2024-2025学年山东省日照市日照一中高二（上）第一次质检数学试卷（含答案）

2024-2025学年山东省日照一中高二（上）第一次质检数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.以的虚部为实部，以的实部为虚部的复数是( )
A. B. C. D.
2.已知空间向量，空间向量满足且，则( )
A. B. C. D.
3.在下列条件中，使与，，一定共面的是( )
A. B.
C. D.
4.在平行六面体中，为与的交点，若，，，则与相等的向量是( )
A.
B.
C.
D.
5.已知直四棱柱的棱长均为，以为球心，为半径的球面与侧面的交线长为( )
A. B. C. D.
6.在中，角，，的对边分别为，，，已知，若角的内角平分线的长为，则的最小值为( )
A. B. C. D.
7.如图，边长为的正方形沿对角线折叠，使，则三棱锥的体积为( )
A. B. C. D.
8.如图，水平桌面上放置一个棱长为的正方体水槽，水面高度恰为正方体棱长的一半，在该正方体侧面上有一个小孔，点到的距离为，若该正方体水槽绕倾斜始终在桌面上，则当水恰好流出时，侧面与桌面所成角的正切值为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.关于复数，下列说法正确的是( )
A.
B. 若，则的最小值为
C.
D. 若是关于的方程：的根，则
10.如图，在平行六面体中，已知，，为棱上一点，且，则( )
A.
B. 直线与所成角的余弦值为
C. 平面
D. 直线与平面所成角为
11.如图，在矩形中，，，，，是的中点，将沿着直线翻折得到记二面角的平面角为，当的值在区间范围内变化时，下列说法正确的有( )
A. 存在，使得
B. 存在，使得
C. 若四棱锥的体积最大时，点到平面的距离为
D. 若直线与所成的角为，则
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知空间向量，，若，则 ______．
13.设的三个内角，，的对边分别为，，，已知，，，则 ______．
14.如图，长方体中，，，点为线段上一点，则的最小值为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知是复数，和均为实数，，其中是虚数单位．
求复数的共轭复数；
若复数在复平面内对应的点在第一象限，求实数的取值范围．
16.本小题分
如图，在四棱锥中，平面平面，，，，，为棱的中点．
证明：平面；
求平面与平面夹角的余弦值．
17.本小题分
在中，角，，所对的边分别为，，，．
求角的大小；
若是锐角三角形，且其面积为，求边的取值范围．
18.本小题分
如图，在四棱锥中，平面平面，，，，，．
求证：平面平面；
设．
若直线与平面所成角的正弦值为，求线段的长．
在线段上是否存在点，使得点，，在以为球心的球上？若存在，求线段的长；若不存在，说明理由．
19.本小题分
在空间直角坐标系中，已知向量，点若平面以为法向量且经过点，则平面的点法式方程可表示为，一般式方程可表示为．
若平面：，平面：，直线为平面和平面的交线，求直线的单位方向向量写出一个即可；
若三棱柱的三个侧面所在平面分别记为、、，其中平面经过点，点，点，平面：，平面：，求出点到平面的距离；
已知集合，，，，
，，记集合中所有点构成的几何体的体积为，中所有点构成的几何体的体积为，集合中所有点构成的几何体为．
(ⅰ)求和的值；
(ⅱ)求几何体的体积和相邻两个面有公共棱所成二面角的余弦值．
参考答案
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15.解：设，则，
为实数，，解得，
为实数，
，解得，
，
；
由可知，，
复数在复平面内对应的点在第一象限，
，解得，
故实数的取值范围为．
16.解：证明：取的中点，连接，，
因为点为的中点，所以，，
又因为，，
所以，，
所以四边形为平行四边形，所以，
因为平面，平面，
所以平面．
因为，，，
所以，所以，
因为平面平面，且平面平面，平面，
所以平面，
又因为平面，平面，
所以，，因为，
以为坐标原点，以，，所在的直线分别为，，轴，建立空间直角坐标系，如图所示，
则，，，，，因为点为的中点，可得，
所以，
设平面的法向量为，
则，令，可得，，
所以，
又平面的一个法向量，
则，
所以平面与平面夹角的余弦值为．
17.解：因为，所以，
所以，
即，
所以，
所以或不成立，舍去，
所以，
又，所以．
由知，
因为是锐角三角形，所以，解得，
由正弦定理知，，
所以，，
所以，
所以，
设，
因为，
所以，
因为，所以，，
所以
所以，即
故边的取值范围是．
18.解：在四棱锥中，平面平面，，
平面，平面平面，
所以平面，
又平面，所以平面平面．
如图以为原点，以所在直线为轴，以所在直线为轴建立如图所示直角空间坐标系，
设，则，由，，，，
则，，因为，则，，
所以，，
设平面的法向量为，由，，
得，
可取，
设直线与平面所成角为，
则，，
即，
化简得：，
解得或，
即或．
如图，假设在线段上是否存在点，使得点，，在以为球心的球上，
由，得，所以，
所以，
又得，，所以，，
由得，
即，
亦即，
因为，所以方程无实数解，
所以线段上不存在点，使得点，，在以为球心的球上．
19.解：平面：的法向量为，
平面：的法向量为，
设平面与平面的交线的方向向量为，
则，
故可取，
故直线的一个单位方向向量为答案不唯一．
设平面：，
平面经过点，点，
点，故有，解得，
即：，
记平面、、的法向量分别为：，，，
设平面、的交线的方向向量为，
则，故，
依题，，
解得，故得：，其法向量为，
在平面内取点，
则，
于是，点到平面的距离为；
记集合，中所有点构成的几何体的体积分别为，，
考虑集合的子集，，，，
即为三个坐标平面与围成的四面体，
四面体四个顶点分别为，，，，
此四面体的体积为，
由对称性知，
考虑到的子集构成的几何体为棱长为的正方体，
即，，，
，，，，
为截去三棱锥后剩下的部分，
的体积，
三棱锥的体积为，
的体积为，
由对称性知．
记集合中所有点构成的几何体为，如图，
其中，正方体即为集合所构成的区域，
构成了一个正四棱锥，其中到面的距离为，
，
的体积，
由题意面的方程为，由题干定义知其法向量为，
平面方程为，由题干定义知其法向量为，
，
由图知两个相邻面所反的角为钝为，
所成二面角的余弦值为．
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