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北师大版九年级上册期中提分冲刺满分卷
数 学
时间：120分钟 满分：120分
一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分）
1．如图，平行于正多边形一边的直线，正多边形分割成两部分，则阴影部分多边形与原多边形相似的是（ ）
A． B．
C． D．
2．下列几何体的三视图中，左视图是圆的是（ ）
A． B． C． D．
3．下列方程没有实数根的是（ ）
A．x2﹣1＝0 B．x2﹣x﹣3＝0
C．x2﹣4x＋4＝0 D．x2﹣x＋2＝0
4．已知正比例函数 与反比例函数 的图象交于A、B两点，若点A（a,4），则点B的坐标为（ ）
A．（－1,4） B．（1,－4） C．（4，－1） D．（－4,1）
5．如图，要在一个长10m，宽8m的院子中沿三边辟出宽度相等的花园（如图阴影部分），使花园的面积等于院子面积的30%，则这花圃的宽度为（ ）
A．0.5m B．1m C．1.5m D．2m
6．把ab= cd写成比例式，下列写法错误的是（ ）
A． B． C． D．
7．已知关于 的方程 的一个根为-1，则实数 的值为（ ）
A．1 B．-1 C．3 D．-3
8．某机械厂七月份生产零件50万个，计划八、九月份共生产零件146万个，设该厂八、九月份平均每月生产零件的增长率为x，那么x满足的方程是( )
A． B．
C． D．
9．菱形ABCD的一条对角线的长为6，边AB的长是方程x2﹣7x+12＝0的一个根，则菱形ABCD的周长为（ ）
A．16 B．12 C．12或16 D．无法确定
10．如图，在反比例函数的图像上，有点，，，，它们的横坐标依次为1，2，3，4．分别过这些点作垂直于x轴与y轴的垂线，图中所构成的阴影部分的面积从左到右依次为，，，若，则的值为（ ）
A．2.5 B．3 C．4 D．无法确定
11．如图，在矩形纸片ABCD中，，，将AB沿AE翻折，使点B落在处，AE为折痕，再将EC沿EF翻折，使点C恰好落在线段上的点处，EF为折痕，连接．若，则的值为（ ）
A． B． C． D．
12．下列说法：
若一元二次方程 有一个根是 ，则代数式 的值是 若 ，则 是一元二次方程 的一个根 若 ，则一元二次方程 有不相等的两个实数根 当m取整数 或1时，关于x的一元二次方程 与 的解都是整数.其中正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
13．已知关于 的方程 的一个解为 ，则它的另一个解是 .
14．已知(m 3)x2 3x + 1 = 0是关于x的一元二次方程，则m的取值范围是 .
15．在中，现有以下四个条件：①，②，③，④，小马准备从以上四个条件中，随机选出两个，可以得出为正方形的概率为 ．
16．如图，△ABC中，D在BC上，F是AD的中点，连CF并延长交AB于E，已知 ，则 等于 ．
17．同学们学习了线段的黄金分割之后，曾老师提出了一个新的定义：点C是线段AB上一点，若＝kn，则称点C为线段AB的“近A，n阶黄金分割点”．例如：若＝k2，则称点C为线段AB的“近A，2阶黄金分割点”；若＝k3，则称点C为线段AB的“近A，3阶黄金分割点”．若点C为线段AB的“近A，6阶黄金分割点”时，k6＝ ．
18．如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝ ，点P在线段BC上运动（含B、C两点），连接AP，以点A为中心，将线段AP逆时针旋转60°到AQ，连接DQ，则线段DQ的最小值为 .
