2015-2016学年湖南省衡阳市衡阳县高一（上）期末数学试卷（解析版）
文档属性
| 名称 | 2015-2016学年湖南省衡阳市衡阳县高一（上）期末数学试卷（解析版） |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 284.4KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 湘教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2016-03-09 20:13:11 | ||
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文档简介
2015-2016学年湖南省衡阳市衡阳县高一（上）期末数学试卷
一、选择题：本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．集合{y∈z|0＜y≤4}的子集个数是（ ）
A．64 B．32 C．16 D．8
2．直线的倾斜角是（ ）
A．30° B．120° C．135° D．150°
3．与函数y=的定义域相同的函数是（ ）
A．y= B．y=2x﹣1 C．y= D．y=ln（x﹣1）
4．下列函数中，在区间（0，+∞）上是增函数的是（ ）
A．y= B．y=|x| C．y=x2+2 D．y=﹣2x+5
5．直线l1：x+（a+5）y﹣6=0与直线l2：（a﹣3）x+y+7=0互相垂直，则a等于（ ）
A．﹣ B．﹣1 C．1 D．
6．已知f（x）=（x+1）（x+a）为偶函数，则a=（ ）
A．﹣2 B．﹣1 C．1 D．2
7．若a=（）2，b=2，c=log2，则a，b，c的大小关系为（ ）
A．a＜b＜c B．c＜a＜b C．c＜b＜a D．a＜c＜b
8．已知函数f（x）=logx，x∈[，]，则f（x）的值域是（ ）
A．[，2] B．[﹣，2] C．[0，2] D．[0，]
9．三棱锥P﹣ABC中，PA⊥底面ABC，PA=3，底面ABC是边长为2的正三角形，则三棱锥P﹣ABC的体积等于（ ）
A．3 B． C．2 D．4
10．如图，水平放置的三棱柱的侧棱长和底 ( http: / / www.21cnjy.com )面边长均为2，且侧棱AA1⊥底面A1B1C1，主视图是边长为2的正方形，该三棱柱的左视图面积为（ ）
( http: / / www.21cnjy.com )
A．4 B． C． D．
二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分，把正确的答案填在横线上．
11．已知a是函数f（x）=2﹣log2x的零点，则a的值为
12．过点（1，3）且与直线x+2y﹣1=0平行的直线方程是 ．
13．已知函数f（x）=的值为 ．
14．如图，正方体ABCD﹣A′B′C′D′，直线D′A与DB所成的角为 ． ( http: / / www.21cnjy.com )
15．若对于任意的x∈[1，2]，不等式≥1恒成立，则实数a的最小值为 ．
三、解答题：本大题共6小题，满分50分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
16．已知集合A={x|4≤x＜8，x∈R}，B={x|6＜x＜9，x∈R}，C={x|x＞a，x∈R}．
（1）求A∪B；
（2）（ UA）∩B；
（3）若A∩C= ，求a的取值范围．
17．已知△ABC的三个顶点分别为A（2，3），B（1，﹣2），C（﹣3，4），求
（1）BC边上的中线AD所在的直线方程；
（2）△ABC的面积．
18．已知圆C：（x﹣1）2+y2=4
（1）求过点P（3，3）且与圆C相切的直线l的方程；
（2）已知直线m：x﹣y+1=0与圆C交于A、B两点，求|AB|
19．某市出租车的计价标准是：4km以内（ ( http: / / www.21cnjy.com )含4km）10元，超过4km且不超过18km的部分1.2元/km，超过18km的部分1.8元/km，不计等待时间的费用．
（1）如果某人乘车行驶了10km，他要付多少车费？
（2）试建立车费y（元）与行车里程x（km）的函数关系式．
20．如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E、F分别为棱AB、AD的中点．
（1）求证：EF平行平面CB1D1；
（2）求证：平面CAA1C1⊥平面CB1D1
（3）求直线A1C与平面ABCD所成角的正切值．
( http: / / www.21cnjy.com )
21．已知函数f（x）=
（1）证明f（x）是奇函数；
（2）判断f（x）的单调性，并用定义证明
（3）求f（x）在[1，2]上的最值．
2015-2016学年湖南省衡阳市衡阳县高一（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．集合{y∈z|0＜y≤4}的子集个数是（ ）
A．64 B．32 C．16 D．8
【考点】子集与真子集．
【专题】计算题；集合思想；定义法；集合．
【分析】求出集合，然后求解集合的子集的个数．
【解答】解：因为{y∈z|0＜y≤4}={1，2，3，4}，
所以集合的子集的个数：24=16．
故选：C．
【点评】本题考查集合的求法，子集的个数问题，基本知识的考查．
2．直线的倾斜角是（ ）
