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28第27章《相似》单元检测卷
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．（3分）如图，四边形ABCD∽四边形EFGH，∠A＝80°，∠C＝90°，∠F＝70°，则∠H等于（ ）
A．70° B．80° C．110° D．120°
【思路点拔】利用相似多边形的对应角相等求得答案即可．
【解答】解：∵四边形ABCD∽四边形EFGH，∠A＝80°，∠C＝90°，∠F＝70°，
∴∠E＝∠A＝80°，∠G＝∠C＝90°，
∴∠H＝360°﹣∠E﹣∠F﹣∠G＝360°﹣80°﹣70°﹣90°＝120°，
故选：D．
2．（3分）已知△ABC∽△A′B′C′，AD和A′D′分别是它们的高，若AD＝6，A′D′＝3，则△ABC与△A′B′C′的面积比是（ ）
A．2：1 B．3：2 C．4：1 D．3：4
【思路点拔】根据相似三角形的面积之比等于相似比的平方进行求解即可．
【解答】解：∵△ABC∽△A′B′C′，AD和A′D′分别是它们的高，
∴△ABC与△A′B′C′的面积比＝AD2：A′D′2＝62：32＝4：1，
故选：C．
3．（3分）如图，△ABC与△DEF是位似图形，点O为位似中心，且OA：OD＝1：2，若△ABC的周长为8，则△DEF的周长为（ ）
A．4 B． C．16 D．32
【思路点拔】根据位似图形的概念得到△ABC∽△DEF，AB∥DE，得到△AOB∽△DOE，根据相似三角形的性质求出，再根据相似三角形的周长比等于相似比计算即可．
【解答】解：∵△ABC与△DEF是位似图形，
∴△ABC∽△DEF，AB∥DE，
∴△AOB∽△DOE，
∴，
∴△ABC的周长：△DEF的周长＝1：2，
∵△ABC的周长为8，
∴△DEF的周长为16，
故选：C．
4．（3分）如图，已知AB∥CD∥EF，则下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
【思路点拔】根据平行线分线段成比例定理判断即可．
【解答】解：∵AB∥CD∥EF，
∴，故A错误，
，故B错误；
，即，故C正确；
，即，故D错误．
故选：C．
5．（3分）在平面直角坐标系xOy中，已知A（4，2），B（2，﹣2），以原点O为位似中心，按位似比1：2把△OAB缩小，则点A的对应点A′的坐标为（ ）
A．（3，1） B．（﹣2，﹣1）
C．（3，1）或（﹣3，﹣1） D．（2，1）或（﹣2，﹣1）
【思路点拔】在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或﹣k，结合题意即可得出答案．
【解答】解：∵A（4，2），B（2，﹣2）两点，以坐标原点O为位似中心，相似比为，
∴对应点A′的坐标分别是：A′（2，1）或（﹣2，﹣1）．
故选：D．
6．（3分）已知如图①②中各有两个三角形，其边长和角的度数已在图上标注，图②中AB，CD交于O点，对于各图中的两个三角形而言，下列说法正确的是（ ）
A．都相似 B．都不相似 C．只有①相似 D．只有②相似
【思路点拔】根据三角形内角和定理、相似三角形的判定解决此题．
【解答】解：图①：左边的三角形的三个内角的度数分别为35°、75°、70°；右边的三角形的三个内角的度数分别为35°、75°、70°；所以这两个三角形相似．
图②：由图可知，∠AOC＝∠DOB．
∵，
∴．
∴△AOC∽△DOB．
∴图②中两个三角形相似．
故选：A．
7．（3分）已知：如图，∠ADE＝∠ACD＝∠ABC，图中相似三角形共有（ ）
