2024-2025学年河南省南阳市六校高二上学期10月期中考试数学试题（含答案）
文档属性
| 名称 | 2024-2025学年河南省南阳市六校高二上学期10月期中考试数学试题（含答案） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 147.6KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 通用版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2024-11-05 09:22:35 | ||
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文档简介
2024-2025学年河南省南阳市六校高二上学期10月期中考试数学试题
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知直线的斜率为，则直线的一个方向向量的坐标为( )
A. B. C. D.
2.抛物线：的焦点坐标为( )
A. B. C. D.
3.已知三个顶点的坐标分别为，，，则边上的中线所在直线的方程为( )
A. B. C. D.
4.已知双曲线以两个坐标轴为对称轴，且经过点和，则的渐近线方程为( )
A. B. C. D.
5.“”是“直线与垂直”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
6.已知直线经过点，且与圆：相交于，两点，若，则直线的方程为( )
A. 或
B. 或
C. 或
D. 或
7.如图是某抛物线形拱桥的示意图，当水面处于位置时，拱顶离水面的高度为，水面宽度为，当水面上涨后，水面的宽度为( )
A. B. C. D.
8.已知双曲线：的左、右焦点分别为，，为双曲线上一点，若与恰好关于的一条渐近线对称，且，则的面积为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知曲线，则下列说法正确的是( )
A. 若，则曲线表示椭圆
B. 若曲线表示双曲线，则
C. 无论取何值，曲线都不能表示圆
D. 无论取何值，曲线都不能表示抛物线
10.在平面直角坐标系中，方程所表示的曲线记为曲线，由曲线构成的封闭图形记为，则下列说法正确的是( )
A. 图形为菱形
B. 图形的面积为
C. 若为曲线上的点，则
D. 曲线与椭圆有四个公共点
11.已知直线经过，两点，为上的动点，过点作圆：的两条切线，切点分别为，，且为圆上一点，则( )
A. B. 的值可以为
C. 的最小值为 D. 直线一定过坐标原点
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.若双曲线的焦距为，则实数的值为 ．
13.已知，两点，则以线段为直径的圆的标准方程为 ．
14.椭圆的光学性质：从椭圆的一个焦点发出的光线，经椭圆反射后，反射光线经过椭圆的另一个焦点．设椭圆的两个焦点分别为，．
若光线由发出经椭圆一次反射后到达，且入射光线、反射光线与轴恰好围成底边为，顶角为的等腰三角形，则的离心率为 ；
若光线由发出经椭圆两次反射后回到经过的路程为，点是椭圆上除顶点外的任意一点，在点处的切线为，在上的射影在圆上，则的短轴长为 ．
四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知点是圆：与轴的公共点，点是圆上到轴距离最大的点．
求直线的方程；
求经过，两点，且圆心在直线上的圆的标准方程．
16.本小题分
在平面直角坐标系中，点到点的距离比点到直线的距离小，记动点的轨迹为．
求的方程；
已知，是上不同的两点，，若，，三点共线，求的值．
17.本小题分
已知直线：．
若直线与平行，且，之间的距离为，求的方程；
为上一点，点，，求取得最大值时点的坐标．
18.本小题分
已知双曲线：的离心率为，且经过点．
求的方程；
若上两点，关于点对称，求直线的方程；
过的右焦点作两条互相垂直的直线和，且和分别与的右支交于点，和点，，设的斜率为，求四边形的面积用表示
19.本小题分
已知抛物线的焦点与椭圆：的一个焦点重合，且抛物线的准线被截得的弦长为．
求的方程．
过点作两条直线，分别与交于点，和点，，其中在的上方，在的上方．
若直线过点，且倾斜角为钝角，的面积为，证明：；
若是的中点，且，求直线的方程．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.或
15.解：由，解得，即，
显然轴，，点在轴上方，则，
所以直线的方程为，即．
由知，，，线段的中点为，而直线的斜率为，
因此线段的中垂线方程为，即，
由，解得，于是所求圆的圆心为，半径，
所以所求圆的标准方程为．
16.解：由点到点的距离比点到直线的距离小，
得点到点的距离等于点到直线的距离，
因此点的轨迹是以点为焦点，直线为准线的抛物线，
所以点的轨迹的方程为．
显然直线不垂直于轴，设其方程为，，
由消去得，恒成立，，
所以．
17.解：由直线与平行，设直线的方程为，
由，之间的距离为，得，解得或，
所以直线的方程为或．
设点关于直线：的对称点为，
则，解得，即，
而，当且仅当三点共线时取等号，
直线的方程为，即，
由，解得，点，
所以取得最大值时点的坐标．
18.解：依题意，双曲线：的离心率为，且经过点，
所以，解得，
所以双曲线的方程为．
依题意，上两点，关于点对称，
由，两式相减并化简得，
所以直线的方程为．
由消去得，，
因此直线必与双曲线有两个交点，所以直线的方程为．
根据题意，直线的斜率都存在且不为，双曲线的右焦点为，
设直线，其中，
因为均与的右支有两个交点，所以，所以，
将的方程与联立，可得．
设，则，
所以
，
同理，
所以，．
19.解：抛物线的焦点为，准线方程为，
依题意，，由消去得，则，
联立解得
所以椭圆的方程为．
直线不垂直于轴，设其方程为，，
由消去得，，
，轴，，
的面积
，解得，
而直线的倾斜角为钝角，则，由解得，
因此点，，
则，即，
所以．
由及是的中点，得，又点均在椭圆上，
则，整理得，即，
设点，由，得点是的中点，则，
同理得，因此点，的坐标都满足方程，
所以直线的方程为．
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一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知直线的斜率为，则直线的一个方向向量的坐标为( )
