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浙教版九年级上册期中模拟巅峰训练卷
数 学
（时间：120分钟 满分：120分）
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1．将二次函数 的图象先向左平移1个单位，再向下平移2个单位，所得图象对应的函数表达式是（ ）
A． B．
C． D．
2．学校组织校外实践活动，安排给九年级两辆车，小明与小慧都可以从两辆车中任选一辆搭乘，则小明和小慧乘同一辆车的概率是（ ）.
A． B． C． D．1
3．如图，在平面点角坐标系中AOB与COD是位似图形，以原点O为位似中心，若，B点坐标为(4，2)，则点D的坐标为（ ）
A．( 8，4) B．(8，6) C．(12，4) D．(12，6)
4．已知二次函数的图像如图所示，则一次函数与反比例函数的图像可能是（ ）
A． B．
C． D．
5．能使分式方程有非负实数解，且使二次函数的图象与x轴无交点的所有整数k的积为（ ）
A． B．20 C． D．60
6．抛掷一枚质地均匀的硬币三次，恰有两次正面向上的概率是（ ）
A． B． C． D．
7．若b≤x≤b＋3时，二次函数y＝x2＋bx＋b2的最小值为15，则b的值为（ ）
A．-或 B．或
C．2或 D．-2或
8．如图，正方形中，平分，交于点，将绕点顺时针旋转得到，延长交于点G，连接、，交于点．下列结论；；；正确的是（ ）
A． B． C． D．
9．一次综合实践的主题为：只用一张矩形纸条和刻度尺，如何测量一次性纸杯杯口的直径？小聪同学所在的学习小组想到了如下方法：如图，将纸条拉直紧贴杯口上，纸条的上下边沿分别与杯口相交于A，B，C，D四点，利用刻度尺量得该纸条宽为，，。请你帮忙计算纸杯的直径为（ ）
A． B． C． D．
10．二次函数的图象如图所示，如下结论：①；②；③；④；⑤为任意实数）；其中正确个数是（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分）
11．如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，BE是⊙O的直径，连结CE，若∠DCE=20°， 则∠DAB＝ ．
12． 抛物线y＝x2-10x+m与x轴只有一个公共点，则m的值为 ．
13．四边形 ∽四边形 ， ， ， ，则 ．
14．如图， 是 的中位线， 是 的中点，那么 = ．
15．在中，，那么它的重心G到C点距离是 .
16．如图，在中，，，点在边上，且，将绕点旋转，使点的对应点落在的边上，则的长为 ．
三、综合题（本大题共7小题，共66分）
17．在边长为1的正方形网格中，△AOB的位置如图所示.
（1）将△OAB绕着点O逆时针旋转90°，画出旋转后得到的△OCD；
（2）直接写出旋转过程中，点A所经过路径的长为 .
18．如图，矩形ABCD中AB＝2，AD＝4，动点F在线段CD上运动（不与端点重合），过点D作AF的垂线，交线段BC于点E．
（1）证明：△ADF∽△DCE；
（2）当CF＝1时，求EC的长．
19．如图（1），平行四边形ABCD中，∠B＝45°，连接AC，AC＝AB＝5cm；△ABC不动，将△ACD绕点A顺时针旋转α度（0°＜α＜135°），旋转后点C的对应点为点E，点D的对应点为点F，AF、AE（或它们的延长线）交直线BC于点H、G，如图（2）．
（1）如图（2），找出图中与△AGC相似的三角形（不添加字母），并证明；
（2）在旋转过程中，当△AGH是等腰三角形时，求CG的长．
20．抛物线C1：y1＝x2﹣1﹣2t（x﹣1）（t≠1）与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧）．
（1）①填空：当t＝﹣2时，点A的坐标为 ，点B的坐标为 ；当t＝0时，点A的坐标为 ，点B的坐标为 ；
②随t值的变化，抛物线C1是否会经过某一个定点，若会，请求出该定点的坐标；若不会，请说明理由 ；
（2）若将抛物线C1经过适当平移后，得到抛物线C2：y2＝（x﹣t）2+t﹣1，A，B的对应点分别为D（m，n），E（m+2，n），求抛物线C2的解析式；
（3）设抛物线C1的顶点为P，当t＞0，△APB为直角三角形时，求方程x2﹣1﹣2t（x﹣1）＝0（t≠1）的根 ．
21．已知抛物线 与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，且点A的坐标为 、点C的坐标为 .
