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【中考真题 高分必刷题】3年中考数学真题分类汇编（基础版）
专题02 整式及其运算
本专题汇编2022~2024年三年中考真题，把3年中考中常考题型汇编成每个小专题进行分类突破，对于考生来说，最具有针对性的题型就是中考真题，让考生熟悉中考的考点以及重难点。
1．（2023·江苏·中考真题）若圆柱的底面半径和高均为，则它的体积是 （用含的代数式表示）．
【答案】
【详解】根据圆柱的体积圆柱的底面积圆柱的高，可得
．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查代数式和整式的乘法运算，牢记整式乘法的运算性质是解题的关键．
2．（2023·吉林长春·中考真题）2023长春马拉松于5月21日在南岭体育场鸣枪开跑，某同学参加了7.5公里健康跑项目，他从起点开始以平均每分钟x公里的速度跑了10分钟，此时他离健康跑终点的路程为 公里．（用含x的代数式表示）
【答案】
【分析】根据题意列出代数式即可．
【详解】根据题意可得，
他离健康跑终点的路程为．
故答案为：．
【点睛】此题考查了列代数式，解题的关键是读懂题意．
3．（2023·河南·中考真题）某校计划给每个年级配发n套劳动工具，则3个年级共需配发 套劳动工具．
【答案】
【分析】根据总共配发的数量年级数量每个年级配发的套数，列代数式．
【详解】解：由题意得：3个年级共需配发得套劳动工具总数为：套，
故答案为：．
【点睛】本题考查了列代数式，解答本题的关键是读懂题意，找出合适的等量关系，列代数式．
4．（2022·黑龙江绥化·中考真题）某班为奖励在数学竞赛中成绩优异的同学，花费48元钱购买了甲、乙两种奖品，每种奖品至少购买1件，其中甲种奖品每件4元，乙种奖品每件3元，则有 种购买方案．
【答案】3/三
【分析】设购买甲种奖品x件，乙种奖品y件，列出关系式，并求出，由于，且x，y都是正整数，所以y是4的整数倍，由此计算即可．
【详解】解：设：购买甲种奖品x件，乙种奖品y件，
，解得，
∵，且x，y都是正整数，
∴y是4的整数倍，
∴时，，
时，，
时，，
时，，不符合题意，
故有3种购买方案，
故答案为：3．
【点睛】本题考查列关系式，根据题意判断出y是4的整数倍是解答本题的关键．
5．（2022·吉林·中考真题）篮球队要购买10个篮球，每个篮球元，一共需要 元．（用含的代数式表示）
【答案】
【分析】根据“总费用购买篮球的数量每个篮球的价格”即可得．
【详解】解：由题意得：一共需要的费用为元，
故答案为：．
【点睛】本题考查了列代数式，正确找出等量关系是解题关键．
6．（2024·西藏·中考真题）若x与y互为相反数，z的倒数是，则的值为（ ）
A． B． C．9 D．1
【答案】D
【分析】本题考查了相反数、倒数、求代数式的值，根据相反数和倒数的定义得出，，将式子变形为，整体代入计算即可得解，熟练掌握相反数、倒数的定义是解此题的关键．
【详解】解：∵x与y互为相反数，z的倒数是，
∴，，
∴，
故选：D．
7．（2024·山东济宁·中考真题）已知，则的值是 ．
【答案】2
【分析】本题考查了代数式的求值，解题的关键是熟练掌握整体思想的运用．根据对已知条件进行变形得到，代入进而即可求解
【详解】解：，
，
故答案为：2
8．（2024·广东广州·中考真题）若，则 ．
【答案】11
【分析】本题考查了已知字母的值求代数式的值，得出条件的等价形式是解题关键．
由，得，根据对求值式子进行变形，再代入可得答案．
【详解】解：，
，
，
故答案为：11．
9．（2024·江苏苏州·中考真题）若，则 ．
【答案】4
【分析】本题考查了求代数式的值，把整体代入化简计算即可．
【详解】解：∵，
∴
，
故答案为：4．
10．（2022·四川攀枝花·中考真题）下列各式不是单项式的为（ ）
A．3 B．a C． D．
【答案】C
【分析】数或字母的积组成的式子叫做单项式，根据单项式的定义进行判断即可．
【详解】解：A、3是单项式，故本选项不符合题意；
B、a是单项式，故本选项不符合题意；
C、不是单项式，故本选项符合题意；
D、是单项式，故本选项不符合题意；
故选：C．
【点睛】此题考查了单项式，熟练掌握单项式的定义是解题的关键．
11．（2024·吉林长春·中考真题）单项式的次数是 ．
【答案】
【分析】此题考查单项式有关概念，根据单项式次数的定义来求解，解题的关键是需灵活掌握单项式的系数和次数的定义，单项式中数字因数叫做单项式的系数，所有字母的指数和叫做这个单项式的次数．
【详解】单项式的次数是：，
故答案为：．
12．（2024·山东泰安·中考真题）单项式的次数是 ．
【答案】
【分析】根据单项式次数的定义进行解答即可．
【详解】解：单项式中，的指数是，的指数是，
∴此单项式的次数为：．
故答案为：．
【点睛】本题考查单项式的次数，一个单项式中所有字母的指数的和叫做单项式的次数．理解和掌握单项式次数的定义是解题的关键．
13．（2023·江西·中考真题）单项式的系数为 ．
【答案】
【分析】根据单项式系数的定义：单项式中的数字因数，得出结果即可．
【详解】解：单项式的系数是．
故答案是：．
【点睛】本题考查单项式的系数，解题的关键是掌握单项式系数的定义．
14．（2022·广东·中考真题）单项式的系数为 ．
【答案】3
【分析】单项式中数字因数叫做单项式的系数，从而可得出答案．
【详解】的系数是3，
故答案为：3．
【点睛】此题考查了单项式的知识，解答本题的关键是掌握单项式系数的定义．
15．（2024·山东日照·中考真题）在数学活动课上，老师给出了一个数字构造游戏：对于给定的一列有序数字，在每相邻两个数之间插入这两数的和，形成新的一列有序数字．现有一列数：，进行第1次构造，得到新的一列数：，第2次构造后，得到一列数：，…，第n次构造后得到一列数：，记．某小组经过讨论得出如下结论，错误的是（ ）
A． B．为偶数 C． D．
【答案】D
【分析】本题主要考查了数字类的规律探索，先求出的值，以及对应的k值，可得规律，此时，据此可判断A、C、D；再证明是偶数即可判断B．
【详解】解：由题意得，此时，
，此时，
第3次构造后得到的一列数为，
∴，此时，故A正确，不符合题意；
同理可得，此时，
……，
以此类推可知，，此时，故D错误，符合题意
∴，，故C正确，不符合题意；
∵是偶数，
∴是偶数，
∴是偶数，
∴是偶数，
∴是偶数，
以此类推，也是偶数，
∴为偶数，故B正确，不符合题意；
故选：D．
