2024-2025学年广东省广州市广州八十九中高二（上）月考数学试卷（10月份）（含答案）

2024-2025学年广东省广州八十九中高二（上）月考数学试卷（10月份）
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知空间向量，，若两个向量互相垂直，则( )
A. B. C. D.
2.空间直角坐标系中，点关于点对称的点的坐标是( )
A. B. C. D.
3.如图，在四面体中，是的中点设，，，用，，表示，则( )
A.
B.
C.
D.
4.若向量垂直于向量和，向量且，，则( )
A. B.
C. 不平行于，也不垂直于 D. 以上三种情况都有可能
5.如图，在平行六面体中，，，，则( )
A.
B.
C.
D.
6.已知直线过定点，且方向量为，则点到的距离为( )
A. B. C. D.
7.把正方形纸片沿对角线折成直二面角，，，分别为，，的中点，则折纸后的大小为( )
A. B. C. D.
8.棱长为的正方体中，点在棱上运动，点在侧面上运动，满足平面，则线段的最小值为( )
A.
B.
C.
D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知空间中三点，，，则下列结论正确的有( )
A. B. 与共线的单位向量是
C. 与夹角的余弦值是 D. 平面的一个法向量是
10.给出下列命题，其中正确的命题是( )
A. 若，则，是钝角
B. 若为直线的方向向量，则也是直线的方向向量
C. 若，则可知
D. 在四面体中，若，，则
11.在正方体中，动点满足，其中，，且，则( )
A. 对于任意的，且，都有平面平面
B. 当时，三棱锥的体积为定值
C. 当时，存在点，使得
D. 当时，不存在点，使得平面
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知点，，，若，，三点共线，则 ______．
13.在长方体中，，，若为的中点，则点到面的距离是______．
14.如图，在长方体中，，，点在棱上，且，则当的面积取得最小值时其棱______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知向量，．
求的值；
求向量与夹角的余弦值．
16.本小题分
如图，四棱锥的底面是矩形，底面，，为的中点．
求证：平面；
求直线与平面所成角的正切值．
17.本小题分
如图，圆锥的轴截面是边长为的等边三角形，是的中点，是底面圆周上一点，．
求的值；
求异面直线与所成角的余弦值．
18.本小题分
如图，在长方体中，，为的中点．
求证：；
在棱上是否存在一点，使得平面？若存在，求的长；若不存在，说明理由；
若平面与平面夹角的大小为，求的长．
19.本小题分
如图，已知矩形中，，，为的中点，将沿折起，使得平面平面．
求证：平面平面；
若点是线段上的一动点，且，当二面角的余弦值为时，求的值．
参考答案
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15.解：已知向量，，
则，
则；
由已知可得：，，
则，
又，，
则向量与夹角的余弦值为．
16.解：证明：因为，为的中点，
所以，
因为四棱锥的底面是矩形，所以，
所以，所以，
因为，即，所以，
又因底面，平面，所以，
因为，，平面，所以平面；
因底面，所以，平面，
所以，，又因为矩形，所以，
则以为坐标原点，，，所在直线分别为，，轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，
所以，
设平面的法向量为，
则，令，得，，所以，
设直线与平面所成角为，，
所以，
则．
所以直线与平面所成角的正切值为．
17.解：中，，，，
根据余弦定理，．
如图，以点为原点，，为轴和轴，过点作为轴，建立空间直角坐标系，
，，，，
，，
设异面直线与所成角为，
则，
所以异面直线与所成角的余弦值为．
18.解：证明：在长方体中，以为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，
设，则，
于是，，
而，
则，
所以．
由知，，，
假设在棱上存在一点，使得平面，，
设平面的法向量，
则，则，
取，得，
要使平面，只要，即，解得，
又平面，
所以存在点，满足平面，此时．
连接，，由长方体及，得，
而，则，由知，
且，，平面，
则平面，即是平面的一个法向量，此时，
又平面与平面夹角的大小为，
则，解得，
所以的长为．
19.证明：因为为矩形，，，为的中点，
所以，所以，同理，
所以，
因为平面平面，平面平面，
又因为平面，
所以平面，
所以平面平面，所以平面平面．
解：取中点，取中点，连接、、，
，所以，
因为，所以，
因为平面平面，
所以，
所以、、两两垂直，
建立如图所示的空间直角坐标系，
，，
，设，
，
所以，
所以
，，
令，
因为，，
所以平面的法向量是，
平面的法向量是，
所以二面角的余弦值为，
解得．
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