（1）求该抛物线的函数表达式；
（2）如图1，若该抛物线的顶点为P，求 的面积；
（3）如图2，有两动点D、E在 的边上运动，速度均为每秒1个单位长度，它们分别从点C和点B同时出发，点D沿折线COB按C→O→B方向向终点B运动，点E沿线段BC按B→C方向向终点C运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动.设运动时间为t秒，在点D、E运动过程中，该抛物线上存在点F，使得依次连接AD、DF、FE、EA得到的四边形ADFE是平行四边形，请直接写出所有符合条件的点F的坐标.
22．如图，已知△ABC中，AD是∠BAC的平分线．
（1）求证： ＝ ；
（2）如图，过点C作射线，与AD交于点M，与边AB交于点E，又知BD＝9，CD＝6
①如果 ＝ ，求CE的长；
②设 ＝x， ＝y，求y关于x的函数关系式．
23．如图，在平面直角坐标系中，点 在 轴上， .
（1）请求出点 的坐标.
（2）如图（2），动点 以每秒 的速度分别从点 和点 同时出发，点 沿 运动到点 停止，点 沿 运动到点 停止，设 同时出发 秒.
①是否存在某个时间 （秒），使得 为直角三角形？若存在，请求出值；若不存在，请说明理由.
②若记 的面积为 ，求 关于 （秒）的函数关系式.
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浙教版九年级上册期中模拟巅峰训练卷
数 学
（时间：120分钟 满分：120分）
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1．将二次函数 的图象先向左平移1个单位，再向下平移2个单位，所得图象对应的函数表达式是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】二次函数图象的几何变换
【解析】【解答】解：原抛物线的顶点为（0，0），向左平移1个单位，再向下平移2个单位，那么新抛物线的顶点为（-1，-2），
可设新抛物线的解析式为：y=（x-h）2+k，
代入得：y=（x+1）2-2.
∴所得图象的解析式为：y=（x+1）2-2。
故答案为：B。
【分析】首先找出原抛物线的顶点坐标，然后根据点的坐标与平移的规律求出平移后新抛物线的顶点坐标，由于平移前后两抛物线的开口方向及开口大小都不变，故二次项系数不变，从而设出新抛物线的顶点式，代入顶点坐标即可。
2．学校组织校外实践活动，安排给九年级两辆车，小明与小慧都可以从两辆车中任选一辆搭乘，则小明和小慧乘同一辆车的概率是（ ）.
A． B． C． D．1
【答案】B
【知识点】用列表法或树状图法求概率
【解析】【解答】解：画树状图为：(用A、B表示两辆车)
共有4种等可能的结果数，其中小明和小慧乘同一辆车的结果数为2，
所以小明和小慧乘同一辆车的概率＝ ＝ ．
故选：B．
【分析】画树状图为(用A、B表示两辆车)展示所有4种等可能的结果数，再找出小明和小慧乘同一辆车的结果数，然后根据概率公式求解．
3．如图，在平面点角坐标系中AOB与COD是位似图形，以原点O为位似中心，若，B点坐标为(4，2)，则点D的坐标为（ ）
A．( 8，4) B．(8，6) C．(12，4) D．(12，6)
【答案】D
【知识点】位似变换
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∴AOB与COD的位似比为，
∵B点坐标为(4，2)，AOB与COD是以坐标原点O为位似中心，
∴点D的坐标（4×3，2×3），即（12，6），
故答案为：D．
【分析】易得△AOB与△COD的位似比为，再根据位似变换的性质进行计算即可.
