四川省成都市龙泉第一中学2015-2016学年高二下学期入学考试数学（理）试题

龙泉一中高二年级下学期开学考试
数学（理科）试题
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共计60分。）
1．下列说法中，错误的个数有________个：①平行于同一条直线的两个平面平行．
②平行于同一个平面的两个平面平行．③一个平面与两个平行平面相交，交线平行．
④一条直线与两个平行平面中的一个相交，则必与另一个平面相交．
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
2．若直线与圆相切,则的值为
A.1或-1 B.2或-2 C.1 D.-1
3．如图是某样本数据的茎叶图，则该样本数据的中位数为
A．22 B．25 C．28 D．31
4．执行如图所示的程序框图，则输出的等于
A．32 B．30 C．20 D．0
5．已知直线的倾斜角为，若，
则该直线的斜率为
A． B． C． D．
6．已知、是两个平面，、是两条直线，则下列命题不正确的是
A．若，，则 B．若，，则
C．若，，则 D．若，，则
7．已知圆过点，且圆心在直线上，则圆
的方程为
A． B．
C． D．
8．如图，一个空间几何体的正视图、侧视图、俯
视图为全等的等腰直角三角形，若直角三角形
的直角边为1，那么这个几何体体积为
A．　　　　 B． C．　　 D．
9．点关于直线对称的点的坐标是
A．　　 B．　　 C．　　 　D．
10．如图，已知正三棱柱的各条棱长都相等，则异面直线和所成的角的余弦值大小为
A．　　　　 B．
C．　　　　 D．
11．已知关于的二次函数，设集合，，分别从集合和中随机取一个数记为和，则函数在上单调递增的概率为
A．　　　　 B． C．　　　　 D．
12．在中，已知是斜边上任意一点（如图①），沿直线将折成直二面角（如图②）。若折叠后两点间的距离为，则下列说法正确的是
( http: / / www.21cnjy.com )
A．当为的中线时，取得最小值
B．当为的角平分线线时，取得最小值
C．当为的高线时，取得最小值
D．当在的斜边上移动时，为定值
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共计20分）
13．设直线与间的距离为，则 ▲ 。
14．执行如图所示的程序框图，
则输出的等于 ▲ 。
15．已知一圆锥的侧面展开图是半径为2的半圆，则该圆锥的体积为 ▲ 。
16．底面是同一个边长为的正三角形的两个三棱锥内接于同一个球，它们顶点的连线为球的直径且垂直于底面，球的半径为。设两个三棱锥的侧面与底面所成的角分别为，则的值是 ▲ 。
三、解答题（17至21题每小题12分，22题10分共计70分）
17．（本题满分12分）
（1）画出计算S＝1·22＋2·23＋3·24＋…＋10·211的值的程序框图．
（2）用WHILE型语句写出上述程序。
18．（本题满分12分）
已知为正方体， 、分别是、的中点。
（1）求证：直线平面；
（2）求直线与平面所成角的余弦值。
19．（本题满分12分）
某高校在2015年的自主招生考试成绩中随机抽取名学生的笔试
成绩，按成绩分组，得到的频率分布表如下表所示.
