2024-2025学年广西-钦州市钦州四中高二（上）第一次月考数学试卷（含答案）

2024-2025学年广西钦州四中高二（上）第一次月考数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.某人练习射击，他脱靶的概率为，命中环，环，环，环，环的概率依次，，，，，则该人射击命中的概率为( )
A. B. C. D.
2.如图，正三角形内的图形来自中国古代的太极图．正三角形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正三角形的中心成中心对称．在正三角形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是( )
A.
B.
C.
D.
3.抛掷两枚骰子各一次，记第一枚骰子掷出的点数与第二枚骰子掷出的点数的差为，则“”表示试验的结果为( )
A. 第一枚为点，第二枚为点
B. 第一枚为点，第二枚为点或第一枚为点，第二枚为点
C. 第一枚为点，第二枚为点
D. 第一枚为点，第二枚为点
4.若，是相互独立事件，但不是互斥事件，则事件的概率是( )
A. B.
C. D.
5.某工厂师徒二人各加工相同型号的零件个，是否加工出精品均互不影响已知师傅加工一个零件是精品的概率为，师徒二人各加工个零件都是精品的概率为，则徒弟加工个零件都是精品的概率为( )
A. B. C. D.
6.数学上有种水仙花数，它是指各位数字的立方和等于其本身的三位数水仙花数共有个，其中仅有个在区间内，我们姑且称它为“水仙四妹”，则从集合，““水仙四妹”的个元素中任意取个，则这个数中含有“水仙四妹”，且其余两个数至少有一个比“水仙四妹”小的概率是( )
A. B. C. D.
7.为了防止受到核污染的产品影响我国民众的身体健康，有关部门要求产品在进入市场前必须进行两轮核辐射检测，只有两轮都合格才能进行销售，否则不能销售．已知某产品第一轮检测不合格的概率为，第二轮检测不合格的概率为，两轮检测是否合格相互之间没有影响，若产品可以销售，则每件产品获利元；若产品不能销售，则每件产品亏损元．已知一箱中有件产品，记一箱产品获利元，则等于( )
A. B. C. D.
8.许洋说：“本周我至少做完三套练习题”设许洋所说的事件为，则的对立事件为( )
A. 至多做完三套练习题 B. 至多做完两套练习题
C. 至多做完四套练习题 D. 至少做完两套练习题
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.对于事件，，下列命题正确的是( )
A. 如果，互斥，那么与也互斥
B. 如果，对立，那么与也对立
C. 如果，独立，那么与也独立
D. 如果，不独立，那么与也不独立
10.已知，，，则下列结论正确的是( )
A. B. C. D.
11.在一个古典概型中，若两个不同的随机事件，发生的概率相等，则称和是“等概率事件”，如：随机抛掷一个骰子一次，事件“点数为奇数”和“点数为偶数”是“等概率事件”关于“等概率事件”，以下判断正确的是( )
A. 在同一个古典概型中，所有的样本点之间都是“等概率事件”
B. 若一个古典概型的事件总数大于，则在这个古典概型中除样本点外没有其他“等概率事件”
C. 因为所有必然事件的概率都是，所以任意两个必然事件都是“等概率事件”
D. 同时抛掷三枚硬币一次，则事件“仅有一个正面”和“仅有两个正面”是“等概率事件”
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.在一次活动上，四位同学将自己准备好的一张贺卡放在纸箱中，随后每人随机从中抽取一张，则四位同学均未取到自己的贺卡的概率为______．
13.分别从，，，和，，，两组数字中随机各选择一个，则它们互素的概率是______．
14.甲、乙两人各有四张卡片，每张卡片上标有一个数字，甲的卡片上分别标有数字，，，，乙的卡片上分别标有数字，，，，两人进行四轮比赛，在每轮比赛中，两人各自从自己持有的卡片中随机选一张，并比较所选卡片上数字的大小，数字大的人得分，数字小的人得分，然后各自弃置此轮所选的卡片弃置的卡片在此后轮次中不能使用则四轮比赛后，甲的总得分为的概率为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知某种奖券的中奖率为，为了保证中奖概率大于，至少应该购买多少张奖券？
16.本小题分
同时抛掷两枚均匀的骰子，求：
掷出的点数中一个恰是另一个倍的概率；
掷出的点数相同的概率；
掷出的点数中一个是偶数，另一个是奇数的概率．
17.本小题分
战国时期，齐王与臣子田忌赛马，双方约定：
从各自上、中、下三等级马中各出一匹马；
每匹马参加且只参加一次比赛；
三场比赛后，以获胜场次多者为最终胜者．
已知高等级马一定强于低等级马，而在同等级马中，都是齐王的马强，求田忌赢得比赛的概率．
18.本小题分
，，，这名学生按任意次序站成一排，试求下列事件的概率：
在边上；
和都在边上；
或在边上；
与相邻；
在的左侧不一定相邻．
19.本小题分
从某学校的名男生中随机抽取名测量身高，被测学生身高全部介于和之间，将测量结果按如下方式分成八组：第一组，第二组，，第八组，如图是按上述分组方法得到的频率分布直方图的一部分，已知第一组与第八组人数相同，第六组的人数为人．
求第七组的频率；
估计该校的名男生的身高的平均数和中位数；
若从身高属于第六组和第八组的所有男生中随机抽取两名男生，记他们的身高分别为，，事件，求．
参考答案
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15.解：根据题意，设至少应该购买张奖券，可以保证中奖概率大于，
则有，
变形可得：，
又由，则．
故至少应该购买张奖券，可以保证中奖概率大于．
16.解：根据题意，同时抛掷两枚均匀的骰子，其掷出的点数有种情况，
列表如下：






设事件“掷出的点数中一个恰是另一个倍”，
事件包括的情况有种，即、、、、、；
则；
设事件“掷出的点数相同”，
事件包括种情况，即、、、、、；
则；
设事件“掷出的点数中一个是偶数，另一个是奇数”，
事件包括种情况，
则．
17.解：根据题意，三场比赛基本事件总数，
田忌赢得比赛包含的基本事件有种，即田忌下等马对齐王上等马，田忌上等马对齐王中等马，田忌中等马对齐王下等马，
故田忌赢得比赛的概率为．
18.解：根据题意，名学生排成一排，基本事件总数为种，
若在边上，有种排法，
则在边上的概率；
根据题意，名学生排成一排，基本事件总数为种，
若和都在边上，有种排法，
则和都在边上的概率；
根据题意，名学生排成一排，基本事件总数为种，
或在边上有种排法，
则或在边上的概率；
根据题意，名学生排成一排，基本事件总数为种，
与相邻的排法有种，
则与相邻的概率；
根据题意，名学生排成一排，基本事件总数为种，
在的左侧和在的右侧的排法相同，都是种，
则在的左侧的概率．
19.解：第六组的频率为，
第七组的频率为．
由直方图得，身高在第一组的频率为，
身高在第二组的频率为，
身高在第三组的频率为，
身高在第四组的频率为，
由于，，
设这所学校的名男生的身高中位数为，则，
由得，
所以这所学校的名男生的身高的中位数为，
平均数为．
第六组的抽取人数为，设所抽取的人为，，，，
第八组的抽取人数为，设所抽取的人为，，
则从中随机抽取两名男生有，，，，，，，，，，，，，，共种情况，
因事件发生当且仅当随机抽取的两名男生在同一组，
所以事件包含的基本事件为，，，，，，共种情况．
所以．
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