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人教版八年级上册期中摸底检测卷
数 学
（考试时间：120分钟 考试满分：120分）
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1．已知一个正多边形的内角是140°，则这个正多边形的边数是（ ）
A．9 B．8 C．7 D．6
2．在△ABC中，∠A∶∠B∶∠C=3∶4∶5，则∠C等于（ ）
A．45° B．60° C．75° D．90°
3．已知（x﹣2）（x2+mx+n）的乘积项中不含x2和x项，则m，n的值分别为（ ）
A．m＝2，n＝4 B．m＝3，n＝6
C．m＝﹣2，n＝﹣4 D．m＝﹣3，n＝﹣6
4．如图，AE，AD分别是 的高和角平分线， ， ，则 的度数为（ ）
A．40° B．20° C．10° D．30°
5．一个正方形的边长为acm ，若边长增加6cm ，则新正方形的面积人增加了（ ）
A．36 B．12a
C．（36+12a） D．以上都不对
6．甲、乙两单位为爱心基金分别捐款4800元、6000元，已知甲单位捐款人数比乙单位少50人，而甲单位人均捐款数比乙单位多1元.若设甲单位有x人捐款，则所列方程是（ ）
A． B．
C． D．
7．如图，CD是△ABC的角平分线，△ABC的面积为12，BC长为6，点E，F分别是CD，AC上的动点，则AE+EF的最小值是（ ）
A．6 B．4 C．3 D．2
8．如图，在四边形中，，且四边形的面积是18，则的长为（ ）
A． B．6 C． D．9
9．如图，已知在△ABC中，AB＝AC，∠ACB和∠BAC的平分线交于点O，过点A作AD⊥AO交CO的延长线于点D，若∠ACD＝α，则∠BDC度数为（ ）
A．45°﹣α B． C．90°﹣2α D．
10．如图，在长方形 中放入一个边长为8的大正方形 和两个边长为6的小正方形（正方形 和正方形 ）.3个阴影部分的面积满足 ，则长方形 的面积为（ ）
A．90 B．96 C．98 D．100
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
11．在平面直角坐标系中，点关于轴对称的点的坐标是 .
12．计算3-2的结果是
13．如图，在△ABC中，BC边上的垂直平分线交AC于点D；已知AB＝3，AC＝7，BC＝8，则△ABD的周长为 ．
14．如图，边长为a、b的长方形，它的周长为14，面积为10，则a2b+ab2的值为
15．如图，已知三内角的角平分线交于点D，三边的垂直平分线交于点E，若，则 度．
16．已知等腰 中， 于点D，且 ，则 底角的度数为 .
三、综合题（本大题共8小题，共72分）
17．如图所示，已知△ABC中，D为BC上一点，E为△ABC外部一点，DE交AC于一点O，AC=AE，AD=AB，∠BAC=∠DAE．
（1）求证：△ABC≌△ADE；
（2）若∠BAD=20°，求∠CDE的度数．
18．△ABC在直角坐标系内的位置如图所示．
（1）在这个坐标系内画出△A1B1C1，使△A1B1C1与△ABC关于y轴对称；
（2）求△ABC的面积．
19．如图，在△DBC中，DB＝DC，A为△DBC外一点，且∠BAC＝∠BDC，DM⊥AC于M.
（1）求证：AD平分△ABC的外角；
（2）判断AM、AC、AB有怎样的数量关系，并证明你的结论.
20．如图，已知△ABC的三个顶点的坐标分别为A（﹣2，3）、B（﹣6，0），C（﹣1，0）.
（1）将△ABC向右平移5个单位，再向下平移4个单位得△A1B1C1，图中画出△A1B1C1，平移后点A的对应点A1的坐标是 .
（2）将△ABC沿x轴翻折△A2BC，图中画出△A2BC，翻折后点A对应点A2坐标是 .
（3）将△ABC向左平移2个单位，则△ABC扫过的面积为 .
21．如图，在△ABC中，AD⊥BC于D，AE平分∠BAC.
（1）若∠B=70°，∠C=40°，求∠DAE的度数.
（2）若∠B﹣∠C=30°，则∠DAE= .