16．（2024·江苏徐州·中考真题）观察下列各数：3、8、18、38、…，按此规律，第5～7个数可能为（ ）
A．48、58、68 B．58、78、98 C．76、156、316 D．78、158、318
【答案】D
【分析】本题主要考查了数字的变化规律，题目难度不大，通过观察、分析、归纳并发现其中的规律，并应用发现的规律解决问题是解答该题的关键．根据题意得出已知数组的规律得出结果即可
【详解】解：∵，
，
，
∴第5个数为，
第6个数为，
第7个数为，
故选：D．
17．（2024·江苏扬州·中考真题）1202年数学家斐波那契在《计算之书》中记载了一列数：1，1，2，3，5，……，这一列数满足：从第三个数开始，每一个数都等于它的前两个数之和．则在这一列数的前2024个数中，奇数的个数为（ ）
A．676 B．674 C．1348 D．1350
【答案】D
【分析】将这一列数继续写下去，发现这列数的变化规律即可解答．
本题主要考查的是数字规律类问题，发现这列数的变化规律是解题的关键．
【详解】这一列数为：1，1，2，3，5，8，13，21，34，…
可以发现每3个数为一组，每一组前2个数为奇数，第3个数为偶数．
由于，
即前2024个数共有674组，且余2个数，
∴奇数有个．
故选：D
18．（2024·四川德阳·中考真题）将一组数，按以下方式进行排列：
则第八行左起第1个数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了数字类规律探索，正确归纳类推出一般规律是解题关键．求出第七行共有28个数，从而可得第八行左起第1个数是第29个数，据此求解即可得．
【详解】解：由图可知，第一行共有1个数，第二行共有2个数，第三行共有3个数，
归纳类推得：第七行共有个数，
则第八行左起第1个数是，
故选：C．
19．（2024·山东潍坊·中考真题）将连续的正整数排成如图所示的数表．记为数表中第行第列位置的数字，如，，．若，则 ， ．
【答案】 45 2
【分析】本题考查了规律型：数字的变化类，解题的关键是找出规律：当正整数为时，若为奇数，则在第行，第1列，下一个数再下一行，上一个数在第2列；若为偶数，则在第1行，第列，下一个数再下一列，上一个数在第2行．
【详解】解：由图中排布可知，当正整数为时，
若为奇数，则在第行，第1列，下一个数再下一行，上一个数在第2列；
若为偶数，则在第1行，第列，下一个数再下一列，上一个数在第2行；
∵，
而，在第行，第1列，
∴2024在第行，第2列，
∴，，
故答案为：45，2．
20．（2024·四川成都·中考真题）在综合实践活动中，数学兴趣小组对这个自然数中，任取两数之和大于的取法种数进行了探究．发现：当时，只有一种取法，即；当时，有和两种取法，即；当时，可得；……．若，则的值为 ；若，则的值为 ．
【答案】 9 144
【分析】本题考查数字类规律探究，理解题意，能够从特殊到一般，得到当n为偶数或奇数时的不同取法是解答的关键．先根据前几个n值所对应k值，找到变化规律求解即可．
【详解】解：当时，只有一种取法，则；
当时，有和两种取法，则；
当时，有，，，四种取法，则；
故当时，有，，，，，六种取法，则；
当时，有，，，，，，，，九种取法，则；
依次类推，
当n为偶数时，，
故当时，，
故答案为：9，144．
21．（2024·山东济宁·中考真题）如图，用大小相等的小正方形按照一定规律拼正方形．第一幅图有1个正方形，第二幅图有5个正方形，第三幅图有14个正方形……按照此规律，第六幅图中正方形的个数为（ ）
A．90 B．91 C．92 D．93
【答案】B
【分析】本题主要考查了规律型问题，解题的关键是仔细观察图形并找到有关图形个数的规律．仔细观察图形知道第1个图形有1个正方形，第2个有个，第3个图形有个，…由此得到规律求得第6个图形中正方形的个数即可．
【详解】第1个图形有1个正方形，
第2个图形有个正方形，
第3个图形有个正方形，
……
第6个图形有（个）正方形，
故选：B.
22．（2024·黑龙江牡丹江·中考真题）如图是由一些同样大小的三角形按照一定规律所组成的图形，第1个图有4个三角形．第2个图有7个三角形，第3个图有10个三角形……按照此规律排列下去，第674个图中三角形的个数是（ ）
A．2022 B．2023 C．2024 D．2025
【答案】B
【分析】此题考查了图形的变化规律，解题的关键是根据图形的排列，归纳出图形的变化规律．根据前几个图形的变化发现规律，可用含n的代数式表示出第n个图形中三角形的个数，从而可求第674个图形中三角形的个数．
【详解】解：第1个图案有4个三角形，即，
第2个图案有7个三角形，即，
第3个图案有10个三角形，即，
…，
按此规律摆下去，第n个图案有个三角形，
则第674个图案中三角形的个数为：（个）．
故选：B．
23．（2023·四川绵阳·中考真题）如下图，将形状、大小完全相同的“●”和线段按照一定规律摆成以下图形，第1幅图形中“●”的个数为，第2幅图形中“●”的个数为，第3幅图形中“●”的个数为，…，以此类推，那么的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】首先根据图形中“●”的个数得出数字变化规律，进而求解即可．
【详解】解：，
，
，
，
…，
；
∴
，
故选∶C．
【点睛】此题考查图形的变化规律，找出图形之间的联系，找出规律是解题的关键．
24．（2024·四川凉山·中考真题）阅读下面材料，并解决相关问题：
下图是一个三角点阵，从上向下数有无数多行，其中第一行有1个点，第二行有2个点……第行有个点……
容易发现，三角点阵中前4行的点数之和为10．
(1)探索：三角点阵中前8行的点数之和为_____，前15行的点数之和为______，那么，前行的点数之和为______
(2)体验：三角点阵中前行的点数之和______（填“能”或“不能”）为500．
(3)运用：某广场要摆放若干种造型的盆景，其中一种造型要用420盆同样规格的花，按照第一排2盆，第二排4盆，第三排6盆……第排盆的规律摆放而成，则一共能摆放多少排？
【答案】(1)36；120；
(2)不能
(3)一共能摆放20排．
【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
（1）根据图形，总结规律，列式计算即可求解；
（2）根据前n行的点数和是500，即可得出关于n的一元二次方程，解之即可判断；
（2）先得到前n行的点数和是，再根据题意得出关于n的一元二次方程，解之即可得出n的值．
【详解】（1）解：三角点阵中前8行的点数之和为，
前15行的点数之和为，
