拓展资源——中考试题
1、（2013年广州市压轴题）已知抛物线y=过点A(1,0)，顶点为B，且抛物线不经过第三象限．
（1）使用a、c表示b；
（2）判断点B所在象限，并说明理由．
解析：（1）抛物线经过A(1，0)，把点代入函数即可得到b=；
（2）判断点在哪个象限，需要根据题意画图，由条件：图象不经过第三象限就可以推出开口向上，a＞0，只需要知道抛物线与x轴有几个交点即可解决，判断与x轴有两个交点，一个可以考虑△，由△就可以判断出与x轴有两个交点，所以在第四象限；或者直接用公式法（或十字相乘法）算出，由两个不同的解，进而得出点B所在象限．
2、（2013年南京）已知二次函数y=a(x(m)2(a(x(m) (a、m为常数，且a(0) ．
(1) 求证：不论a与m为何值，该函数的图像与x轴总有两个公共点．
解析： y=a(x(m)2(a(x(m)=ax2((2am(a)x(am2(am．
∵当a(0时，[((2am(a)]2(4a(am2(am)=a2>0．
∴方程ax2((2am(a)x(am2(am=0有两个不相等的实数根．
故不论a与m为何值，该函数的图像与x轴总有两个公共点．
3、（2012北京海淀）已知P（)和Q（1，）是抛物线上的两点．
（1）求的值；
（2）判断关于的一元二次方程=0是否有实数根，若有，求出它的实数根；若没有，请说明理由．
拓展资源——针对性练习
1、设函数的图象如图所示，
它与x轴交于A、B两点，线段OA与OB的比为1:3，
则m的值为（ ）．
A.
B.
C. 1
D. 2
2、已知二次函数与x轴交点的横坐标是x1、x2（x1①当x=-2时，y=1；②当x>x2时，y>0；③方程有两个不相等的实数根x1、x2；④x1<-1，x2>-1．
其中所有正确的结论是 （只填序号）．
3、已知抛物线．求证：不论m为任何实数，抛物线与x轴有两个不同的交点，且这两个点都在x的正半轴．
第二章 二次函数
《二次函数与一元二次方程（第1课时）》教学设计说明
广东省深圳市盐田区外国语学校 徐欣
一、学生知识状况分析
学生已经学习过二次函数的图象和性质，这是单纯从函数知识“形”的层面进行认识，本节课学习二次函数与一元二次方程之间的关系，将从方程知识“数”的层面进一步认识二次函数，也就是用数形结合的数学思想来认识二次函数．
二、教学任务分析
通过数学活动积累学生数形结合方法的运用经验，体会二次函数与一元二次方程之间的联系；理解二次函数图象与x轴交点的个数与一元二次方程的根的个数之间的关系，利用二次函数图象理解一元二次方程的根的情况，进一步培养学生运用数形结合思想解决问题的能力．
教学目标
知识与技能：
1．理解二次函数的图象与x轴交点的个数与一元二次方程根的个数之间的对应关系；
2．会利用二次函数的图象与x轴交点的横坐标解相应的一元二次方程．
过程与方法：
1．通过观察二次函数图象与x轴的交点个数，讨论一元二次方程的根的情况，进一步培养学生的数形结合思想；
2．理解一元二次方程的根就是二次函数与x轴交点的横坐标．
情感态度与价值观：
1．经历探索二次函数与一元二次方程的关系的过程，结合数形结合的思想体会二次函数与方程之间的联系；
2．通过探索二次函数与一元二次方程的关系，使学生体会数学的严谨性以及数学结论的确定性．
教学重点
理解二次函数的图象与x轴交点的个数与一元二次方程的根的个数之间的关系．
教学难点
理解一元二次方程的根就是二次函数与x轴交点的横坐标．
三、教学过程分析
第一环节：学科交叉，发现问题
我们已经知道，竖直上抛物体的高度h(m)与运动时间t(s)的关系可以近似地用公式表示，其中h0(m)是抛出时的高度，v0(m/s)是抛出时的速度．
一个小球从地面被以40m/s的速度竖直向上抛起，小球距离地面的高度h(m)与运动时间t(s)的关系如图所示，观察并思考下列问题：
（1）h和t的关系式是什么？
（2）小球经过多少秒后落地?