（3）若∠B﹣∠C=α（∠B＞∠C），求∠DAE的度数（用含α的代数式表示）
22．如图1，点P、Q分别是等边△ABC边AB、BC上的动点（端点除外），点P从顶点A、点Q从顶点B同时出发，且它们的运动速度相同，连接AQ、CP交于点M．
（1）求证：△ABQ≌△CAP；
（2）当点P、Q分别在AB、BC边上运动时，∠QMC变化吗？若变化，请说明理由；若不变，求出它的度数．
（3）如图2，若点P、Q在运动到终点后继续在射线AB、BC上运动，直线AQ、CP交点为M，则∠QMC变化吗？若变化，请说明理由；若不变，则求出它的度数．
23．已知MN⊥PQ，垂足为点O，A，B分别是射线OM，OP上的动点（点A，B不与点O重合）.
（1）如图1所示，若∠ABO的平分线交∠BAO的平分线于点C，则∠ACB = .
（2）如图2所示，若∠MAB的平分线的反向延长线交∠ABO的平分线于点D，则∠D的度数是 ，并说明理由.
（3）如图3所示，若∠MAB的平分线的反向延长线、∠BAO的平分线分别交∠BON的平分线所在的直线于点E，F.若△AEF中，当有一个角比另一个角大58°时，直接写出∠ABO的度数，为 （不必说明理由）.
24．
（1）填空 ；
；
.
（2）猜想 （n为大于1正整数）.
（3）利用（2）题的结论计算下列各题：
；
（4）计算： 的值.
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人教版八年级上册期中摸底检测卷
数 学
（考试时间：120分钟 考试满分：120分）
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1．已知一个正多边形的内角是140°，则这个正多边形的边数是（ ）
A．9 B．8 C．7 D．6
【答案】A
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【解答】解：
=
=9.
答:这个正多边形的边数是9.
故答案为：A.
【分析】根据多边形的每一个内角和与之相邻的外角互补算出该正多边形的每一个外角的度数，又由于任何多边形的外角和都是360°，故用外角的总度数除以每一个外角的度数即可算出多边形的边数.
2．在△ABC中，∠A∶∠B∶∠C=3∶4∶5，则∠C等于（ ）
A．45° B．60° C．75° D．90°
【答案】C
【知识点】三角形内角和定理
【解析】【解答】解：设∠A=3x°，则∠B=4x°，∠C=5x°，根据三角形内角和定理可得：3x+4x+5x=180°，则x=15，则∠C=5x=75°.
【分析】设∠A=3x°，则∠B=4x°，∠C=5x°，根据三角形的内角和为180°列出方程，求解即可。
3．已知（x﹣2）（x2+mx+n）的乘积项中不含x2和x项，则m，n的值分别为（ ）
A．m＝2，n＝4 B．m＝3，n＝6
C．m＝﹣2，n＝﹣4 D．m＝﹣3，n＝﹣6
【答案】A
【知识点】多项式乘多项式；多项式的项、系数与次数
【解析】【解答】解：原式＝x3+（m﹣2）x2+（n﹣2m）x﹣2n，
∵乘积项中不含x2和x项，
∴m﹣2＝0，n﹣2m＝0，
解得：m＝2，n＝4．
故答案为：A．
【分析】先根据多项式的乘法法则计算，合并同类项后根据乘积项中不含x2和x项可得这两项的系数为0，进一步即可求出答案．
4．如图，AE，AD分别是 的高和角平分线， ， ，则 的度数为（ ）
A．40° B．20° C．10° D．30°
【答案】B
【知识点】三角形的角平分线、中线和高；三角形内角和定理
【解析】【解答】解：∵ ， ，AE⊥BC，
∴∠BAC=80°，∠AEB=90°，
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD=∠CAD=40°，
在△AEB中，∠AEB+∠B+∠BAE=180°，
∴∠BAE=60°，
∴∠EAD=∠BAE-∠BAD=60°-40°=20°；
故答案为：B．
【分析】由题意易得∠BAC=80°，∠AEB=90°，则有∠BAD=∠CAD=40°，然后根据三角形内角和求解可得。
5．一个正方形的边长为acm ，若边长增加6cm ，则新正方形的面积人增加了（ ）
A．36 B．12a
C．（36+12a） D．以上都不对
【答案】C
【知识点】完全平方公式及运用；整式的混合运算
【解析】【解答】新正方形的面积为（a+6）（a+6）=（ +12a+36） ，原来正方形的面积为 ，则增加的面积为：（ +12a+36）－ =（12a+36） ．
故答案为：C.