A．1对 B．2对 C．3对 D．4对
【思路点拔】根据已知先判定线段DE∥BC，再根据相似三角形的判定方法进行分析，从而得到答案．
【解答】解：∵∠ADE＝∠ACD＝∠ABC
∴DE∥BC
∴△ADE∽△ABC，
∵DE∥BC
∴∠EDC＝∠DCB，
∵∠ACD＝∠ABC，
∴△EDC∽△DCB，
同理：∠ACD＝∠ABC，∠A＝∠A，
∴△ABC∽△ACD，
∵△ADE∽△ABC，△ABC∽△ACD，
∴△ADE∽△ACD
∴共4对
故选：D．
8．（3分）“今有邑，东西七里，南北九里，各开中门，出东门一十五里有木，问：出南门几何步而见木？”这段话摘自《九章算术》．意思是说：如图，矩形城池ABCD，东边城墙AB长9里，南边城墙AD长7里，东门点E、南门点F分别是AB、AD中点，EG⊥AB，FH⊥AD，EG＝15里，HG经过A点，则FH＝（ ）
A．1.2 里 B．1.5 里 C．1.05 里 D．1.02 里
【思路点拔】首先根据题意得到△GEA∽△AFH，然后利用相似三角形的对应边的比相等列出比例式求得答案即可．
【解答】解：如图所示：
∵EG⊥AB，FH⊥AD，HG经过A点，
∴FA∥EG，EA∥FH，
∴∠HFA＝∠AEG＝90°，∠FHA＝∠EAG，
∴△GEA∽△AFH，
∴．
∵AB＝9里，DA＝7里，EG＝15里，
∴FA＝3.5里，EA＝4.5里，
∴，
解得：FH＝1.05里．
故选：C．
9．（3分）如图，已知AB是⊙O的直径，点P在BA的延长线上，PD与⊙O相切于点D，过点B作PD的垂线交PD的延长线于点C，若⊙O的半径为4，BC＝6，则PA的长为（ ）
A．4 B．2 C．3 D．2.5
【思路点拔】直接利用切线的性质得出∠PDO＝90°，再利用相似三角形的判定与性质分析得出答案．
【解答】解：连接DO，
∵PD与⊙O相切于点D，
∴∠PDO＝90°，
∵∠C＝90°，
∴DO∥BC，
∴△PDO∽△PCB，
∴，
设PA＝x，则，
解得：x＝4，
故PA＝4．
故选：A．
10．（3分）△ABC的边上有D、E、F三点，各点位置如图所示．若∠B＝∠FAC，BD＝AC，∠BDE＝∠C，BE：EF：FC＝6：5：4，则四边形ADEF与△ABC面积的比值为（ ）
A．1：3 B．3：7 C．5：11 D．7：15
【思路点拔】设BE＝6k，EF＝5k，CF＝4k（k≠0），证明△CAF∽△CBA，推出CA2＝CF CB，推出AC＝2k，可得，推出S△ACF：S△ACB＝4：15，同法S△BDE：S△ABC＝4：15，由此可得结论．
【解答】解：∵BE：EF：FC＝6：5：4，
∴S△ACF：S△ACB＝4：15，
由△BDE∽△BCA，
∵BD＝AC，
∴，
∴S△BDE：S△ABC＝4：15，
∴S四边形ADEF：S△ABC＝（15﹣4﹣4）：15＝7：15，
故选：D．
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
11．（3分）已知，则的值为 ．
【思路点拔】设x＝7a，则y＝4a，代入所求的式子，然后进行化简即可求解．
【解答】解：∵，
∴设x＝7a，则y＝4a，
则．
故答案为：．
12．（3分）如图，已知△ABC∽△AMN，点M是AC的中点，AB＝6，AC＝8，则AN＝ ．
【思路点拔】根据相似三角形的性质，得，代入数据得出AN的长即可．
【解答】解：∵△ABC∽△AMN，
∴，
∵M是AC的中点，AB＝6，AC＝8，
∴AM＝MC＝4，
∴，
解得AN，
故答案为：．
13．（3分）如图，在平行四边形ABCD中，点E在BA的延长线上，AB＝2AE，EC、BD交于点F．BD＝10，则DF的长为 4 ．
