【分析】利用互斥事件和独立事件的概率（如果事件A和B相互独立， 则它们的概率乘积等于它们同时发生的概率）求解.
6．（2024高二上·柳州开学考）已知，且，则的值为（ ）
A．2 B． C． D．
【答案】C
【知识点】空间向量垂直的坐标表示
【解析】【解答】解：由题意，，
又，
故，解得.
故选：C.
【分析】转化，由空间向量数量积的坐标表示（对应分量相乘再相加）即可得解.
7．（2024高二上·柳州开学考）已知，，，则的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】函数单调性的性质；对数函数的图象与性质
【解析】【解答】解：因为在上单调递减，所以，即，
因为在上单调递增，所以，即，
因为在上单调递增，所以，即，
综上，.
故选：D
【分析】利用对数函数的单调性（若，则对数函数在上单调递减）求得的范围，根据指数函数的单调性（若，则指数函数在上单调递增）得的范围，即可比较大小.
8．（2024高二上·柳州开学考）已知函数，令，则下列说法正确的是（ ）
A．函数的增区间为
B．当有3个零点时，
C．当时，的所有零点之和为
D．当时，有1个零点
【答案】D
【知识点】函数的零点与方程根的关系
【解析】【解答】解：函数，结合二次函数和对数函数的图象和性质，作函数的图象如图所示，
对于选项A，由图象可知，函数的增区间为和，故A错误；
的零点，是函数和图象交点的横坐标，
对于选项B，由图象可知，当有3个零点时，，故B错误；
对于选项C，解方程可知，当时，有两个零点，和，所有零点之和为，故C错误；
对于选项D，当时，函数和的图象有1个交点，即有1个零点，故D正确.
故选：D
【分析】作出函数图象，数形结合判断函数单调区间和零点个数.
9．（2024高二上·柳州开学考）已知向量，，则（ ）
A．若，则
B．若，则
C．若，则与的夹角为
D．若，则
【答案】A,D
【知识点】平面向量共线（平行）的坐标表示；平面向量数量积的坐标表示、模、夹角；平面向量数量积的坐标表示；平面向量垂直的坐标表示
【解析】【解答】解：对于A，，，即，所以，故选项A正确；
对于B，，，，故选项B错；
对于C，，，，故选项C错；
对于D，，，，故选项D正确．
故选：AD．
【分析】根据向量的坐标运算求解判断各选项．
10．（2024高二上·柳州开学考）已知直线是函数图象的一条对称轴，则（ ）
A．
B．的图象关于点对称
C．的图象关于直线对称
D．在上单调递减
【答案】B,C,D
【知识点】正弦函数的性质
【解析】【解答】解：因为直线是函数图象的一条对称轴，所以，即，又因为，所以，故A错误；当时，函数，所以函数的图象关于点对称，故B正确；因为，所以函数
故答案为：.的图象关于直线对称，故C正确；时，，函数单调递减，故D正确.
故答案为：BCD.
【分析】根据已知条件求出，从而求得函数的解析式，再根据选项逐项判断即可.
11．（2024高二上·柳州开学考）已知一个正八面体如图所示，，则（ ）
A．平面
B．点到平面的距离为1
C．异面直线与所成的角为
D．四棱锥外接球的表面积为
【答案】A,B,D
【知识点】棱柱/棱锥/棱台的侧面积、表面积及应用；异面直线所成的角；球内接多面体；直线与平面平行的判定
【解析】【解答】解：将正八面体置于一个正方体中，如图所示，该正八面体的顶点为正方体六个面的中心，，则正方体的边长为2，
由图可知，，
因为平面平面，所以平面，A正确．
连接，由图可知，点到平面的距离为，B正确．
由图可知，，则直线与所成角即与所成角，
因为为正三角形，所以，C错误．
四棱锥外接球的球心为正方形的中心，所以外接球的半径为1，
故四棱锥外接球的表面积为，D正确．
故选：ABD.