【分析】先根据题意列出算式（a+6）2-a2，再求出即可．
6．甲、乙两单位为爱心基金分别捐款4800元、6000元，已知甲单位捐款人数比乙单位少50人，而甲单位人均捐款数比乙单位多1元.若设甲单位有x人捐款，则所列方程是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】列分式方程
【解析】【解答】解：设甲单位有x人捐款，则乙单位有(x+50)人捐款，根据题意，得 .
故答案为：A.
【分析】先用x的代数式表示出甲单位人均捐款数和乙单位人均捐款数，再根据甲单位人均捐款数比乙单位多1元即可列出方程.
7．如图，CD是△ABC的角平分线，△ABC的面积为12，BC长为6，点E，F分别是CD，AC上的动点，则AE+EF的最小值是（ ）
A．6 B．4 C．3 D．2
【答案】B
【知识点】轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】解：作A关于CD的对称点H，
∵CD是△ABC的角平分线，
∴点H一定在BC上，且AE+EF=HE+EF
过H作HF⊥AC于F，交CD于E，
则此时，AE+EF的值最小，AE+EF的最小值＝HF，
过A作AG⊥BC于G，
∵△ABC的面积为12，BC长为6，
∴AG＝4，
∵CD垂直平分AH，
∴AC＝CH，
∴S△ACH＝ AC HF＝ CH AG，
∴HF＝AG＝4，
∴AE+EF的最小值是4，
故答案为：B.
【分析】根据轴对称的性质得出AE+EF=HE+EF，再根据点到直线的距离垂线段最短得出当HF⊥AC时，HE+EF最小为HF，再根据三角形面积公式计算出AG，根据AH=AG即可得出结论.
8．如图，在四边形中，，且四边形的面积是18，则的长为（ ）
A． B．6 C． D．9
【答案】B
【知识点】三角形的面积；等腰三角形的判定与性质；三角形全等的判定-SAS；多边形的面积
【解析】【解答】解：如图，延长至点E，使，连接，
∵，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，，
∵，
∴，
∵，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∵，
∴，
解得：或（舍去）．
故答案为：B
【分析】本题考查四边形综合题、全等三角形的判定、四边形的面积.延长至点E，使，连接，先利用角的运算可推出，利用全等三角形的判定定理可证明，利用全等三角形的性质可得：，，，据此可推出是等腰直角三角形，利用三角形的面积计算公式可得：，再根据，据此可列出方程，解方程可求出的长．
9．如图，已知在△ABC中，AB＝AC，∠ACB和∠BAC的平分线交于点O，过点A作AD⊥AO交CO的延长线于点D，若∠ACD＝α，则∠BDC度数为（ ）
A．45°﹣α B． C．90°﹣2α D．
【答案】C
【知识点】平行线的判定与性质；三角形内角和定理；等腰三角形的性质；角平分线的概念
【解析】【解答】解：∵CO平分∠ACB，
∴∠BCO=∠ACD＝α，
∵AB＝AC，
∴∠ABC=∠ACB=2α，
∵∠ACB和∠BAC的平分线交于点O，
∴BO平分∠ABC，
∴∠CBO=∠ABO= ，
∵ ，
∴ ，
∵AD⊥AO，
∴∠OAD=90°，
∴∠BAD=90°-∠OAB= ，
∴∠BAD=∠ABC，
∴BC∥AD，
∴∠BCD=∠ADC= ，
∴AC=AD，
∴AB=AD，
∴∠ABD=∠ADB= ，
∴ .
故答案为：C.
【分析】由角平分线的概念可得∠BCO=∠ACD＝α，∠CBO=∠ABO=α，由等腰三角形的性质得∠ABC=∠ACB=2α，结合内角和定理得∠AOB=90°+α，∠OAB=90°-2α，由余角的性质得∠BAD=2α，则∠BAD=∠ABC，由平行线的性质得∠BCD=∠ADC=α，则可推出AB=AD，由等腰三角形的性质以及内角和定理可得∠ABD=∠ADB=90°-α，然后根据∠BDC=∠ADB-∠ADC进行计算.