你有几种求解方法?与同伴进行交流．
[方法一]看图象可知，8秒落地
[方法二]解方程：
第二环节：建立模型，分析问题
[活动1] 二次函数的图象
如下图所示，与同伴交流并回答问题．
二次函数图象
图象与x轴的交点
一元二次方程
方程的根
与x轴有两个交点：
（-2,0）、（0,0）
与x轴有一个交点：(1,0)
与x轴没有交点
方程无
实数根
第三环节：数形结合，解决问题
[议一议]二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴的交点的坐标与一元二次方程ax2+bx+c=0的根有什么关系？
二次函数y=ax2+bx+c的图 一元二次方程ax2+bx+c=0
象和x轴交点有三种情况: 的根有三种情况：
有两个交点 有两个不相等的实数根
有一个交点 有两个相等的实数根
没有交点 没有实数根
[例] 观察判断下列图象哪个有可能是抛物线的图象？
解：选D．
第四环节：反思辨析，深入问题
[活动2] 观察函数的图象,完成填空：
(1)抛物线与x轴有 个交点，
它们的横坐标是 ；
(2)当x取交点的横坐标时，函数值是 ；
(3)所以方程的根是 ．
(1)抛物线与x轴有 个交点，
它们的横坐标是 ；
(2)当x取交点的横坐标时，函数值是 ；
(3)所以方程的根是 ．
[议一议]二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴的交点的坐标与一元二次方程ax2+bx+c=0的根有什么关系？
[结]二次函数y=ax2+bx+c与x轴有交点，交点的横坐标为x0，那么当x=x0时，函数的值是0，因此x=x0就是方程ax2+bx+c=0的根．
即，二次函数y=ax2+bx+c与x轴交点的横坐标是方程ax2+bx+c=0的根．
第五环节：回归生活，提升问题
[想一想] 何时小球离地面的高度是60m？你是如何知道的？
解法1：令h=60
故2s和6s时，小球离地面的高度是60m．
解法2：看图象．
[例] 一个足球被从地面向上踢出，它距地面的高度h（m）可以用公式
h=－4.9t2＋19.6t来表示．其中t（s）表示足球被踢出后经过的时间．
（1）作出函数h=－4.9t2＋19.6t的图象；
（2）当t =1，t =2时，足球距地面的高度分别是多少？
（3）方程－4.9t2＋19.6t =0的根的实际意义是什么？你能在图上表示吗?
（4）方程－4.9t2＋19.6t =14.7的根的实际意义是什么？你能在图上表示吗?
解：（2）t=1时，h=14.7；t=2时，h=19.6
（3）方法一：解方程 0=－4.9t2＋19.6t 得t1=0, t2=4．
∴根t1=0，t2=4分别表示足球离开地面和落地的时刻．
方法二：直接观察抛物线与直线x轴的交点（0，0），（4，0）即可．
∴图形表示方程的根就是抛物线与x轴的两个交点．
（4）方法一：解方程 14.7=－4.9t2＋19.6t 得t1=1, t2=3．
方法二：图象法，过点（0，14.7）作一条与y轴垂直的直线，找到它与抛物线的交点，再分别过交点作x轴的垂线，找出两个垂足的横坐标即可．
表明球被踢出1秒和3秒时，离地面的高度都是14.7秒．
第六环节：拓展延伸，巩固应用
根据学生具体需要选择适当的拓展资源．
第七环节：归纳小节
鼓励学生结合本节课的学习谈一谈他们对二次函数与一元二次方程的关系的认识，是否理解了理解二次函数图象与x轴交点的个数与一元二次方程的根的个数之间的关系，即何时方程有两个不等的实根，两个相等的实根和没有实根；是否掌握了通过观察二次函数图象与x轴的交点个数，来讨论一元二次方程的根的情况；是否理解了一元二次方程ax2+bx+c=0的根就是二次函数y=ax2+bx+c 与x轴交点的横坐标．
四、教学反思
本课时是课改的新教材提供的内容，表面上显得很简单，实际是初高中衔接中的关键点之一，教师备课时很难吃透教材，讲授时需紧紧扣住数形结合的思想这条主线，培养学生尽早形成对本章知识完整的理解．
课件14张PPT。第二章 二次函数2.5 二次函数与一元二次方程
（第1课时） 竖直上抛物体的高度h(m)与运动时间t(s)的关系可以近似地用公式 表示，其中h0(m)是抛出时的高度，v0(m/s)是抛出时的速度. 一个小球从地面被以40m/s的速度竖直向上抛起，小球距离地面的高度h(m)与运动时间t(s)的关系如图所示，观察并思考下列问题：（1）h和t的关系式是什么？（2）小球经过多少秒后落地？[方法一]看图象
8秒落地
[方法二]解方程
-5t2+40t=0二次函数
的图象如下图所示，与同伴交流并回答问题.活动1二次函数 的图象与x轴有几个交点？一元二次方程
有几个根？与x轴有两个交点：
（-2,0）、（0,0）方程有两个根：0、-2与x轴有一个交点：(1,0)方程有两个相同的根：1与x轴没有交点方程没有实数根议一议二次函数
的图象与x轴的交点有三种情况：一元二次方程ax2+bx+c=0
的根有三种情况：有两个交点
有一个交点
没有交点有两个不相等的实数根
有两个相等的实数根
没有实数根 二次函数 的图象与x轴的交点的坐标与一元二次方程ax2+bx+c=0的根有什么关系？ 观察判断下列图象哪个有可能是抛物线 的图象？√活动2观察函数的图象,完成填空：(1)抛物线与x轴有 个交点，它们的横坐标是 ；(2)当x取交点的横坐标时，函数值是 ；(3)所以方程 的根是 .两-2，10x1=-2 ，x2=1观察函数的图象,完成填空：(1)抛物线与x轴有 个交点，它们的横坐标是 ；(2)当x取交点的横坐标时，函数值是 ；(3)所以方程 的根是 .120x1=x2=2 二次函数 与x轴有交点，
交点的横坐标为x0，那么当x=x0时，函数的值
是0，因此x=x0就是方程 的根.议一议 二次函数 的图象与x轴的交点的坐标与一元二次方程ax2+bx+c=0的根有什么关系？想一想 何时小球离地面的高度是60m？你是如何知道的？故2s和6s时，小球离地面的高度是60m.一个足球被从地面上踢出，它距地面的高度h(m)可以用公式 来表示，其中t(s)表示足球被踢出后经过的时间.
