新疆克拉玛依十三中2015-2016学年高一（上）开学数学试卷（解析版）

2015-2016学年新疆克拉玛依十三中高一（上）开学数学试卷
　
一、选择题
1．如图，四边形ABCD中， =，则必有（　　）
A． = B． = C． = D． =
　
2．已知向量=（1，k），=（2，2），且+与共线，那么 的值为（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
　
3．在△ABC中，a2=b2+c2﹣bc，则角A为（　　）
A． B． C． D．或
　
4．已知△ABC的三个内角之比为A：B：C=3：2：1，那么对应的三边之比a：b：c等于（　　）
A．3：2：1 B．：2：1 C．：：1 D．2：：1
　
5．已知△ABC的面积为，，则A=（　　）
A．30° B．60° C．30°或150° D．60°或120°
　
6．一艘船以4km/h的速度沿着与水流方向成120°夹角的方向航行，已知河水流速为2km/h，则经过h，该船的实际航程为（　　）
A．2 km B．6 km C．2 km D．8 km
　
7．公比为2的等比数列{an} 的各项都是正数，且a3a11=16，则a5=（　　）
A．4 B．2 C．1 D．8
　
8．若Sn是等差数列{an}的前n项和，a2+a10=4，则S11的值为（　　）
A．12 B．18 C．22 D．44
　
9．数列1，3，6，10，…的一个通项公式是（　　）
A．an=n2﹣n+1 B．an= C．an= D．an=n2+1
　
10．某程序框图如图所示，该程序运行后输出的k的值是（　　）
A．4 B．5 C．6 D．7
　
11．若a＞b，则下列不等式正确的是（　　）
A． B．a3＞b3 C．a2＞b2 D．a＞|b|
　
12．设变量x，y满足约束条件，则目标函数z=4x+2y的最大值为（　　）
A．12 B．10 C．8 D．2
　
　
二、填空题：
13．根据如图所示算法语句，当输入x为60时，输出y=　　　　　　
　
14．已知数列{an}满足3an+1+an=0，a2=﹣，则{an}的前10项和等于　　　　　　．
　
15．不等式﹣2x2﹣x+6≥0的解集是　　　　　　．
　
16．若x＞0，y＞0且+=1，则xy的最小值是　　　　　　．
　
　
三、解答题：（10+10+12+12+12+14）
17．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足，．
（1）求△ABC的面积．
（2）若b+c=6，求a的值．
　
18．等比数列{an}的前n项和为Sn，已知S1，S3，S2成等差数列
（Ⅰ）求{an}的公比q；
（Ⅱ）a1﹣a3=3，求Sn．
　
19．在△ABC中，已知D是AB边上一点，若=2， =+λ，求λ的值．
　
20．已知=（sinθ，cosθ﹣2sinθ），=（2，1）．
（1）若∥，求tanθ的值；
（2）若||=||，，求θ的值．
　
21．某企业生产A，B两种产品，生产每一吨产品所需的劳动力、煤和电耗如表：
产品品种 劳动力（个） 煤（吨） 电（千瓦）
A产品 3 9 4
B产品 10 4 5
已知生产每吨A产品的利润是7万元，生产每吨B产品的利润是12万元，现因条件限制，该企业仅有劳动力300个，煤360吨，并且供电局只能供电200千瓦，试问该企业如何安排生产，才能获得最大利润？
　
22．解关于x的不等式ax2﹣（a+1）x+1＜0．
　
　
2015-2016学年新疆克拉玛依十三中高一（上）开学数学试卷
参考答案与试题解析
　
一、选择题
1．如图，四边形ABCD中， =，则必有（　　）
A． = B． = C． = D． =
【考点】相等向量与相反向量．
【专题】平面向量及应用．