10．如图，在长方形 中放入一个边长为8的大正方形 和两个边长为6的小正方形（正方形 和正方形 ）.3个阴影部分的面积满足 ，则长方形 的面积为（ ）
A．90 B．96 C．98 D．100
【答案】A
【知识点】整式的混合运算
【解析】【解答】解：设长方形ABCD的长为a，宽为b，则由已知及图形可得：
S1的长为：8-6=2，宽为：b-8，故S1=2（b-8），
S2的长为：8+6-a=14-a，宽为：6+6-b=12-b，故S2=（14-a）（12-b），
S3的长为：a-8，宽为：b-6，故S3=（a-8）（b-6），
∵2S3+S1-S2=2，
∴2（a-8）（b-6）+2（b-8）-（14-a）（12-b）=2，
∴2（ab-6a-8b+48）+2b-16-（168-14b-12a+ab）=2，
∴ab-88=2，
∴ab=90.
故答案为：A.
【分析】设长方形ABCD的长为a，宽为b，则由已知及图形可求出S1、S2、S3的长，宽及面积，再结合2S3+S1-S2=2，可整体求出ab的值，即得长方形的面积.
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
11．在平面直角坐标系中，点关于轴对称的点的坐标是 .
【答案】
【知识点】坐标与图形变化﹣对称
【解析】【解答】解：点A关于轴对称的点的坐标为．
故答案为：．
【分析】
根据“关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数”解答即可．
12．计算3-2的结果是
【答案】
【知识点】负整数指数幂
【解析】【解答】解：
故答案为：
【分析】利用负整数指数幂计算求解即可。
13．如图，在△ABC中，BC边上的垂直平分线交AC于点D；已知AB＝3，AC＝7，BC＝8，则△ABD的周长为 ．
【答案】10
【知识点】线段垂直平分线的性质
【解析】【解答】∵BC边上的垂直平分线交AC于点D，
∴BD＝CD．
∴△ABD的周长＝AB+AD+BD＝AB+（AD+CD）＝AB+AC＝3+7＝10．
故填10．
【分析】由已知条件，运用垂直平分线的性质得到线段相等，进行等量代换后可得三角形的周长．
14．如图，边长为a、b的长方形，它的周长为14，面积为10，则a2b+ab2的值为
【答案】70
【知识点】因式分解的应用
【解析】【解答】解：由题意得，2(a+b)=14，ab=10，
∴a+b=7，
∴ a2b+ab2 =ab(a+b)=7×10=70。
故答案为：70
【分析】根据长方形的周长和面积，可得a+b、ab的值，再对所求式子因式分解整体代入计算即可。
15．如图，已知三内角的角平分线交于点D，三边的垂直平分线交于点E，若，则 度．
【答案】160
【知识点】角的运算；三角形内角和定理；线段垂直平分线的性质
【解析】【解答】解：如图1，连接，
∵在中，，
∴．
∵三内角的角平分线交于点D，
∴平分，
∴，
同理可得，，，
∵在中，
，
又∵，，，
∴，
∵，
∴．
如图2，连接，
∵三边的垂直平分线交于点E，
∴，
∴，，，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
即，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∵
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴在中，
．
故答案为：160．
【分析】利用角平分线的性质，垂直平分线的性质和三角形的内角和求解即可。
16．已知等腰 中， 于点D，且 ，则 底角的度数为 .
【答案】 或 或
【知识点】三角形内角和定理；三角形的外角性质；等腰三角形的性质；含30°角的直角三角形
【解析】【解答】解：分三种情况：①如解图①，
当 时，
，
，
，
，
底角为 ；
②如解图②，当 时，
，
，
，
，
底角为 ；
③如解图③，当 时，
，
，
，
，
底角的度数为 或 或 .
故答案为： 或 或 .