A．30° B．120° C．135° D．150°
【考点】直线的倾斜角．
【专题】计算题．
【分析】把已知直线的方程变形后，找出直线的 ( http: / / www.21cnjy.com )斜率，根据直线斜率与倾斜角的关系，即直线的斜率等于倾斜角的正切值，得到倾斜角的正切值，由倾斜角的范围，利用特殊角的三角函数值即可求出倾斜角的度数．
【解答】解：由直线变形得：y=﹣x+，
所以该直线的斜率k=﹣，设直线的倾斜角为α，即tanα=﹣，
∵α∈（0，180°），
∴α=150°．
故选D．
【点评】此题考查了直线的倾斜角，以及特殊角的三角函数值．熟练掌握直线倾斜角与斜率的关系是解本题的关键，同时注意直线倾斜角的范围．
3．与函数y=的定义域相同的函数是（ ）
A．y= B．y=2x﹣1 C．y= D．y=ln（x﹣1）
【考点】判断两个函数是否为同一函数．
【专题】对应思想；定义法；函数的性质及应用．
【分析】求出函数y=的定义域，再分别求出选项中的函数定义域，进行判断即可．
【解答】解：函数y=的定义域是（1，+∞）；
对于A，函数y=的定义域是[1，+∞），与已知函数的定义域不同；
对于B，函数y=2x﹣1的定义域是（﹣∞，+∞），与已知函数的定义域不同；
对于C，函数y=的定义域是（﹣∞，1）∪（1，+∞），与已知函数的定义域不同；
对于D，函数y=ln（x﹣1）的定义域是（1，+∞），与已知函数的定义域相同．
故选：D．
【点评】本题考查了求基本初等函数定义域的应用问题，是基础题目．
4．下列函数中，在区间（0，+∞）上是增函数的是（ ）
A．y= B．y=|x| C．y=x2+2 D．y=﹣2x+5
【考点】函数单调性的判断与证明．
【专题】函数思想；综合法；函数的性质及应用．
【分析】根据反比例函数、对数函数、二次函数，以及一次函数的单调性便可找出正确选项．
【解答】解：A.在（0，+∞）上为减函数，∴该选项错误；
B．x＞0时，为减函数，∴该选项错误；
C．y=x2+2在（0，+∞）上单调递增，∴该选项正确；
D．一次函数y=﹣2x+5在（0，+∞）上单调递减，∴该选项错误．
故选C．
【点评】考查反比例函数，对数函数，二次函数及一次函数在（0，+∞）上的单调性，要熟悉二次函数图象．
5．直线l1：x+（a+5）y﹣6=0与直线l2：（a﹣3）x+y+7=0互相垂直，则a等于（ ）
A．﹣ B．﹣1 C．1 D．
【考点】直线的一般式方程与直线的垂直关系．
【专题】方程思想；综合法；直线与圆．
【分析】利用两条直线相互垂直与斜率的关系即可得出．
【解答】解：∵直线l1：x+（a+5）y﹣6=0和l2：（a﹣3）x+y+7=0直线互相垂直，
∴（a﹣3）+（a+5）=0，解之得a=﹣1，
故选：B．
【点评】本题考查了两条直线相互垂直与斜率的关系，属于基础题．
6．已知f（x）=（x+1）（x+a）为偶函数，则a=（ ）
A．﹣2 B．﹣1 C．1 D．2
【考点】函数奇偶性的性质．
【专题】函数的性质及应用．
【分析】因为函数为偶函数，则根据偶函数定义f（﹣x）=f（x）得到等式解出a即可．
【解答】解：∵函数为偶函数得f（1）=f（﹣1）
得：2（1+a）=0
∴a=﹣1．
故选B．
【点评】此题考查学生应用函数奇偶性的能力．
7．若a=（）2，b=2，c=log2，则a，b，c的大小关系为（ ）
A．a＜b＜c B．c＜a＜b C．c＜b＜a D．a＜c＜b
【考点】对数值大小的比较．
【专题】计算题；转化思想；综合法；函数的性质及应用．
【分析】利用指数函数、对数函数的单调性求解．
【解答】解：∵a=（）2=，
b=2＞21=2，
c=log2＜1=0，
∴a，b，c的大小关系为c＜a＜b．
故选：C．
【点评】本题考查对数值大小的比较，是基础题，解题时要认真审题，注意对数函数、指数函数性质的合理运用．
8．已知函数f（x）=logx，x∈[，]，则f（x）的值域是（ ）
A．[，2] B．[﹣，2] C．[0，2] D．[0，]
【考点】对数函数的值域与最值．
【专题】函数的性质及应用．
【分析】利用对数函数的单调性求解即可．
【解答】解：函数f（x）=logx，x∈[，]，是减函数，
所以函数的最小值为：f（）=log=，
函数的最大值为：f（）=log=2．
函数的值域为：[，2]．
故选：A．
【点评】本题考查对数函数的单调性与最值的求法，考查计算能力．
9．三棱锥P﹣ABC中，PA⊥底面ABC，PA=3，底面ABC是边长为2的正三角形，则三棱锥P﹣ABC的体积等于（ ）
A．3 B． C．2 D．4
【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积．
【专题】计算题；规律型；转化思想；空间位置关系与距离．
【分析】由题意求出底面面积，然后求出三棱锥的体积．
【解答】解：三棱锥P﹣ABC中，PA⊥底面ABC，PA=3，底面ABC是边长为2的正三角形，所以底面面积为：；
三棱锥的体积为：××3=
故选：B．
【点评】本题是基础题，考查三棱锥的体积的计算，注意三棱锥的特征是解题的关键．
10．如图，水平放置的三棱 ( http: / / www.21cnjy.com )柱的侧棱长和底面边长均为2，且侧棱AA1⊥底面A1B1C1，主视图是边长为2的正方形，该三棱柱的左视图面积为（ ）
( http: / / www.21cnjy.com )
A．4 B． C． D．
【考点】由三视图求面积、体积．
【专题】计算题．