（1）作出函数 的图象；
（2）当t =1，t =2时，足球距地面的高度分别是多少？
（3）方程 的根的实际意义分别是什么？你能在图象上表示出来吗？[必做题] 知识与技能1；数学理解2、3[选做题] 数学理解4作业拓展训练：
1.公园要建造一个如图1的圆形喷水池，在水池中央垂直于水面安装一个花形柱子OA，O恰在水面中心，OA=1.25米，安置在柱子顶端A处的喷头向外喷水，水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下，且在过OA的任一平面上抛物线路径如图2所示．为使水流形状较为漂亮，设计成水流在与OA水平距离为1米时，达到距水面最大高度2.25米（不计其他因素）．
（1）在如图2的直角坐标系中，求y轴两侧抛物线的解析式.
（2）请你通过计算回答水池的半径至少要多少米，才能使喷出的水流不致落到池外？
2. 二次函数的图象如图所示，则函数值y＜0时x的取值范围是（ ）
A．x＜－1 B．x＞2 C．－1＜x＜2 D．x＜－1或x＞2
第二章 二次函数
《二次函数与一元二次方程（第2课时）》教学设计说明
深圳大学附属中学 方榕彬
一、学生知识状况分析
本节课是北师大版九年级下册第二章最后一个课时，是学生在学习掌握了二次函数和一元二次方程的基础上，研究二次函数图像与一元二次方程的近似解之间的关系.与用函数的观点看方程（组）与不等式比较类似，因此学生对函数与方程之间的联系已不再陌生.通过本节课的学习，学生可以进一步加深对二次函数的图象和性质的理解.同时让学生进一步体会数形结合的思想，也是高中阶段学习一元二次不等式的基础.
二、教学任务分析
知识与技能目标：利用二次函数的图象求一元二次方程近似解.
过程与方法目标：经历探索用二次函数图象求解一元二次方程近似解的过程，体会用二次函数函数图象求一元二次方程解的方法.
情感态度价值观：通过图象，体会数与形的完美结合，体会解决问题的方法，培养学生合作交流的意识和探索精神.
教学重点：利用数形结合的思想估计一元二次方程近似解
教学难点：用逼近法求一元二次方程近似解
三、教学过程分析
一、课前检测，回顾迎新
1.若方程的根为和，则二次函数的图象与x轴交点坐标是 .
2.二次函数的图象如图所示，则一元二次方程
的解为 .
注：课前的训练让学生用已有的知识研究二次函数与一元二次方程的精确解，为新课研究近似解提供研究思路.
二、合作交流，探索新知
你能利用二次函数的图象估计一元二次方程的根吗？
1.自主探索
（1）观察二次函数的图象，抛物线与x轴的交点的横坐标约
为________________.
（2）由图象可知，方程有 个根，
一个根在 和 之间，另一个根在
和 （填两个整数）.
（3）估计方程的近似根是 （精确到0.1）
注：此处以问题串的形式引导学生探索近似解的研究方法.
2.小结反思（小组合作交流，解决问题）
（1）用什么方法验证你的结果是否正确？
（2）利用二次函数的图象求一元二次方程的近似根的一般步骤.
步骤一：____________________________________________________
步骤二：____________________________________________________
步骤三：____________________________________________________
注：①作二次函数的图象.
②观察估计二次函数的图象与x轴的交点的横坐标.
③确定一元二次方程ax2+bx+c=0的解.
3.及时强化
试用二次函数的图象估计下列方程的近似根
（1），（2）.