【分析】根据=，得出四边形ABCD是平行四边形，由此判断四个选项是否正确即可．
【解答】解：四边形ABCD中， =，
∴AB∥DC，且AB=DC，
∴四边形ABCD是平行四边形；
∴=﹣，A错误；
=﹣，B错误；
≠，C错误；
=，D正确．
故选：D．
【点评】本题考查了平行向量与相等向量、相反向量之间的关系与应用问题，是基础题目．
　
2．已知向量=（1，k），=（2，2），且+与共线，那么 的值为（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
【考点】平面向量数量积的运算．
【专题】计算题．
【分析】利用向量的运算法则求出两个向量的和；利用向量共线的充要条件列出方程求出k；利用向量的数量积公式求出值．
【解答】解：∵ =（3，k+2）
∵共线
∴k+2=3k
解得k=1
∴=（1，1）
∴=1×2+1×2=4
故选D
【点评】本题考查向量的运算法则、考查向量共线的充要条件、考查向量的数量积公式．
　
3．在△ABC中，a2=b2+c2﹣bc，则角A为（　　）
A． B． C． D．或
【考点】余弦定理．
【专题】计算题；解三角形．
【分析】根据题中等式，利用余弦定理算出cosA=，结合A为三角形的内角即可得到角A的大小．
【解答】解：∵a2=b2+c2﹣bc，∴bc=b2+c2﹣a2，
由余弦定理，得cosA==，
∵A∈（0，π），∴A=
故选：A
【点评】本题给出三角形边的关系式，求角A的大小．着重考查了特殊角的三角函数值和用余弦定理解三角形等知识，属于基础题．
　
4．已知△ABC的三个内角之比为A：B：C=3：2：1，那么对应的三边之比a：b：c等于（　　）
A．3：2：1 B．：2：1 C．：：1 D．2：：1
【考点】正弦定理的应用．
【专题】解三角形．
【分析】由A+B+C=π，可得C=，从而得到三内角的值．再由正弦定理可得三边之比a：b：c=sinA：sinB：sinC，运算求得结果．
【解答】解：∵已知△ABC的三个内角之比为A：B：C=3：2：1，∴有B=2C，A=3C，再由A+B+C=π，可得C=，
故三内角分别为 A=、B=、C=．
再由正弦定理可得三边之比a：b：c=sinA：sinB：sinC=1：： =2：：1，
故选：D．
【点评】本题主要考查正弦定理的应用，三角形的内角和公式，求得 A=、B=、C=，是解题的关键，属于中档题．
　
5．已知△ABC的面积为，，则A=（　　）
A．30° B．60° C．30°或150° D．60°或120°
【考点】三角形中的几何计算．
【专题】计算题．
【分析】由题意可得=，由此求得sinA=，再根据A的范围求出A的值．
【解答】解：由△ABC的面积为，，则可得=，由此求得sinA=．
再由A∈（0°，180°），可得A=60°，或A=120°，
故选D．
【点评】本题主要考查三角形中的几何计算，根据三角函数的值求角，求出sinA=，是解题的关键，属于基础题．
　
6．一艘船以4km/h的速度沿着与水流方向成120°夹角的方向航行，已知河水流速为2km/h，则经过h，该船的实际航程为（　　）
A．2 km B．6 km C．2 km D．8 km
【考点】向量的三角形法则．
【专题】解三角形；平面向量及应用．
【分析】根据题意，画出示意图，根据三角形的知识求出解来．
【解答】解：如图所示，表示水流速度，表示船在静水中的速度，
则表示船的实际速度；
又||=2，||=4，∠AOB=120°，则∠CBO=60°，
∴||=2，∠AOC=∠BCO=90°
∴实际速度为2km/h，则实际航程为2×=6km．
故选：B．
【点评】本题考查了平面向量的应用问题，解题时应注意船在静水中的速度，水流速度和船的实际速度的区别，是基础题目．
　