三、综合题（本大题共8小题，共66分）
19．将牌面数字分别是 1，2，3，4 的四张扑克牌背面朝上，洗匀后放在桌面上．
（1）从中随机抽出一张牌，牌面数字是偶数的概率是 ；
（2）从中随机抽出二张牌，两张牌牌面数字的和是 5 的概率是 ；
（3）先从中随机抽出一张牌，将牌面数字作为十位上的数字，然后将该牌放回并重新洗匀，再随 机抽取一张，将牌面数字作为个位上的数字，请用画树状图或列表的方法求组成的两位数恰好是 4 的倍数的概率．
20．已知关于x的方程x2+2x+a-2=0．
（1）若该方程有两个不相等的实数根，求实数a的取值范围；
（2）当该方程的一个根为1时，求a的值及方程的另一根．
21．已知：△ABC在直角坐标平面内，三个顶点的坐标分别为A（0，3）、B（3，4）、C（2，2）（正方形网格中每个小正方形的边长是一个单位长度）．
（1）△ABC向下平移4个单位长度得到的△A1B1C1，点C1的坐标是 ；
（2）以点B为位似中心，在网格内画出△A2B2C2，使△A2B2C2与△ABC位似，且位似比为2：1，点C2的坐标是 ；（画出图形）
（3）△A2B2C2的面积是 平方单位．
22．解下列方程：
（1） ；
（2）
23．如图，正方形ABCD的边长为6，E，F分别是AB，BC边上的点，且∠EDF=45°，将△DAE绕点D逆时针旋转90°，得到△DCM．
（1）求证：EF=FM．
（2）当AE=2时，求EF的长．
24．如图，四边形是正方形，连接，将绕点A逆时针旋转α得到，连接，O为的中点，连接.
（1）如图1，当时，求证：.
（2）如图2，当时，（1）中的结论还成立吗？请说明理由.
25．定义：若关于x的一元二次方程 的两个实数根为 ，分别以 为横坐标和纵坐标得到点M ，则称点M为该一元二次方程的衍生点
（1）若一元二次方程为 ，请直接写出该方程的衍生点M的坐标为
（2）若关于x的一元二次方程为
①求出该方程的衍生点M的坐标；
②直线 ：y＝x+5与x轴交于点A，直线 过点B(1，0)，且 与 相交于点C( 1，4)，若由①得到的点M在 的内部，求 的取值范围；
（3）是否存在b，c，使得不论k(k≠0)为何值，关于x的方程 的行生点M始终在直线 的图象？若有，请求出b，c的值；若没有，请说明理由
26．如图，矩形 中， ， ，点 在 上，连接 点 在直线 上， 交 于点 ．
（1）求证： 是等腰三角形；
（2）求证： ；
（3）当 为 中点时，求 的长．
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北师大版九年级上册期中提分冲刺满分卷
数 学
时间：120分钟 满分：120分
一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分）
1．如图，平行于正多边形一边的直线，正多边形分割成两部分，则阴影部分多边形与原多边形相似的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】图形的相似；相似三角形的判定
【解析】【解答】解：A、阴影部分多边形与原多边形都是等边三角形，故相似，符合题意；
B、阴影部分是一个矩形，原多边形是一个正方形，故不相似，不符合题意；
C、阴影部分是一个不规则五边形，原多边形是一个正五边形，故不相似，不符合题意；
D、阴影部分是一个不规则六边形，原多边形是一个正六边形，故不相似，不符合题意．
故答案为：A．
【分析】根据多边形相似的判定方法逐项判断即可。
2．下列几何体的三视图中，左视图是圆的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】简单几何体的三视图
【解析】【解答】解：A．正方体的左视图是正方形，故本选项不合题意；
B．圆锥的左视图是等腰三角形，故本选项不合题意；
C．球的的左视图是圆，故本选项符合题意；
D．圆柱的左视图是矩形，故本选项不合题意．
故答案为：C．
【分析】利用三视图的定义逐项判断即可。
3．下列方程没有实数根的是（ ）
A．x2﹣1＝0 B．x2﹣x﹣3＝0
C．x2﹣4x＋4＝0 D．x2﹣x＋2＝0
【答案】D
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：A.∵Δ=02-4×1×（-1）=0+4=4＞0，∴方程有两个不相等实数根，故本选项不符合题意；
B.∵Δ=（-1）2-4×1×（-3）=1+12=13＞0，∴方程有两个相等的实数根，故本选项不符合题意；
C.∵Δ=（-4）2-4×1×4=0，∴方程有两个相等的实数根，故本选项符合题意；
D.∵Δ=（-1）2-4×1×2=1-8=-7<0，∴方程没有实数根，故本选项符合题意．
故答案为：D．
【分析】利用根的判别式进行判断即可得到结论。
4．已知正比例函数 与反比例函数 的图象交于A、B两点，若点A（a,4），则点B的坐标为（ ）
A．（－1,4） B．（1,－4） C．（4，－1） D．（－4,1）
【答案】B
【知识点】反比例函数与一次函数的交点问题
【解析】【解答】把点A（a,4）代入 ，得a=-1
又正比例函数与反比例函数交点关于原点对称
则B（1，-4）
故答案为：B.