【分析】由三视图和题意可知三棱柱是正三棱柱，结合正视图，俯视图，不难得到侧视图，然后求出面积．
【解答】解：由三视图和题意可知三棱柱是正三棱柱，底面边长为2，侧棱长2，
结合正视图，俯视图，得到侧视图是矩形，长为2，宽为
面积为：
故选B．
【点评】本题考查由三视图求侧视图的面积，是基础题．
二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分，把正确的答案填在横线上．
11．已知a是函数f（x）=2﹣log2x的零点，则a的值为 4
【考点】函数的零点．
【专题】对应思想；定义法；函数的性质及应用．
【分析】根据函数零点的定义，得f（a）=0，从而求出a的值．
【解答】解：a是函数f（x）=2﹣log2x的零点，
∴f（a）=2﹣log2a=0，
∴log2a=2，
解得a=4．
故答案为：4．
【点评】本题考查了零点的定义与应用问题，是基础题目．
12．过点（1，3）且与直线x+2y﹣1=0平行的直线方程是 x+2y﹣7=0 ．
【考点】直线的一般式方程与直线的平行关系．
【专题】计算题；规律型；方程思想；直线与圆．
【分析】求出直线的斜率，然后求解直线方程．
【解答】解：与直线x+2y﹣1=0平行的直线的斜率为：，
由点斜式方程可得：y﹣3=﹣（x﹣1），化简可得x+2y﹣7=0．
故答案为：x+2y﹣7=0．
【点评】本题考查直线方程的求法，考查计算能力．
13．已知函数f（x）=的值为 ．
【考点】对数的运算性质．
【专题】计算题．
【分析】首先求出f（）=﹣2，再求出f（﹣2）的值即可．
【解答】解：∵＞0
∴f（）=log3=﹣2
∵﹣2＜0
∴f（﹣2）=2﹣2=
故答案为．
【点评】本题考查了对数的运算性质，以及分段函数求值问题，分段函数要注意定义域，属于基础题．
14．如图，正方体ABCD﹣A′B′C′D′，直线D′A与DB所成的角为 60° ． ( http: / / www.21cnjy.com )
【考点】异面直线及其所成的角．
【专题】计算题；转化思想；综合法；空间角．
【分析】连结BC′，DC′，由AD′∥BC′，得∠DBC′是直线D′A与DB所成的角，由此能求出直线D′A与DB所成的角．
【解答】解：连结BC′，DC′，
∵正方体ABCD﹣A′B′C′D′中，AD′∥BC′，
∴∠DBC′是直线D′A与DB所成的角，
∵BD=DC′=BC′，
∴∠DBC′=60°，
∴直线D′A与DB所成的角为60°．
故答案为：60°．
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【点评】本题考查异面直线所成角的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．
15．若对于任意的x∈[1，2]，不等式≥1恒成立，则实数a的最小值为 ．
【考点】函数恒成立问题．
【专题】计算题；转化思想；函数的性质及应用．
【分析】若对于任意的x∈[1，2]，不等式≥1恒成立，则对于任意的x∈[1，2]，不等式a≥2x﹣恒成立，结合函数的单调性，求出函数的最大值，可得答案．
【解答】解：若对于任意的x∈[1，2]，不等式≥1恒成立，
即对于任意的x∈[1，2]，不等式1+ax≥x 2x恒成立，
即对于任意的x∈[1，2]，不等式ax≥x 2x﹣1恒成立，
即对于任意的x∈[1，2]，不等式a≥2x﹣恒成立，
由y=2x，x∈[1，2]为增函数，y=，x∈[1，2]为减函数，
故y=2x﹣，x∈[1，2]为增函数，
故当x=2时，y取最大值，
即a≥，
故实数a的最小值为，
故答案为：．
【点评】本题考查的知识点是函数恒成立问题，将问题转化为函数的最值问题，是解答的关键．
三、解答题：本大题共6小题，满分50分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
16．已知集合A={x|4≤x＜8，x∈R}，B={x|6＜x＜9，x∈R}，C={x|x＞a，x∈R}．
（1）求A∪B；
（2）（ UA）∩B；
（3）若A∩C= ，求a的取值范围．
【考点】交、并、补集的混合运算．
【专题】计算题；集合思想；定义法；集合．
【分析】（1）根据A与B，求出两集合的并集即可；
（2）由全集U=R，求出A的补集，找出A补集与B的交集即可；
（3）由A与C，且A与C的交集为空集，确定出a的范围即可．
【解答】解：（1）∵A={x|4≤x＜8}，B={x|6＜x＜9}，
∴A∪B={x|4≤x＜9}；
（2）∵A={x|4≤x＜8}，全集为R，
∴ UA={x|x＜4或x≥8}，
∵B={x|6＜x＜9}，
则（ UA）∩B={x|8≤x＜9}；
（3）∵A∩C= ，且A={x|4≤x＜8}，C={x|x＞a}，
∴a的取值范围是a≥8．
【点评】此题考查了交、并、补集的混合运算，熟练掌握各自的定义是解本题的关键．
17．已知△ABC的三个顶点分别为A（2，3），B（1，﹣2），C（﹣3，4），求
（1）BC边上的中线AD所在的直线方程；
（2）△ABC的面积．
【考点】直线的一般式方程．
【专题】方程思想；综合法；直线与圆．
【分析】（1）求出中点D的坐标，用两点式求出中线AD所在直线的方程，并化为一般式．
（2）求出线段BC的长度，求出直线BC的方程和点A到直线BC的距离，即可求得△ABC的面积．
【解答】解：（1）设D（x，y），则x==﹣2，y==1，
∴D（﹣2，1），而A（2，3），
∴KAD==，