7．公比为2的等比数列{an} 的各项都是正数，且a3a11=16，则a5=（　　）
A．4 B．2 C．1 D．8
【考点】等比数列的通项公式．
【专题】计算题；函数思想；综合法；等差数列与等比数列．
【分析】利用等比数列的通项公式求解．
【解答】解：∵公比为2的等比数列{an} 的各项都是正数，且a3a11=16，
∴，且a1＞0，
解得，
∴a5==1．
故选：C．
【点评】本题考查等比数列的第5项的求法，是基础题，解题时要注意等比数列的性质的合理运用．
　
8．若Sn是等差数列{an}的前n项和，a2+a10=4，则S11的值为（　　）
A．12 B．18 C．22 D．44
【考点】等差数列的性质；等差数列的前n项和．
【专题】计算题．
【分析】根据等差数列的定义和性质，等差数列的前n项和公式可得 S11 ==，运算求得结果．
【解答】解：∵Sn是等差数列{an}的前n项和，a2+a10=4，
∴S11 ===22，
故选C．
【点评】本题主要考查等差数列的定义和性质，等差数列的前n项和公式的应用，属于中档题．
　
9．数列1，3，6，10，…的一个通项公式是（　　）
A．an=n2﹣n+1 B．an= C．an= D．an=n2+1
【考点】数列的概念及简单表示法．
【专题】探究型；点列、递归数列与数学归纳法．
【分析】仔细观察数列1，3，6，10，…，便可发现其中的规律：第n项应该为1+2+3+4+…+n=，便可求出数列的通项公式．
【解答】解：仔细观察数列1，3，6，10，…可以发现：
1=1
3=1+2
6=1+2+3
10=1+2+3+4
…
∴第n项为1+2+3+4+…+n=，
∴数列1，3，6，10，…的通项公式为an=，
故答案为an=．
【点评】本题考查了数列的基本知识，考查了学生的计算能力和观察能力，属于基础题．
　
10．某程序框图如图所示，该程序运行后输出的k的值是（　　）
A．4 B．5 C．6 D．7
【考点】程序框图．
【专题】算法和程序框图．
【分析】根据流程图所示的顺序，逐框分析程序中各变量、各语句的作用可知：该程序的作用是计算满足S=≥100的最小项数
【解答】解：根据流程图所示的顺序，程序的运行过程中各变量值变化如下表：
是否继续循环 S K
循环前/0 0
第一圈 是 1 1
第二圈 是 3 2
第三圈 是 11 3
第四圈 是 2059 4
第五圈 否
∴最终输出结果k=4
故答案为A
【点评】根据流程图（或伪代码）写程序的运行结果，是算法这一模块最重要的题型，其处理方法是：①分析流程图（或伪代码），从流程图（或伪代码）中既要分析出计算的类型，又要分析出参与计算的数据（如果参与运算的数据比较多，也可使用表格对数据进行分析管理） ②建立数学模型，根据第一步分析的结果，选择恰当的数学模型③解模．
　
11．若a＞b，则下列不等式正确的是（　　）
A． B．a3＞b3 C．a2＞b2 D．a＞|b|
【考点】不等关系与不等式．
【专题】证明题．
【分析】用特殊值法，令a=﹣1，b=﹣2，代入各个选项检验可得即可得答案．
【解答】解：∵a＞b，令 a=﹣1，b=﹣2，代入各个选项检验可得：
=﹣1， =﹣，显然A不正确．
a3=﹣1，b3=﹣6，显然 B正确．
a2 =1，b2=4，显然C不正确．
a=﹣1，|b|=2，显然D 不正确．
故选 B．
【点评】通过给变量取特殊值，举反例来说明某个命题不正确，是一种简单有效的方法．
　
12．设变量x，y满足约束条件，则目标函数z=4x+2y的最大值为（　　）
A．12 B．10 C．8 D．2
【考点】简单线性规划．
【专题】不等式的解法及应用．
【分析】1．作出可行域 2目标函数z的几何意义：直线截距2倍，直线截距去的最大值时z也取得最大值
【解答】解：本题主要考查目标函数最值的求法，属于容易题，做出可行域，由图可知，当目标函数过直线y=1与x+y=3的交点（2，1）时，z取得最大值10．