【分析】把点A（a,4）代入 得到a的值，再根据正比例函数与反比例函数交点关于原点对称得到B点的坐标.
5．如图，要在一个长10m，宽8m的院子中沿三边辟出宽度相等的花园（如图阴影部分），使花园的面积等于院子面积的30%，则这花圃的宽度为（ ）
A．0.5m B．1m C．1.5m D．2m
【答案】B
【知识点】一元二次方程的应用-几何问题
【解析】【解答】设花圃的宽度为xm，根据题意得：
10×8﹣（10﹣2x）（8﹣x）=10×8×30%
整理，得：x2﹣13x+12=0，解得：x1=1，x2=12（不合题意，舍去）．
故答案为：B．
【分析】设花圃的宽度为xm，利用等量关系：花园的面积等于院子面积的30%，即可得出关于x的一元二次方程，解方程即可得出结论．
6．把ab= cd写成比例式，下列写法错误的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】比例的性质
【解析】【解答】
，故本选项不符合题意；
，故本选项不符合题意；
，故本选项不符合题意；
，故本选项符合题意.
【分析】根据等式的基本性质，分别进行判断即可得到答案。
7．已知关于 的方程 的一个根为-1，则实数 的值为（ ）
A．1 B．-1 C．3 D．-3
【答案】C
【知识点】一元二次方程的根
【解析】【解答】∵关于 的方程 的一个根为-1
∴
解得m=3，故答案为：C.
【分析】将x=-1代入方程即可.
8．某机械厂七月份生产零件50万个，计划八、九月份共生产零件146万个，设该厂八、九月份平均每月生产零件的增长率为x，那么x满足的方程是( )
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】一元二次方程的实际应用-百分率问题
【解析】【解答】解：根据题意得：八月份生产零件为50（1+x）（万个）；九月份生产零件为50（1+x）2（万个），
则x满足的方程是 ，
故答案为：C.
【分析】根据八、九月份平均每月的增长率相同，分别表示出八、九月份生产零件的个数列出方程，即可作出判断.
9．菱形ABCD的一条对角线的长为6，边AB的长是方程x2﹣7x+12＝0的一个根，则菱形ABCD的周长为（ ）
A．16 B．12 C．12或16 D．无法确定
【答案】A
【知识点】一元二次方程的根；三角形三边关系；菱形的性质
【解析】【解答】解：∵
∴
∴
当时，由菱形的对角线的一条对角线长为6和菱形的两边3，3不能组成三角形，即不存在菱形，舍去；当时，由菱形的对角线的一条对角线长为6和菱形的两边4，4能组成三角形，即存在菱形，菱形的周长为.
故答案为： A .
【分析】先求出方程的两个根，再根据三角形的三边关系判断出符合题意的菱形的边AB ，即可求出菱形的周长。
10．如图，在反比例函数的图像上，有点，，，，它们的横坐标依次为1，2，3，4．分别过这些点作垂直于x轴与y轴的垂线，图中所构成的阴影部分的面积从左到右依次为，，，若，则的值为（ ）
A．2.5 B．3 C．4 D．无法确定
【答案】C
【知识点】反比例函数系数k的几何意义
【解析】【解答】解：∵点，，，在反比例函数的图象上，且它们的横坐标依次为1，2，3，4，
∴，，，，
∴，，，
∵，
∴，
解得：，
故答案为：C．
【分析】先求出，，，，再求出，，，最后结合，列出方程，最后求出k的值即可.