【思路点拔】利用平行四边形的性质可得AB∥CD，AB＝CD，再结合已知可得EB＝3AE，CD＝2AE，然后再证明8字模型相似三角形△EBF∽△CDF，从而利用相似三角形的性质可得，进行计算即可解答．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AB＝CD，
∵AB＝2AE，
∴EB＝3AE，CD＝2AE，
∵AB∥CD，
∴∠E＝∠ECD，∠EBD＝∠BDC，
∴△EBF∽△CDF，
∴，
∴DFBD＝4，
故答案为：4．
14．（3分）如图，在△ABC中，点F、G在BC上，点E、H分别在AB、AC上，四边形EFGH是矩形，EH＝2EF，AD是△ABC的高，BC＝8，AD＝6，那么EH的长为 ．
【思路点拔】设AD交EH于点R，由矩形EFGH的边FG在BC上证明EH∥BC，∠EFC＝90°，则△AEH∽△ABC，得，其中BC＝8，AD＝6，AR＝6EH，可以列出方程，解方程求出EH的值即可．
【解答】解：设AD交EH于点R，
∵矩形EFGH的边FG在BC上，
∴EH∥BC，∠EFC＝90°，
∴△AEH∽△ABC，
∵AD⊥BC于点D，
∴∠ARE＝∠ADB＝90°，
∴AR⊥EH，
∴，
∵EF⊥BC，RD⊥BC，EH＝2EF，
∴RD＝EFEH，
∵BC＝8，AD＝6，AR＝6EH，
∴，
解得EH，
∴EH的长为，
故答案为：．
15．（3分）如图，矩形OABC的面积为，对角线OB与双曲线y（k＞0，x＞0）相交于点D，且OB：OD＝5：3，则k的值为 12 ．
【思路点拔】设D的坐标是（3m，3n），则B的坐标是（5m，5n），根据矩形OABC的面积即可求得mn的值，把D的坐标代入函数解析式y即可求得k的值．
【解答】解：设D的坐标是（3m，3n），则B的坐标是（5m，5n）．
∵矩形OABC的面积为，
∴5m 5n，
∴mn．
把D的坐标代入函数解析式得：3n，
∴k＝9mn＝912．
故答案为：12．
16．（3分）如图，在△ABC纸板中，AC＝8，BC＝4，AB＝11，P是AC上一点，过点P沿直线剪下一个与△ABC相似的小三角形纸板，如果有4种不同的剪法，那么AP长的取值范围是 6≤AP＜8 ．
【思路点拔】分四种情况讨论，依据相似三角形的对应边成比例，即可得到AP的长的取值范围．
【解答】解：如图所示，过P作PD∥AB交BC于D或PE∥BC交AB于E，则△PCD∽△ACB或△APE∽△ACB，
此时0＜AP＜8；
如图所示，过P作∠APF＝∠B交AB于F，则△APF∽△ABC，
此时0＜AP≤8；
如图所示，过P作∠CPG＝∠CBA交BC于G，则△CPG∽△CBA，
此时，△CPG∽△CBA，
当点G与点B重合时，CB2＝CP×CA，即42＝CP×8，
∴CP＝2，AP＝6，
∴此时，6≤AP＜8；
综上所述，AP长的取值范围是6≤AP＜8．
故答案为：6≤AP＜8．
三．解答题（共8小题，满分72分）
17．（8分）已知：如图，△ABC∽△ACD，CD平分∠ACB，AD＝2，BD＝3，求AC、DC的长．
【思路点拔】根据相似三角形的性质得到∠ACD＝∠B，，把已知数据代入比例式求出AC，根据角平分线的性质、等腰三角形的判定定理求出DC．
【解答】解：∵△ABC∽△ACD，AD＝2，BD＝3，
∴∠ACD＝∠B，，即，
解得，AC，
∵CD平分∠ACB，
∴∠ACD＝∠BCD，
∴∠BCD＝∠B，
∴DC＝BD＝3．
18．（8分）如图， ABCD中，AE：EB＝2：3，DE交AC于F，
（1）求△AEF与△CDF周长之比；