∴BC边上的中线AD所在的直线方程为：
y﹣1=（x+2），即：x﹣2y+4=0；
（2）|BC|==2，直线BC的方程是：3x+y+5=0，
A到BC的距离d==，
∴S△ABC=|BC| d=×2×=14．
【点评】本题考查用两点式求直线方程的方法，点到直线的距离公式的应用，求点A到直线BC的距离是解题的难点．
18．已知圆C：（x﹣1）2+y2=4
（1）求过点P（3，3）且与圆C相切的直线l的方程；
（2）已知直线m：x﹣y+1=0与圆C交于A、B两点，求|AB|
【考点】圆的切线方程．
【专题】计算题；分类讨论；综合法；直线与圆．
【分析】（1）设出切线方程，求出圆的圆心与半径，利用圆心到直线的距离等于半径，求出k，写出切线方程即可；
（2）求出圆心到直线的距离，利用勾股定理求弦|AB|的长．
【解答】解：（1）设切线方程为y﹣3=k（x﹣3），即kx﹣y﹣3k+3=0，
∵圆心（1，0）到切线l的距离等于半径2，
∴=2，解得k=，
∴切线方程为y﹣3=（x﹣3），即5x﹣12y+21=0，
当过点M的直线的斜率不存在时，其方程为x=3，圆心（1，0）到此直线的距离等于半径2，
故直线x=3也适合题意．
所以，所求的直线l的方程是5x﹣12y+21=0或x=3．
（2）圆心到直线的距离d==，
∴|AB|=2=2．
【点评】本题考查直线与圆的位置关系，考查圆的切线方程的求法，注意直线的斜率存在与不存在情况，是本题的关键．
19．某市出租车的计价标准是：4km以 ( http: / / www.21cnjy.com )内（含4km）10元，超过4km且不超过18km的部分1.2元/km，超过18km的部分1.8元/km，不计等待时间的费用．
（1）如果某人乘车行驶了10km，他要付多少车费？
（2）试建立车费y（元）与行车里程x（km）的函数关系式．
【考点】函数模型的选择与应用．
【专题】应用题；函数思想；综合法；函数的性质及应用．
【分析】（1）x=10km，4km＜x≤18km，y=10+1.2﹙x﹣4）；
（2）利用条件，可得分段函数．
【解答】解：（1）x=10km，4km＜x≤18km，y=10+1.2﹙x﹣4）=1.2x+5.2=17.2元；
（2）由题意
0km＜x≤4km时，y=10；
4km＜x≤18km时，y=10+1.2﹙x﹣4﹚，即y=1.2x+5.2；
x＞18km时，y=10+1.2 14+1.8﹙x﹣18﹚即y=1.8x﹣5.6，
所以车费与行车里程的函数关系式为y= ( http: / / www.21cnjy.com )．
【点评】本题考查函数模型的建立，考查利用数学知识解决实际问题，考查学生的计算能力，属于中档题．
20．如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E、F分别为棱AB、AD的中点．
（1）求证：EF平行平面CB1D1；
（2）求证：平面CAA1C1⊥平面CB1D1
（3）求直线A1C与平面ABCD所成角的正切值．
( http: / / www.21cnjy.com )
【考点】直线与平面所成的角；平面与平面垂直的判定．
【专题】证明题；转化思想；综合法；空间位置关系与距离；空间角．
【分析】（1）推导出EF∥BD，BD∥B1D1，从而EF∥B1D1，由此能证明EF∥平面CB1D1．
（2）推导出B1D1⊥A1C1，AA1⊥B1D1，由此能证明平面CAA1C1⊥平面CB1D1．
（3）由AA1⊥底面ABCD，得∠A1CA是直线A1C与平面ABCD所成角，由此能求出直线A1C与平面ABCD所成角的正切值．
【解答】证明：（1）在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，
∵E、F分别为棱AB、AD的中点，∴EF∥BD，
∵BD∥B1D1，∴EF∥B1D1，
∵EF 平面CB1D1，B1D1 平面CB1D1，
∴EF∥平面CB1D1．
（2）∵正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，四边形A1B1C1D1是正方形，
∴B1D1⊥A1C1，AA1⊥B1D1，
∵AA1∩A1C1=A1，B1D1⊥平面CAA1C1，
∴B1D1 平面A1B1C1D1，
∴平面CAA1C1⊥平面CB1D1．
解：（3）∵AA1⊥底面ABCD，
∴∠A1CA是直线A1C与平面ABCD所成角，
设正方体ABCD﹣A1B1C1D1中棱长为a，
则AA1=a，AC==，
tan∠A1CA===．
∴直线A1C与平面ABCD所成角的正切值为．
【点评】本题考查线面平行、面面垂直的证明，考查线面角的正切值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空是思维能力的培养产．
21．已知函数f（x）=
（1）证明f（x）是奇函数；
（2）判断f（x）的单调性，并用定义证明
（3）求f（x）在[1，2]上的最值．
【考点】三角函数的最值；奇偶性与单调性的综合．
【专题】转化思想；综合法；函数的性质及应用．
【分析】（1）由条件利用奇函数的定义进行判断，可得结论．
（2）由条件利用函数的单调性的定义进行证明，可得结论．
（3）由条件利用函数的单调性求得f（x）在[1，2]上的最值．
【解答】解：（1）由于函数f（x）=的定义域为R，f（﹣x）===﹣f（x），
故函数f（x）为奇函数．
（2）由于f（x）===1﹣，设x1＜x2，则＜，