你是如何解决这一问题的，在小组内交流你们的解法.
注：（1）是对案例作了简单的变形，学生可以按照上述的三个步骤操作，也可以将方程直接转化为方程，进而应用例题的结论，引导学生多方面多角度研究问题.
（2）可以转化为一般式进行常规研究，也可以引导学生作直线与二次函数的交点，研究横坐标，引导学生学会知识的迁移.
三、运用提高，形成技能
1.二次函数的图象如图所示，则一元二次方程 的近似根是 （精确到0.1）
2. 如图，已知抛物线的对称轴为，点A，B均在抛物线上，且AB与x轴平行，其中点A的坐标为（0，3），则点B的坐标为（ ）
A．（2，3） B．（3，2） C．（3，3） D．（4，3）
3.利用二次函数的图象求一元二次方程 的近似根.
如图，一个圆形喷水池的中央竖立安装了一个柱形喷水装置OA，A处的喷头向外喷水，水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径流下，按如图所示的直角坐标系，水流喷出的高度y(m) 与水平距离x(m)之间的关系式是（x>0）.柱子OA的高度为多少米？若不计其他因素，水池的半径至少为多少米，才能使喷出的水流不至于落在池外？(结果保留根号)
注：此处的练习层次分明，在让学生形成成就感的同时，有利于培养学生的研究习惯.
四、小结提升，作业布置
将你本节课学到的方法与同伴交流，小组小结本课所学知识.
注：要给予学生时间进行小结和反思，并鼓励小组进行交流，最后通过学生的发言判断学生本课学习的情况.
四、教学反思
本课时内容在以往的教学中往往容易一带而过，以练代讲，但是这样的教学处理重结果，轻过程，学生无法体验到近似根的探索过程，特别是在计算器计算机盛行的时代，学生对近似根的求解往往不清楚.为此本课在设计过程中作了以下几点处理：
1.以问题的形式引导学生参与研究，在经历和体验中总结方法，进而理解问题的本质（“自主探索”环节）.
2.不仅关注学生对知识的应用，更要关注学生对知识进行迁移（“及时强化”环节）.
3.针对学生不太喜欢画图以及画图不是本节课的重点这一特点，在涉及到图形的时候，简单的采用直接提供，提升一点的，提供方格，便于学生操作，突出重点，提高效率.
4.合理利用几何画板，几何画板并不是求解近似解的工具，而是验证近似解的工具，所以在几何画板的应用上，主要用它来验证近似解的合理性.
5.在本课的教学中重点关注的学生探索分析问题的能力，结果反而可以淡化，因为近似解这一课时，本身就是对精确概念的一个补充，所以教学上也应该更多关注学生的思维的合理性，而不是关注结果的准确性.
课件12张PPT。第二章 二次函数2.5 二次函数与一元二次方程（第2课时）1.若方程 的根为
和 ，则二次函数
的图象与x轴交点坐标
是 .
2.二次函数 的图象如图
所示，则一元二次方程
的解为 .一、课前检测，回顾迎新(-2,0),(3,0)x1=0,x2=-2你能利用二次函数的图象估计一元二次方程 的根吗？1.自主探索
（1）观察二次函数的图象，抛物线与x轴的交点的横坐标约为_______.二、合作交流，探索新知一个在－5和－４之间，一个在2和3之间.（2）估计方程 的近似根是 （精确到0.1）2.小结反思（小组合作交流，解决问题）
（1）用什么方法验证你的结果是否正确？
（2）利用二次函数的图象求一元二次方程的近似根的一般步骤.3.及时强化
试用二次函数的图象估计下列方程的近似根
（1） ，
（2） .你是如何解决这一问题的，
在小组内交流你们的解法.1.二次函数 的图象如图所示，则一元二次方程
的近似根是 （精确到0.1）三、运用提高，形成技能2. 如图，已知抛物线 的对称轴为 ，点A，B均在抛物线上，且AB与x轴平行，其中点A的坐标为（0,3），则点B的坐标为（ ）
A. (2,3） B.(3,2）
C. (3,3） D.(4,3） 3.利用二次函数的图象求一元二次方程
的近似根.3.利用二次函数的图象求一元二次方程
的近似根.4.如图，一个圆形喷水池的中央竖立安装了一
个柱形喷水装置OA，A处的喷头向外喷水，水
流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径流下，
按如图所示的直角坐标系，水流喷出的高度
y(m)与水平距离x(m)之间的关系式是
（x>0）.柱子OA的高度为多少米？若不计其他
因素，水池的半径至少为多少米，才能使喷出
的水流不至于落在池外？(结果保留根号) 将你本节课学到的方法与同伴交流，小组小结本课所学知识.
四、小结提升，作业布置