11．如图，在矩形纸片ABCD中，，，将AB沿AE翻折，使点B落在处，AE为折痕，再将EC沿EF翻折，使点C恰好落在线段上的点处，EF为折痕，连接．若，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】矩形的性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：连接，
设，则，，
，
四边形是矩形，
，，，
，
，
，
，
，，
当时，，，
不符合题意，故舍去，
当时，，，
，
，
故答案为：B．
【分析】连接，设，则，，由四边形是矩形，得出，当时，，，得出不符合题意，故舍去，当时，，，得出，即可得解。
12．下列说法：
若一元二次方程 有一个根是 ，则代数式 的值是 若 ，则 是一元二次方程 的一个根 若 ，则一元二次方程 有不相等的两个实数根 当m取整数 或1时，关于x的一元二次方程 与 的解都是整数.其中正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【知识点】一元二次方程的根；一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】解：①若一元二次方程x2+bx+a=0有一个根是-a（a≠0），则a2+b×（-a）+a=0
整理得出：a（a-b+1）=0，则代数式a-b=-1，正确；
②若a+b+c=0，则x=1是一元二次方程ax2+bx+c=0的一个根，不正确；
③若b=2a+3c，那么△=b2-4ac=（2a+3c）2-4ac=（2a+2c）2+5c2，
当a≠0，c=-a时，△＞0；当a≠0，c=0时，△＞0；当a≠c≠0时，△＞0，
∴△＞0，正确；
④∵关于x的一元二次方程mx2-4x+4=0与x2-4mx+4m2-4m-5=0有解，
则m≠0，
∴△≥0
mx2-4x+4=0，
∴△=16-16m≥0，即m≤1；
x2-4mx+4m2-4m-5=0，
△=16m2-16m2+16m+20≥0，
∴4m+5≥0，m≥- ；
∴- ≤m≤1，而m是整数，
所以m=1，m=0（舍去），m=-1（一个为x2-4x+4=0，另一个为x2+4x+3=0，冲突，故舍去），
当m=1时，mx2-4x+4=0即x2-4x+4=0，方程的解是x1=x2=2；
x2-4mx+4m2-4m-5=0即x2-4x-5=0，方程的解是x1=5，x2=-1；
当m=0时，mx2-4x+4=0时，方程是-4x+4=0不是一元二次方程，故舍去.
故m=1，故不符合题意；
故正确的有2个，
故答案为：B.
【分析】①根据方程根的定义将x= a代入方程得出a b的值即可；
②利用a＋b＋c＝0，即x＝1是一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的一个根得出答案，③利用b＝2a＋3c，算出方程根的判别式的值，分析判别式的值得出即可；
④根据关于x的一元二次方程mx2-4x+4=0与x2-4mx+4m2-4m-5=0有解，得出根与判别式△≥0，且m≠0，从而列出关于m不等式，求解求得m的范围，再根据m是整数，即可得到m的可能取到的几个值，然后对每个值进行检验，是否符合使两个一元二次方程的解都是整数即可确定m的值，综上所述即可得出答案.
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
13．已知关于 的方程 的一个解为 ，则它的另一个解是 .
【答案】0
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】解：设方程的另一个解是 ，
根据题意得： ，
解得： .
故答案为：0.
【分析】根据根与系数的关系：代入即可得另一根.
14．已知(m 3)x2 3x + 1 = 0是关于x的一元二次方程，则m的取值范围是 .
【答案】m≠3
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量
【解析】【解答】解：由题意，得
m-3≠0.
解得m≠3，
故答案为：m≠3.
【分析】含一个未知数，未知数的最高次数为2，且二次项的系数不为0的整式方程就是一元二次方程，一元二次方程的一般形式：ax2+bx+c=0（a、b、c是常数，且a≠0），其中，a、b、c分别叫二次项系数、一次项系数、常数项，从而即可列出不等式，求解即可.
15．在中，现有以下四个条件：①，②，③，④，小马准备从以上四个条件中，随机选出两个，可以得出为正方形的概率为 ．
【答案】
【知识点】正方形的判定；用列表法或树状图法求概率
【解析】【解答】解：题目中四个条件，随机选出两个，共计有种可能性，
其中能够证明为正方形的有4种，分别为：①②，①④，②③，③④，
故可以得出为正方形的概率为．
故答案为：．
【分析】题目中四个条件，随机选出两个，共计有6种可能性，其中能证明为正方形的有4种，然后利用概率公式计算即可.
16．如图，△ABC中，D在BC上，F是AD的中点，连CF并延长交AB于E，已知 ，则 等于 ．
【答案】
【知识点】两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例
【解析】【解答】解：如图，作DG∥CE，
∵DG∥CE，
∴ ，
设BG=2x，则GE=3x，
∵EF∥DG，F是AD的中点，
∴ =1，
∴AE=EG=3x，
∴ ．
故答案为 ．
【分析】作DG∥CE，利用平行线分线段成比例可以得到，设BG=2x，则GE=3x，根据平行线分线段成比例及F是AD的中点，得到 =1，再将数据代入计算即可。
17．同学们学习了线段的黄金分割之后，曾老师提出了一个新的定义：点C是线段AB上一点，若＝kn，则称点C为线段AB的“近A，n阶黄金分割点”．例如：若＝k2，则称点C为线段AB的“近A，2阶黄金分割点”；若＝k3，则称点C为线段AB的“近A，3阶黄金分割点”．若点C为线段AB的“近A，6阶黄金分割点”时，k6＝ ．
【答案】
【知识点】黄金分割
【解析】【解答】解：由题意，点C为线段AB的“近A，6阶黄金分割点”时，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
即：，
整理得：，
解得：或，
经检验，或是上述分式方程的解，
∵，
∴，
故答案为：．
【分析】由题意得，则，再由=，即得，整理得，再解方程即可.