【分析】当AB=AC时，根据等腰三角形的性质可得BD=CD，结合AD=BC可得AD=BD=CD，据此可得底角的度数；当AB=BC且△ABC为锐角三角形时，由AD=BC可得AD=AB，则∠ABD=30°，然后根据等腰三角形的性质以及内角和定理可得底角的度数；当AB=BC且△ABC为钝角三角形时，由AD=BC可得AD=AB，推出∠DBA=30°，然后根据等腰三角形的性质以及外角的性质进行求解.
三、综合题（本大题共8小题，共72分）
17．如图所示，已知△ABC中，D为BC上一点，E为△ABC外部一点，DE交AC于一点O，AC=AE，AD=AB，∠BAC=∠DAE．
（1）求证：△ABC≌△ADE；
（2）若∠BAD=20°，求∠CDE的度数．
【答案】（1）证明：在△ABC和△ADE中，
，
∴△ABC≌△ADE（SAS）
（2）解：∵△ABC≌△ADE，∴∠BAC=∠DAE，∠E=∠C，∵∠BAC=∠BAD+∠DAC，∠DAE=∠DAC+∠CAE，∠BAD=20°，
∴∠CAE=∠BAD=20°，
∵∠E=∠C，∠AOE=∠DOC，
∴∠CAE=∠CDE，
∴∠CDE=20°
【知识点】三角形内角和定理；全等三角形的判定与性质
【解析】【分析】（1）直接利用SAS判断出△ABC≌△ADE；
（2）根据全等三角形的对应角相等得出∠BAC=∠DAE，∠E=∠C，根据等式的性质从而得出∠CAE=∠BAD=20°，在△AOE和△DOC中，∠E=∠C，∠AOE=∠DOC，故∠CAE=∠CDE=20°。
18．△ABC在直角坐标系内的位置如图所示．
（1）在这个坐标系内画出△A1B1C1，使△A1B1C1与△ABC关于y轴对称；
（2）求△ABC的面积．
【答案】（1）解：如图所示：△A1B1C1，即为所求；
（2）解：△ABC的面积为：4×3﹣ ×1×4﹣ ×3×2﹣ ×2×2=5
【知识点】点的坐标；三角形的面积；关于坐标轴对称的点的坐标特征
【解析】【分析】第1小题，关于y轴对称的点的坐标，纵坐标不变，横坐标变为原来的相反数；第2小题，将三角形ABC放在矩形中，用矩形的面积-3个三角形的面积即可。
19．如图，在△DBC中，DB＝DC，A为△DBC外一点，且∠BAC＝∠BDC，DM⊥AC于M.
（1）求证：AD平分△ABC的外角；
（2）判断AM、AC、AB有怎样的数量关系，并证明你的结论.
【答案】（1）证明：如图1中，作DN⊥BA交BA的延长线于点N.
∵∠BAO＝∠ODC，∠AOB＝∠DOC，
∴∠ABO＝∠DCO，
∵DM⊥AC，DN⊥AB，
∴∠DNB＝∠DMC＝90°，
∵DB＝DC，
∴△DNB≌△DMC（AAS），
∴DN＝DM，∵DM⊥AC，DN⊥AB，
AD平分△ABC的外角
（2）解：结论：AC﹣AB＝2AM.
理由：∵DN＝DM，DA＝DA，∠DNA＝∠DMA＝90°，
∴Rt△DNA≌Rt△DMA（HL），
∴AN＝AM，
∵△DNB≌△DMC（AAS），
∴BN＝CM，
∴AC﹣AB＝AM+CN﹣（BN﹣AN）＝2AM.
【知识点】全等三角形的判定与性质
【解析】【分析】（1） 作DN⊥BA交BA的延长线于点N. 由已知结合三角形内角和定理可得∠ABO＝∠DCO，用角角边可证 △DNB≌△DMC ，于是DM=DN，根据角平分线的判断可求解；
（2）由HL定理可证Rt△DNA≌Rt△DMA，所以AM=AN，由（1）中的全等三角形可得BN=CM，于是代入计算可得 AC﹣AB＝AM+CN﹣（BN﹣AN）＝2AM.
20．如图，已知△ABC的三个顶点的坐标分别为A（﹣2，3）、B（﹣6，0），C（﹣1，0）.
（1）将△ABC向右平移5个单位，再向下平移4个单位得△A1B1C1，图中画出△A1B1C1，平移后点A的对应点A1的坐标是 .
