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浙教版八年级上册期中名校真题严选卷
数 学
（时间：120分钟 满分：120分）
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1．下列长度四根木棒中，能与长为5，10的两根木棒围成一个三角形的是（ ）
A．4 B．5 C．9 D．15
2．如图，点P是△ABC内一点，PD⊥BC，PE⊥AC，PF⊥AB，且PD=PE=PF，则点P是△ABC（ ）
A．三边垂直平分线的交点 B．三条角平分线的交点
C．三条高所在直线的交点 D．三条中线的交点
3．正比例函数y=kx（k≠0）的图象在第二、四象限，则一次函数y=x+k的图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
4．在中，边，的垂直平分线、相交于点，若，则的度数是 ．（ ）
A． B． C． D．
5．如图，在中，D，E是边上的两点，，则的度数为（ ）
A．90° B．80° C．70° D．60°
6．如图，A、B是两个居民小区，快递公司准备在公路l上选取点P处建一个服务中心，使PA+PB最短．下面四种选址方案符合要求的是（ ）
A． B．
C． D．
7．如图，等边 中，D为AC中点，点P、Q分别为AB、AD上的点， ， ，在BD上有一动点E，则 的最小值为（ ）
A．7 B．8 C．10 D．12
8．如图，以Rt△ABC的三条边作三个正三角形，∠ACB=90°，则的关系为（ ）
A． B． C． D．不能确定
9．如图，在四边形ABCD中，DA⊥AB．DA＝6cm，∠B+∠C=150°，CD与BA的延长线交于E点，A刚好是EB中点，P、Q分别是线段CE、BE上的动点，则BP+PQ最小值是（ ）
A．12 B．15 C．16 D．18
10．如图，在△OAB和△OCD中，OA＝OB，OC=OD，OA＞OC，∠AOB＝∠COD＝40°，连接AC，BD交于点M，连接OM．下列结论：①AC＝BD；②∠AMB=40°；③OM平分∠BOC；④MO平分∠BMC．其中正确的个数为（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分）
11．已知关于x的方程kx＋b＝0（k≠0）的解为x＝﹣2，在一次函数y＝kx＋b（k≠0）图象中，当x每增加1个单位时，y增加了3个单位．若点P（5，y）为一次函数y＝kx＋b（k≠0）图象上一点，则点P到x轴的距离为 ．
12．已知直线y＝3x与y＝﹣x+b的交点坐标为（a，3）则2b+a的平方根是 ．
13．如图，在△ABC中，AB＝AC，BC＝5，△ABC的面积为20，DE垂直平分AC，分别交边AB，AC于点D，E，点F为直线DE上一动点，点G为BC的中点，连接FG，FC，则FC＋FG的最小值为 ．
14．如图，在△ABC中，点D在BC的延长线上，若∠A=60°，∠B=40°，则∠ACD的度数是 ．
15．已知 是腰长为 的等腰直角三角形，以 的斜边 为直角边，画第二个等腰 再以 的斜边 为直角边，画第三个等腰 ，…，依此类推，第 个等腰直角三角形的斜边长是 .
16．当m，n是正实数，且满足m+n＝mn时，就称点P（m， ）为“完美点”．已知点A（1，6）与点B的坐标满足y＝﹣x+b，且点B是“完美点”．则点B的坐标是 ．
三、综合题（本大题共7小题，共66分）
17．如图，直线 与直线 分别与x轴交于点A、B，两直线交于点C．
（1）求 的面积；
（2）利用图象直接写出当x取何值时， ．
18．如图，在平面直角坐标系 xOy 中，△ABC 的三个顶点的坐标分别是 A（2，3），B（1，0），C（1，2）.