18．如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝ ，点P在线段BC上运动（含B、C两点），连接AP，以点A为中心，将线段AP逆时针旋转60°到AQ，连接DQ，则线段DQ的最小值为 .
【答案】2
【知识点】垂线段最短及其应用；等边三角形的性质；矩形的性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】解：如图，以AB为边向右作等边△ABF，作射线FQ交AD于点E，过点D作DH⊥QE于H.
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABP＝∠BAD＝90°，
∵△ABF，△APQ都是等边三角形，
∴∠BAF＝∠PAQ＝60°，BA＝FA，PA＝QA，
∴∠BAP＝∠FAQ，
在△BAP和△FAQ中，
，
∴△BAP≌△FAQ（SAS），
∴∠ABP＝∠AFQ＝90°，
∵∠FAE＝90°﹣60°＝30°，
∴∠AEF＝90°﹣30°＝60°，
∵AB＝AF＝4，AE＝AF÷cos30°＝ ，
∴点Q在射线FE上运动，
∵AD＝BC＝4 ，
∴DE＝AD﹣AE＝ ，
∵DH⊥EF，∠DEH＝∠AEF＝60°，
∴DH＝DE sin60°＝ × ＝2，
根据垂线段最短可知，当点Q与H重合时，DQ的值最小，最小值为2.
故答案为：2.
【分析】以AB为边向右作等边△ABF，作射线FQ交AD于点E，过点D作DH⊥QE于H，根据矩形的性质可得∠ABP＝∠BAD＝90°，由等边三角形的性质可得∠BAF＝∠PAQ＝60°，BA＝FA，PA＝QA，推出∠BAP＝∠FAQ，证明△BAP≌△FAQ，得到∠ABP＝∠AFQ＝90°，然后求出∠AEF的度数以及AE、DE、DH的值，根据垂线段最短的性质可知：当点Q与H重合时，DQ的值最小，据此解答.
三、综合题（本大题共8小题，共66分）
19．将牌面数字分别是 1，2，3，4 的四张扑克牌背面朝上，洗匀后放在桌面上．
（1）从中随机抽出一张牌，牌面数字是偶数的概率是 ；
（2）从中随机抽出二张牌，两张牌牌面数字的和是 5 的概率是 ；
（3）先从中随机抽出一张牌，将牌面数字作为十位上的数字，然后将该牌放回并重新洗匀，再随 机抽取一张，将牌面数字作为个位上的数字，请用画树状图或列表的方法求组成的两位数恰好是 4 的倍数的概率．
【答案】（1）
（2）
（3）解：根据题意，画树形图如图所示。 由树形图可知，共有16种等可能的结果：11，12，13，14，21，22，23，24，31，32，33，34，41，42，43，44；其中恰好是4的位数的共有4种：12，24，32，44，所以P（4的倍数）= ．
【知识点】用列表法或树状图法求概率；概率的简单应用
【解析】【解答】解：（1）A，2，3，4共有4张牌，随意抽取一张为偶数的概率为 = ；（2）1+4=5；2+3=5，但组合一共有3+2+1=6，故概率为 = ；
【分析】（1）根据题意可知一共有4种等可能的结果数，牌面数字是偶数的只有2种情况，利用概率公式计算可求解。
（2）求出所有可能的结果数及两张牌牌面数字的和是5的情况数，利用概率公式可求解。
（3）抓住已知条件：将该牌放回并重新洗匀，列出树状图，根据树状图求出所有等可能的结果数及组成的两位数恰好是 4 的倍数的情况数，然后利用概率公式计算即可。
20．已知关于x的方程x2+2x+a-2=0．
（1）若该方程有两个不相等的实数根，求实数a的取值范围；
（2）当该方程的一个根为1时，求a的值及方程的另一根．
【答案】（1）解：∵b2-4ac=（2）2-4×1×（a-2）=12-4a＞0，
解得：a＜3．
∴a的取值范围是a＜3
（2）解：设方程的另一根为x1，由根与系数的关系得：