【点评】本题考查线性规划问题：目标函数的几何意义
　
二、填空题：
13．根据如图所示算法语句，当输入x为60时，输出y=　8　
【考点】循环结构．
【专题】算法和程序框图．
【分析】根据题意，模拟算法语句的运行过程，得出该算法语句输出的是什么．
【解答】解：根据题意，模拟程序语句的运行过程，得出该程序运行的是；
输入x=60，
r是60除以2的余数，∴r=0；
∴y==8，输出y=8．
故答案为：8．
【点评】本题考查了算法语句的应用问题，解题时应读懂语句的含义，判断出算法的功能是什么，是基础题．
　
14．已知数列{an}满足3an+1+an=0，a2=﹣，则{an}的前10项和等于　3（1﹣3﹣10）　．
【考点】数列的求和．
【专题】等差数列与等比数列．
【分析】由已知可知，数列{an}是以﹣为公比的等比数列，结合已知a2=﹣，可求a1，然后代入等比数列的求和公式可求
【解答】解：∵3an+1+an=0
∴，
∴数列{an}是以﹣为公比的等比数列
∵a2=﹣，
∴a1=4
由等比数列的求和公式可得，s10==3（1﹣3﹣10）．
故答案为：3（1﹣3﹣10）．
【点评】本题主要考查了等比数列的通项公式及求和公式的简单应用，属于中档题．
　
15．不等式﹣2x2﹣x+6≥0的解集是　[﹣2，]　．
【考点】一元二次不等式的解法．
【专题】不等式的解法及应用．
【分析】把不等式﹣2x2﹣x+6≥0化为2x2+x﹣6≤0，求出解集即可．
【解答】解：不等式﹣2x2﹣x+6≥0可化为
2x2+x﹣6≤0，
解得﹣2≤x≤；
∴该不等式的解集是[﹣2，]．
故答案为：[﹣2，]．
【点评】本题考查了一元二次不等式的解法与应用问题，解题时先把不等式化简，再求解集，是基础题．
　
16．若x＞0，y＞0且+=1，则xy的最小值是　64　．
【考点】基本不等式．
【专题】不等式的解法及应用．
【分析】利用基本不等式的性质即可得出．
【解答】解：∵x＞0，y＞0且+=1，
∴，化为xy≥64，当且仅当4x=y=16时取等号．
则xy的最小值是64．
故答案为：64．
【点评】本题考查了基本不等式的性质，属于基础题．
　
三、解答题：（10+10+12+12+12+14）
17．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足，．
（1）求△ABC的面积．
（2）若b+c=6，求a的值．
【考点】余弦定理；同角三角函数基本关系的运用．
【专题】综合题．
【分析】（1）由角A的余弦值和平方关系求出A的正弦值，再由数量积的值求出bc的值，代入面积公式进行求解；
（2）根据（1）求出的式子和题意，求出边b和c的值，利用余弦定理求出边a的值．
【解答】解：（1）由题意知，，0＜A＜π
∴，，∵．
∴，解得，bc=5
∴△ABC的面积S=
（2）由（1）知，bc=5，又∵b+c=6，
∴或
由余弦定理得，a2=b2+c2﹣2bccosA=20
∴．
【点评】本题是有关三角的综合题，考查了同角三角函数的关系，面积公式，余弦定理的应用等，难度不大，也是高考常考的题型．
　
18．等比数列{an}的前n项和为Sn，已知S1，S3，S2成等差数列
（Ⅰ）求{an}的公比q；
（Ⅱ）a1﹣a3=3，求Sn．
【考点】等比数列的前n项和；等差数列的通项公式．
【专题】等差数列与等比数列．
【分析】（Ⅰ）由已知条件推导出2（a1+a1q+）=a1+a1+a1q，由此能求出{an}的公比q．
（Ⅱ）由a1﹣a3=3，q=﹣，求出a1=4，由此能求出Sn．
【解答】解：（Ⅰ）∵等比数列{an}的前n项和为Sn，
S1，S3，S2成等差数列，
∴2（a1+a1q+）=a1+a1+a1q，