（1）在图中画出△ABC 关于 y 轴对称的
（2）直接写出 三点的坐标： ， ， ；
（3）如果要使以 B、C、D 为顶点的三角形与△ABC 全等，直接写出所有符合条件的点 D坐标：
19．已知a，b，c是 的三边长，
（1）若a，b，c满足 ，试判断 的形状；
（2）若a，b，c满足 ，试判断 的形状．
20．已知 与 成正比例，且 时， ，
（1）求 与 之间的函数解析式；
（2）当 时，求 的值．
21．△ABC中，AD是∠BAC的角平分线，AE是△ABC的高．
（1）如图1，若∠B＝40°，∠C＝60°．求∠DAE的度数．
（2）如图2（∠B＜∠C），试说明∠DAE与∠B、∠C的数量关系．
（3）拓展：如图3，四边形ABDC中，AE是∠BAC的角平分线，DA是∠BDC的角平分线，猜想：∠DAE与∠B、∠C的数量关系是否改变，说明理由．
22．如图1，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝4，以AB为边在AB上方作等边△ABD，以BC为边在BC右侧作等边△CBE，连结DE．
（1）当AC＝5时，求BE的长．
（2）求证：BD⊥DE．
（3）如图2，点C′与点C关于直线AD对称，连结C′E．
①求C′E的长．
②连结C′D，当△C′DE是以C′E为腰的等腰三角形时，写出所有满足条件的AC长： ▲ ．（直接写出答案）
23．如图，在平面直角坐标系中，直线AB为y＝﹣ x+b交y轴于点A（0，3），交x轴于点B，直线x＝2交AB于点D，交x轴于点E，P是直线x＝2上一动点，且在点D的上方，设P（2，n）.
（1）求点B的坐标及点O到直线AB的距离；
（2）求△ABP的面积（用含n的代数式表示）；
（3）当S△ABP＝1时，以PB为边在第一象限作等腰直角三角形BPC，求出点C的坐标.
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浙教版八年级上册期中名校真题严选卷
数 学
（时间：120分钟 满分：120分）
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1．下列长度四根木棒中，能与长为5，10的两根木棒围成一个三角形的是（ ）
A．4 B．5 C．9 D．15
【答案】C
【知识点】三角形三边关系
【解析】【解答】解：A、∵4+5＜10，∴4，5，10不能组成三角形，故A不符合题意；
B、∵5+5=10，∴5，5，10不能组成三角形，故B不符合题意；
C、∵9+5＞10，∴9，5，10能组成三角形，故C符合题意；
D、∵10+5=15，∴5，10，15不能组成三角形，故D不符合题意.
故答案为：C.
【分析】三角形三边的关系：三角形的任意两边之和大于第三边，在运用三角形三边关系判断三条线段能否构成三角形时不一定要列出三个不等式，只要两条短线段长度之和大于较长的线段的长度，即可判断这三条线段能构成一个三角形，据此逐项判断，即可求解.
2．如图，点P是△ABC内一点，PD⊥BC，PE⊥AC，PF⊥AB，且PD=PE=PF，则点P是△ABC（ ）
A．三边垂直平分线的交点 B．三条角平分线的交点
C．三条高所在直线的交点 D．三条中线的交点
【答案】B
【知识点】角平分线的性质
【解析】【解答】解：∵ PD⊥BC，PE⊥AC，PF⊥AB，且PD=PE=PF，
∴ 点P是△ABC三条角平分线的交点.
故答案为：B.
【分析】根据角平分线的性质，即可得出答案.
3．正比例函数y=kx（k≠0）的图象在第二、四象限，则一次函数y=x+k的图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】一次函数的图象
【解析】【解答】解：∵正比例函数y=kx（k≠0）的图象在第二、四象限，
∴k＜0，
∴一次函数y=x+k的图象与y轴交于负半轴，且经过第一、三象限．
观察选项，只有B选项正确．
故选：B．
【分析】根据正比例函数图象所经过的象限判定k＜0，由此可以推知一次函数y=x+k的图象与y轴交于负半轴，且经过第一、三象限．
4．在中，边，的垂直平分线、相交于点，若，则的度数是 ．（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】三角形内角和定理；线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：连接PB、PC， 如图：
∵边AB，BC的垂直平分线l1、l2相交于点P，
∴PA=PB，PB=PC，
∴∠PBA=∠PAB，∠PBC=∠PCB，PA=PC，
∴∠PCA=∠PAC=x°，∠PAB+∠PCB=∠PBA+∠PBC=∠B，
∴2∠B+2x°=180°，
解得，∠B=90°-x°，
∴∠DPE=180°-∠B=90°+x°，
∴∠1=180°-∠DPE=90°-x°，
故答案为：A.