（2）如果△CDF的面积为25cm2，求四边形ABCD的面积．
【思路点拔】（1）根据两对应角相等，两三角形是相似三角形，可判断△AEF与△CDF是相似三角形，根据相似三角形的周长比等于相似比即可求解；
（2）根据△AEF∽△CDF，于是得到，，求得S△ACD＝35cm2，于是得到S四边形ABCD＝2S△ACD＝70cm2．
【解答】解：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，AB∥CD，
∴∠EAF＝∠DCF，∠AEF＝∠CDF，
∴△AEF∽△CDF，
∴，
∵AE：EB＝2：3，
∴，
∴；
（2）∵△AEF∽△CDF，
∴，
∴，
∵△CDF的面积为25cm2，
∴S△ADF＝10cm2，
∴S△ACD＝35cm2，
∴S四边形ABCD＝2S△ACD＝70cm2．
19．（8分）如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于D，作DE⊥AC于E，F是AB中点，连接EF交AD于点G，连接DF．
（1）求证：AD2＝AB AE；
（2）若CD＝2，CE＝1，求的值．
【思路点拔】（1）证AD2＝AB AE，即证AD2＝AC AE，考虑证△DAE与△CAD相似；
（2）要求，考虑求，证明△DFG与△AEG相似．Rt△ADB斜边AB上的中线DF的长是斜边长度的一半．
【解答】（1）证明：∵AD⊥BC于点D，作DE⊥AC于点E，
∴∠ADC＝∠AED＝90°．
∵∠DAE＝∠DAC，
∴△DAE∽△CAD，
∴，
∴AD2＝AC AE．
∵AB＝AC，
∴AD2＝AB AE．
（2）解：∵DE⊥AC于E，CD＝2，CE＝1，
∴DE．
∵AB＝AC，AD⊥BC，
∴BD＝DC．
∵∠ADB＝90°，F是AB中点，
∴DFAB．
∵F是AB中点，BD＝DC，
∴DF∥AC，
∴∠AGE＝∠DGF，∠GAE＝∠GDF，
∴△DFG∽△AEG，
∴．
∵AD⊥BC于D，DE⊥AC于E，
∴∠ADE+∠CDE＝90°，∠DCE+∠CDE＝90°，
∴∠ADE＝∠DCE，
∴Rt△ADE∽Rt△DCE，
∴．
∵，而，
∴．
20．（8分）如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D是斜边AB上的中点，E是边BC上的点，AE与CD交于点F，且AC2＝CE CB．
（1）求证：AE⊥CD；
（2）连接BF，如果点E是BC中点，求证：∠EBF＝∠EAB．
【思路点拔】（1）先根据题意得出△ACB∽△ECA，再由直角三角形的性质得出CD＝AD，由∠CAD+∠ABC＝90°可得出∠ACD+∠EAC＝90°，进而可得出∠AFC＝90°；
（2）根据AE⊥CD可得出∠EFC＝90°，∠ACE＝∠EFC，故可得出△ECF∽△EAC，再由点E是BC的中点可知CE＝BE，故，根据∠BEF＝∠AEB得出△BEF∽△AEB，进而可得出结论．
【解答】证明：（1）∵AC2＝CE CB，
∴．
又∵∠ACB＝∠ECA＝90°
∴△ACB∽△ECA，
∴∠ABC＝∠EAC．
∵点D是AB的中点，
∴CD＝AD，
∴∠ACD＝∠CAD
∵∠CAD+∠ABC＝90°，
∴∠ACD+∠EAC＝90°
∴∠AFC＝90°，
∴AE⊥CD
（2）∵AE⊥CD，
∴∠EFC＝90°，
∴∠ACE＝∠EFC
又∵∠AEC＝∠CEF，
∴△ECF∽△EAC
∴
∵点E是BC的中点，
∴CE＝BE，
∴
∵∠BEF＝∠AEB，
∴△BEF∽△AEB
∴∠EBF＝∠EAB．