解得q=﹣或q=0（舍）．
∴q=﹣．
（Ⅱ）∵a1﹣a3=3，q=﹣，
∴，a1=4，
∴= [1﹣（﹣）n]．
【点评】本题考查数列的公比和前n项和的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等比数列的性质的灵活运用．
　
19．在△ABC中，已知D是AB边上一点，若=2， =+λ，求λ的值．
【考点】向量加减混合运算及其几何意义．
【专题】平面向量及应用．
【分析】根据题意，画出图形，结合图形，用向量与表示出即可．
【解答】解：△ABC中，D是AB边上一点，且=2， =+λ，
如图所示；
∴=+=+2①，
又=+，
∴2=2+2=2﹣2②；
①+②得，3=+2，
∴=+；
∴λ=．
【点评】本题考查了平面向量的线性运算的几何意义与应用问题，是基础题目．
　
20．已知=（sinθ，cosθ﹣2sinθ），=（2，1）．
（1）若∥，求tanθ的值；
（2）若||=||，，求θ的值．
【考点】平行向量与共线向量；向量的模．
【专题】平面向量及应用．
【分析】（1）因为∥，所以sinθ=2（cosθ﹣2sinθ），由此求得tanθ的值．
（2）由||=||可得sin2θ+（cosθ﹣2sinθ）2=5，化简求得 sin4θ=0，可得4θ=kπ，即，由，求得k和θ．
【解答】解：（1）因为∥，所以sinθ=2（cosθ﹣2sinθ），于是4sinθ=cosθ，故tanθ=．
（2）由||=||知，sin2θ+（cosθ﹣2sinθ）2=5，∴1﹣2sin2θ+4sin2θ=5，
从而﹣2sin2θ+2（1﹣cos2θ）=4，即sin2θ+cos2θ=﹣1．
∴1+2sin2θcos2θ=1，即sin4θ=0，
∴4θ=kπ，即，由，得，
∴k=2或3，即或．
【点评】本题主要考查两个向量共线的性质，两个向量坐标形式的运算，属于基础题．
　
21．某企业生产A，B两种产品，生产每一吨产品所需的劳动力、煤和电耗如表：
产品品种 劳动力（个） 煤（吨） 电（千瓦）
A产品 3 9 4
B产品 10 4 5
已知生产每吨A产品的利润是7万元，生产每吨B产品的利润是12万元，现因条件限制，该企业仅有劳动力300个，煤360吨，并且供电局只能供电200千瓦，试问该企业如何安排生产，才能获得最大利润？
【考点】简单线性规划．
【专题】计算题．
【分析】根据已知条件列出约束条件，与目标函数利用线性规划求出最大利润．
【解答】解：设生产A、B两种产品分别为x，y吨，利润为z万元，
依题意可得：，目标函数为z=7x+12y，
画出可行域如图：6﹣2阴影部分所示，
当直线7x+12y=0向上平移，经过M（20，24）时z取得最大值，
所以该企业生产A，B两种产品分别为20吨与24吨时，获利最大．
【点评】本题考查线性规划的简单应用，列出约束条件画出可行域是解题的关键，考查逻辑思维能力与计算能力．
　
22．解关于x的不等式ax2﹣（a+1）x+1＜0．
【考点】一元二次不等式的解法．
【专题】计算题；分类讨论．
【分析】当a=0时，得到一个一元一次不等式，求出不等式的解集即为原不等式的解集；当a≠0时，把原不等式的左边分解因式，然后分4种情况考虑：a小于0，a大于0小于1，a大于1和a等于1时，分别利用求不等式解集的方法求出原不等式的解集即可．
【解答】解：当a=0时，不等式的解为{x|x＞1}；
当a≠0时，分解因式a（x﹣）（x﹣1）＜0
当a＜0时，原不等式整理得：x2﹣x+＞0，即（x﹣）（x﹣1）＞0，
不等式的解为{x|x＞1或x＜}；
当0＜a＜1时，1＜，不等式的解为{x|1＜x＜}；
当a＞1时，＜1，不等式的解为{x|＜x＜1}；
当a=1时，不等式的解为 ．
【点评】此题考查了一元二次不等式的解法，考查了分类讨论的数学思想，是一道综合题．