【分析】根据线面平行的判定（平面外一条直线与此平面内一条直线平行，则该直线与此平面平行）、异面直线的夹角、外接球等知识点逐项判断即可；
12．（2024高二上·柳州开学考）设均为正数，且，则的最小值为 .
【答案】
【知识点】基本不等式；基本不等式在最值问题中的应用
【解析】【解答】解：由均为正数，且，可得，
当且仅当时取等号，所以的最小值为.
故答案为：.
【分析】根据基本不等式（两个正数的算数平均数大于或等于它们的几何平均数），即可求解.
13．（2024高二上·柳州开学考）函数的部分图象如图所示，将的图象向右平移个单位后得到函数的图象，则函数的解析式为 .
【答案】
【知识点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换
【解析】【解答】解：由函数的图象，可得，解得，
又由，可得，解得，
因为，则，所以，
又因为将的图象向右平移 个单位后得到函数 的图象，
所以.
故答案为：.
【分析】根据题意，由函数的图象可得三角函数的周期，利用三角函数的周期计算公式可得，求得函数的解析式，结合三角函数的图象变换，即可求解.
14．（2024高二上·柳州开学考）18世纪英国数学家辛卜森运用定积分，推导出了现在中学数学教材中柱、锥、球、台等几何体的统一体积公式（其中，，，分别为的上底面面积、下底面面积、中截面面积和高），我们也称为“万能求积公式”.例如，已知球的半径为，可得该球的体积为；已知正四棱锥的底面边长为，高为，可得该正四棱锥的体积为.类似地，运用该公式求解下列问题：如图，已知球的表面积为，若用距离球心都为1cm的两个平行平面去截球，则夹在这两个平行平面之间的几何体的体积为 .
【答案】
【知识点】组合几何体的面积、表面积、体积问题；旋转体（圆柱/圆锥/圆台/球）的结构特征；球的表面积与体积公式及应用
【解析】【解答】解：如图：
设上下截面小圆圆心分别为E，F，上底面截面小圆上一点A，连接OA，
因为球的表面积为，所以球的半径，所以，
又，，所以截面小圆半径，
根据“万能求积公式”可得所求几何体的体积为：.
故答案为：
【分析】先由球的表面积可得球的半径，再由勾股定理（直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方）求出截面小圆的半径，最后代入“万能求积公式”计算即可求解.
15．（2024高二上·柳州开学考）已知在中，点在线段上，且，延长到，使.设，.
（1）用、表示向量、；
（2）若向量与共线，求的值.
【答案】（1）解：因为，结合图形可知为的中点，
所以，，
因为，则，
所以，.
（2）解：因为，
因为向量与共线，则存在，使得，
即，所以，，解得.
【知识点】平面向量的共线定理；平面向量的基本定理
【解析】【分析】（1）分析可知为的中点，利用平面向量的线性运算法则（三角形法则）可得出关于、的表达式，结合平面向量的减法可得出关于、的表达式；三角形加法法则：，简记为首尾相连，起点指向终点.
（2）分析可知，存在，使得，根据平面向量的基本定理可得出关于、的方程组，即可解得实数的值.
（1）解：因为，结合图形可知为的中点，
所以，，
因为，则，
所以，.
（2）解：因为，
因为向量与共线，则存在，使得，
即，所以，，解得.
16．（2024高二上·柳州开学考）已知
（1）若角的终边过点，求；
（2）若，求的值.
【答案】（1）解：，
∵角的终边经过点，
∴，
（2）解：
【知识点】任意角三角函数的定义；同角三角函数间的基本关系；同角三角函数基本关系的运用；运用诱导公式化简求值
【解析】【分析】（1）根据三角函数诱导公式与同角三角函数关系式化简即可，根据三角函数的定义求得的值，即可得得值；
（2）先根据三角函数诱导公式求出，再根据同角三角函数关系式化简求值即可.