21．（8分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点O在斜边AB上，以O为圆心，OB的长为半径的圆交BC于点D，交AB于点E，AD为⊙O的切线．
（1）求证：∠B＝∠CAD；
（2）若CD＝4，BD＝12，求⊙O的半径的长．
【思路点拔】（1）连接OD，利用圆的切线的性质定理，直角三角形的两个锐角互余，同角的余角相等得到∠CAD＝∠ODB，利用同圆的半径相等，等腰三角形的性质即可得出结论；
（2）通过证明△CBA∽△CAD求得线段AC的长，过点O作OF⊥CB于点F，利用垂径定理则DF＝FBBD＝6，证得△OFB∽△DCA，可求得线段OF，利用勾股定理即可求得结论．
【解答】（1）证明：连接OD，如图，
∵AD为⊙O的切线，
∴OD⊥AD，
∴∠ADO＝90°，
∴∠ADC+∠ODB＝90°．
∵∠ACB＝90°，
∴∠CAD+∠ADC＝90°，
∴∠CAD＝∠ODB．
∵OD＝OB，
∴∠B＝∠ODB，
∴∠B＝∠CAD．
（2）解：∵∠B＝∠CAD，∠C＝∠C，
∴△CBA∽△CAD，
∴，
∴CA2＝CD CB＝4×（4+12）＝64，
∴CA＝8．
过点O作OF⊥CB于点F，则DF＝FBBD＝6，
∵∠B＝∠CAD，∠OFB＝∠C＝90°，
∴△OFB∽△DCA，
∴，
∴OFBF＝3，
∴OB3．
∴⊙O的半径的长为3．
22．（10分）如图，嘉嘉同学正在使用手电筒进行物理光学实验，地面上从左往右依次是墙、木板和平面镜．手电筒的灯泡在点G处，手电筒的光从平面镜上点B处反射后，恰好经过木板的边缘点F，落在墙上的点E处，点E到地面的高度DE＝3.5m，点F到地面的高度CF＝1.5m，墙到木板的水平距离AC＝5.4m，灯泡到木板的水平距离为CD＝4m．已知光在镜面反射中的入射角等于反射角，图中点A、B、C、D在同一水平面上．
（1）求BC的长．
（2）求灯泡到地面的高度．
【思路点拔】（1）直接利用相似三角形的判定与性质得出BC的长；
（2）根据相似三角形的性质列方程进而求出AG的长．
【解答】解：（1）由题意可得：FC∥DE，
则△BFC∽△BED，
故，
即，
解得：BC＝3，
经检验，BC＝3是上述分式方程的解，
∴BC的长为3m；
（2）∵AC＝5.4m，
∴AB＝5.4﹣3＝2.4（ m），
∵光在镜面反射中的入射角等于反射角，
∴∠FBC＝∠GBA，
又∵∠FCB＝∠GAB，
∴△BGA∽△BFC，
∴，
∴，
解得：AG＝1.2（ m），
∴灯泡到地面的高度AG为1.2m．
23．（10分）（1）如图1，已知△ABC和△DCE，点B、C、E在一条直线上，且∠B＝∠ACD＝∠E，AC＝CD，求证：BC＝DE；
（2）如图2，在等边△ABC中，M、N分别为BC，AB边上的点，且ND＝NM，∠DNM＝60°，连接AD．若∠DAN＝30°，求证：CM＝2BN；
（3）如图3，等边△ABC的面积是25，AB＝6，点D、F分别为AC、BC边上的动点，AD＝2CF，连接DF，以DF为边在△ABC内作等边△DEF，连接BE，当点D从点A运动到点C，请在图3中作出点E的运动轨迹，并求出点E的运动路程．
【思路点拔】（1）证△ABC≌△CED即可得证；
（2）在AB上截取AF＝DF构造△FDN≌△BNM（AAS），从而证出FD＝BN＝AF，FN＝BM，再用线段和差即可得证；
（3）类比探究，根据前问思路，构造“一线三等角”的全等，证明BE平分∠ABC，即可得出点E的运动轨迹，再利用面积法求出BN的长度即可．
【解答】（1）证明：∵∠B＝∠ACD，∠ACE＝∠ACD+∠DCE＝∠B+∠BAC，
∴∠BAC＝∠DCE，
在△ABC和△CED中，
，
∴△ABC≌△CED（SAS），