【分析】根据线段垂直平分线上的点到两端点的距离相等可得PA=PB，PB=PC，根据等腰三角形的两底角相等；三角形的内角和是180°进行列式计算，即可得出答案.
5．如图，在中，D，E是边上的两点，，则的度数为（ ）
A．90° B．80° C．70° D．60°
【答案】B
【知识点】三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】解：∵BE=CD，
∴BE-DE=CD-DE，即BD=CE，
∵∠1=∠2=110°，AD=AE，
∴△ADB≌△AEC（SAS），∠ADE=∠AED=70°，
∴∠BAD=∠CAE，∠DAE=180°-∠ADE-∠AED=40°，
∵∠BAE=60°，
∴∠BAD=∠CAE=20°，
∴∠BAC=80°，
故答案为：B．
【分析】利用SAS判断出△ADB≌△AEC，由全等三角形对应角相等得∠BAD=∠CAE，由邻补角定义得∠ADE=∠AED=70°，由三角形由三角形内角和得∠DAE=40°，由角的和差得∠CAE与∠BAC的度数.
6．如图，A、B是两个居民小区，快递公司准备在公路l上选取点P处建一个服务中心，使PA+PB最短．下面四种选址方案符合要求的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】解：根据题意得，在公路l上选取点P，使PA+PB最短．
则选项A 符合要求，
故答案为：A
【分析】根据轴对称的性质和线段的性质即可求出答案.
7．如图，等边 中，D为AC中点，点P、Q分别为AB、AD上的点， ， ，在BD上有一动点E，则 的最小值为（ ）
A．7 B．8 C．10 D．12
【答案】C
【知识点】等边三角形的判定与性质；轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】解：如图，
是等边三角形，
，
∵D为AC中点，
∴ ，
∵ ， ，
，
作点Q关于BD的对称点Q' ，连接PQ'交BD于E，连接QE ，此时PE+QE的值最小，最小值PE+QE=PE+EQ'=PQ' ，
， ，
，
，
，
，
是等边三角形，
，
∴PE+QE 的最小值为10.
故答案为：C.
【分析】作点Q关于BD的对称点Q' ，连接PQ'交BD于E，连接QE ，此时PE+QE的值最小，最小值PE+QE=PE+EQ'=PQ' ，进而判断△APQ'是等边三角形，即可解决问题.
8．如图，以Rt△ABC的三条边作三个正三角形，∠ACB=90°，则的关系为（ ）
A． B． C． D．不能确定
【答案】C
【知识点】三角形的面积；等边三角形的性质；勾股定理
【解析】【解答】解：设正△XYZ的边长为u，过顶点X作XV⊥YZ，V为垂足，如图，
在正△XYZ中，有∠Y=60°，XZ=XY=YZ=u，
∵XV⊥YZ，
∴ ，∠XVY=90°，
∴在Rt△XYV中，有 ，
∴正△XYZ的面积为： ，
如图，可知△AGC、△AFB、△BCH是正三角形，
设Rt△ABC的三边为：AC=b，AB=C，BC=a，根据勾股定理有： ，
则根据上述所推出的正三角形的面积公式，可知△AGC、△AFB、△BCH的面积分别为： 、 、 ，
则根据上图有： ， ， ，
即有 ，
∵ ，
∴ ，
即 .
故答案为：C.
【分析】设正△XYZ的边长为u，过顶点x作XV⊥YZ，V为垂足，则利用勾股定理可得XV，然后根据三角形的面积公式表示出S△XYZ，由题意可得△AGC、△AFB、△BCH是正三角形，设Rt△ABC的三边为AC=b，AB=C，BC=a，根据勾股定理有a2+b2=c2，表示出△AGC、△AFB、△BCH的面积，结合面积间的和差关系进行计算即可.