，
解得： ，
则a的值是-1，该方程的另一根为-3．
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【分析】（1）根据一元二次方程有两个不相等的实数根可知：其根的判别式应该大于0，从而列出不等式，求解即可得出a的取值范围；
（2） 设方程的另一根为x1，由根与系数的关系 ：两根这和等于一次项系数除以二次项系数商的相反数，两根之积等于常数项除以二次项的系数，列出方程组，求解即可。
21．已知：△ABC在直角坐标平面内，三个顶点的坐标分别为A（0，3）、B（3，4）、C（2，2）（正方形网格中每个小正方形的边长是一个单位长度）．
（1）△ABC向下平移4个单位长度得到的△A1B1C1，点C1的坐标是 ；
（2）以点B为位似中心，在网格内画出△A2B2C2，使△A2B2C2与△ABC位似，且位似比为2：1，点C2的坐标是 ；（画出图形）
（3）△A2B2C2的面积是 平方单位．
【答案】（1）（2，-2）
（2）（1，0）
（3）10
【知识点】位似变换
【解析】【解答】解：（1）如图，△A 1B 1C 1即为所求，点C 1的坐标是（﹣2，2），
故答案为：（﹣2，2）；
（ 2 ）如图所示，△A2B2C2即为所求，点C2的坐标是（1，0），
故答案为：（1，0）；
（ 3 ）△A2B2C2的面积 ×（2+4）×6﹣ ×2×4﹣ ×2×4=10，
故答案为：10
【分析】（1）因为三角形向下平移4个单位长度，所以由平移的性质可将A、B、C的纵坐标分别减4即可求得A1B1C1的坐标；
（2）根据位似的性质即可求解；
（3）根据相似三角形的面积的比等于相似比的平方可求解。
22．解下列方程：
（1） ；
（2）
【答案】（1）解：（x﹣3）（x+1）＝0，
x﹣3＝0或x+1＝0，
解得x＝3或x＝﹣1
（2）解：移项，得（x+3）2﹣2（x+3）＝0，
∴（x+3）（x+3﹣2）＝0
∴（x+3）（x+1）＝0
∴x1＝﹣3，x2＝﹣1
【知识点】因式分解法解一元二次方程
【解析】【分析】根据一元二次方程的特点选择适当的方法解方程即可。
23．如图，正方形ABCD的边长为6，E，F分别是AB，BC边上的点，且∠EDF=45°，将△DAE绕点D逆时针旋转90°，得到△DCM．
（1）求证：EF=FM．
（2）当AE=2时，求EF的长．
【答案】（1）证明：∵△DAE逆时针旋转90°得到△DCM，∴∠FCM=∠FCD+∠DCM=180°，∴F、C、M三点共线，
∴DE=DM，∠EDM=90°，
∴∠EDF+∠FDM=90°，∵∠EDF=45°，
∴∠FDM=∠EDF=45°，
在△DEF和△DMF中， ，
∴△DEF≌△DMF（SAS），
∴EF=MF
（2）解：设EF=MF=x，
∵AE=CM=2，且BC=6，
∴BM=BC+CM=6+2=8，
∴BF=BM﹣MF=BM﹣EF=8﹣x，
∵EB=AB﹣AE=6﹣2=4，
在Rt△EBF中，由勾股定理得EB2+BF2=EF2，
即42+（8﹣x）2=x2，
解得：x=5，
则EF=5
【知识点】全等三角形的判定与性质；正方形的性质；旋转的性质
【解析】【分析】（1）首先证出F、C、M三点共线，根据旋转的性质得出DE=DM，∠EDM=90°，然后根据角的和差得出∠FDM=∠EDF=45°，接着利用SAS判断出△DEF≌△DMF，根据全等三角形的对应边相等即可得出EF=MF；
（2）设EF=MF=x，根据线段的和差算出BM的长，进而表示出BF的长，在Rt△EBF中，由勾股定理建立方程求解即可。
24．如图，四边形是正方形，连接，将绕点A逆时针旋转α得到，连接，O为的中点，连接.
（1）如图1，当时，求证：.
（2）如图2，当时，（1）中的结论还成立吗？请说明理由.