那么，前行的点数之和为；
故答案为：36；120；；
（2）解：不能，
理由如下：
由题意得，
得，
，
∴此方程无正整数解，
所以三角点阵中前n行的点数和不能是500；
故答案为：不能；
（3）解：同理，前行的点数之和为，
由题意得，
得，即，
解得或（舍去），
∴一共能摆放20排．
25．（2024·西藏·中考真题）如图是由若干个大小相同的“”组成的一组有规律的图案，其中第1个图案用了2个“”，第2个图案用了6个“”，第3个图案用了12个“”，第4个图案用了20个“”，……，依照此规律，第n个图案中“”的个数为 （用含n的代数式表示）．
【答案】
【分析】
本题考查了图形类规律，根据图形规律求得第n个图案中“”的个数为，解题的关键是明确题意，发现题目中个数的变化规律．
【详解】
解：∵第1个图案用了个“”，
第2个图案用了个“”，
第3个图案用了个“”，
第4个图案用了个“”，
……，
∴第n个图案中“”的个数为，
故答案为：．
26．（2024·青海·中考真题）如图是由火柴棒摆成的图案，按此规律摆放，第（7）个图案中有 个火柴棒．
【答案】15
【分析】本题考查图形类规律探究．根据题意得到第（1）、（2）、（3）个图形中火柴棒的数量，由此可得第（n）个图形有根火柴棒，即可．
【详解】解：根据题意得：第（1）个图形有根火柴棒，
第（2）个图形有根火柴棒，
第（3）个图形有根火柴棒，
……
第（n）个图形有根火柴棒，
∴第（7）个图案中有根火柴棒，
故答案为：15
27．（2023·四川资阳·中考真题）下列计算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】本题考查整式的运算，根据合并同类项，平方差公式，单项式乘单项式，幂的乘方的法则，逐一进行计算，判断即可．
【详解】解：A．与不能合并，原式计算错误，故A不符合题意；
B．，原式计算正确，故B符合题意；
C．，原式计算错误，故C不符合题意；
D．，原式计算错误，故D不符合题意；
故选：B．
28．（2024·江苏徐州·中考真题）下列运算正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查合并同类项、同底数幂的乘法、幂的乘方、同底数幂的除法，熟练掌握运算性质和法则是解题的关键．根据合并同类项法则；同底数幂相乘，底数不变，指数相加；幂的乘方，底数不变，指数相乘；同底数幂相除，底数不变，指数相减，对各选项分析判断后利用排除法求解．
【详解】解：A、，故此选项不符合题意；
B、，故此选项不符合题意；
C、，故此选项不符合题意；
D、，故此选项符合题意；
故选：D．
29．（2024·西藏·中考真题）下列运算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根据合并同类项、单项式乘以多项式、幂的乘方与积的乘方、单项式乘以单项式的运算法则逐项判断即可得出答案．
【详解】解：A、，故原选项计算错误，不符合题意；
B、，故原选项计算错误，不符合题意；
C、，故原选项计算正确，符合题意；
D、，故原选项计算错误，不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题考查了合并同类项、单项式乘以多项式、幂的乘方与积的乘方、单项式乘以单项式，熟练掌握运算法则是解此题的关键．
30．（2024·山东德州·中考真题）下列运算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】此题考查了合并同类项、单项式乘以多项式、同底数幂乘法、完全平方公式等知识，根据运算法则进行计算即可作出判断即可．
【详解】A. ，故选项错误，不符合题意；
B. ，故选项错误，不符合题意；
C. ，故选项正确，符合题意；
D. ，故选项错误，不符合题意；
故选：C．
31．（2024·山东日照·中考真题）下列计算正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查幂的运算及整式加减，解题关键是熟练掌握运算法则．
根据幂的运算法则，整式加减运算法则逐选项判断即可．
【详解】解：A．，该选项错误，不符合题意；
B．与不是同类项，不能合并，该选项错误，不符合题意；
C．，该选项错误，不符合题意；
D．，该选项正确，符合题意．
故选D．
32．（2024·海南·中考真题）下列计算中，正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题主要考查了幂的乘方和积的乘方计算，同底数幂除法计算，合并同类项，熟知相关计算法则是解题的关键．
【详解】解：A、，原式计算错误，不符合题意；
B、，原式计算错误，不符合题意；
C、，原式计算正确，符合题意；
D、与不是同类项，不能合并，原式计算错误，不符合题意；
故选：C．
33．（2024·四川德阳·中考真题）若一个多项式加上，结果是，则这个多项式为 ．
【答案】
【分析】本题考查整式的加减运算，根据题意“一个多项式加上，结果是”，进行列出式子：，再去括号合并同类项即可．
【详解】解：依题意这个多项式为
．
故答案为：
34．（2022·内蒙古包头·中考真题）若一个多项式加上，结果得，则这个多项式为 ．
【答案】
【分析】设这个多项式为A，由题意得：，求解即可．
【详解】设这个多项式为A，由题意得：，
，
故答案为：．
【点睛】本题考查了整式的加减，准确理解题意，列出方程是解题的关键．
35．（2022·山东德州·中考真题）已知 ，（a 为任意实数），则的值（ ）
A．小于 0 B．等于 0 C．大于 0 D．无法确定
【答案】C
【分析】本题主要考查了非负数的性质．熟练掌握整式的加减，完全平方式与配方法，非负数的性质，是解题的关键．
根据完全平方式利用配方法把的代数式变形，根据偶次方的非负性判断即可．
【详解】
，
∵，
∴，
∴大于0，
故选：C．
36．（2023·湖北宜昌·中考真题）在日历上，某些数满足一定的规律．如图是某年8月份的日历，任意选择其中所示的含4个数字的方框部分，设右上角的数字为a，则下列叙述中正确的是（ ）．
日 一 二 三 四 五 六
1 2 3 4
5 6 7 8 9 10 11
12 13 14 15 16 17 18
19 20 21 22 23 24 25
26 27 28 29 30 31
A．左上角的数字为 B．左下角的数字为
C．右下角的数字为 D．方框中4个位置的数相加，结果是4的倍数
【答案】D
【分析】根据日历中的数字规律：同一行中后面的数字比它前面的大1，同一列中上一行比下一行的大7，然后用含a的式子表示其余三个数，表达规律即可．