9．如图，在四边形ABCD中，DA⊥AB．DA＝6cm，∠B+∠C=150°，CD与BA的延长线交于E点，A刚好是EB中点，P、Q分别是线段CE、BE上的动点，则BP+PQ最小值是（ ）
A．12 B．15 C．16 D．18
【答案】D
【知识点】等边三角形的判定与性质；含30°角的直角三角形；轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】解：如图，作点B关于CE的对称点F，连接BF、EF，
则 ，
∵∠ABC+∠C=150°，
∴，
∴，
∴是等边三角形，
连接BP、PF、PQ，则，
∴，
∴当F、P、Q在同一直线上，且FQ⊥EB时，
则BP+PQ最小值为FQ的长，
此时，Q为EB中点，故与A重合，
∵，
∴，
在中， ，
∴BP+PQ最小值为．
故答案为：D.
【分析】本题考查了轴对称﹣最短路线问题，直角三角形30°所对直角边等于斜边的一半，正确的作出图形是解题的关键．凡是涉及最短距离的问题，一般要考虑线段的性质定理，结合轴对称变换来解决，多数情况要作点关于某直线的对称点；作点B关于CE的对称点F，连接BF、EF，则当F、P、Q在同一直线上，且FQ⊥EB时，则BP+PQ最小值为FQ的长，计算求解即可．
10．如图，在△OAB和△OCD中，OA＝OB，OC=OD，OA＞OC，∠AOB＝∠COD＝40°，连接AC，BD交于点M，连接OM．下列结论：①AC＝BD；②∠AMB=40°；③OM平分∠BOC；④MO平分∠BMC．其中正确的个数为（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
【答案】B
【知识点】角平分线的判定；三角形全等的判定-SAS；三角形全等的判定-AAS
【解析】【解答】解：∵，
∴，
即，
在和中，，
∴，
∴，，①正确；
由三角形的外角性质得：
∴°，②正确；
，
当时，才平分，
假设
，
，
平分，
，
在和中，
，
，
，
. 与矛盾，
③错误；
作于，于，如图所示
则°，
在和中，，
∴，
∴，
∴平分，④正确；
正确的个数有3个；
故答案为：B．
【分析】①利用SAS证明△AOC≌△BOD，即可得到AC=BD；②利用三角形的外角性质即可证明；③由，得出当时，才平分，假设，由得出，由平分得出，推出，得，而，所以，而，故③错误；④作OG⊥MC于点G，OH⊥MB于点H，再用AAS证明△OCG≌△ODH即可证明MO平分∠BMC.
二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分）
11．已知关于x的方程kx＋b＝0（k≠0）的解为x＝﹣2，在一次函数y＝kx＋b（k≠0）图象中，当x每增加1个单位时，y增加了3个单位．若点P（5，y）为一次函数y＝kx＋b（k≠0）图象上一点，则点P到x轴的距离为 ．
【答案】21
【知识点】待定系数法求一次函数解析式
【解析】【解答】解：∵关于x的方程kx＋b＝0（k≠0）的解为x＝﹣2，
∴一次函数y＝kx＋b（k≠0）图象经过点(-2，0)，
∵当x每增加1个单位时，y增加了3个单位，
x从-2到5增加了7个单位，
∴y增加了37=21个单位，
∴点P的坐标为(5，21)，
∴点P到x轴的距离为21．
故答案为：21．
【分析】根据题意得出一次函数y＝kx＋b（k≠0）图象经过点(-2，0)，（-1，3），根据待定系数法求得解析式，进而求得P点的纵坐标，即可得到结论。
12．已知直线y＝3x与y＝﹣x+b的交点坐标为（a，3）则2b+a的平方根是 ．
【答案】±3
【知识点】平方根；两一次函数图象相交或平行问题
【解析】【解答】解：∵将x＝a，y＝3代入y＝3x得：3＝3a，
解得a＝1，
∴直线y＝3x与y＝﹣x+b的交点坐标为（1，3）．
将x＝1，y＝3代入y＝﹣x+b得：﹣1+b＝3．
解得：b＝4．
∴2b+a＝8+1＝9，
∴2b+a的平方根是±3．
故答案为：±3．