根据f（x1）﹣f（x2）=[1﹣]﹣[1﹣]=﹣
==＜0，∴f（x1）＜f（x2），
故函数f（x）在R上为增函数．
（3）在[1，2]上，函数f（x）为增函数，故当x=1时，函数f（x）取得最小值为，
当x=2时，函数f（x）取得最大值为．
【点评】本题主要考查函数的奇偶性的判断和证明，函数的单调性的判断、证明、以及应用，属于中档题．
一、选择题：本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．集合{y∈z|0＜y≤4}的子集个数是（ ）
A．64 B．32 C．16 D．8
2．直线的倾斜角是（ ）
A．30° B．120° C．135° D．150°
3．与函数y=的定义域相同的函数是（ ）
A．y= B．y=2x﹣1 C．y= D．y=ln（x﹣1）
4．下列函数中，在区间（0，+∞）上是增函数的是（ ）
A．y= B．y=|x| C．y=x2+2 D．y=﹣2x+5
5．直线l1：x+（a+5）y﹣6=0与直线l2：（a﹣3）x+y+7=0互相垂直，则a等于（ ）
A．﹣ B．﹣1 C．1 D．
6．已知f（x）=（x+1）（x+a）为偶函数，则a=（ ）
A．﹣2 B．﹣1 C．1 D．2
7．若a=（）2，b=2，c=log2，则a，b，c的大小关系为（ ）
A．a＜b＜c B．c＜a＜b C．c＜b＜a D．a＜c＜b
8．已知函数f（x）=logx，x∈[，]，则f（x）的值域是（ ）
A．[，2] B．[﹣，2] C．[0，2] D．[0，]
9．三棱锥P﹣ABC中，PA⊥底面ABC，PA=3，底面ABC是边长为2的正三角形，则三棱锥P﹣ABC的体积等于（ ）
A．3 B． C．2 D．4
10．如图，水平放置的三棱柱的侧棱长和底 ( http: / / www.21cnjy.com )面边长均为2，且侧棱AA1⊥底面A1B1C1，主视图是边长为2的正方形，该三棱柱的左视图面积为（ ）
( http: / / www.21cnjy.com )
A．4 B． C． D．
二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分，把正确的答案填在横线上．
11．已知a是函数f（x）=2﹣log2x的零点，则a的值为
12．过点（1，3）且与直线x+2y﹣1=0平行的直线方程是 ．
13．已知函数f（x）=的值为 ．
14．如图，正方体ABCD﹣A′B′C′D′，直线D′A与DB所成的角为 ． ( http: / / www.21cnjy.com )
15．若对于任意的x∈[1，2]，不等式≥1恒成立，则实数a的最小值为 ．
三、解答题：本大题共6小题，满分50分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
16．已知集合A={x|4≤x＜8，x∈R}，B={x|6＜x＜9，x∈R}，C={x|x＞a，x∈R}．
（1）求A∪B；
（2）（ UA）∩B；
（3）若A∩C= ，求a的取值范围．
17．已知△ABC的三个顶点分别为A（2，3），B（1，﹣2），C（﹣3，4），求
（1）BC边上的中线AD所在的直线方程；
（2）△ABC的面积．
18．已知圆C：（x﹣1）2+y2=4
（1）求过点P（3，3）且与圆C相切的直线l的方程；
（2）已知直线m：x﹣y+1=0与圆C交于A、B两点，求|AB|
19．某市出租车的计价标准是：4km以内（ ( http: / / www.21cnjy.com )含4km）10元，超过4km且不超过18km的部分1.2元/km，超过18km的部分1.8元/km，不计等待时间的费用．
（1）如果某人乘车行驶了10km，他要付多少车费？
（2）试建立车费y（元）与行车里程x（km）的函数关系式．
20．如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E、F分别为棱AB、AD的中点．
（1）求证：EF平行平面CB1D1；
（2）求证：平面CAA1C1⊥平面CB1D1
（3）求直线A1C与平面ABCD所成角的正切值．
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21．已知函数f（x）=
（1）证明f（x）是奇函数；
（2）判断f（x）的单调性，并用定义证明
（3）求f（x）在[1，2]上的最值．
2015-2016学年湖南省衡阳市衡阳县高一（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．集合{y∈z|0＜y≤4}的子集个数是（ ）
A．64 B．32 C．16 D．8
【考点】子集与真子集．
【专题】计算题；集合思想；定义法；集合．
【分析】求出集合，然后求解集合的子集的个数．
【解答】解：因为{y∈z|0＜y≤4}={1，2，3，4}，
所以集合的子集的个数：24=16．
故选：C．
【点评】本题考查集合的求法，子集的个数问题，基本知识的考查．
2．直线的倾斜角是（ ）
A．30° B．120° C．135° D．150°
【考点】直线的倾斜角．
【专题】计算题．
【分析】把已知直线的方程变形后，找出直线的 ( http: / / www.21cnjy.com )斜率，根据直线斜率与倾斜角的关系，即直线的斜率等于倾斜角的正切值，得到倾斜角的正切值，由倾斜角的范围，利用特殊角的三角函数值即可求出倾斜角的度数．
【解答】解：由直线变形得：y=﹣x+，
