2024-2025学年辽宁省朝阳市建平实验中学高二（上）月考数学试卷（10月份）（含答案）

2024-2025学年辽宁省朝阳市建平实验中学高二（上）月考
数学试卷（10月份）
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知，，则的值为( )
A. B. C. D.
2.已知，，且与的夹角为，则( )
A. B. C. D.
3.已知，是两个不同的平面，则下列命题错误的是( )
A. 若，且，则
B. 若，，是平面内不共线三点，，，则
C. 若直线，直线，则与为异面直线
D. 若，是两个不同的点，且，则直线
4.如图，是水平放置的直观图，其中，轴，轴，则( )
A.
B.
C.
D.
5.已知在正四面体中，为的中点，则直线与所成角的余弦值为( )
A. B. C. D.
6.将函数的图象向左平移个单位长度，再将所得图象上所有点的横坐标伸长到原来的倍，纵坐标不变，得到曲线，则曲线( )
A. 关于直线对称 B. 关于直线对称
C. 关于对称 D. 关于对称
7.已知正三棱台的上底面与下底面的面积之比为：，当棱台的高为，体积为时，则此时正三棱台的侧面积为( )
A. B. C. D.
8.已知母线长为的圆锥的侧面展开图为半圆，在该圆锥内放置一个圆柱，则当圆柱的侧面积最大时，圆柱的体积为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知，是两个平面，，是两条直线，则下列说法正确的是( )
A. 若，，则
B. 若，，则
C. 若，，，则
D. 若，，，则
10.如图，正方体的棱长为，，是线段上的两个动点，且，则下列结论中正确的是( )
A.
B. 平面
C. 的面积与的面积相等
D. 三棱锥的体积为定值
11.某班级到一工厂参加社会实践劳动，加工出如图所示的圆台，在轴截面中，，且，下列说法正确的是( )
A. 圆台轴截面面积为
B. 圆台的体积为
C. 该圆台的表面积为
D. 沿着该圆台表面，从点到中点的最短距离为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.复数的共轭复数的模是______．
13.已知正四面体的四个顶点都在球心为的球面上，点为棱的中点，，过点作球的截面，则截面面积的最小值为______．
14.在正三棱锥中，点在棱上，且满足，，若，则三棱锥外接球的表面积为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知是函数的一个零点．
Ⅰ求实数的值；
Ⅱ求单调递减区间．
Ⅲ若，求函数的值域．
16.本小题分
已知，，分别为三个内角，，的对边，且．
求；
若，求的值；
若的面积为，，求的周长．
17.本小题分
如图，在四棱锥中，底面是正方形，侧棱底面，，是的中点，作交于点．
证明：平面；
证明：平面．
18.本小题分
如图，在正三棱柱中，点，分别在，上，，记正三棱柱的体积为．
求棱锥的体积结果用表示；
当时，
请在图中直接画出平面与平面的交线；不写过程，保留作图痕迹
求证：平面平面．
19.本小题分
十七世纪法国数学家、被誉为业余数学家之王的皮埃尔德费马提出的一个著名的几何问题：“已知一个三角形，求作一点，使其与这个三角形的三个顶点的距离之和最小”它的答案是：“当三角形的三个角均小于时，所求的点为三角形的正等角中心，即该点与三角形的三个顶点的连线两两成角；当三角形有一内角大于或等于时，所求点为三角形最大内角的顶点在费马问题中所求的点称为费马点已知，，分别是三个内角，，的对边，且，点为的费马点．
求角；
若，求的值；
若，求的取值范围．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.解：因为，
又解得；
Ⅱ由可得，
由得，
所以递减区间为，
Ⅲ因为，所以，
从而，所以值域为．
16.解：由正弦定理可得，
因，
所以，可得，
为三角形内角，，解得，，．
由已知，，所以，
，，
．
，，
由余弦定理得，
即，解得，
的周长为．
17.解：证明：连接，交于连接．
底面是正方形，点是的中点．
在中，是中位线，，
平面，且平面，
平面．
证明：底面，且底面，．
底面是正方形，，
平面平面，．
又，是的中点，平面．
平面，又，且，
平面．
18.解：根据题意可得梯形的面积等于矩形的面积的一半，
棱锥的体积为
；
分别延长，，且两延长线交，连接，则即为所求，图见解答；
证明：由知平面及为平面，且，
，
又正三棱柱中，底面，底面，
，又，且，平面，
平面，又平面，即平面，
平面平面．
19.解，
，
，
，
又，，
，是三角形内角，，
，，
，又，，
设，
，三角形的三个角均小于，
根据题意可得，
又，
，
，
．
由，
，
，
由余弦定理可得，
同理可得，，
相加得，
又，，所以，
，，，，
所以，又，
故∽，所以，
故，即，
，
，当且仅当时等号成立，
又，所以，
，
令，则，所以，
由于函数均为上的单调递增函数．
为上的单调递增函数，
，进而．
即的取值范围是．
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