【分析】将点（a，3）代入y＝3x，求出a的值，再将点坐标代入y＝﹣x+b，求出b的值，最后将a、b的值代入计算即可。
13．如图，在△ABC中，AB＝AC，BC＝5，△ABC的面积为20，DE垂直平分AC，分别交边AB，AC于点D，E，点F为直线DE上一动点，点G为BC的中点，连接FG，FC，则FC＋FG的最小值为 ．
【答案】8
【知识点】线段垂直平分线的性质；轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】解：如图，连接AG，CF，
∵DE是AC的垂直平分线，
∴点A与C关于DE对称，
∴GF+FC＝AF+FG＝AG，
此时，FC+FG最小值为AG的长，
∵AB＝AC，点G为BC的中点，
∴AG⊥BC，
∵BC＝5，△ABC的面积为20，
∴，
∴AG＝8，
∴FC+FG的最小值为8，
故答案为：8．
【分析】连接AG，CF，根据DE是AC的垂直平分线，得出点A与C关于DE对称，此时，FC+FG最小值为AG的长，再由三角形面积公式计算即可。
14．如图，在△ABC中，点D在BC的延长线上，若∠A=60°，∠B=40°，则∠ACD的度数是 ．
【答案】100°
【知识点】三角形的外角性质
【解析】【解答】解：在△ABC中，∵∠A＝60°，∠B＝40°，
∴∠ACD＝∠A+∠B＝60°+40°＝100°，
故答案为：100°．
【分析】根据三角形的一个外角等于和他不相邻的两个内角的和计算即可。
15．已知 是腰长为 的等腰直角三角形，以 的斜边 为直角边，画第二个等腰 再以 的斜边 为直角边，画第三个等腰 ，…，依此类推，第 个等腰直角三角形的斜边长是 .
【答案】
【知识点】勾股定理；等腰直角三角形
【解析】【解答】解：第一个等腰直角三角形的斜边为 ，
第二个等腰直角三角形的斜边为 ，
第三个等腰直角三角形的斜边为 ，
第四个等腰直角三角形的斜边为 ，
∴第 个等腰直角三角形的斜边为 ，
故答案为： .
【分析】先求出第一个到第四个的等腰直角三角形的斜边的长，探究规律后即可解决问题.
16．当m，n是正实数，且满足m+n＝mn时，就称点P（m， ）为“完美点”．已知点A（1，6）与点B的坐标满足y＝﹣x+b，且点B是“完美点”．则点B的坐标是 ．
【答案】（4，3）
【知识点】一次函数与二元一次方程（组）的关系
【解析】【解答】解：将点A（1，6）代入y=-x+b，
得b=7，
则直线解析式为：y=-x+7，
设点B坐标为（x，y），
∵点B满足直线y=-x+7，
∴B（x，-x+7），
∵点B是“完美点”，
∴①
∵m+n=mn，m，n是正实数，
∴②
将②代入①得：
解得x=4，
∴点B坐标为（4，3），
故答案为：（4，3）
【分析】将点A代入y=-x+b中求b的值，然后设B（x，y），根据完美点的定义列方程组求解即可．
三、综合题（本大题共7小题，共66分）
17．如图，直线 与直线 分别与x轴交于点A、B，两直线交于点C．
（1）求 的面积；
（2）利用图象直接写出当x取何值时， ．
【答案】（1）解：把 代入 中得： ，
解得： ，所以
把 代入 中得： ，
解得： ，所以 ．
．
解方程 ，得 ，
把 代入 中得： ，
所以 ，
所以 ．
（2）解：由图可知交点C的右边y1即当 时，
【知识点】三角形的面积；一次函数图象与坐标轴交点问题
【解析】【分析】根据一次函数的解析式求出与x轴和y轴的交点坐标，再根据三角形的面积公式求三角形的面积，再根据一次函数的图象进行判断即可作答。
18．如图，在平面直角坐标系 xOy 中，△ABC 的三个顶点的坐标分别是 A（2，3），B（1，0），C（1，2）.
（1）在图中画出△ABC 关于 y 轴对称的
（2）直接写出 三点的坐标： ， ， ；
（3）如果要使以 B、C、D 为顶点的三角形与△ABC 全等，直接写出所有符合条件的点 D坐标：
【答案】（1）解：如图所示，△A1B1C1即为所求；
（2）（-2，3）；（-1，0）；（-1，2）
（3）（0，3），（0，-1），（2，-1）.