4．已知二次函数的图像如图所示，则一次函数与反比例函数的图像可能是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】反比例函数的图象；二次函数图象与系数的关系；一次函数图象、性质与系数的关系
【解析】【解答】解：根据二次函数，及图像可知顶点坐标是 ，
∴ ， ，即 ， ，
∴一次函数的图像经过第一、二、三象限，反比例函数的图像经过第一、三象限，
故答案为：B ．
【分析】利用二次函数、一次函数和反比例函数的图象与系数的关系逐项判断即可。
5．能使分式方程有非负实数解，且使二次函数的图象与x轴无交点的所有整数k的积为（ ）
A． B．20 C． D．60
【答案】B
【知识点】分式方程的解及检验；解分式方程；二次函数图象与坐标轴的交点问题
【解析】【解答】解：去分母，方程两边同时乘以x-1，
-k+2（x-1）=3，
，
∴k≥-5①，
∵x≠1，
∴k≠-3②，
由y=x2+2x-k-1的图象与x轴无交点，则4-4（-k-1）＜0，
k＜-2③，
由①②③得：-5≤k＜-2且k≠-3，
∴k的整数解为：-5、-4，乘积是20；
故答案为：B．
【分析】先利用分式方程的解法求出k≥-5，再根据y=x2+2x-k-1的图象与x轴无交点，可得4-4（-k-1）＜0，求出k＜-2，最后求出-5≤k＜-2且k≠-3，并求解即可。
6．抛掷一枚质地均匀的硬币三次，恰有两次正面向上的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】用列表法或树状图法求概率；概率公式
【解析】【解答】解：列树状图如下所示：
根据树状图可知一共有8种等可能性的结果数，恰好有两次正面朝上的事件次数为：3，
∴恰好有两次正面朝上的事件概率是：．
故答案为：C．
【分析】先利用树状图求出所有等可能的情况数，再利用概率公式求解即可。
7．若b≤x≤b＋3时，二次函数y＝x2＋bx＋b2的最小值为15，则b的值为（ ）
A．-或 B．或
C．2或 D．-2或
【答案】B
【知识点】二次函数的最值；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】解：∵二次函数
∴二次函数图象开口向上，对称轴为
①当时，即
∴当时，为最小值，
∴
解得：
②当时，即
在自变量x满足的情况下，y随x增大而增大，
∴当时，为最小值，
∴
解得：
③当时，即
在自变量x满足的情况下，y随x增大而减小，
∴当时，为最小值，
∴
解得：
综上所述，b的值为：或，
故答案为：B.
【分析】由二次函数解析式知：二次函数图象开口向上，对称轴为然后分三种情况讨论，①当时，②当时，③当时，分别根据二次函数的增减性和最值计算即可.
8．如图，正方形中，平分，交于点，将绕点顺时针旋转得到，延长交于点G，连接、，交于点．下列结论；；；正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】角平分线的性质；等腰三角形的判定与性质；正方形的性质；相似三角形的判定与性质；旋转的性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】解： 绕点顺时针旋转得到，
∴，故正确；
∵四边形为正方形，
∴，
∵平分，
∴，
由旋转性质得，
得
由余角性质得，
∴，故正确；
∵，
∴，
∵平分，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，
，
即，
∴，故正确；
∵，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∵，
∴，故正确；
∴正确，
故答案为：．
【分析】由旋转的性质得 ，即可判断；由正方形的性质得 ，由角平分线的性质得到 ，进而可得 ，即可判断；先证明，可得 ，根据，平分，由等腰三角形的性质可得，进而可得 ，即可判断；先证明，得到，即可判断，即可得解．
9．一次综合实践的主题为：只用一张矩形纸条和刻度尺，如何测量一次性纸杯杯口的直径？小聪同学所在的学习小组想到了如下方法：如图，将纸条拉直紧贴杯口上，纸条的上下边沿分别与杯口相交于A，B，C，D四点，利用刻度尺量得该纸条宽为，，。请你帮忙计算纸杯的直径为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】勾股定理；垂径定理
【解析】【解答】解：取纸杯中线与CD的交点为M，与AB的交点为N，MN的中点即为圆心O，则MN=3.5cm，
设OM=xcm，则ON=(3.5-x)cm，
因为所以
所以
所以纸杯的直径为5cm.
故答案为：B.
【分析】构造直角三角形，利用垂径定理和勾股定理，即可求解.
