2024-2025学年贵州省六盘水市水城区高二上学期期中质量监测数学试卷（含答案）

2024-2025学年贵州省六盘水市水城区高二上学期期中质量监测
数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.若集合，，则中元素的个数为( )
A. B. C. D.
2.下列关于空间向量的说法正确的是( )
A. 零向量是任意直线的方向向量
B. 方向相同的两个向量是相等向量
C. 空间任意三个向量都可以构成空间的一个基底
D. 任意两个空间向量都可以通过平移转化为同一平面内的向量
3.已知一组数据为，则该组数据的方差为( )
A. B. C. D.
4.已知直线的斜率，则直线的倾斜角的取值范围是( )
A. B.
C. D.
5.如图，在八面体中，平面均垂直于底面，且，则下列向量中与向量在平面上的投影向量相等的是( )
A. B. C. D.
6.已知某圆台的一个底面周长是另一个底面周长的倍，高为，且该圆台的体积为，则该圆台的母线长为( )
A. B. C. D.
7.在空间四边形中，，，，且，，则( )
A. B.
C. D.
8.把某种物体放在空气中，若该物体原来的温度是，空气的温度是 ，则 后该物体的温度满足 将温度分别为和的两块物体放入温度为的空气中，要使两块物体的温度之差不超过，至少要经过( ) 取：
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.如图，在空间直角坐标系中，已知直三棱柱，，，是棱的中点，则( )
A. B. C. D.
10.已知函数，则( )
A. 的定义域为 B. 的值域为
C. 是偶函数 D. 在上单调递增
11.已知函数，则( )
A. 的最大值为
B. 的最小正周期为
C. 曲线关于直线轴对称
D. 当时，函数有个零点
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知复数，则的实部为 ．
13.易经是中国传统文化中的精髓，易经八卦分别为乾坤巽震坎离艮兑，现将乾坤巽三卦按任意次序排成一排，则乾坤相邻的概率为 ．
14.已知向量，，则在方向上的投影向量的模为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知，，，判断，，三点是否在同一条直线上；
已知直线的倾斜角为，直线经过，两点，判断与是否垂直．
16.本小题分
已知的内角的对边分别为，且．
求；
若，求．
17.本小题分
如图，在棱长均为的四棱柱中，，设．
试用表示；
求的长度；
求直线与直线所成角的余弦值．
18.本小题分
如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，，，，．
判断直线与是否垂直，并说明理由；
求平面与平面的夹角的余弦值．
19.本小题分
如图，在棱长为的正方体中，为的中点，为底面内一动点包括边界，且满足．
是否存在点，使得平面？
求的取值范围．
求点到直线的距离的最小值．
参考答案
1.
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10.
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12.
13.
14.或
15.解：因为，，，
所以，又直线均过点，
所以点三点在同一条直线上；
因为直线的倾斜角为，所以直线的斜率，
因为直线经过，两点，所以，
所以，所以与互相垂直．

16.解：因为，
由正弦定理可得，
且，则，可得，
即，所以．
因为，即，
由余弦定理可得，即，
整理可得，，
所以．

17.解：
．
棱长均为的四棱柱中，，
，
所以．
，
因为，
所以直线与直线所成角的余弦值为．

18.解：和不垂直，理由如下：
设，则，
在中，，所以为等边三角形，所以，
因为，，所以，从而，
所以在直角中，，，
又因为，所以，所以在中，满足，
故为直角三角形，则；
又因为，，所以平面；
因为，所以，所以，
故以点为坐标原点，，，所在直线分别为轴，轴，轴，建立如图所示的空间直角坐标系．
设，则，，；
所以，，，，，
所以，，所以，
所以不成立，故和不垂直．
由可知，，，所以平面，
故为平面的一个法向量；
又，，设平面的法向量，
所以，即，取，则，，故，
设平面与平面的夹角为，
所以，
所以平面与平面的夹角的余弦值为．

19.解：
如图，以为原点，所在直线为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系，
由题意得，
，，
设平面的法向量为，
则，可取，
设，所以，
又，所以，
即，所以，
设存在点，使得平面，
则，解得，则，
则，
所以存在点，使得平面
由知，
所以，
函数在上单调递减，在上单调递增，
当时，，当时，，
所以，
所以的取值范围是．
由知点满足，
取中点为，则点轨迹为线段，
所以点到直线的距离的最小值就是异面直线与的距离，
，，，，，
设，，
则，可取，
又，
点到直线的距离的最小值．

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