【知识点】点的坐标；三角形全等的判定；作图﹣轴对称
【解析】【解答】（2）由（1）中直角坐标系可得
（-2，3）， （-1，0）， （-1，2）；（3）当△BCD与△BCA关于BC对称时，点D坐标为（0，3），
当△BCA与△CBD关于BC的中点对称时，点D坐标为（ 0，-1），
△BCA与△CBD关于BC的中垂线对称时，点D坐标为当（2，-1）．
【分析】（1）利用轴对称变换，即可作出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1；（2）由（1）中的直角坐标系可直接得出 三点的坐标；（3）依据以B、C、D为顶点的三角形与△ABC全等，可知两个三角形有公共边BC，运用对称性即可得出所有符合条件的点D坐标．
19．已知a，b，c是 的三边长，
（1）若a，b，c满足 ，试判断 的形状；
（2）若a，b，c满足 ，试判断 的形状．
【答案】（1）解：∵ ，
∴ 且 ，
∴ ．
∴ 为等边三角形
（2）解：∵
∴ 或 ．
∴ 或 ．
∴ 为等腰三角形．
【知识点】三角形三边关系；等腰三角形的判定；等边三角形的判定
【解析】【分析】（1）根据绝对值的非负性可得 且 ，继而得出 ，即可判定三角形为等边三角形；（2）根据几个数的积为0，其中至少有一个因数为0，可得 或 ，从而可得 或 ，由此判定三角形为等腰三角形．
20．已知 与 成正比例，且 时， ，
（1）求 与 之间的函数解析式；
（2）当 时，求 的值．
【答案】（1）解：设
将 代入，得
即
∴
（2）解：当 时
【知识点】函数解析式；函数值；正比例函数的概念
【解析】【分析】（1）设 ，利用待定系数法求k，从而确定函数关系式；（2）将y=-6代入解析式求x的值．
21．△ABC中，AD是∠BAC的角平分线，AE是△ABC的高．
（1）如图1，若∠B＝40°，∠C＝60°．求∠DAE的度数．
（2）如图2（∠B＜∠C），试说明∠DAE与∠B、∠C的数量关系．
（3）拓展：如图3，四边形ABDC中，AE是∠BAC的角平分线，DA是∠BDC的角平分线，猜想：∠DAE与∠B、∠C的数量关系是否改变，说明理由．
【答案】（1）解：∵∠B＝40°，∠C＝60°，∠BAC+∠B+∠C＝180°，
∴∠BAC＝80°，
∵AD是∠BAC的角平分线，
∴∠CAD＝∠BAD ∠BAC＝40°，
∵AE是△ABC的高，
∴∠AEC＝90°，
∵∠C＝60°，
∴∠CAE＝90°﹣60°＝30°，
∴∠DAE＝∠CAD﹣∠CAE＝10°；
（2）解：∵∠BAC+∠B+∠C＝180°，
∴∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C，
∵AD是∠BAC的角平分线，
∴∠CAD＝∠BAD ∠BAC，
∵AE是△ABC的高，
∴∠AEC＝90°，
∴∠CAE＝90°﹣∠C，
∴∠DAE＝∠CAD﹣∠CAE ∠BAC﹣（90°﹣∠C） （180°﹣∠B﹣∠C）﹣90°+∠C ∠C ∠B，
即∠DAE ∠C ∠B；
（3）解：不变，
理由：连接BC交AD于F，
过点A作AM⊥BC于M，过点D作DN⊥BC于N，
∵AE是∠BAC的角平分线，AM是高，
∴∠EAM （∠ACB﹣∠ABC），
同理，∠ADN （∠BCD﹣∠CBD），
∵∠AFM＝∠DFN，∠AMF＝∠DNF＝90°，
∴∠MAD＝∠ADN，
∴∠DAE＝∠EAM+∠MAD＝∠EAM+∠ADN （∠ACB﹣∠ABC） （∠BCD﹣∠CBD） （∠ACD﹣∠ABD）．
【知识点】三角形的角平分线、中线和高；三角形内角和定理；角平分线的概念
【解析】【分析】（1）利用三角形内角和求出∠BAC＝80°， 由角平分线的定义可得∠CAD＝∠BAD ∠BAC＝40°， 再利用三角形内角和求出∠CAE＝30°，根据∠DAE＝∠CAD﹣∠CAE即可求解；
（2）根据三角形内角和可求出∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C， ∠CAE＝90°﹣∠C，由角平分线的定义可得∠CAD＝∠BAD ∠BAC， 利用∠DAE＝∠CAD﹣∠CAE即可求解；
（3）不变，理由：连接BC交AD于F，过点A作AM⊥BC于M，过点D作DN⊥BC于N，由角平分线的定义及三角形的高∠EAM （∠ACB﹣∠ABC），∠ADN （∠BCD﹣∠CBD），易推出∠MAD＝∠ADN， 根据∠DAE＝∠EAM+∠MAD＝∠EAM+∠ADN即可求解.