【答案】（1）证明：∵四边形是正方形，
∴
∵绕点A逆时针旋转得到，
∴
∵O为的中点，
∴，
∴.
（2）解：成立，理由如下：
连接，
∵四边形是正方形，
∴，
∵绕点A逆时针旋转得到，
∴，
∴即
在和中，
，
∴，
∴，
∵
∴，
∴，即
∵O为的中点，
∴，
在和中，
，
∴，
∴.
【知识点】正方形的性质；旋转的性质；三角形全等的判定-SAS；直角三角形斜边上的中线
【解析】【分析】（1）由旋转的性质及正方形的性质得到∠ADC=∠AEF＝∠B＝90°，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得到结论；
（2）连接CE，DF，根据正方形的性质及旋转的性质得到AD＝AE，AC=AF，∠FAE=∠CAB=∠DAC，可推出∠EAC=∠DAF，从而利用SAS判断出△ACE≌△ADF，根据全等三角形的性质得到CE＝DF，∠ECA＝∠DFA，求得∠ECO＝∠DFO，进而再利用SAS判断△CEO≌△DFO，根据全等三角形的性质即可得到结论．
25．定义：若关于x的一元二次方程 的两个实数根为 ，分别以 为横坐标和纵坐标得到点M ，则称点M为该一元二次方程的衍生点
（1）若一元二次方程为 ，请直接写出该方程的衍生点M的坐标为
（2）若关于x的一元二次方程为
①求出该方程的衍生点M的坐标；
②直线 ：y＝x+5与x轴交于点A，直线 过点B(1，0)，且 与 相交于点C( 1，4)，若由①得到的点M在 的内部，求 的取值范围；
（3）是否存在b，c，使得不论k(k≠0)为何值，关于x的方程 的行生点M始终在直线 的图象？若有，请求出b，c的值；若没有，请说明理由
【答案】（1）(0，2)
（2）解：①
解得 ， ，
的衍生点为M ；
② 与x轴交于点A，
，
由①得， ，
令 ，
，
在直线 上，刚好和 的边BC交于点 ，
令y=0，则x+2=0，
，
，
；
（3）解：存在．
直线 ，过定点 ，
的两个根为 ，
，
．
【知识点】因式分解法解一元二次方程；一元二次方程的其他应用；定义新运算
【解析】【解答】解：（1）
，
，
的衍生点为 ，
故答案为： ；
【分析】（1）用因式分解法解一元二次方程，根据题意写出方程的衍生点即可；（2）①用因式分解法解含参数的一元二次方程，根据题意写出该方程的衍生点；②计算直线 与x轴的交点A，计算点M所在直线与直线AB的交点，根据点M在 内部列不等关系，并解出不等式的解集即可；（3）整理直线解析式 ，可知其过定点 ，根据题意，该定点是方程 的衍生点，可知方程的两个根分别为3，6，最后由根与系数的关系解题即可．
26．如图，矩形 中， ， ，点 在 上，连接 点 在直线 上， 交 于点 ．
（1）求证： 是等腰三角形；
（2）求证： ；
（3）当 为 中点时，求 的长．
【答案】（1）证明：∵四边形 是矩形，
∴ ，
∴ ，又 ，
∴ ，
∴ ，即 是等腰三角形；
（2）证明：作 于 ，
∵ ， ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴
∴
（3）解：∵ 为 中点，
∴ ，
由（2）得， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
设 ，则 ，
∵ ，
∴ ，即 ，
解得， ，即 ，
∴ ，
∴ ．
【知识点】等腰三角形的判定；相似三角形的判定
【解析】【分析】（1）由矩形的性质得出AD∥BC，由平行线的性质得出∠NAM=∠BMA，由已知∠AMN=∠AMB，得出∠AMN=∠NAM，即可得出结论；（2）由矩形的性质得出AD∥BC，AD=BC=2，AB=CD=3，由平行线的性质得出∠NAM=∠BMA，作NH⊥AM于H，由等腰三角形的性质得出AH= AM，证明△NAH∽△AMB，得出 ，即可得出结论；（3）求出BM=CM= BC= ×2=1，由（2）得AM2=2BM AN，得出AM2=2AN，由勾股定理得出AM2=AB2+BM2=10，求出AN=5，得出DN=AN-AD=3，设DE=x，则CE=3-x，证明△DNE∽△CME，得出 ，求出DE= ，得出CE=DC-DE= ，再由勾股定理即可得出答案．
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