10．二次函数的图象如图所示，如下结论：①；②；③；④；⑤为任意实数）；其中正确个数是（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【答案】B
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数图象与坐标轴的交点问题
【解析】【解答】解：①抛物线开口方向向上，则．
抛物线对称轴位于轴右侧，则、异号，即．
抛物线与轴交于轴负半轴，则，
所以．
故①正确，符合题意；
②抛物线对称轴为直线，
，即，
故②错误，不符合题意；
③从图象看，当时，，
即，
故③正确，符合题意；
④从图象看，抛物线和轴有两个交点，
则，
故④错误，不符合题意；
⑤抛物线对称轴为直线，
函数的最小值为：，
为任意实数时，；即，
故⑤正确，符合题意；
故答案为：B
【分析】由抛物线的开口方向判断与0的关系，由抛物线与轴的交点判断与0的关系，然后根据对称轴及抛物线与轴交点情况进行推理，逐项进行判断即可求出答案.
二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分）
11．如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，BE是⊙O的直径，连结CE，若∠DCE=20°， 则∠DAB＝ ．
【答案】110°
【知识点】圆内接四边形的性质
【解析】【解答】解：∵BE是圆的直径
∴∠BCE=90°
∵∠DCE=20°
∴∠BCD=90°-20°=70°
∵四边形ABCD是圆的内接四边形
∴∠DAN=180°-70°=110°
故答案为：110°.
【分析】根据圆的性质和等量关系，可得∠BCE和∠BCD的度数；根据圆的内接四边形对角之和为180°，列代数式求值即可求出∠DAB的度数.
12． 抛物线y＝x2-10x+m与x轴只有一个公共点，则m的值为 ．
【答案】25
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题
【解析】【解答】解：根据题意得，Δ=102-4×1×m=0，
∴ m=25.
故答案为：25.
【分析】根据二次函数图象与x轴只有一个交点可得Δ=0，即可求得m的值.
13．四边形 ∽四边形 ， ， ， ，则 ．
【答案】90
【知识点】相似多边形
【解析】【解答】解：∠D=360°-70°-108°-92°=90°。
【分析】根据多边形相似的性质，结合四边形的内角和定理，求出答案即可。
14．如图， 是 的中位线， 是 的中点，那么 = ．
【答案】
【知识点】相似三角形的判定与性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】∵DE是△ABC的中位线，
∴ = ，DE∥BC，
∵M是DE的中点，
∴ = ，
∵DE∥BC，
∴△DNM∽△BNC，
∵ = ，
∴ =（ ）2= ．
【分析】先求出 = ，DE∥BC，再求出△DNM∽△BNC，最后计算求解即可。
15．在中，，那么它的重心G到C点距离是 .
【答案】
【知识点】相似三角形的判定与性质；三角形的重心及应用；三角形的中位线定理；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：如图，延长交于点，连接并延长交于点，
点是的重心，
为边上的中线，为边上的中线，
且，
，
，
，
在中，，
，
，
，
故答案为：．
【分析】延长交于点，连接并延长交于点，根据中位线的性质证明，即可证明，可得，利用勾股定理求得的长，则可得到的长，根据线段比即可解答。
16．如图，在中，，，点在边上，且，将绕点旋转，使点的对应点落在的边上，则的长为 ．
【答案】6或10﹣2
【知识点】三角形全等及其性质；等腰三角形的性质；勾股定理；旋转的性质
【解析】【解答】
解：如图1，点E落在AB边上，作AF⊥BC于点F，
∵AB＝AC＝10，BC＝16，
∴BF＝CF＝BC＝8，
∵BD＝AB＝10，
∴DF＝BD﹣BF＝10﹣8＝2，∠BAD＝∠BDA，
作DG⊥AB于点G，则∠AGD＝∠DFA＝90°，
在△AGD和△DFA中，
，
∴△AGD≌△DFA（AAS），
∴AG＝DF＝2，
由旋转得ED＝AD，
∴EG＝AG＝2，
∴BE＝AB﹣AG﹣EG＝10﹣2﹣2＝6；
如图2，点E落在BC边上，作AF⊥BC于点F，则∠AFB＝∠AFD＝90°，
∴AF＝＝6，
∴AD＝＝2，
由旋转得ED＝AD＝2，
∴BE＝BD﹣ED＝10﹣2；
∵CD＝BC﹣BD＝16﹣10＝6，且2＞6，
∴ED＞CD，
∴点E不能落在AC边上，
综上所述，BE的长为6或10﹣2，
故答案为：6或10﹣2．
【分析】分三种情况讨论，（1）当点E落在AB边上，作AF⊥BC于点F，由等腰三角形的性质得BF＝CF＝8，DF＝2，作DG⊥AB于点G，再证明△AGD≌△DFA，得AG＝DF＝2，由旋转得ED＝AD，则EG＝AG＝2，此时BE＝6；
（2）当点E落在BC边上，作AF⊥BC于点F，由勾股定理求得AF＝6，AD＝2，由旋转得ED＝AD＝2，此时BE＝10﹣2；
（3）由CD＝6，且2＞6，得ED＞CD，因此点E不能落在AC边上，综合三种情况即可得到答案．
三、综合题（本大题共7小题，共66分）
17．在边长为1的正方形网格中，△AOB的位置如图所示.