22．如图1，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝4，以AB为边在AB上方作等边△ABD，以BC为边在BC右侧作等边△CBE，连结DE．
（1）当AC＝5时，求BE的长．
（2）求证：BD⊥DE．
（3）如图2，点C′与点C关于直线AD对称，连结C′E．
①求C′E的长．
②连结C′D，当△C′DE是以C′E为腰的等腰三角形时，写出所有满足条件的AC长： ▲ ．（直接写出答案）
【答案】（1）解：∵△ABD，△CBE都是等边三角形，
∴∠ABD＝∠CBE＝60°，AB＝DB，BC＝BE，
∴∠ABC+∠CBD＝∠DBE+∠CBD，
∴∠ABC＝∠DBE，
∴△BAC≌△BDE（SAS），
∴∠BAC＝∠BDE＝90°，BE＝BC．
在Rt△ABC中，AB＝4，AC＝5，
∴，
∴；
（2）证明：∵△ABD，△CBE都是等边三角形，
∴∠ABD＝∠CBE＝60°，AB＝DB，BC＝BE，
∴∠ABC+∠CBD＝∠DBE+∠CBD，
∴∠ABC＝∠DBE，
∴△BAC≌△BDE（SAS），
∴∠BAC＝∠BDE＝90°，
∴BD⊥DE；
（3）解：①连接AC′，
由（2）知△BAC≌△BDE（SAS），
∴AC＝DE，∠BAC＝∠BDE＝90°，
∴∠ADE＝60°+90°＝150°，
∵∠CAD＝∠BAC﹣∠BAD＝90°﹣60°＝30°，
由对称的性质得∠DAC′＝∠DAC＝30°，AC＝DE＝AC′，
∴∠ADE+∠DAC′＝180°，
∴DE∥AC′，
∴四边形AC′ED是平行四边形，
∴C′E＝AD＝AB＝4；
②4或
【知识点】平行线的判定与性质；等边三角形的性质；勾股定理；轴对称的性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】解：（3）②分两种情况：
C′E＝DE时，
∵C′E＝4，四边形AC′ED是平行四边形，
∴C′E＝DE＝AC′＝4，
由对称的性质得AC＝AC′＝4，
C′E＝C′D时，作C′F⊥DE于F，
∵C′E＝C′D，C′F⊥DE，
∴DF＝EF，∠C′FE＝90°，
∵四边形AC′ED是平行四边形，
∴∠C′EF＝∠DAC′＝30°，
∴，，
∴，
综上，AC长为4或．
故答案为：4或．
【分析】（1）根据等边三角形的性质可得∠ABD＝∠CBE＝60°，AB＝DB，BC＝BE，由角的和差关系可得∠ABC＝∠DBE，证明△BAC≌△BDE，得到∠BAC＝∠BDE＝90°，BE＝BC，利用勾股定理可得BC，进而可得BE；
（2）同理证明△BAC≌△BDE，得到∠BAC＝∠BDE＝90°，据此解答；
（3）①连接AC′，由（2）知△BAC≌△BDE，则AC＝DE，∠BAC＝∠BDE＝90°，∠ADE＝150°，∠CAD＝30°，由对称的性质得∠DAC′＝∠DAC＝30°，AC＝DE＝AC′，推出四边形AC′ED是平行四边形，据此解答；
②C′E＝DE时，四边形AC′ED是平行四边形，则C′E＝DE＝AC′＝4，由对称的性质得AC＝AC′＝4；C′E＝C′D时，作C′F⊥DE于F，由平行四边形的性质可得∠C′EF＝∠DAC′＝30°，根据含30°角的直角三角形的性质可得C′F，据此求解.