【详解】解：日历中的数字规律：同一行中后面的数字比它前面的大1，同一列中上一行比下一行的大7，
任意选择其中所示的含4个数字的方框部分，设右上角的数字为a，则有：
左上角的数字为，故选项A错误，不符合题意；
左下角的数字为，故选项B错误，不符合题意；
右下角的数字为，故选项C错误，不符合题意；
把方框中4个位置的数相加，即：，结果是4的倍数，故选项D正确；
故选：D．
【点睛】本题考查整式的混合运算和列代数式，解题的关键是掌握整式相关运算的法则．
37．（2023·四川泸州·中考真题）若一个菱形的两条对角线长分别是关于的一元二次方程的两个实数根，且其面积为11，则该菱形的边长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据一元二次方程根与系数的关系，得到，根据菱形的面积得到，利用勾股定理以及完全平方公式计算可得答案．
【详解】解：设方程的两根分别为a，b，
∴，
∵a，b分别是一个菱形的两条对角线长，已知菱形的面积为11，
∴，即，
∵菱形对角线垂直且互相平分，
∴该菱形的边长为
，故C正确．
故选：C．
【点睛】本题考查了根与系数的关系以及菱形的性质，完全平方公式，利用根与系数的关系得出是解题的关键．
38．（2024·甘肃·中考真题）先化简，再求值：，其中，．
【答案】，
【分析】本题主要考查了整式的化简求值，先根据平方差公式和完全平方公式去小括号，然后合并同类项，再根据多项式除以单项式的计算法则化简，最后代值计算即可．
【详解】解：
，
当，时，原式．
39．（2024·四川南充·中考真题）先化简，再求值：，其中．
【答案】，
【分析】本题主要考查了整式的化简求值，运用完全平方公式展开，先算除法，再算加减法，最后代入求值即可．
【详解】解：原式
，
当时，原式．
40．（2023·山东淄博·中考真题）先化简，再求值：，其中，．
【答案】 ；
【分析】直接利用整式的混合运算法则化简进而合并得出答案．
【详解】原式
,
当 时,
原式 ．
【点睛】此题主要考查了整式的混合运算二次根式的运算，正确合并同类项是解题关键．
41．（2023·四川南充·中考真题）先化简，再求值：，其中．
【答案】；
【分析】先用平方差公式、完全平方公式展开，再去括号、合并同类项进行化简，最后代入求值．
【详解】
当时
原式
【点睛】本题考查平方差公式、完全平方公式、整式的化简求值，熟练进行整式的化简是解题的关键．
42．（2023·四川凉山·中考真题）先化简，再求值：，其中，．
【答案】，
【分析】根据，，单项式乘以多项式法则进行展开，再加减运算，代值计算即可．
【详解】解：原式
．
当，时，
原式
．
【点睛】本题考查了化简求值问题，完全平方公式、平方差公式，单项式乘以多项式法则，掌握公式及法则是解题的关键．
43．（2022·内蒙古·中考真题）先化简，再求值：，其中．
【答案】，
【分析】分式的混合运算，根据加减乘除的运算法则化简分式，代入求值即可求出答案．
【详解】解：原式
当时，原式，
故答案是： ．
【点睛】本题主要考查分式的化简求值，掌握分式的混合运算法则即可，包括完全平方公式，能约分的要约分等，理解和掌握乘法公式，分式的乘法，除法法则是解题的关键．
44．（2022·湖北荆门·中考真题）已知x+＝3，求下列各式的值：
(1)（x﹣）2；
(2)x4+．
【答案】(1)5
(2)47
【分析】（1）由＝、＝，进而得到﹣4x 即可解答；
（2）由＝可得=7，又＝，进而得到＝﹣2即可解答．
【详解】（1）解：∵＝
∴＝
＝
＝﹣4x
＝32﹣4
＝5．
（2）解：∵＝，
∴
＝+2
＝5+2
＝7，
∵＝，
∴
＝﹣2
＝49﹣2
＝47．
【点睛】本题主要考查通过对完全平方公式的变形求值．熟练掌握完全平方公式并能灵活运用是解答本题的关键．
45．（2022·江苏南通·中考真题）已知实数m，n满足，则的最大值为（ ）
A．24 B． C． D．
【答案】B
【分析】先将所求式子化简为，然后根据及求出，进而可得答案．
【详解】解：
；
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴的最大值为，
故选：B．
【点睛】本题考查了完全平方公式、平方差公式的应用，不等式的性质，正确对所求式子化简并求出的取值范围是解题的关键．
46．（2024·四川乐山·中考真题）已知，，则 ．
【答案】
【分析】本题考查了完全平方公式的变形．熟练掌握完全平方公式的变形是解题的关键．
根据，计算求解即可．
【详解】解：由题意知，，
故答案为：．
47．（2023·江苏宿迁·中考真题）若实数m满足，则 ．
【答案】
【分析】根据完全平方公式得，再代值计算即可．
【详解】解：
故答案为：．
【点睛】本题考查完全平方公式的应用，求代数式值，掌握完全平方公式及其变式是解题本题的关键．
48．（2024·黑龙江大庆·中考真题）已知，则的值是 ．
【答案】3
【分析】根据，通过平方变形可以求得所求式子的值．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∴，
故答案为：3．
【点睛】本题考查分式的化简求值，解答本题的关键是熟练掌握完全平方公式．
49．（2024·江苏南通·中考真题）“赵爽弦图”巧妙利用面积关系证明了勾股定理．如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等直角三角形和中间的小正方形拼成的一个大正方形．设直角三角形的两条直角边长分别为m，．若小正方形面积为5，，则大正方形面积为（ ）
A．12 B．13 C．14 D．15
【答案】B
【分析】本题考查勾股定理的证明，解题的关键是熟练运用勾股定理以及完全平方公式，本题属于基础题型．由题意可知，中间小正方形的边长为，根据勾股定理以及题目给出的已知数据即可求出大正方形的面积为．
【详解】解：由题意可知，中间小正方形的边长为，
∴，即①，
∵，
∴②，
①②得，
∴大正方形的面积，
故选：B．
50．（2024·四川眉山·中考真题）如图，图1是北京国际数学家大会的会标，它取材于我国古代数学家赵爽的“弦图”，是由四个全等的直角三角形拼成．若图1中大正方形的面积为24，小正方形的面积为4，现将这四个直角三角形拼成图2，则图2中大正方形的面积为（ ）
A．24 B．36 C．40 D．44
【答案】D
【分析】本题考查勾股定理，设直角三角形的两直角边为 ， ，斜边为 ，根据图1，结合已知条件得到，，进而求出的值，再进一步求解即可.