∴BC＝DE；
（2）证明：在AB上截取AF＝DF，连接DF，如图2，
∵∠DAN＝30°，
∴∠DAN＝∠ADF＝30°，
∴∠DFN＝60°＝∠B，
∵∠ANM＝∠AND+∠DNM＝∠PMN+∠B，且∠DNM＝∠B＝60°，
∴∠AND＝∠BMN，
在△FDN和△BNM中，
，
∴△FDN≌△BNM（AAS），
∴FD＝BN，FN＝BM，
∴AF＝BN，
∵AB＝BC，
∴AB﹣NF＝BC﹣BM，即AF+BN＝CM，
∴CM＝2BN；
（3）解：如图3，在BC上截取BM＝CF，连接EM，
∵AD＝2CF＝BM+CF，且AC＝BC，
∴CD＝FM，
∵△DEF是等边三角形，
∴DF＝EF，∠DFE＝60°，
∵∠DFM＝∠CDF+∠C＝∠MFE+∠DFE，且∠C＝∠DFE＝60°，
∴∠CDF＝∠MFE，
∴△DFC≌△FEM（SAS），
∴∠FME＝∠C＝60°，EM＝CF，
∵BM＝CF，
∴BM＝EM，
∴∠EBM＝30°，
∴BE平分∠ABC，
∴如图所示，点E在△ABC的内角∠ABC的角平分线上BN上运动．
∴点E的运动路程也就是BN的长度，
∵△ABC是等边三角形，BN是角平分线，
∴BN⊥AC，
∴，
∵AC＝6，
∴，
即点E的运动路程为．
24．（12分）如图，直线与x轴交于点B，与y轴交于点C，抛物线经过B，C两点，与x轴另一交点为A．
（1）求抛物线的解析式，并直接写出点A的坐标；
（2）如图1，点D为第四象限抛物线上一动点，连接AD，交BC于点N，连接BD，记△BND的面积为S1，△BNA的面积为S2，求的最大值；
（3）若点P（m，y1），Q（m+3，y2）是抛物线图象上的两点，若P，Q之间的图象（包括点P，Q）的最高点与最低点纵坐标的差为，求m的值．
【思路点拔】（1）先求出B（4，0），C（0，﹣2），再运用待定系数法即可求得抛物线解析式，令y＝0，解方程即可求得点A的坐标；
（2）过点A作AE∥y轴交BC于E，过点D作DF∥y轴交BC于F，则AE，设D（t，t2t﹣2），则F（t，t﹣2），可得DFt2+2t，由AE∥DF，得△AEN∽△DFN，可得（t﹣2）2，运用二次函数的性质即可求得答案；
（3）当m时，点P，Q之间的图象的最高点是点P，最低点是点Q，可得（m2m﹣2）﹣[（m+3）2（m+3）﹣2]m2，当m≤0时，点P，Q之间的图象的最高点是点P，最低点是顶点，可得m2m﹣2﹣（）m2，当0＜m时，点P，Q之间的图象的最高点是点Q，最低点是顶点，可得[（m+3）2（m+3）﹣2]﹣（）m2，当m时，点P，Q之间的图象的最高点是点Q，最低点是点P，可得[（m+3）2（m+3）﹣2]﹣（m2m﹣2）m2，分别解方程并检验可得答案．
【解答】解：（1）∵直线与x轴交于点B，与y轴交于点C，
∴B（4，0），C（0，﹣2），
∵抛物线经过B，C两点，
∴，
解得：，
∴抛物线的解析式为yx2x﹣2，
当y＝0时，x2x﹣2＝0，
解得：x1＝4，x2＝﹣1，
∴点A的坐标为（﹣1，0）；
（2）如图1，过点A作AE∥y轴交BC于E，过点D作DF∥y轴交BC于F，
则E（﹣1，），
∴AE，
设D（t，t2t﹣2），则F（t，t﹣2），
∴DF＝（t﹣2）﹣（t2t﹣2）t2+2t，
∵AE∥y轴，DF∥y轴，
∴AE∥DF，
∴△AEN∽△DFN，
∴，
∵（t﹣2）2，
∴当t＝2时，的最大值为；
（3）∵yx2x﹣2（x）2，
∴该函数图象的对称轴是直线x，顶点坐标为（，），
当m时，m＜m+3，则y1＞y2，
∴点P，Q之间的图象的最高点是点P，最低点是点Q，
∴（m2m﹣2）﹣[（m+3）2（m+3）﹣2]m2，