（2）将△ABC沿x轴翻折△A2BC，图中画出△A2BC，翻折后点A对应点A2坐标是 .
（3）将△ABC向左平移2个单位，则△ABC扫过的面积为 .
【答案】（1）（3，﹣1）
（2）（﹣2，﹣3）
（3）13.5
【知识点】作图﹣轴对称；坐标与图形变化﹣平移；作图﹣平移
【解析】【解答】解：（1）如图所示：△A1B1C1，即为所求，
平移后点A的对应点A1的坐标是：（3，﹣1）；
故答案为：（3，﹣1）
（ 2 ）如图所示：△A2BC，即为所求，翻折后点A对应点A2坐标是：（﹣2，﹣3）；
故答案为：（﹣2，﹣3）
（ 3 ）将△ABC向左平移2个单位，则△ABC扫过的面积为：
S△A′B′C′+S平行四边形A′C′CA= ×3×5+2×3=13.5.
【分析】（1）由平移的坐标变化特征“左减右加”可求得点A1的坐标；
（2）根据关于x轴对称的点的坐标变化特征“横坐标不变、纵坐标变为原来的相反数”可求得点A2的坐标；
（3）由题意画出图形，结合图形和图形的构成得△ABC扫过的面积=S△A′B′C′+S平行四边形A′C′CA可求解.
21．如图，在△ABC中，AD⊥BC于D，AE平分∠BAC.
（1）若∠B=70°，∠C=40°，求∠DAE的度数.
（2）若∠B﹣∠C=30°，则∠DAE= .
（3）若∠B﹣∠C=α（∠B＞∠C），求∠DAE的度数（用含α的代数式表示）
【答案】（1）解：∵AD⊥BC于D，
∴∠ADC=90°，
∵AE平分∠BAC，
∴∠EAC= ∠BAC，
而∠BAC=180°﹣∠B﹣∠C，
∴∠EAC=90°﹣ ∠B﹣ ∠C，
∵∠DAC=90°﹣∠C，
∴∠DAE=∠DAC﹣∠EAC=90°﹣∠C﹣[90°﹣ ∠B﹣ ∠C]
= （∠B﹣∠C），
若∠B=70°，∠C=40°，则∠DAE= （70°﹣40°）=15°
（2）15°
（3）解：若∠B﹣∠C=α（∠B＞∠C），则∠DAE= α；
【知识点】三角形的角平分线、中线和高；三角形内角和定理
【解析】【解答】（2）解：若∠B﹣∠C=30°，则∠DAE= ×30°=15°
【分析】由已知条件可得∠ADC=90°， ∠EAC= ∠BAC， 根据三角形的内角和定理求出∠BAC ，利用角平分线的定义可得∠EAC ，根据直角三角形的两锐角互余可得∠DAC ，进而可求∠DAE的度数.
22．如图1，点P、Q分别是等边△ABC边AB、BC上的动点（端点除外），点P从顶点A、点Q从顶点B同时出发，且它们的运动速度相同，连接AQ、CP交于点M．
（1）求证：△ABQ≌△CAP；
（2）当点P、Q分别在AB、BC边上运动时，∠QMC变化吗？若变化，请说明理由；若不变，求出它的度数．
（3）如图2，若点P、Q在运动到终点后继续在射线AB、BC上运动，直线AQ、CP交点为M，则∠QMC变化吗？若变化，请说明理由；若不变，则求出它的度数．
【答案】（1）证明：是等边三角形
，，
又点、运动速度相同，
，
在与中，
≌；
（2）解：点、在运动的过程中，不变．
理由：≌，
，
，
；
（3）解：点、在运动到终点后继续在射线、上运动时，不变．
理由：在与中，
≌，
，
，
．
【知识点】全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质
【解析】【分析】（1）根据等边三角形的性质可得∠ABQ=∠CAP=60°，AB=CA，由于点PQ的运动速度相同，可得AP=BQ，根据“SAS”可证△ABQ≌△CAP；
（2） 由△ABQ≌△CAP，可得∠BAQ=∠ACP，利用三角形外角的性质可得∠QMC=∠ACP+∠MAC=∠BAQ+∠MAC=∠BAC=60°，据此即可判断.