【详解】解：如图，直角三角形的两直角边为，，斜边为，
图1中大正方形的面积是24，
，
小正方形的面积是4，
，
，
图2中最大的正方形的面积；
故选：D．
51．（2023·四川攀枝花·中考真题）我们可以利用图形中的面积关系来解释很多代数恒等式．给出以下4组图形及相应的代数恒等式：
① ②
③ ④
其中，图形的面积关系能正确解释相应的代数恒等式的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】D
【分析】观察各个图形及相应的代数恒等式即可得到答案．
【详解】解：图形的面积关系能正确解释相应的代数恒等式的有①②③④，
故选：．
【点睛】本题考查用图形面积解释代数恒等式，解题的关键是用两种不同的方法表示同一个图形的面积．
52．（2022·广西·中考真题）如图，是利用割补法求图形面积的示意图，下列公式中与之相对应的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】根据大正方形的面积=边长为a的正方形的面积+两个长为a，宽为b的长方形的面积+边长为b的正方形的面积，即可解答．
【详解】根据题意得：(a+b)2=a2+2ab+b2，
故选：A．
【点睛】本题考查了完全平方公式的几何背景，用整体和部分两种方法表示面积是解题的关键．
53．（2023·浙江·中考真题）如图，分别以为边长作正方形，已知且满足，．
（1）若，则图1阴影部分的面积是 ；
（2）若图1阴影部分的面积为，图2四边形的面积为，则图2阴影部分的面积是 ．
【答案】
【分析】（1）根据正方形的面积公式进行计算即可求解；
（2）根据题意，解方程组得出，根据题意得出，进而得出，根据图2阴影部分的面积为，代入进行计算即可求解．
【详解】解：（1） ，图1阴影部分的面积是，
故答案为：．
（2）∵图1阴影部分的面积为3，图2四边形的面积为，
∴，，即
∴（负值舍去）
∵，．
解得：
∵①
∴，
∴，
∴②
联立①②解得：（为负数舍去）或
∴，
图2阴影部分的面积是
故答案为：．
【点睛】本题考查了整式的乘方与图形的面积，正方形的性质，勾股定理，二元一次方程组，解一元二次方程，正确的计算是解题的关键．
54．（2024·江苏徐州·中考真题）若，，则代数式的值是 ．
【答案】2
【分析】本题考查代数式求值．先将代数式进行因式分解，然后将条件代入即可求值．
【详解】解：∵，，
，
故答案为：2．
55．（2024·江苏镇江·中考真题）分解因式： ．
【答案】
【分析】主要考查提公因式法分解因式，此题属于基础题．观察原式，发现公因式为；提出后，即可得出答案．
【详解】解：
．
故答案为：
56．（2024·浙江·中考真题）因式分解：
【答案】
【分析】本题考查了提公因式法因式分解，先提公因式是解题的关键．
【详解】解：．
故答案为：．
57．（2024·山东·中考真题）因式分解： ．
【答案】
【分析】本题考查了因式分解，直接提取公因式即可．
【详解】解：原式，
故答案为： ．
58．（2024·四川遂宁·中考真题）分解因式： ．
【答案】
【分析】本题主要考查了提公因式分解因式，提公因式a即可解答．
【详解】解：
故答案为：
59．（2023·广西·中考真题）分解因式： ．
【答案】
【分析】题目主要考查提公因式法分解因式，根据题意直接提取公因式即可求解．
【详解】解：，
故答案为： ．
60．（2024·四川自贡·中考真题）分解因式： ．
【答案】
【分析】根据提取公因式法因式分解进行计算即可．
【详解】解：，
故答案为：．
【点睛】此题考查了提公因式法因式分解，熟练掌握提取公因式的方法是解本题的关键．
61．（2024·四川凉山·中考真题）已知，且，则 ．
【答案】
【分析】本题考查了因式分解的应用，先把的左边分解因式，再把代入即可求出的值．
【详解】解：∵，
∴，
∵，
∴．
故答案为：．
62．（2024·甘肃临夏·中考真题）因式分解： ．
【答案】
【分析】本题考查因式分解，掌握公式法分解因式是解题关键．直接利用平方差公式分解因式即可．
【详解】解：．
故答案为：．
63．（2023·四川雅安·中考真题）若，，则的值为 ．
【答案】
【分析】先将代数式根据平方差公式分解为：= ，再分别代入求解．
【详解】∵，，
∴原式．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了平方差公式，熟记公式是解答本题的关键。
64．（2024·山东淄博·中考真题）若多项式能用完全平方公式因式分解，则的值是 ．
【答案】
【分析】此题考查了因式分解-运用公式法，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．利用完全平方公式的结构特征判断即可确定出m的值．
【详解】解：多项式能用完全平方公式因式分解，
，
，
故答案为：．
65．（2024·西藏·中考真题）分解因式： ．
【答案】/
【分析】本题考查了分解因式，利用完全平方公式分解即可，熟练掌握完全平方公式是解此题的关键．
【详解】解：，
故答案为：．
66．（2023·江苏南京·中考真题）分解因式的结果是 ．
【答案】
【分析】本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解．先提取公因式，再利用完全平方公式继续分解即可．
【详解】解：
．
故答案为：．
67．（2024·四川眉山·中考真题）分解因式： ．
【答案】
【分析】本题主要考查了因式分解中的提取公因式法和公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的各种方法是解题的关键．
先提取公因式，然后利用平方差公式分解因式即可．
【详解】解：
，
故答案为：．
68．（2024·北京·中考真题）分解因式： .