解得：m1＝﹣6，m2＝0 （舍去）；
当m≤0时，m+3≤3，则y1＞y2，
∴点P，Q之间的图象的最高点是点P，最低点是顶点，
∴m2m﹣2﹣（）m2，
解得：m；
当0＜m时，3＜m+3，则y2＞y1，
∴点P，Q之间的图象的最高点是点Q，最低点是顶点，
∴[（m+3）2（m+3）﹣2]﹣（）m2，
解得：m（不符合题意，舍去）；
当m时，y2＞y1，
∴点P，Q之间的图象的最高点是点Q，最低点是点P，
∴[（m+3）2（m+3）﹣2]﹣（m2m﹣2）m2，
解得：m1＝0（舍去），m2＝6；
综上所述，m的值是﹣6或6．中小学教育资源及组卷应用平台
28第27章《相似》单元检测卷
考试范围：第27章；考试时间：120分钟；,满分：120分
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．（3分）如图，四边形ABCD∽四边形EFGH，∠A＝80°，∠C＝90°，∠F＝70°，则∠H等于（ ）
A．70° B．80° C．110° D．120°
2．（3分）已知△ABC∽△A′B′C′，AD和A′D′分别是它们的高，若AD＝6，A′D′＝3，则△ABC与△A′B′C′的面积比是（ ）
A．2：1 B．3：2 C．4：1 D．3：4
3．（3分）如图，△ABC与△DEF是位似图形，点O为位似中心，且OA：OD＝1：2，若△ABC的周长为8，则△DEF的周长为（ ）
A．4 B． C．16 D．32
4．（3分）如图，已知AB∥CD∥EF，则下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
5．（3分）在平面直角坐标系xOy中，已知A（4，2），B（2，﹣2），以原点O为位似中心，按位似比1：2把△OAB缩小，则点A的对应点A′的坐标为（ ）
A．（3，1） B．（﹣2，﹣1）
C．（3，1）或（﹣3，﹣1） D．（2，1）或（﹣2，﹣1）
6．（3分）已知如图①②中各有两个三角形，其边长和角的度数已在图上标注，图②中AB，CD交于O点，对于各图中的两个三角形而言，下列说法正确的是（ ）
A．都相似 B．都不相似 C．只有①相似 D．只有②相似
7．（3分）已知：如图，∠ADE＝∠ACD＝∠ABC，图中相似三角形共有（ ）
A．1对 B．2对 C．3对 D．4对
8．（3分）“今有邑，东西七里，南北九里，各开中门，出东门一十五里有木，问：出南门几何步而见木？”这段话摘自《九章算术》．意思是说：如图，矩形城池ABCD，东边城墙AB长9里，南边城墙AD长7里，东门点E、南门点F分别是AB、AD中点，EG⊥AB，FH⊥AD，EG＝15里，HG经过A点，则FH＝（ ）
A．1.2 里 B．1.5 里 C．1.05 里 D．1.02 里
9．（3分）如图，已知AB是⊙O的直径，点P在BA的延长线上，PD与⊙O相切于点D，过点B作PD的垂线交PD的延长线于点C，若⊙O的半径为4，BC＝6，则PA的长为（ ）
A．4 B．2 C．3 D．2.5
10．（3分）△ABC的边上有D、E、F三点，各点位置如图所示．若∠B＝∠FAC，BD＝AC，∠BDE＝∠C，BE：EF：FC＝6：5：4，则四边形ADEF与△ABC面积的比值为（ ）
A．1：3 B．3：7 C．5：11 D．7：15
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
11．（3分）已知，则的值为 ．
12．（3分）如图，已知△ABC∽△AMN，点M是AC的中点，AB＝6，AC＝8，则AN＝ ．
13．（3分）如图，在平行四边形ABCD中，点E在BA的延长线上，AB＝2AE，EC、BD交于点F．BD＝10，则DF的长为 ．