所以该直线的斜率k=﹣，设直线的倾斜角为α，即tanα=﹣，
∵α∈（0，180°），
∴α=150°．
故选D．
【点评】此题考查了直线的倾斜角，以及特殊角的三角函数值．熟练掌握直线倾斜角与斜率的关系是解本题的关键，同时注意直线倾斜角的范围．
3．与函数y=的定义域相同的函数是（ ）
A．y= B．y=2x﹣1 C．y= D．y=ln（x﹣1）
【考点】判断两个函数是否为同一函数．
【专题】对应思想；定义法；函数的性质及应用．
【分析】求出函数y=的定义域，再分别求出选项中的函数定义域，进行判断即可．
【解答】解：函数y=的定义域是（1，+∞）；
对于A，函数y=的定义域是[1，+∞），与已知函数的定义域不同；
对于B，函数y=2x﹣1的定义域是（﹣∞，+∞），与已知函数的定义域不同；
对于C，函数y=的定义域是（﹣∞，1）∪（1，+∞），与已知函数的定义域不同；
对于D，函数y=ln（x﹣1）的定义域是（1，+∞），与已知函数的定义域相同．
故选：D．
【点评】本题考查了求基本初等函数定义域的应用问题，是基础题目．
4．下列函数中，在区间（0，+∞）上是增函数的是（ ）
A．y= B．y=|x| C．y=x2+2 D．y=﹣2x+5
【考点】函数单调性的判断与证明．
【专题】函数思想；综合法；函数的性质及应用．
【分析】根据反比例函数、对数函数、二次函数，以及一次函数的单调性便可找出正确选项．
【解答】解：A.在（0，+∞）上为减函数，∴该选项错误；
B．x＞0时，为减函数，∴该选项错误；
C．y=x2+2在（0，+∞）上单调递增，∴该选项正确；
D．一次函数y=﹣2x+5在（0，+∞）上单调递减，∴该选项错误．
故选C．
【点评】考查反比例函数，对数函数，二次函数及一次函数在（0，+∞）上的单调性，要熟悉二次函数图象．
5．直线l1：x+（a+5）y﹣6=0与直线l2：（a﹣3）x+y+7=0互相垂直，则a等于（ ）
A．﹣ B．﹣1 C．1 D．
【考点】直线的一般式方程与直线的垂直关系．
【专题】方程思想；综合法；直线与圆．
【分析】利用两条直线相互垂直与斜率的关系即可得出．
【解答】解：∵直线l1：x+（a+5）y﹣6=0和l2：（a﹣3）x+y+7=0直线互相垂直，
∴（a﹣3）+（a+5）=0，解之得a=﹣1，
故选：B．
【点评】本题考查了两条直线相互垂直与斜率的关系，属于基础题．
6．已知f（x）=（x+1）（x+a）为偶函数，则a=（ ）
A．﹣2 B．﹣1 C．1 D．2
【考点】函数奇偶性的性质．
【专题】函数的性质及应用．
【分析】因为函数为偶函数，则根据偶函数定义f（﹣x）=f（x）得到等式解出a即可．
【解答】解：∵函数为偶函数得f（1）=f（﹣1）
得：2（1+a）=0
∴a=﹣1．
故选B．
【点评】此题考查学生应用函数奇偶性的能力．
7．若a=（）2，b=2，c=log2，则a，b，c的大小关系为（ ）
A．a＜b＜c B．c＜a＜b C．c＜b＜a D．a＜c＜b
【考点】对数值大小的比较．
【专题】计算题；转化思想；综合法；函数的性质及应用．
【分析】利用指数函数、对数函数的单调性求解．
【解答】解：∵a=（）2=，
b=2＞21=2，
c=log2＜1=0，
∴a，b，c的大小关系为c＜a＜b．
故选：C．
【点评】本题考查对数值大小的比较，是基础题，解题时要认真审题，注意对数函数、指数函数性质的合理运用．
8．已知函数f（x）=logx，x∈[，]，则f（x）的值域是（ ）
A．[，2] B．[﹣，2] C．[0，2] D．[0，]
【考点】对数函数的值域与最值．
【专题】函数的性质及应用．
【分析】利用对数函数的单调性求解即可．
【解答】解：函数f（x）=logx，x∈[，]，是减函数，
所以函数的最小值为：f（）=log=，
函数的最大值为：f（）=log=2．
函数的值域为：[，2]．
故选：A．
【点评】本题考查对数函数的单调性与最值的求法，考查计算能力．
9．三棱锥P﹣ABC中，PA⊥底面ABC，PA=3，底面ABC是边长为2的正三角形，则三棱锥P﹣ABC的体积等于（ ）
A．3 B． C．2 D．4
【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积．
【专题】计算题；规律型；转化思想；空间位置关系与距离．
【分析】由题意求出底面面积，然后求出三棱锥的体积．
【解答】解：三棱锥P﹣ABC中，PA⊥底面ABC，PA=3，底面ABC是边长为2的正三角形，所以底面面积为：；
三棱锥的体积为：××3=
故选：B．
【点评】本题是基础题，考查三棱锥的体积的计算，注意三棱锥的特征是解题的关键．
10．如图，水平放置的三棱 ( http: / / www.21cnjy.com )柱的侧棱长和底面边长均为2，且侧棱AA1⊥底面A1B1C1，主视图是边长为2的正方形，该三棱柱的左视图面积为（ ）
( http: / / www.21cnjy.com )
A．4 B． C． D．
【考点】由三视图求面积、体积．
【专题】计算题．
【分析】由三视图和题意可知三棱柱是正三棱柱，结合正视图，俯视图，不难得到侧视图，然后求出面积．
【解答】解：由三视图和题意可知三棱柱是正三棱柱，底面边长为2，侧棱长2，
结合正视图，俯视图，得到侧视图是矩形，长为2，宽为
面积为：
故选B．
【点评】本题考查由三视图求侧视图的面积，是基础题．
二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分，把正确的答案填在横线上．