【答案】
【分析】先提取公因式，再套用公式分解即可．
本题考查了因式分解，熟练掌握先提取公因式，再套用公式分解是解题的关键．
【详解】．
故答案为：．
69．（2023·黑龙江哈尔滨·中考真题）把多项式分解因式的结果是 ．
【答案】
【分析】本题考查了因式分解，解题的关键是掌握分解因式的方法，分解因式的主要方法有：提公因式法、公式法、十字相乘法．
先提取公因式y，再利用平方差公式分解因式即可．
【详解】
；
故答案为：．
70．（2024·四川广安·中考真题）分解因式：＝ ．
【答案】
【分析】本题主要考查了分解因式，先提取公因式再利用公式法即可得到答案．
【详解】解：，
故答案为：．
71．（2023·湖南益阳·中考真题）下列因式分解正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】利用提公因式法，公式法对各项进行因式分解，即可求解．
【详解】解：A、，故本选项正确，符合题意；
B、，故本选项错误，不符合题意；
C、，故本选项错误，不符合题意；
D、，故本选项错误，不符合题意；
故选：A
【点睛】本题主要考查了多项式的因式分解，熟练掌握多项式的因式分解方法——提公因式法、公式法、十字相乘法、分组分解法，并会结合多项式的特征，灵活选用合适的方法是解题的关键．
72．（2024·广西·中考真题）如果，，那么的值为（ ）
A．0 B．1 C．4 D．9
【答案】D
【分析】本题考查因式分解，代数式求值，先将多项式进行因式分解，利用整体代入法，求值即可．
【详解】解：∵，，
∴
；
故选D．
72．（2023·湖南·中考真题）已知实数m、、满足：．
①若，则 ．
②若m、、为正整数，则符合条件的有序实数对有 个
【答案】
【分析】①把代入求值即可；
②由题意知：均为整数， ，则再分三种情况讨论即可．
【详解】解：①当时，，
解得：；
②当m、、为正整数时，
均为整数，
而
或或，
或或，
当时，时，；时，，
故为，共2个；
当时，时，；时，，时，
故为，共3个；
当时，时，；时，，
故为，共2个；
综上所述：共有个．
故答案为：．
【点睛】本题考查了整式方程的代入求值、整式方程的整数解，因式分解的应用，及分类讨论的思想方法．本题的关键及难点是运用分类讨论的思想方法解题．
73．（2022·广西·中考真题）阅读材料：整体代值是数学中常用的方法．例如“已知，求代数式的值．”可以这样解：．根据阅读材料，解决问题：若是关于x的一元一次方程的解，则代数式的值是 ．
【答案】
【分析】先根据是关于x的一元一次方程的解，得到，再把所求的代数式变形为，把整体代入即可求值．
【详解】解：∵是关于x的一元一次方程的解，
∴，
∴
．
故答案为：14．
【点睛】本题考查了代数式的整体代入求值及一元一次方程解的定义，把所求的代数式利用完全平方公式变形是解题的关键．
74．（2022·浙江金华·中考真题）如图1，将长为，宽为的矩形分割成四个全等的直角三角形，拼成“赵爽弦图”（如图2），得到大小两个正方形．
(1)用关于a的代数式表示图2中小正方形的边长．
(2)当时，该小正方形的面积是多少？
【答案】(1)
(2)36
【分析】（1）分别算出直角三角形较长的直角边和较短的直角边，再用较长的直角边减去较短的直角边即可得到小正方形面积；
（2）根据（1）所得的小正方形边长，可以写出小正方形的面积代数式，再将a的值代入即可．
【详解】（1）解：∵直角三角形较短的直角边，
较长的直角边，
∴小正方形的边长；
（2）解：，
当时，．
【点睛】本题考查割补思想，属性结合思想，以及整式的运算，能够熟练掌握割补思想是解决本题的关键．
75．（2024·福建·中考真题）已知实数满足．
(1)求证：为非负数；
(2)若均为奇数，是否可以都为整数？说明你的理由．
【答案】(1)证明见解析；
(2)不可能都为整数，理由见解析．
【分析】本小题考查整式的运算、因式分解、等式的性质等基础知识：考查运算能力、推理能力、创新意识等，以及综合应用所学知识分析、解决问题的能力．
（1）根据题意得出，进而计算，根据非负数的性质，即可求解；
（2）分情况讨论，①都为奇数；②为整数，且其中至少有一个为偶数，根据奇偶数的性质结合已知条件分析即可．
【详解】（1）解：因为，
所以．
则
．
因为是实数，所以，
所以为非负数．
（2）不可能都为整数．
理由如下：若都为整数，其可能情况有：①都为奇数；②为整数，且其中至少有一个为偶数．
①当都为奇数时，则必为偶数．
又，所以．
因为为奇数，所以必为偶数，这与为奇数矛盾．
②当为整数，且其中至少有一个为偶数时，则必为偶数．
又因为，所以．
因为为奇数，所以必为偶数，这与为奇数矛盾．
综上所述，不可能都为整数．
76．（2023·浙江嘉兴·中考真题）观察下面的等式：
(1)写出的结果．
(2)按上面的规律归纳出一个一般的结论（用含n的等式表示，n为正整数）
(3)请运用有关知识，推理说明这个结论是正确的．
【答案】(1)
(2)
(3)见解析
【分析】（1）根据题干的规律求解即可；
（2）根据题干的规律求解即可；
（3）将因式分解，展开化简求解即可．
【详解】（1）；
（2）；
（3）
．
【点睛】此题考查数字的变化规律，因式分解，整式乘法的混合运算，解题关键是通过观察，分析、归纳发现其中的变化规律．
77．（2022·青海西宁·中考真题）八年级课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：
将因式分解．
【观察】经过小组合作交流，小明得到了如下的解决方法：
解法一：原式
解法二：原式
【感悟】对项数较多的多项式无法直接进行因式分解时，我们可以将多项式分为若干组，再利用提公因式法、公式法达到因式分解的目的，这就是因式分解的分组分解法．分组分解法在代数式的化简、求值及方程、函数等学习中起着重要的作用．（温馨提示：因式分解一定要分解到不能再分解为止）
【类比】
(1)请用分组分解法将因式分解；
【挑战】
(2)请用分组分解法将因式分解；
【应用】
(3)“赵爽弦图”是我国古代数学的骄傲，我们利用它验证了勾股定理．如图，“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形围成的一个大正方形，中间是一个小正方形．若直角三角形的两条直角边长分别是a和，斜边长是3，小正方形的面积是1．根据以上信息，先将因式分解，再求值．
【答案】(1)
(2)
(3)，9
【分析】（1）直接将前两项和后两项组合，利用平方差公式再提取公因式，进而分解因式即可；
（2）先分组，利用完全平方公式再提取公因式，进而分解因式即可；
（3）分组，先提取公因式，利用完全平方公式分解因式，再由勾股定理以及面积得到，，整体代入得出答案即可．
【详解】（1）解：
；
（2）解：
；
（3）解：
，
∴根据题意得，，