组号 分组 频数 频率
第组
第组
第组
第组
第组
合计
（1）求频率分布表中的值，并补充完整相应的频率分布直方图；
（2）为了能选拔出最优秀的学生，高校决定 ( http: / / www.21cnjy.com )在笔试成绩高的第3、4、5组中用分层抽样的方法抽取6名学生进入第二轮面试，则第3、4、5组每组各抽取多少名学生进入第二轮面试？
（3）在（2）的前提下，学校决定从6名学生中随机抽取2名学生接受甲考官的面试，求第4组至少有1名学生被甲考官面试的概率。
20．（本题满分12分）
节日前夕，小明的妈妈给小明买了两只可以装电 ( http: / / www.21cnjy.com )池的发光玩具狗。这两只玩具狗在装满电池后，都会在打开电开关后的4秒内任一时刻等可能发光，然后每只发光玩具狗以4秒为间隔闪亮。那么，当这两只发光玩具狗同时打开电开关后，求它们第一次闪亮的时刻相差不超过2秒的概率。
21．（本题满分12分）
已知平面直角坐标系上一动点到点的距离是点到点的距离的倍。
（1）求点的轨迹方程；
（2）若点与点关于点对称，点，求的最大值和最小值；
（3）过点的直线与点的轨迹相交于两点，点，则是否存在直线，使取得最大值，若存在，求出此时的方程，若不存在，请说明理由。
22．（本题满分10分）
如图，正四棱锥的底面是正方形，每条侧棱的长都是底面边长的倍，，点在侧棱上，且。
（1）求证：；
（2）求二面角的大小。
龙泉一中高二年级下学期开学考试
数学（理科）答案
一、选择题（5×12=60分）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
答案 B D B B A D C D C A D B
二、填空题(每小题5分，共20分)
13．2 14．4 15． 16．
三、解答题（共70分）
17．（本题满分12分）
解：（1）程序框图如下
( http: / / www.21cnjy.com )…………………………………6分
（2）程序语句如下：
( http: / / www.21cnjy.com )…………………………………………12分
18．（本题满分12分）
解：（1）设的中点为，连接。
∵E、G分别是、BC的中点，则，
∵，
∴平面，同理平面。
又∵，则平面平面，
∵平面，
∴平面…………………………………………………12分
（2）令AC、BD相交于点O，连接，由已知，
且
∴平面，即是直线在平面内的射影，
∴即为与平面所成角的平面角，
显然，为正三角形，且是的角平分线，
∴，即。
即直线与平面所成角的余弦值为。………………………………12分
19．（本题满分12分）
解：（1）由已知：，
，
∴……………………4分
（注：若未保留至小数点后3位，则扣1分，
图补全2分，即第（1）小题满分6分）
（2）由已知，笔试成绩高的第3、4、5组的人数之比为3:2:1，现用分层抽样的方法选6名学生。
故第3、4、5组每组各抽学生人数为3、2、1。………………………………………8分
（3）在（2）的前提下，记第3组的3名学生为，
第4组的2名学生为，第5组的1名学生为，且“第4组至少有1名学生被甲考官面试”为事件。
则所有的基本事件有：，，，，，，，，，，，，，，，一共15种。………………………………10分
事件有：，，，，，，，，，一共9种。…………………11分
∴
答：第4组至少有1名学生被甲考官面试的概率为。………………12分
20．（本题满分12分）
解：设这两只玩具狗第一次闪亮的时刻分别为
由已知：
由第一次闪亮时刻相差不超过两秒可得………………………………6分
现记“这两只玩具狗第一次闪亮的时刻不超过2
秒”为事件。
则………………11分
答：这两只玩具狗第一次闪亮的时刻不超过2秒的
概率为。………………………………………………12分
21．（本题满分12分）
解：（1）由已知，，……………………1分
∴，即，………………………………………3分
（2）设，因为点与点关于点对称，
则，
∵点在圆上运动，
∴点的轨迹方程为
……………………………4分
∵
………………………………5分
设，圆的圆心为，半径为，。
则，
，
∴的最大值为，的最小值为。………………7分
（3）由题意知的斜率一定存在，设直线的斜率为k，且。
则，
联立方程：，……………8分
∴，
又∵直线不经过点，则。………………………9分
∵点到直线的距离，，
∴，
∵，
∴当时，取得最大值2，此时，…11分
∴直线的方程为。………………………12分
22．（本题满分10分）
解：（1）设的中点为，连接。
由已知，，底面，
∵平面，
∴，
又∵，
∴平面，
∵平面，
∴。………………………………………………5分
（2）连接，作。由已知，
∴与为等腰三角形，
∵为的中点，
∴，
∴即为二面角的平面角，…………………………………………7分
又由已知，
则
∵∽，则，
∴，即，
∴二面角的大小为。…………………………………………………10分
y
x
0
2
4
4
2
O
Q