11．已知a是函数f（x）=2﹣log2x的零点，则a的值为 4
【考点】函数的零点．
【专题】对应思想；定义法；函数的性质及应用．
【分析】根据函数零点的定义，得f（a）=0，从而求出a的值．
【解答】解：a是函数f（x）=2﹣log2x的零点，
∴f（a）=2﹣log2a=0，
∴log2a=2，
解得a=4．
故答案为：4．
【点评】本题考查了零点的定义与应用问题，是基础题目．
12．过点（1，3）且与直线x+2y﹣1=0平行的直线方程是 x+2y﹣7=0 ．
【考点】直线的一般式方程与直线的平行关系．
【专题】计算题；规律型；方程思想；直线与圆．
【分析】求出直线的斜率，然后求解直线方程．
【解答】解：与直线x+2y﹣1=0平行的直线的斜率为：，
由点斜式方程可得：y﹣3=﹣（x﹣1），化简可得x+2y﹣7=0．
故答案为：x+2y﹣7=0．
【点评】本题考查直线方程的求法，考查计算能力．
13．已知函数f（x）=的值为 ．
【考点】对数的运算性质．
【专题】计算题．
【分析】首先求出f（）=﹣2，再求出f（﹣2）的值即可．
【解答】解：∵＞0
∴f（）=log3=﹣2
∵﹣2＜0
∴f（﹣2）=2﹣2=
故答案为．
【点评】本题考查了对数的运算性质，以及分段函数求值问题，分段函数要注意定义域，属于基础题．
14．如图，正方体ABCD﹣A′B′C′D′，直线D′A与DB所成的角为 60° ． ( http: / / www.21cnjy.com )
【考点】异面直线及其所成的角．
【专题】计算题；转化思想；综合法；空间角．
【分析】连结BC′，DC′，由AD′∥BC′，得∠DBC′是直线D′A与DB所成的角，由此能求出直线D′A与DB所成的角．
【解答】解：连结BC′，DC′，
∵正方体ABCD﹣A′B′C′D′中，AD′∥BC′，
∴∠DBC′是直线D′A与DB所成的角，
∵BD=DC′=BC′，
∴∠DBC′=60°，
∴直线D′A与DB所成的角为60°．
故答案为：60°．
( http: / / www.21cnjy.com )
【点评】本题考查异面直线所成角的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．
15．若对于任意的x∈[1，2]，不等式≥1恒成立，则实数a的最小值为 ．
【考点】函数恒成立问题．
【专题】计算题；转化思想；函数的性质及应用．
【分析】若对于任意的x∈[1，2]，不等式≥1恒成立，则对于任意的x∈[1，2]，不等式a≥2x﹣恒成立，结合函数的单调性，求出函数的最大值，可得答案．
【解答】解：若对于任意的x∈[1，2]，不等式≥1恒成立，
即对于任意的x∈[1，2]，不等式1+ax≥x 2x恒成立，
即对于任意的x∈[1，2]，不等式ax≥x 2x﹣1恒成立，
即对于任意的x∈[1，2]，不等式a≥2x﹣恒成立，
由y=2x，x∈[1，2]为增函数，y=，x∈[1，2]为减函数，
故y=2x﹣，x∈[1，2]为增函数，
故当x=2时，y取最大值，
即a≥，
故实数a的最小值为，
故答案为：．
【点评】本题考查的知识点是函数恒成立问题，将问题转化为函数的最值问题，是解答的关键．
三、解答题：本大题共6小题，满分50分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
16．已知集合A={x|4≤x＜8，x∈R}，B={x|6＜x＜9，x∈R}，C={x|x＞a，x∈R}．
（1）求A∪B；
（2）（ UA）∩B；
（3）若A∩C= ，求a的取值范围．
【考点】交、并、补集的混合运算．
【专题】计算题；集合思想；定义法；集合．
【分析】（1）根据A与B，求出两集合的并集即可；
（2）由全集U=R，求出A的补集，找出A补集与B的交集即可；
（3）由A与C，且A与C的交集为空集，确定出a的范围即可．
【解答】解：（1）∵A={x|4≤x＜8}，B={x|6＜x＜9}，
∴A∪B={x|4≤x＜9}；
（2）∵A={x|4≤x＜8}，全集为R，
∴ UA={x|x＜4或x≥8}，
∵B={x|6＜x＜9}，
则（ UA）∩B={x|8≤x＜9}；
（3）∵A∩C= ，且A={x|4≤x＜8}，C={x|x＞a}，
∴a的取值范围是a≥8．
【点评】此题考查了交、并、补集的混合运算，熟练掌握各自的定义是解本题的关键．
17．已知△ABC的三个顶点分别为A（2，3），B（1，﹣2），C（﹣3，4），求
（1）BC边上的中线AD所在的直线方程；
（2）△ABC的面积．
【考点】直线的一般式方程．
【专题】方程思想；综合法；直线与圆．
【分析】（1）求出中点D的坐标，用两点式求出中线AD所在直线的方程，并化为一般式．
（2）求出线段BC的长度，求出直线BC的方程和点A到直线BC的距离，即可求得△ABC的面积．
【解答】解：（1）设D（x，y），则x==﹣2，y==1，
∴D（﹣2，1），而A（2，3），
∴KAD==，
∴BC边上的中线AD所在的直线方程为：
y﹣1=（x+2），即：x﹣2y+4=0；
（2）|BC|==2，直线BC的方程是：3x+y+5=0，
A到BC的距离d==，
∴S△ABC=|BC| d=×2×=14．
【点评】本题考查用两点式求直线方程的方法，点到直线的距离公式的应用，求点A到直线BC的距离是解题的难点．
18．已知圆C：（x﹣1）2+y2=4
（1）求过点P（3，3）且与圆C相切的直线l的方程；