∴原式．
【点睛】此题主要考查了分组分解法以及、提取公因式法、公式法分解因式以及勾股定理的应用，正确分组再运用公式法分解因式是解题关键．
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【中考真题 高分必刷题】3年中考数学真题分类汇编（基础版）
专题02 整式及其运算
本专题汇编2022~2024年三年中考真题，把3年中考中常考题型汇编成每个小专题进行分类突破，对于考生来说，最具有针对性的题型就是中考真题，让考生熟悉中考的考点以及重难点。
1．（2023·江苏·中考真题）若圆柱的底面半径和高均为，则它的体积是 （用含的代数式表示）．
2．（2023·吉林长春·中考真题）2023长春马拉松于5月21日在南岭体育场鸣枪开跑，某同学参加了7.5公里健康跑项目，他从起点开始以平均每分钟x公里的速度跑了10分钟，此时他离健康跑终点的路程为 公里．（用含x的代数式表示）
3．（2023·河南·中考真题）某校计划给每个年级配发n套劳动工具，则3个年级共需配发 套劳动工具．
4．（2022·黑龙江绥化·中考真题）某班为奖励在数学竞赛中成绩优异的同学，花费48元钱购买了甲、乙两种奖品，每种奖品至少购买1件，其中甲种奖品每件4元，乙种奖品每件3元，则有 种购买方案．
5．（2022·吉林·中考真题）篮球队要购买10个篮球，每个篮球元，一共需要 元．（用含的代数式表示）
6．（2024·西藏·中考真题）若x与y互为相反数，z的倒数是，则的值为（ ）
A． B． C．9 D．1
7．（2024·山东济宁·中考真题）已知，则的值是 ．
8．（2024·广东广州·中考真题）若，则 ．
9．（2024·江苏苏州·中考真题）若，则 ．
10．（2022·四川攀枝花·中考真题）下列各式不是单项式的为（ ）
A．3 B．a C． D．
11．（2024·吉林长春·中考真题）单项式的次数是 ．
12．（2024·山东泰安·中考真题）单项式的次数是 ．
13．（2023·江西·中考真题）单项式的系数为 ．
14．（2022·广东·中考真题）单项式的系数为 ．
15．（2024·山东日照·中考真题）在数学活动课上，老师给出了一个数字构造游戏：对于给定的一列有序数字，在每相邻两个数之间插入这两数的和，形成新的一列有序数字．现有一列数：，进行第1次构造，得到新的一列数：，第2次构造后，得到一列数：，…，第n次构造后得到一列数：，记．某小组经过讨论得出如下结论，错误的是（ ）
A． B．为偶数 C． D．
16．（2024·江苏徐州·中考真题）观察下列各数：3、8、18、38、…，按此规律，第5～7个数可能为（ ）
A．48、58、68 B．58、78、98 C．76、156、316 D．78、158、318
17．（2024·江苏扬州·中考真题）1202年数学家斐波那契在《计算之书》中记载了一列数：1，1，2，3，5，……，这一列数满足：从第三个数开始，每一个数都等于它的前两个数之和．则在这一列数的前2024个数中，奇数的个数为（ ）
A．676 B．674 C．1348 D．1350
18．（2024·四川德阳·中考真题）将一组数，按以下方式进行排列：
则第八行左起第1个数是（ ）
A． B． C． D．
19．（2024·山东潍坊·中考真题）将连续的正整数排成如图所示的数表．记为数表中第行第列位置的数字，如，，．若，则 ， ．
20．（2024·四川成都·中考真题）在综合实践活动中，数学兴趣小组对这个自然数中，任取两数之和大于的取法种数进行了探究．发现：当时，只有一种取法，即；当时，有和两种取法，即；当时，可得；……．若，则的值为 ；若，则的值为 ．
21．（2024·山东济宁·中考真题）如图，用大小相等的小正方形按照一定规律拼正方形．第一幅图有1个正方形，第二幅图有5个正方形，第三幅图有14个正方形……按照此规律，第六幅图中正方形的个数为（ ）
A．90 B．91 C．92 D．93
22．（2024·黑龙江牡丹江·中考真题）如图是由一些同样大小的三角形按照一定规律所组成的图形，第1个图有4个三角形．第2个图有7个三角形，第3个图有10个三角形……按照此规律排列下去，第674个图中三角形的个数是（ ）
A．2022 B．2023 C．2024 D．2025
23．（2023·四川绵阳·中考真题）如下图，将形状、大小完全相同的“●”和线段按照一定规律摆成以下图形，第1幅图形中“●”的个数为，第2幅图形中“●”的个数为，第3幅图形中“●”的个数为，…，以此类推，那么的值为（ ）
A． B． C． D．
24．（2024·四川凉山·中考真题）阅读下面材料，并解决相关问题：
下图是一个三角点阵，从上向下数有无数多行，其中第一行有1个点，第二行有2个点……第行有个点……
容易发现，三角点阵中前4行的点数之和为10．
(1)探索：三角点阵中前8行的点数之和为_____，前15行的点数之和为______，那么，前行的点数之和为______
(2)体验：三角点阵中前行的点数之和______（填“能”或“不能”）为500．
(3)运用：某广场要摆放若干种造型的盆景，其中一种造型要用420盆同样规格的花，按照第一排2盆，第二排4盆，第三排6盆……第排盆的规律摆放而成，则一共能摆放多少排？
25．（2024·西藏·中考真题）如图是由若干个大小相同的“”组成的一组有规律的图案，其中第1个图案用了2个“”，第2个图案用了6个“”，第3个图案用了12个“”，第4个图案用了20个“”，……，依照此规律，第n个图案中“”的个数为 （用含n的代数式表示）．
26．（2024·青海·中考真题）如图是由火柴棒摆成的图案，按此规律摆放，第（7）个图案中有 个火柴棒．
27．（2023·四川资阳·中考真题）下列计算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
28．（2024·江苏徐州·中考真题）下列运算正确的是（ ）
A． B． C． D．
29．（2024·西藏·中考真题）下列运算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
30．（2024·山东德州·中考真题）下列运算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
31．（2024·山东日照·中考真题）下列计算正确的是（ ）
A． B． C． D．
32．（2024·海南·中考真题）下列计算中，正确的是（ ）
A． B． C． D．
33．（2024·四川德阳·中考真题）若一个多项式加上，结果是，则这个多项式为 ．
34．（2022·内蒙古包头·中考真题）若一个多项式加上，结果得，则这个多项式为 ．
35．（2022·山东德州·中考真题）已知 ，（a 为任意实数），则的值（ ）