A. B. C. D.
2.抛物线：的焦点坐标为( )
A. B. C. D.
3.已知三个顶点的坐标分别为，，，则边上的中线所在直线的方程为( )
A. B. C. D.
4.已知双曲线以两个坐标轴为对称轴，且经过点和，则的渐近线方程为( )
A. B. C. D.
5.“”是“直线与垂直”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
6.已知直线经过点，且与圆：相交于，两点，若，则直线的方程为( )
A. 或
B. 或
C. 或
D. 或
7.如图是某抛物线形拱桥的示意图，当水面处于位置时，拱顶离水面的高度为，水面宽度为，当水面上涨后，水面的宽度为( )
A. B. C. D.
8.已知双曲线：的左、右焦点分别为，，为双曲线上一点，若与恰好关于的一条渐近线对称，且，则的面积为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知曲线，则下列说法正确的是( )
A. 若，则曲线表示椭圆
B. 若曲线表示双曲线，则
C. 无论取何值，曲线都不能表示圆
D. 无论取何值，曲线都不能表示抛物线
10.在平面直角坐标系中，方程所表示的曲线记为曲线，由曲线构成的封闭图形记为，则下列说法正确的是( )
A. 图形为菱形
B. 图形的面积为
C. 若为曲线上的点，则
D. 曲线与椭圆有四个公共点
11.已知直线经过，两点，为上的动点，过点作圆：的两条切线，切点分别为，，且为圆上一点，则( )
A. B. 的值可以为
C. 的最小值为 D. 直线一定过坐标原点
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.若双曲线的焦距为，则实数的值为 ．
13.已知，两点，则以线段为直径的圆的标准方程为 ．
14.椭圆的光学性质：从椭圆的一个焦点发出的光线，经椭圆反射后，反射光线经过椭圆的另一个焦点．设椭圆的两个焦点分别为，．
若光线由发出经椭圆一次反射后到达，且入射光线、反射光线与轴恰好围成底边为，顶角为的等腰三角形，则的离心率为 ；
若光线由发出经椭圆两次反射后回到经过的路程为，点是椭圆上除顶点外的任意一点，在点处的切线为，在上的射影在圆上，则的短轴长为 ．
四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知点是圆：与轴的公共点，点是圆上到轴距离最大的点．
求直线的方程；
求经过，两点，且圆心在直线上的圆的标准方程．
16.本小题分
在平面直角坐标系中，点到点的距离比点到直线的距离小，记动点的轨迹为．
求的方程；
已知，是上不同的两点，，若，，三点共线，求的值．
17.本小题分
已知直线：．
若直线与平行，且，之间的距离为，求的方程；
为上一点，点，，求取得最大值时点的坐标．
18.本小题分
已知双曲线：的离心率为，且经过点．
求的方程；
若上两点，关于点对称，求直线的方程；
过的右焦点作两条互相垂直的直线和，且和分别与的右支交于点，和点，，设的斜率为，求四边形的面积用表示
19.本小题分
已知抛物线的焦点与椭圆：的一个焦点重合，且抛物线的准线被截得的弦长为．
求的方程．
过点作两条直线，分别与交于点，和点，，其中在的上方，在的上方．
若直线过点，且倾斜角为钝角，的面积为，证明：；
若是的中点，且，求直线的方程．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.或
15.解：由，解得，即，
显然轴，，点在轴上方，则，
所以直线的方程为，即．
由知，，，线段的中点为，而直线的斜率为，
因此线段的中垂线方程为，即，
由，解得，于是所求圆的圆心为，半径，
所以所求圆的标准方程为．
16.解：由点到点的距离比点到直线的距离小，
得点到点的距离等于点到直线的距离，
因此点的轨迹是以点为焦点，直线为准线的抛物线，
所以点的轨迹的方程为．
显然直线不垂直于轴，设其方程为，，
由消去得，恒成立，，
所以．
17.解：由直线与平行，设直线的方程为，
由，之间的距离为，得，解得或，
所以直线的方程为或．
设点关于直线：的对称点为，
则，解得，即，
而，当且仅当三点共线时取等号，
直线的方程为，即，
由，解得，点，
所以取得最大值时点的坐标．
18.解：依题意，双曲线：的离心率为，且经过点，
所以，解得，
所以双曲线的方程为．
依题意，上两点，关于点对称，
由，两式相减并化简得，
所以直线的方程为．
由消去得，，
因此直线必与双曲线有两个交点，所以直线的方程为．
根据题意，直线的斜率都存在且不为，双曲线的右焦点为，
设直线，其中，
因为均与的右支有两个交点，所以，所以，
将的方程与联立，可得．
设，则，
所以
，
同理，
所以，．
19.解：抛物线的焦点为，准线方程为，
依题意，，由消去得，则，
联立解得
所以椭圆的方程为．
直线不垂直于轴，设其方程为，，
由消去得，，
，轴，，
的面积
，解得，
而直线的倾斜角为钝角，则，由解得，
因此点，，
则，即，
所以．
由及是的中点，得，又点均在椭圆上，
则，整理得，即，
设点，由，得点是的中点，则，
同理得，因此点，的坐标都满足方程，
所以直线的方程为．
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