（1）将△OAB绕着点O逆时针旋转90°，画出旋转后得到的△OCD；
（2）直接写出旋转过程中，点A所经过路径的长为 .
【答案】（1）解：如图
（2）
【知识点】作图﹣旋转
【解析】【解答】解：（2）由勾股定理得，
∴点A所经过路径的长为
【分析】（1）利用勾股定理计算OB长度。
（2）=90，半径为，利用弧长公式可得点A所经过的路径长。
18．如图，矩形ABCD中AB＝2，AD＝4，动点F在线段CD上运动（不与端点重合），过点D作AF的垂线，交线段BC于点E．
（1）证明：△ADF∽△DCE；
（2）当CF＝1时，求EC的长．
【答案】（1）解： 四边形 是矩形，
， ．
又 ，
， ，
；
（2）解： ，
，
， ，
，
， ，
，
．
【知识点】相似三角形的判定与性质
【解析】【分析】（1）根据相似三角形的判定得出即可；
（2）根据相似三角形的性质解答即可。
19．如图（1），平行四边形ABCD中，∠B＝45°，连接AC，AC＝AB＝5cm；△ABC不动，将△ACD绕点A顺时针旋转α度（0°＜α＜135°），旋转后点C的对应点为点E，点D的对应点为点F，AF、AE（或它们的延长线）交直线BC于点H、G，如图（2）．
（1）如图（2），找出图中与△AGC相似的三角形（不添加字母），并证明；
（2）在旋转过程中，当△AGH是等腰三角形时，求CG的长．
【答案】（1）△HGA和△HAB与△AGC相似，
证明：∵∠B＝45°，AC＝AB，
∴∠ACB＝∠B＝45°，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠CAD＝∠CDA＝45°，
∵△AEF由△ACD旋转得到，
∴∠EAF＝∠CAD＝45°，
∴∠ACB＝∠EAF＝45°，
∵∠AGC＝∠AGH，
∴△AGC∽△HGA，
∴∠GAC＝∠H，
∵∠B＝∠ACG＝45°，
∴△AGC∽△HAB，
（2）解：①当CG BC时，则有∠GAC＝∠H＜∠HAG，
∴AC＜CH，
∵AG＜AC，
∴AG＜CH＜GH，
∵AH＞AG，AH＞GH，
∴△AGH不可能是等腰三角形，
②当GC BC时，G为BC的中点，H与C重合，
∴△AGH是等腰三角形，此时GC ，
③当GC BC时，由（1）△AGC∽△HGA，
∴若△AGH是等腰三角形只可能存在AG＝AH，
若AG＝AH，则AC＝GC，此时GC＝5，
如图，当CG＝BC时，
此时B，E，G重合，
∠AGH＝∠GAH＝45°，
∴△AGH为等腰三角形，
∴CG ，
综上所述：CG＝5或 或 ．
【知识点】等腰三角形的性质；相似三角形的判定
【解析】【分析】（1）根据平行四边形的性质求出 ∠CAD＝∠CDA＝45°， 再求出 △AGC∽△HGA， 最后计算求解即可；
（2）分类讨论，结合图形，根据等腰三角形的性质求解即可。
20．抛物线C1：y1＝x2﹣1﹣2t（x﹣1）（t≠1）与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧）．
（1）①填空：当t＝﹣2时，点A的坐标为 ，点B的坐标为 ；当t＝0时，点A的坐标为 ，点B的坐标为 ；
②随t值的变化，抛物线C1是否会经过某一个定点，若会，请求出该定点的坐标；若不会，请说明理由 ；
（2）若将抛物线C1经过适当平移后，得到抛物线C2：y2＝（x﹣t）2+t﹣1，A，B的对应点分别为D（m，n），E（m+2，n），求抛物线C2的解析式；
（3）设抛物线C1的顶点为P，当t＞0，△APB为直角三角形时，求方程x2﹣1﹣2t（x﹣1）＝0（t≠1）的根 ．