A．小于 0 B．等于 0 C．大于 0 D．无法确定
36．（2023·湖北宜昌·中考真题）在日历上，某些数满足一定的规律．如图是某年8月份的日历，任意选择其中所示的含4个数字的方框部分，设右上角的数字为a，则下列叙述中正确的是（ ）．
日 一 二 三 四 五 六
1 2 3 4
5 6 7 8 9 10 11
12 13 14 15 16 17 18
19 20 21 22 23 24 25
26 27 28 29 30 31
A．左上角的数字为 B．左下角的数字为
C．右下角的数字为 D．方框中4个位置的数相加，结果是4的倍数
37．（2023·四川泸州·中考真题）若一个菱形的两条对角线长分别是关于的一元二次方程的两个实数根，且其面积为11，则该菱形的边长为（ ）
A． B． C． D．
38．（2024·甘肃·中考真题）先化简，再求值：，其中，．
39．（2024·四川南充·中考真题）先化简，再求值：，其中．
40．（2023·山东淄博·中考真题）先化简，再求值：，其中，．
41．（2023·四川南充·中考真题）先化简，再求值：，其中．
42．（2023·四川凉山·中考真题）先化简，再求值：，其中，．
43．（2022·内蒙古·中考真题）先化简，再求值：，其中．
44．（2022·湖北荆门·中考真题）已知x+＝3，求下列各式的值：
(1)（x﹣）2；
(2)x4+．
45．（2022·江苏南通·中考真题）已知实数m，n满足，则的最大值为（ ）
A．24 B． C． D．
46．（2024·四川乐山·中考真题）已知，，则 ．
47．（2023·江苏宿迁·中考真题）若实数m满足，则 ．
48．（2024·黑龙江大庆·中考真题）已知，则的值是 ．
49．（2024·江苏南通·中考真题）“赵爽弦图”巧妙利用面积关系证明了勾股定理．如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等直角三角形和中间的小正方形拼成的一个大正方形．设直角三角形的两条直角边长分别为m，．若小正方形面积为5，，则大正方形面积为（ ）
A．12 B．13 C．14 D．15
50．（2024·四川眉山·中考真题）如图，图1是北京国际数学家大会的会标，它取材于我国古代数学家赵爽的“弦图”，是由四个全等的直角三角形拼成．若图1中大正方形的面积为24，小正方形的面积为4，现将这四个直角三角形拼成图2，则图2中大正方形的面积为（ ）
A．24 B．36 C．40 D．44
51．（2023·四川攀枝花·中考真题）我们可以利用图形中的面积关系来解释很多代数恒等式．给出以下4组图形及相应的代数恒等式：
① ②
③ ④
其中，图形的面积关系能正确解释相应的代数恒等式的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
52．（2022·广西·中考真题）如图，是利用割补法求图形面积的示意图，下列公式中与之相对应的是（ ）
A． B．
C． D．
53．（2023·浙江·中考真题）如图，分别以为边长作正方形，已知且满足，．
（1）若，则图1阴影部分的面积是 ；
（2）若图1阴影部分的面积为，图2四边形的面积为，则图2阴影部分的面积是 ．
54．（2024·江苏徐州·中考真题）若，，则代数式的值是 ．
55．（2024·江苏镇江·中考真题）分解因式： ．
56．（2024·浙江·中考真题）因式分解：
57．（2024·山东·中考真题）因式分解： ．
58．（2024·四川遂宁·中考真题）分解因式： ．
59．（2023·广西·中考真题）分解因式： ．
60．（2024·四川自贡·中考真题）分解因式： ．
61．（2024·四川凉山·中考真题）已知，且，则 ．
62．（2024·甘肃临夏·中考真题）因式分解： ．
63．（2023·四川雅安·中考真题）若，，则的值为 ．
64．（2024·山东淄博·中考真题）若多项式能用完全平方公式因式分解，则的值是 ．
65．（2024·西藏·中考真题）分解因式： ．
66．（2023·江苏南京·中考真题）分解因式的结果是 ．
67．（2024·四川眉山·中考真题）分解因式： ．
68．（2024·北京·中考真题）分解因式： .
69．（2023·黑龙江哈尔滨·中考真题）把多项式分解因式的结果是 ．
70．（2024·四川广安·中考真题）分解因式：＝ ．
71．（2023·湖南益阳·中考真题）下列因式分解正确的是（ ）
A． B．
C． D．
72．（2024·广西·中考真题）如果，，那么的值为（ ）
A．0 B．1 C．4 D．9
72．（2023·湖南·中考真题）已知实数m、、满足：．
①若，则 ．
②若m、、为正整数，则符合条件的有序实数对有 个
73．（2022·广西·中考真题）阅读材料：整体代值是数学中常用的方法．例如“已知，求代数式的值．”可以这样解：．根据阅读材料，解决问题：若是关于x的一元一次方程的解，则代数式的值是 ．
74．（2022·浙江金华·中考真题）如图1，将长为，宽为的矩形分割成四个全等的直角三角形，拼成“赵爽弦图”（如图2），得到大小两个正方形．
(1)用关于a的代数式表示图2中小正方形的边长．
(2)当时，该小正方形的面积是多少？
75．（2024·福建·中考真题）已知实数满足．
(1)求证：为非负数；
(2)若均为奇数，是否可以都为整数？说明你的理由．
76．（2023·浙江嘉兴·中考真题）观察下面的等式：
(1)写出的结果．
(2)按上面的规律归纳出一个一般的结论（用含n的等式表示，n为正整数）
(3)请运用有关知识，推理说明这个结论是正确的．
77．（2022·青海西宁·中考真题）八年级课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：
将因式分解．
【观察】经过小组合作交流，小明得到了如下的解决方法：
解法一：原式
解法二：原式
【感悟】对项数较多的多项式无法直接进行因式分解时，我们可以将多项式分为若干组，再利用提公因式法、公式法达到因式分解的目的，这就是因式分解的分组分解法．分组分解法在代数式的化简、求值及方程、函数等学习中起着重要的作用．（温馨提示：因式分解一定要分解到不能再分解为止）
【类比】
(1)请用分组分解法将因式分解；
【挑战】
(2)请用分组分解法将因式分解；
【应用】
(3)“赵爽弦图”是我国古代数学的骄傲，我们利用它验证了勾股定理．如图，“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形围成的一个大正方形，中间是一个小正方形．若直角三角形的两条直角边长分别是a和，斜边长是3，小正方形的面积是1．根据以上信息，先将因式分解，再求值．
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