（3）先证△ABQ≌△CAP，可得∠BAQ=∠ACP，从而求出∠QMC=120°，据此判断即可.
23．已知MN⊥PQ，垂足为点O，A，B分别是射线OM，OP上的动点（点A，B不与点O重合）.
（1）如图1所示，若∠ABO的平分线交∠BAO的平分线于点C，则∠ACB = .
（2）如图2所示，若∠MAB的平分线的反向延长线交∠ABO的平分线于点D，则∠D的度数是 ，并说明理由.
（3）如图3所示，若∠MAB的平分线的反向延长线、∠BAO的平分线分别交∠BON的平分线所在的直线于点E，F.若△AEF中，当有一个角比另一个角大58°时，直接写出∠ABO的度数，为 （不必说明理由）.
【答案】（1）135°
（2）45°；解：理由如下： 设∠ABO=α，则∠ABD= α.
（3）32°或64°
【知识点】三角形内角和定理；三角形的外角性质；角平分线的概念
【解析】【解答】（1）∵∠AOB=90°，
∴∠BAO+∠ABO=90°，
∵AC和BC分别是∠BAO和△ABO的平分线，
∴∠CAB+∠ABC=45°，
∴∠ACB=180°-（∠CAB+∠ABC）=180°-45°=135°；
（3）如图，∠MAB的平分线为AG，
解：∵AG平分∠MAB， AF平分∠BAO，
① 当∠EAF比∠F大58°时，∠F=90°—58°=32°.
∵OF平分∠BON∴∠FON=45°.
∴∠FAO=45°-32°=13°
∴∠BAO=26°
∴∠ABO=90°-26°=64°.
②当∠EAF比∠E大58°时，∠E=90°-58°=32°.
∵∠F=90°-32°=58°>45°.此种情况不成立.
③当∠E比∠F大58°时，设∠F=x°，
：.x＋x+58=90，解得x=16.
∴∠FAO=45°-16°=29
∴∠BAO=58°
∴.∠ABO=90°-58°=32°.
易知∠F比∠E大58°的情况不成立.
综上所述，存在点P，且∠ABO的度数为32°或64°.故答案为：32°或64°.
【分析】（1）由于∠AOB为直角，根据三角形内角和定理得出∠ABO与∠BAO度数和为90°，结合角平分线定义，在△ABC中再利用三角形内角和即可求出∠ACB的大小；
（2）设 ∠ABO=α， 根据角平分线定义和三角形外角的性质∠ABD和∠MAB用含α的代数式表示，则∠DAO和∠BAD都可用代数式表示，在△ABD中利用三角形内角和定理求出∠D的表达式，结合∠BAO与∠ABO之和为90°，即可求出∠D的大小；
（3）根据角平分线定义，结合平角的定义推出∠FAE为90°，然后分三种情况讨论，①当∠EAF比∠F大58°时，则∠F的度数可求，结合∠FON为45°，利用三角形外角的性质即可求出∠FAO的大小，则∠BAO的大小可求，进而可求∠ABO的大小；②当∠EAF比∠E大58°时，则∠E=32°，推出∠F=58°>45°，则不成立；
③当∠E比∠F大58°时，设∠F=x°，根据三角形内角和定理列式求出∠F，利用三角形外角的性质即可求出∠FAO的大小，则∠BAO的大小可求，进而可求∠ABO的大小。
24．
（1）填空 ；
；
.
（2）猜想 （n为大于1正整数）.
（3）利用（2）题的结论计算下列各题：
；
（4）计算： 的值.
【答案】（1）；；
（2）
（3）
（4）计算： 的值.
解：由（2）得，当 ， ， 时，得
，
，
.
【知识点】多项式乘多项式；平方差公式及应用
【解析】【解答】（1）填空 ；
；
.（2）猜想 .（3）利用（2）题的结论计算下列各题：
① ；
【分析】（1）根据平方差公式与多项式乘以多项式的运算法则运算即可；（2）根据（1）的规律可得结果；（3）①根据得到的规律直接可以写出；②当 ， ， 时，代入（2）得出的规律计算即可得到结果．
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