（1），
∵角的终边经过点，
∴，
（2）
17．（2024高二上·柳州开学考）某城市交通部门为了对该城市共享单车加强监管，随机选取了100人就该城市共享单车的推行情况进行问卷调查，并将问卷中的这100人根据其满意度评分值（百分制）按照分成5组，制成如图所示频率分直方图.
（1）求图中的值；
（2）求这组数据的平均数和中位数；
（3）已知满意度评分值在内的男生数与女生数的比为3：2，若在满意度评分值为的人中随机抽取2人进行座谈，求2人均为男生的概率.
【答案】（1）由，解得.
（2）这组数据的平均数为.
中位数设为，则，解得.
（3）满意度评分值在内有人，其中男生3人，女生2人.记为，
记“满意度评分值为的人中随机抽取2人进行座谈，恰有1名女生”为事件，
从5人中抽取2人有：，，，，， ，，，，
所以总基本事件个数为10个，包含的基本事件个数为3个，
所以.
【知识点】频率分布直方图；古典概型及其概率计算公式
【解析】【解答】(1)根据频率直方图的性质进行求解；
(2)根据平均数和中位数的定义进行求解；
（3）根据古典概型的计算公式进行求解.
18．（2024高二上·柳州开学考）已知的角A，B，C的对边分别为a，b，c，，，满足．
（1）求A；
（2）若的面积为，且，点D为边BC的中点，求AD的长．
【答案】（1）解：，，
即
即，
所以由正弦定理可得，即，
由余弦定理可得，
又，所以．
（2）解：因为，
所以，
即，
又，则，所以，
所以，，
所以，
所以，故，，
故在中，由余弦定理可得，
则．
【知识点】解三角形；三角形中的几何计算；辅助角公式；平面向量垂直的坐标表示
【解析】【分析】（1）由正弦定理得到，再利用余弦定理求出；
（2）在第一问的基础上，结合，利用三角恒等变换求出，进而由三角形面积公式得到，由余弦定理求出答案.
（1），，
即
即，
所以由正弦定理可得，即，
由余弦定理可得，
又，所以．
（2）因为，
所以，
即，
又，则，所以，
所以，，
所以，
所以，故，，
故在中，由余弦定理可得，
则．
19．（2024高二上·柳州开学考）如图，已知等腰梯形中，，，是的中点，，将沿着翻折成，使平面平面.
(1)求证：平面；
(2)求与平面所成的角；
(3)在线段上是否存在点，使得平面，若存在，求出的值；若不存在，说明理由.
【答案】解：(1)证明：因为，是的中点，所以，
故四边形是菱形，从而，
所以沿着翻折成后，，，
又因为，
所以平面，
由题意，易知，，
所以四边形是平行四边形，故，
所以平面；
(2) 因为平面，
所以与平面所成的角为，
由已知条件，可知，，
所以是正三角形，所以，
所以与平面所成的角为30°；
(3) 假设线段上是存在点，使得平面，
过点作交于，连结，，如下图：
所以，所以，，， 四点共面，
又因为平面，所以，
所以四边形为平行四边形，故，
所以为中点，
故在线段上存在点，使得平面，且.
【知识点】直线与平面平行的判定；直线与平面垂直的判定；直线与平面所成的角
【解析】【分析】本题考查直线与平面垂直的判定，直线与平面平行的判定，直线与平面所成的角.(1)根据题意可证明四边形是菱形，利用菱形的性质可得，利用折叠的性质可得，，利用直线与平面垂直的判定定理可得平面，根据题意可证明四边形是平行四边形，根据平行四边形的性质可得：，据此可证明结论；
(2)根据平面，利用直线与平面所成角的定义可得：与平面所成的角为， 根据题意可推出是正三角形，利用正三角形的性质可求出与平面所成的角；
(3)假设线段上是存在点，使得平面，过点作交于，连结，，根据平面共线定理可得，，， 四点共面， 利用直线与平面平行的性质可得， 据此推出四边形为平行四边形，利用平行四边形的性质可推出为中点，进而可推出的值.
1 / 1