（2）已知直线m：x﹣y+1=0与圆C交于A、B两点，求|AB|
【考点】圆的切线方程．
【专题】计算题；分类讨论；综合法；直线与圆．
【分析】（1）设出切线方程，求出圆的圆心与半径，利用圆心到直线的距离等于半径，求出k，写出切线方程即可；
（2）求出圆心到直线的距离，利用勾股定理求弦|AB|的长．
【解答】解：（1）设切线方程为y﹣3=k（x﹣3），即kx﹣y﹣3k+3=0，
∵圆心（1，0）到切线l的距离等于半径2，
∴=2，解得k=，
∴切线方程为y﹣3=（x﹣3），即5x﹣12y+21=0，
当过点M的直线的斜率不存在时，其方程为x=3，圆心（1，0）到此直线的距离等于半径2，
故直线x=3也适合题意．
所以，所求的直线l的方程是5x﹣12y+21=0或x=3．
（2）圆心到直线的距离d==，
∴|AB|=2=2．
【点评】本题考查直线与圆的位置关系，考查圆的切线方程的求法，注意直线的斜率存在与不存在情况，是本题的关键．
19．某市出租车的计价标准是：4km以 ( http: / / www.21cnjy.com )内（含4km）10元，超过4km且不超过18km的部分1.2元/km，超过18km的部分1.8元/km，不计等待时间的费用．
（1）如果某人乘车行驶了10km，他要付多少车费？
（2）试建立车费y（元）与行车里程x（km）的函数关系式．
【考点】函数模型的选择与应用．
【专题】应用题；函数思想；综合法；函数的性质及应用．
【分析】（1）x=10km，4km＜x≤18km，y=10+1.2﹙x﹣4）；
（2）利用条件，可得分段函数．
【解答】解：（1）x=10km，4km＜x≤18km，y=10+1.2﹙x﹣4）=1.2x+5.2=17.2元；
（2）由题意
0km＜x≤4km时，y=10；
4km＜x≤18km时，y=10+1.2﹙x﹣4﹚，即y=1.2x+5.2；
x＞18km时，y=10+1.2 14+1.8﹙x﹣18﹚即y=1.8x﹣5.6，
所以车费与行车里程的函数关系式为y= ( http: / / www.21cnjy.com )．
【点评】本题考查函数模型的建立，考查利用数学知识解决实际问题，考查学生的计算能力，属于中档题．
20．如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E、F分别为棱AB、AD的中点．
（1）求证：EF平行平面CB1D1；
（2）求证：平面CAA1C1⊥平面CB1D1
（3）求直线A1C与平面ABCD所成角的正切值．
( http: / / www.21cnjy.com )
【考点】直线与平面所成的角；平面与平面垂直的判定．
【专题】证明题；转化思想；综合法；空间位置关系与距离；空间角．
【分析】（1）推导出EF∥BD，BD∥B1D1，从而EF∥B1D1，由此能证明EF∥平面CB1D1．
（2）推导出B1D1⊥A1C1，AA1⊥B1D1，由此能证明平面CAA1C1⊥平面CB1D1．
（3）由AA1⊥底面ABCD，得∠A1CA是直线A1C与平面ABCD所成角，由此能求出直线A1C与平面ABCD所成角的正切值．
【解答】证明：（1）在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，
∵E、F分别为棱AB、AD的中点，∴EF∥BD，
∵BD∥B1D1，∴EF∥B1D1，
∵EF 平面CB1D1，B1D1 平面CB1D1，
∴EF∥平面CB1D1．
（2）∵正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，四边形A1B1C1D1是正方形，
∴B1D1⊥A1C1，AA1⊥B1D1，
∵AA1∩A1C1=A1，B1D1⊥平面CAA1C1，
∴B1D1 平面A1B1C1D1，
∴平面CAA1C1⊥平面CB1D1．
解：（3）∵AA1⊥底面ABCD，
∴∠A1CA是直线A1C与平面ABCD所成角，
设正方体ABCD﹣A1B1C1D1中棱长为a，
则AA1=a，AC==，
tan∠A1CA===．
∴直线A1C与平面ABCD所成角的正切值为．
【点评】本题考查线面平行、面面垂直的证明，考查线面角的正切值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空是思维能力的培养产．
21．已知函数f（x）=
（1）证明f（x）是奇函数；
（2）判断f（x）的单调性，并用定义证明
（3）求f（x）在[1，2]上的最值．
【考点】三角函数的最值；奇偶性与单调性的综合．
【专题】转化思想；综合法；函数的性质及应用．
【分析】（1）由条件利用奇函数的定义进行判断，可得结论．
（2）由条件利用函数的单调性的定义进行证明，可得结论．
（3）由条件利用函数的单调性求得f（x）在[1，2]上的最值．
【解答】解：（1）由于函数f（x）=的定义域为R，f（﹣x）===﹣f（x），
故函数f（x）为奇函数．
（2）由于f（x）===1﹣，设x1＜x2，则＜，
根据f（x1）﹣f（x2）=[1﹣]﹣[1﹣]=﹣
==＜0，∴f（x1）＜f（x2），
故函数f（x）在R上为增函数．
（3）在[1，2]上，函数f（x）为增函数，故当x=1时，函数f（x）取得最小值为，
当x=2时，函数f（x）取得最大值为．
【点评】本题主要考查函数的奇偶性的判断和证明，函数的单调性的判断、证明、以及应用，属于中档题．
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