23．如图，在平面直角坐标系中，直线AB为y＝﹣ x+b交y轴于点A（0，3），交x轴于点B，直线x＝2交AB于点D，交x轴于点E，P是直线x＝2上一动点，且在点D的上方，设P（2，n）.
（1）求点B的坐标及点O到直线AB的距离；
（2）求△ABP的面积（用含n的代数式表示）；
（3）当S△ABP＝1时，以PB为边在第一象限作等腰直角三角形BPC，求出点C的坐标.
【答案】（1）解：∵直线AB为y＝ x+b交y轴于点A（0，3），
∴b＝3，AO＝3，
∴直线AB解析式为：y＝ x+3，
令y＝0，则0＝﹣ x+3，x＝4，
∴B（4，0），
∴OB＝4，
∴AB＝ ＝ ＝5，
∴S△AOB＝ ×OA×OB＝ ×AB×点O到直线AB的距离，
∴点O到直线AB的距离＝ ＝ ；
（2）解：∵点D在直线AB上，
∴当x＝2时，y＝1.5，即点D（2，1.5），
∴PD＝n﹣1.5，
∵OB＝4，
∴ ；
（3）解：当S△ABP＝1时，2n﹣3＝2，解得n＝2，
∴点P（2，2）.
∵E（2，0），
∴PE＝BE＝2，
∴∠EPB＝∠EBP＝45°，
第1种情况，如图1，当∠CPB＝90°，BP＝PC时，过点C作CN⊥直线x＝2于点N.
∵∠CPB＝90°，∠EPB＝45°，
∴∠NPC＝∠EPB＝45°.
又∵∠CNP＝∠PEB＝90°，BP＝PC，
∴△CNP≌△BEP（AAS），
∴PN＝NC＝EB＝PE＝2，
∴NE＝NP+PE＝2+2＝4，
∴C（4，4）.
第2种情况，如图2，当∠PBC＝90°，BP＝BC时，过点C作CF⊥x轴于点F.
∵∠PBC＝90°，∠EBP＝45°，
∴∠CBF＝∠PBE＝45°.
又∵∠CFB＝∠PEB＝90°，BC＝BP，
∴△CBF≌△PBE（AAS）.
∴BF＝CF＝PE＝EB＝2，
∴OF＝OB+BF＝4+2＝6，
∴C（6，2）.
第3种情况，如图3，当∠PCB＝90°，CP＝CB时，
∴∠CPB＝∠EBP＝45°，
在△PCB和△PEB中，
，
∴△PCB≌△PEB（SAS），
∴PC＝CB＝PE＝EB＝2，
∴C（4，2）.
∴以PB为边在第一象限作等腰直角三角形BPC，点C的坐标是（4，4）或（6，2）或（4，2）.
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；三角形全等的判定；勾股定理；一次函数图象与坐标轴交点问题；等腰直角三角形
【解析】【分析】（1）易得b=3，AO=3，据此可得直线AB的解析式，令y=0，求出x的值，可得点B的坐标，求出OB的值，然后根据勾股定理求出AB，接下来根据三角形的面积公式进行解答即可；
（2）令直线解析式中的x=2，求出y的值，可得点D的坐标，然后表示出PD，接下来根据三角形的面积公式进行解答；
（3）当S△ABP＝1时，2n-3＝2，解得n＝2，则P（2，2），结合点E的坐标可得PE＝BE＝2，则∠EPB＝∠EBP＝45°，当∠CPB＝90°，BP＝PC时，过点C作CN⊥直线x＝2于点N，证明△CNP≌△BEP，得到PN＝NC＝EB＝PE＝2，求出NE的值，进而可得点C的坐标；当∠PBC＝90°，BP＝BC时，过点C作CF⊥x轴于点F，证明△CBF≌△PBE，得到BF＝CF＝PE＝EB＝2，求出OF，据此可得点C的坐标；当∠PCB＝90°，CP＝CB时，证明△PCB≌△PEB，得到PC＝CB＝PE＝EB＝2，据此可得点C的坐标.
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