14．（3分）如图，在△ABC中，点F、G在BC上，点E、H分别在AB、AC上，四边形EFGH是矩形，EH＝2EF，AD是△ABC的高，BC＝8，AD＝6，那么EH的长为 ．
15．（3分）如图，矩形OABC的面积为，对角线OB与双曲线y（k＞0，x＞0）相交于点D，且OB：OD＝5：3，则k的值为 ．
16．（3分）如图，在△ABC纸板中，AC＝8，BC＝4，AB＝11，P是AC上一点，过点P沿直线剪下一个与△ABC相似的小三角形纸板，如果有4种不同的剪法，那么AP长的取值范围是 ．
三．解答题（共8小题，满分72分）
17．（8分）已知：如图，△ABC∽△ACD，CD平分∠ACB，AD＝2，BD＝3，求AC、DC的长．
18．（8分）如图， ABCD中，AE：EB＝2：3，DE交AC于F，
（1）求△AEF与△CDF周长之比；
（2）如果△CDF的面积为25cm2，求四边形ABCD的面积．
19．（8分）如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于D，作DE⊥AC于E，F是AB中点，连接EF交AD于点G，连接DF．
（1）求证：AD2＝AB AE；
（2）若CD＝2，CE＝1，求的值．
20．（8分）如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D是斜边AB上的中点，E是边BC上的点，AE与CD交于点F，且AC2＝CE CB．
（1）求证：AE⊥CD；
（2）连接BF，如果点E是BC中点，求证：∠EBF＝∠EAB．
21．（8分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点O在斜边AB上，以O为圆心，OB的长为半径的圆交BC于点D，交AB于点E，AD为⊙O的切线．
（1）求证：∠B＝∠CAD；
（2）若CD＝4，BD＝12，求⊙O的半径的长．
22．（10分）如图，嘉嘉同学正在使用手电筒进行物理光学实验，地面上从左往右依次是墙、木板和平面镜．手电筒的灯泡在点G处，手电筒的光从平面镜上点B处反射后，恰好经过木板的边缘点F，落在墙上的点E处，点E到地面的高度DE＝3.5m，点F到地面的高度CF＝1.5m，墙到木板的水平距离AC＝5.4m，灯泡到木板的水平距离为CD＝4m．已知光在镜面反射中的入射角等于反射角，图中点A、B、C、D在同一水平面上．
（1）求BC的长．
（2）求灯泡到地面的高度．
23．（10分）（1）如图1，已知△ABC和△DCE，点B、C、E在一条直线上，且∠B＝∠ACD＝∠E，AC＝CD，求证：BC＝DE；
（2）如图2，在等边△ABC中，M、N分别为BC，AB边上的点，且ND＝NM，∠DNM＝60°，连接AD．若∠DAN＝30°，求证：CM＝2BN；
（3）如图3，等边△ABC的面积是25，AB＝6，点D、F分别为AC、BC边上的动点，AD＝2CF，连接DF，以DF为边在△ABC内作等边△DEF，连接BE，当点D从点A运动到点C，请在图3中作出点E的运动轨迹，并求出点E的运动路程．
24．（12分）如图，直线与x轴交于点B，与y轴交于点C，抛物线经过B，C两点，与x轴另一交点为A．
（1）求抛物线的解析式，并直接写出点A的坐标；
（2）如图1，点D为第四象限抛物线上一动点，连接AD，交BC于点N，连接BD，记△BND的面积为S1，△BNA的面积为S2，求的最大值；
（3）若点P（m，y1），Q（m+3，y2）是抛物线图象上的两点，若P，Q之间的图象（包括点P，Q）的最高点与最低点纵坐标的差为，求m的值．