【答案】（1）（﹣5，0）；（1，0）；（﹣1，0）；（1，0）；会．由x﹣1＝0得x＝1，代入得y1＝0， ∴抛物线C1会经过一个定点，定点为（1，0）．
（2）解：由x2﹣1﹣2t（x﹣1）＝0得x1＝1，x2＝2t﹣1，
∴AB＝|（2t﹣1）﹣1|＝|2t﹣2|，
∵A，B的对应点分别为D（m，n），E（m+2，n），
∴AB＝DE＝m+2﹣m＝2，
|2t﹣2|＝2，
解得t＝0或t＝2．
∴抛物线C2的解析式为：y＝x2﹣1或y＝（x﹣2）2+1．
（3）x＝1或x＝5
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题；平移的性质；二次函数的其他应用
【解析】【解答】解：（1）解：①当t＝﹣2时，抛物线y＝x2+4x﹣5，
令y＝0，得到x2+4x﹣5＝0，
∴x＝﹣5或1，
∴A（﹣5，0），B（1，0）．
当t＝0时，抛物线的解析式为y＝x2﹣1，
令y＝0，得到x2﹣1＝0，
∴x＝1或﹣1，
∴A（﹣1，0），B（1，0）．
（3）∵抛物线C1：y＝（x﹣t）2﹣（t﹣1）2，
∴顶点P为（t，﹣（t﹣1）2），
∵△APB为直角三角形，
∴△PAB是等腰直角三角形，
∴（t﹣1）2＝ |2t﹣2|，
解得，t＝3或﹣1，
∵t＞0，
∴t＝3，
∴方程为：x2﹣6x+5＝0，
∴方程的根为：x＝1或5．
故答案为：x＝1或x＝5．
【分析】（1）根据二次函数的解析式，列方程计算求解即可；
（2）根据题意求出 AB＝DE＝m+2﹣m＝2， 再求出 |2t﹣2|＝2， 最后计算求解即可；
（3）先求出△PAB是等腰直角三角形，再求出（t﹣1）2＝ |2t﹣2|，最后计算求解即可。
21．已知抛物线 与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，且点A的坐标为 、点C的坐标为 .
（1）求该抛物线的函数表达式；
（2）如图1，若该抛物线的顶点为P，求 的面积；
（3）如图2，有两动点D、E在 的边上运动，速度均为每秒1个单位长度，它们分别从点C和点B同时出发，点D沿折线COB按C→O→B方向向终点B运动，点E沿线段BC按B→C方向向终点C运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动.设运动时间为t秒，在点D、E运动过程中，该抛物线上存在点F，使得依次连接AD、DF、FE、EA得到的四边形ADFE是平行四边形，请直接写出所有符合条件的点F的坐标.
【答案】（1）解：∵抛物线 经过A（-1，0），C（0，3）两点，
∴ ，
解得 ，
∴该抛物线的函数表达式为 ；
（2）解：∵抛物线 ，
∴抛物线的顶点P的坐标为 ，
∵ ，
令y=0，
解得：x1=-1，x2=4，
∴B点的坐标为（4，0），OB=4，
如图，连接OP，
则 ，
=
=
=
=
∴△PBC的面积为 ；
（3）解：∵在△OBC中，BC＜OC+OB，
∴当动点E运动到终点C时，另一个动点D也停止运动，
∵OC=3，OB=4，
∴在Rt△OBC中，
∴0＜t≤5，
当运动时间为t秒时，BE=t，
如图，过点E作EN⊥x轴，垂足为N，
则△BEN∽△BCO，
∴
∴点E的坐标为 ，
下面分两种情形讨论：
Ⅰ、当点D在线段CO上运动时，0＜t＜3，此时CD=t，点D的坐标为（0，3-t），设点
根据平行四边对角线互相平分，得， ，
消去 得， ，
解得 （舍去）
当 时， ，
F坐标为
Ⅱ、如图，当点D在线段OB上运动时，3≤t≤5，BD=7-t，
根据平行四边的性质， ， ，
，消去 得， ，
解得 （舍去），
当 时，
F坐标为（3，3），
综上所述：F坐标为 或（3，3）.
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；三角形的面积；勾股定理；平行四边形的性质；相似三角形的判定与性质
【解析】【分析】（1）将点A、C的坐标代入可得a、c的值，据此可得抛物线的解析式；
（2）根据抛物线的解析式可得顶点P的坐标，令y=0，求出x，可得B点的坐标，连接OP，根据S△PBC=S△OPC+S△OPB-S△OBC可得S△PBC；
（3）首先由勾股定理求出BC，得到t的范围，当运动时间为t秒时，BE=t，过点E作EN⊥x轴，垂足为N，则△BEN∽△BCO，由相似三角形的性质可得BN、EN，据此可得点E的坐标，①当点D在线段CO上运动时，0＜t＜3，此时CD=t，点D的坐标为（0，3-t），设点F（a，+3），根据平行四边形的对角线互相平分可得a的值，据此可得点F的坐标；②当点D在线段OB上运动时，3≤t≤5，BD=7-t，OD=t-3，则D（t-3，0），由平行四边形的性质可得：AD=DF，AE=DF，据此可得a的值，进而得到点F的坐标.
22．如图，已知△ABC中，AD是∠BAC的平分线．
（1）求证： ＝ ；
（2）如图，过点C作射线，与AD交于点M，与边AB交于点E，又知BD＝9，CD＝6
①如果 ＝ ，求CE的长；
②设 ＝x， ＝y，求y关于x的函数关系式．
【答案】（1）证明：如图，过B作 交 的延长线于F，
平分 则
（2）解：①如图，过C作 交 的延长线于D，
同理可得：
设 则
则
经检验：符合题意，
②过 作 交 于Q，
则 而
则
由（1）得：
即：
【知识点】相似三角形的判定与性质
【解析】【分析】（1）先求出 再利用相似三角形的判定与性质计算求解即可；
（2）①利用相似三角形的判定与性质计算求解即可；
②先求出 再计算求解即可。
23．如图，在平面直角坐标系中，点 在 轴上， .
（1）请求出点 的坐标.
（2）如图（2），动点 以每秒 的速度分别从点 和点 同时出发，点 沿 运动到点 停止，点 沿 运动到点 停止，设 同时出发 秒.
①是否存在某个时间 （秒），使得 为直角三角形？若存在，请求出值；若不存在，请说明理由.
②若记 的面积为 ，求 关于 （秒）的函数关系式.
【答案】（1）解：如图（1），作 于 ，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
.
（2）解：①作 ，设与 的延长线交于 点，延长 ，与 轴交于点 .
如图（2），
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
如图（2），若 ，则 为直角三角形，
，
，
两点的运动时间为 秒， ，
，
，
如图（2），若 ，则 为直角三角形，
，
，
，
，
，
∴当 或者 时， 为直角三角形.
②如图（3），作 于 .
，
，
，
，
，
，
，
.
【知识点】三角形的面积；勾股定理；两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例；相似三角形的判定与性质
【解析】【分析】（1）作AE⊥OC于点E，则AE∥CD，AD∥OC，推出yA=yD，则AE=CD=6cm，利用勾股定理求出OE，据此可得点A的坐标；
（2）①作AN⊥OA，设与OC的延长线交于N点，延长DA，与y轴交于点M，易证△OMA∽△NAO，由相似三角形的性质可得AN、ON，若∠OPQ=90°，则△OPQ为直角三角形，根据平行线分线段成比例的性质可得t；若∠OQP=90°，则△AON∽△QOP，由相似三角形的性质可得t；
②作QH⊥OA于H，由QH∥AN结合平行线分线段成比例的性质可得QH，然后根据三角形的面积公式解答即可.
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